Академиятруда и социальных отношений
Курганскийфилиал
Социально-экономическийфакультет
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
подисциплине: «Общий курс высшей математики»
Студент гр.ЗМб 1338
Ст.преподаватель
Курган – 2009
Задание 03
В ромбе ABCD известны координаты вершин А и С итангенс внутреннего угла С. Найти уравнения диагоналей и сторон, координатыдвух других вершин, а также площадь этого ромба, если А(4,2), С(16;18), />. Сделать чертеж.
Решение:
Зная координаты вершин Аи С запишем уравнение диагонали АС как уравнение прямой, проходящей через двезаданные точки:
/>
/>
12(y-2)=16(x-4);
12y-24=16х-64
16х-12у-40=0 /:4
4х-3у-10=0 – уравнениедиагонали А С в форме общего уравнения прямой.
Перепишем это уравнение вформе уравнения прямой с угловым коэффициентом:
-3y=-10-4х;
3y=4x-10;
y=/> откуда k А С=/>
Так как в ромбе диагоналивзаимно перпендикулярны, то угловой коэффициент диагонали BD будет равен
КВD = />/>
Само же уравнениедиагонали BD найдем как уравнение прямой,проходящей через заданную точку в направлении, определяемом угловымкоэффициентом КBD.
В качестве «заданнойточки» возьмем точку Е пересечения диагоналей ромба, которая лежит на серединеотрезка АС, вследствие чего:
/>
/>
Е (10;10)
Итак, уравнение диагоналиBD запишем в виде
у – yE= КВD(x-xE)
y-10=/> (x-10);
y-10=/>x+/> //> 4
4у-40=-3х+30
3х+4у-70=0 – уравнениедиагонали BD
Чтобы найти уравнениесторон ромба, надо определить только угловые коэффициенты КАВ = КCD и КВС = КAD прямых, на которых эти сторонылежат, ибо точки, через которые эти прямые проходят, известны – это вершины А иС ромба.
Для определения указанныхугловых коэффициентов воспользуемся формулой />, позволяющей вычислятьтангенс угла φ между двумя заданными прямыми по их угловым коэффициентам К1и К2; при этом угол φ отсчитывается против часовой стрелки отпрямой у = К1х + b1 до прямой у = К2х + b2. Формула оказывается удобной, потому что уравнениедиагонали АС уже найдено (и, следовательно, известен ее угловой коэффициент КАС),а положение сторон ромба относительно этой диагонали однозначно определяетсявнутренними углами А и С, которые равны между собой и для которых по условиюизвестен их тангенс (/>).
Так диагонали ромба делятего углы пополам, то, положив /> изформулы /> для тангенсадвойного угла при /> найдем tg φ:
/>
Положим z = tg φ; тогда />, тогда
15 /> 2z = 8 (1-z2)
30z=8-8z2
8z2+30z-8=0/:2
4z2+15z-4=0
D=152-4/> 4/> (-4)= 225+64=289
z1=/>/>;
z2=/>/>
Но т.к. угол в ромбе φ всегда острый корень z2=-4 отбрасываем и получаем в итоге, что tg φ =/>
Угол φ являетсяуглом между прямыми ВС и АС, с одной стороны, и прямыми АС и CD – с другой (см. чертеж).
Потому в первом случае поформуле /> имеем />
откуда при /> то получим
/>
4(/>)=1+/>;
/>=/> //>3
16-12 KBC=3+4KBC;
16 KBC=13;
KBC=/>
Во втором случае поформуле /> имеем />=/>;
При КАС =/> получим:
/>;
4(KcD-/>)=1+/>KcD;
4KcD-/>=1+/> KcD / />3;
12KcD-16=3+4KcD;
8KcD =19
KcD= />
Так как противоположныестороны ромба параллельны, то тем самым мы определили угловые коэффициенты всехего сторон.
КCD = KAB=/> ;
KBC = KAD = />.
Зная теперь эти угловыекоэффициенты и координаты вершин А и С, по уже использовавшимся выше формуламнайдем уравнения прямых АВ, CD, BC и AD.
Уравнение АВ: у – уA = KAB (х – хA),
у -2 = /> (х-4) //>8;
8у-16=19х-76;
19 х-8 у-60=0.
Уравнение CD: у – уC= КCD(х – xC)
у -18= />( х-16) / />8;
8у -144=19х-304;
19 х-8 у-160=0.
Уравнение ВС: у – уC= КBC( х xC);
у -18=/>( х — 16);
у — 18=/> х – 13 / />16;
16у -288 = 13х — 208;
13х -16 у +80=0
Уравнение AD: у – уA = КAD( х -xA);
у -2=/>( х -4);
у -2=/> х — /> //>16;
16у -32= 13х-52;
13х-16у-20=0
Вершины ромба являютсяточками пересечения его соответствующих сторон. Поэтому их координаты найдемпутем совместного решения уравнений этих сторон.
/>
19х -8у -60 = 0 / /> (-2)
13х -16у +80= 0
/>-38х+16у+120=0
13х-16у+80=0
-25х = — 200
х = 8
13 /> 8 -16у+80=0
104-16у+80=0
16у=184
у=11,5 т.В (8;11,5)
Для вершины D:
/>19х -8у +-160 = 0 //> (-2)
/>13x — 16y – 20 = 0
-38х + 16у +320 = 0
13x — 16 y – 20 = 0
-25х = — 300
х=12
13 /> 12 — 16у-20 = 0
156 -16 у-20=0
16у – 136
у=8,5 т.D (12;8,5)
Координаты этих точекудовлетворяют ранее найденному уравнению 3х + 4у — 70 = 0 диагонали BD, что подтверждает их правильность.
Площадь ромба вычислим поформуле S = ½ d1d2, где d1 и d2 – диагонали ромба.
Полагая d1 = |АС|, а d2 = |BD|, длины этих диагоналей найдем какрасстояния между соответствующими противоположными вершинами ромба:
d1 = />
d2 = />
В итоге площадь ромбабудет равна S =/> ∙20 ∙ 5 = 50 кв.ед.
Ответ:
АС: 4х — 3у — 10 = 0;
BD: 3х + 4у — 70= 0;
АВ: 19х -8у -60 = 0;
CD:19 х -8у — 160 = 0;
ВС: 13х -16у + 80 = 0;
AD: 13х -16у – 20=0;
В (8;11,5);
D (12; 8,5);
S = 50 кв.ед.
Задание 27
Найти предел
а) />
Решение:
а) Функция, пределкоторой при х→ 2 требуется найти, представляет собой частное двухфункций. Однако применить теорему о пределе частного в данном случае нельзя,так как предел функции, стоящей в знаменателе, при х→ 2 равен нулю.
Преобразуем даннуюфункцию, умножив числитель и знаменатель дроби, находящейся под знаком предела,на выражение />, сопряженное знаменателю.Параллельно разложим квадратный трехчлен в числителе на линейные множители:
/>=/>=/>=
/>=/>=
/>
2 х2 — 3 х — 2=0
D=32 -4/>2/>(-2)=9+16=25
х1 =/>= />=2;
х2 = />=/>= -/>
/>=/>=
/>=/>=/>=12,5
Ответ: 12,5
б) />
Умножим числитель изнаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на выражение, сопряженное кзнаменателю:
/>=/>=
/>=
/>=/>=
/>/>/>+/>=
/>/>/>/>
Найдем каждыйсомножитель.
/>=/>=/>=/>=/>
/>/>+/>)=(/>=1+1=2.
/>/>
Предел /> есть первый замечательныйпредел.
Таким образом.
/> после замены t=3x будет равен />=3
Аналогично />=5
Получим
/>=/>
/>/>1
В итоге получим: />
Ответ: />
в) />
Преобразуем основаниеданной функции:
/>/>/>/>
Ведем новую переменную t= />,тогда />/>
t (4x-1) = 2
4xt – t = 2
4xt =2 + t
x=/>
x=/>
Заметим, что пределфункции t при x → ∞ равен нулю т.е t → 0 при x → ∞. Следовательно
/>=/>=/>=
=/>
Воспользуемся теоремой определе произведения, следствием теоремы о пределе сложной функции, вторымзамечательным пределом получим.
/>
Ответ: />
г) />
Представим выражение подзнаком предела в виде
/>=/>=/>=
/>/>=/>/>=
/>/>
Найдем значение каждогопредела:
/>=/>=1
/>= — ln e следствие из второго замечательногопредела.
/>=3/>/>=3 />1=3
В итоге получим
/>=1/>= />= />
Ответ: />
Задание 50
Найти производную функции
а) />
Решение:
при решении будемприменять правила дифференцирования частного произведения и сложной функции.
/>=
/>
/>=/>=
/>=
/>/>
б) />
/>/>/>+/>
/>+/>=/>+/>=
= />+/>=/>+/>
/>
в) />
Решение:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
г) />
/>=/>=
/>=/>/>-
/>=/> — />=/>-
-/>=/> —
/>=/>=
/>
Задание 73
Вычислить приближенноезначение функции f (x) = ln /> в точке x1 заменив приращение функции в точке х0= 0 ее дифференциалом.Если известно a=8; b=13; c=21;x1=0.013
Решение:
Если приращение аргумента∆х = х1 – х0достаточно мало по абсолютнойвеличине, то приращение функции ∆f = f (x1) – f (x0) приближенно равно дифференциалу функции df. Поэтому справедлива формула
f (x0+ ∆x) ≈ f (x0) + f / (x0) ∆x.
Для вычисленияприближенного значения функции у = ln /> в точке х1 = 0,013 вычислим производнуюэтой функции в точке х0= 0:
f / (x) = />=/> />=
/>=/>=/>
f / (x) = f / (0) = />=/>=-1
Подставив в формулуполучим; f (0,013) />=-0,013
Ответ: -0,013
Задание 96
Исследовать функцию /> и построить ее график.
Решение
1. Область определенияданной функции – вся числовая ось, то есть интервал (-∞; +∞), таккак выражение
f (x) = />
в правой частианалитического задания функции имеет смысл при любом действительном х.
2. Как элементарнаяфункция, данная функция является непрерывной в каждой точке своей областиопределения, то есть в каждой точке числовой оси.
3. Найдем все асимптотыграфика данной функции.
Вертикальных асимптотграфик данной функции у = f (x) не имеет, поскольку последняянепрерывна на всей числовой оси формула
Для отыскания наклоннойасимптоты при х→ +∞ вычислим следующие два предела k = lim y/x и b = lim (y – kx)
Если оба они существуют иконечны, то прямая у = kx + b является наклонной асимптотой при х→+∞ графикафункции у = f (x)
Прежде чем обращаться квычислению указанных пределов, напомним тождество √х2 = |х| (1),из которого следует, что при x > 0 √х2 = х ,
а при х
Приступая к вычислениюпервого предела, разделим числитель и знаменатель дроби на х2, затемвоспользуемся равенством (1) и основными свойствами предела:
k=/>/>=/>/>=/>/>=/>/>=/>/>=
/>=/>=0
Для вычисления второгопредела разделим числитель и знаменатель дроби на х и, действуя далееаналогично тому, как и при вычислении первого предела, получим:
b =/>(y – kx)= /> y =/>/>= /> />=
/>/>=/>=/>=3
Следовательно, прямая у =3 является наклонной асимптотой графика данной функции при х→+∞(поскольку угловой коэффициент k этойпрямой равен нулю, то такую наклонную асимптоту называют также горизонтальнойпри х→+∞.
Для отыскания наклоннойасимптоты при х→ -∞ вычислим пределы k1 = lim y/x и b1 = lim (y – kx)
Если оба они существуют иконечны, то прямая y = k1x + b1 является наклонной асимптотой при х→-∞
Для вычисления этихпределов используем те же приемы, что и выше, учитывая только на сей раз вместоравенства (1) равенство (2). Теперь, в частности, для отрицательных значенийаргумента имеем:
/>=/>=-/>=-/> и следовательно, k1 = 0, b1 = -3, то есть наклонной(горизонтальной) асимптотой при х→-∞ на сей раз является прямая у =-3
4. Найдем точкипересечения графика данной функции с осями координат и установим участки еезнакопостоянства.
Для отыскания абсциссточек пересечения графика с осью ОХ решим уравнение />=0
Его единственнымрешением, очевидно, является х = /> Причем,в силу положительности знаменателя при любом х ясно, что f(x)>0 при х>/> f(x)
Таким образом, точка А (/>; 0) является единственнойточкой пересечения графика функции с осью ОХ, а для х из интервалов (-∞;/>) и (/>; +∞) соответствующиеточки графика функции расположены, соответственно, ниже и выше оси абсцисс.
Точка пересечения графикафункции у = f (x) с осью ОУ – это всегда точка (0; f(0)), если только нуль входит в область определения функции.В нашем случае: f (0) =/>=/>=-/>=-2,24 такой точкойявляется В(0;-2,24).
5. Приступим теперь котысканию точек экстремума данной функции и участков ее монотонности.
Вычислим сначала еепроизводную:
у=/>=/>=
/>
=/>=/>=/>=/>
Решая уравнение у/= 0, получим единственный корень производной:
5(3+х) = 0 х=-3
Таким образом,необходимое условие экстремума выполняется лишь в точке х = -3. Эта точкаразбивает ось абсцисс на два интервала (-∞;-3) и (-3; +∞)знакопостоянства производной.
Для определения знакапроизводной в каждом интервале (пользуясь ее непрерывностью) определим знакпроизводной в одной какой-либо точке каждого интервала. Так как
f/(-1) = /> = /> >0
то заключаем, что функцияубывает на интервале (-∞;-3) и возрастает на интервале (-3; +∞), изначит точка х = -3 является точкой минимума данной функции.
Значение функции в этойточке (то есть минимум функции) равно
f (-3) = />=/>=-/>=-3,74
С (-3;-3,74)
6. Наконец, обратимся кисследованию данной функции на выпуклость, вогнутость и существование точекперегиба.
С этой целью найдемпроизводную второго порядка данной функции:
у=(у)//=/>=/>=
/>= />=
=/>=/>=/>
Решим затем уравнение у//= 0, эквивалентное квадратному уравнению:
/>
/>
/>
/>
его корни: х1= -5; х2 = 0,5, которые разбивают область определения функции натри интервала знакопостоянства второй производной: (-∞; -5), (-5; 0.5), (0.5;+∞).
Для определения знакапроизводной второго порядка в каждом из этих интервалов определим ее знак вкакой-либо точке соответствующего интервала:
f//(-6) = />=/>=/>
f//(0) =/>=/> > 0
f//(2) =/>=/>=/>
Из полученных неравенстввытекает, что график функции является вогнутым на интервале (-5; 0.5), и выпуклымна интервалах (-∞; -5) и (0.5; +∞) и значит точки D (-5; f(-5)) и Е (0.5; f(0.5)), являются точками перегиба графика данной функции. Осталось найтиординаты этих точек:
f (-5) =/>=/>= /> ≈-3,65
f (0.5) = =/> =/> ≈ -1,53
Точки D(-5;-3,65) и E(0,5; -1,53)
Учитывая результатыполного исследования, соединим непрерывной кривой все ранее отмеченные точкипредварительного чертежа так, чтобы эта кривая слева и справа неограниченноприближалась к асимптотам у=-3 и у=3
Списокиспользованной литературы:
1 Данко. П.Е. Попов А.Г., Кожевникова Т.Я., Высшая математикав упражнениях и задачах. Учебное пособие для вузов.М.: ОНИКС 21век, 2002.- 304с.
2 Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов: учебник длястудентов вузов по экономическим специальностям. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.-479 с.
3 Коломогоров А… Н., Абрамов А… М., Дудницын Ю.П… ИвлевБ.М., Шварцбурд С.И. Алгебра и начала анализа: Учебник.М.: Просвещение,1993.-320 с.
4 Кудрявцев Л.Д. курс математического анализа: Учебник длястудентов вузов. М.: высшая школа, 1989.-352 с.