Кафедра: Высшая математика
Реферат
по дисциплине Высшая математика
Тема: «Общее понятие определённогоинтеграла, его геометрический и механический смысл. Необходимое условиеинтегрируемости»
Тольятти, 2008.
Содержание
Введение
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
Определенный интеграл как предел интегральной суммы
Связь между определенным и неопределенным интегралами.Формула Ньютона-Лейбница
Свойства определенного интеграла
Геометрический смысл определенного интеграла
Механический смысл определенного интеграла
Необходимое условие интегрируемости
Список использованной литературы
Введение
Интеграл (от лат.integer – целый), одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи спотребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (например,находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скоростиэтой точки), а с другой – измерять площади, объёмы, длины дуг, работу сил заопределённый промежуток времени и т.п. Соответственно с этим различаютнеопределенные и определённые интегралы, вычисление которых является задачей интегральногоисчисления.
Определенныйинтеграл – одно из основных понятий математического анализа – является мощнымсредством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах.
Задачи,приводящие к понятию определенного интеграла
Задача опройденном пути.
Пустьизвестен закон изменения мгновенной скорости v = v(t). Определим путь, пройденный придвижении точки за промежуток времени от t = α до t =β. Движение в общем случае предполагается неравномерным.
Поступимследующим образом.
1). Разобьемвесь промежуток времени на n произвольных интервалов
t0 = α
где ti – ti-1 = Δti. На произвольном участке [ti-1, ti] будем считать движение близким кравномерному с постоянной скоростью v = v(τi), ti-1 ≤ τi ≤ti. Тогда за время Δti пройденный путь приближенно равен si = v(τi)Δti. Результат справедлив для каждогоинтервала (i = 1, 2, …, n).
2). Еслиуказанные интервалы достаточно малы, то весь путь приближенно равен сумме:
/>
Эта формулатем точнее, чем мельче разбиение данного промежутка времени.
3). Дляполучения точной формулы пути перейдем к пределу, увеличивая число дроблений (n→∞) и бесконечноизмельчая сами интервалы. Обозначим λ = Δti, тогда
/>
Задача околичестве вещества, вступившего в реакцию.
Пустьскорость химического превращения некоторого вещества, участвующего в химическойреакции, есть функция времени v = v(t). Найти количество m вступившего в реакцию вещества за промежуток времени от t0до T.Проделаем последовательно те же операции, что и при решении предыдущей задачи.В результате получим:
/>
Работапеременной силы.
Пустьматериальная точка под действием постоянной силы F перемещается по направлению этой силы. Если пройденный путьравен s, то, как известно из курса физики,работа Р этой силы F вычисляется поформуле: Р = FS.
Пусть теперьматериальная точка движется по оси Ох от точки А(а) до точки B(b) (b>a) под действием переменной силы,направленной по Ох и являющейся функцией от х: F = f(x).
Длянахождения работы Р в этом случае разобьем отрезок [a; b] точками a = x0
/>,
где τi – одна из точек сегмента [xi-1, xi]. Отсюда:
/>
Задачи оплощади криволинейной трапеции.
Пусть напромежутке [a; b] задана функция f(x)≥0. Криволинейной трапециейназывается плоская фигура, ограниченная указанной кривой y=f(x), прямыми x=a,x=b и осью Оx. (рис. 1). Для вычисления ее площади проделаем несколько операций.
/>
Рис. 1.
1). Разобьемпромежуток [a; b] произвольными точками x0=a
2). На каждомотрезке [xi-1, xi] возьмем по произвольной точке ci,
xi-1
3). Площадьвсей заштрихованной ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников, равнасумме
/>
Площадь S криволинейной трапеции будет приближенно равна площадиступенчатой фигуры:
/>
Чем мельчеотрезки деления, тем точнее полученная фигура “отображает” криволинейнуютрапецию.
4). Заплощадь криволинейной трапеции принимают предел, к которому стремятся площадиступенчатых фигур, когда длины отрезков деления стремятся к нулю, а их числонеограниченно увеличивается (n→∞).Таким образом,
/>
Определенный интеграл как предел интегральной суммы
Естественныйход решения каждой из рассмотренных конкретных задач позволяет установить туматематическую операцию, с выполнением которой связано получение ответа во всехвопросах такого же характера.
Пусть наотрезке [a, b] задана непрерывная функция y=f(x).
1). Заданныйотрезок разделим на n промежутков(равных или неравных) точками
a=x0
причем длявсякого индекса i, принимающегоцелые значения от 1 до n,имеет место соотношение xi-1
x1 — x0= Δx1, x2 – x1 = Δx2, ..., xn – xn-1 = Δxn.
При этомобозначим длину наибольшего из них через λ.
2). В каждомиз этих промежутков выберем произвольное число ξi так, что xi-1≤ ξi ≤ xi., и по каждому такому числуопределим соответствующее значение функции f(ξi). Вычислим для каждого промежуткапроизведение f(ξi)Δxi.
3). Составимсумму таких произведений по всем nпромежуткам заданного отрезка:
/>
f(ξ1)Δx1+ f(ξ2)Δx2+ f(ξ3)Δx3+...+ f(ξn)Δxn= .
Такая сумманазывается интегральной суммой.
Построениеинтегральной суммы состоит в произвольном делении заданного отрезка [a, b] на частичные и произвольном выборе числа ξiна каждом отрезке.
4). Выполняетсядробление каждого из имеющихся отрезков на более мелкие так, что длинанаибольшего из них безгранично уменьшается (λ→0). При этоминтегральная сумма становится переменной величиной, имеющей конечный предел,если заданная функция непрерывна, а отрезок [a, b] конечен.
Этот пределназывается определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b].
Соответствующеематематическое выражение таково:
/>
/>
lim = λ→0
Знак ∫,представляющий растянутую S(начальную букву латинского слова «Summa»), символизирует здесь бесконечное увеличение числа слагаемыхинтегральной суммы. Буквы a и b, указывающие границы отрезка, накотором выполняется суммирование, называются пределами интегрирования.
Такимобразом, определенным интегралом функции от f(x) в границах от a до b называется предел интегральной суммы вида
/>
при условии,что длина наибольшего частичного отрезка стремится к нулю.
/>Выясним теперьвозможность непосредственного использования операции, которая привела к понятиюопределенного интеграла, для решения соответствующих задач. Ограничимся приэтом двумя примерами на вычисление площадей.
Пример 1.
Вычислитьплощадь, заключенную между прямой y=x, осью Ox и прямой x=1.
Решение. Таккак данная прямая пересекается с Ox вначале координат, то отрезок интегрирования здесь будет [0, 1].
1).Разбиением этого отрезка на nравных между собой частей получим точки деления с абсциссами:
/>
2). В каждомиз полученных n отрезков выберем правые концы, т.е.
/>
Так как f(x) = x, то
/>
и слагаемыеинтегральной суммы выразятся в виде
/>
где i – номер элементарного отрезка ипринимает значения от 1 до n.
3).Интегральная сумма выразится в виде
/>/>
(здесьприменена формула n членоварифметической прогрессии).
4). Находимпредел этой суммы при n → ∞:
/>
Такимобразом, искомая площадь равна 1/2 кв.ед. Проведенное вычисление, явноневыгодное из-за своей громоздкости, знакомит с операцией, составляющейсущность определенного интеграла.
Пример 2.
Вычислитьплощадь, ограниченную параболой y=x2, осью Ox ипрямой x=1.
Решение.
1). Разбиваяотрезок интегрирования [0, 1] на nравных частей, получим такие же абсциссы точек деления, как в примере 1.
2). В каждомиз частичных отрезков выберем снова правые концы:
/>
Так как f(x) = x2, то
/>
и слагаемыеинтегральной суммы выразятся в виде
/>
3).Интегральная сумма
/>
Помещенная вскобках сумма квадратов первых nчисел натурального ряда может быть преобразована по формуле, доказываемой вэлементарной алгебре:
/>
Отсюда
/>
4). Переход кпределу интегральной суммы при n → ∞дает S = 1/3. Таким образом, искомаяплощадь равна 1/3 кв.ед.
Выполненное вэтих двух примерах непосредственное вычисление определенных интегралов какпределов интегральных сумм
/> и />
оказалосьвозможным только благодаря простой структуре операции суммирования, да и то онопотребовало проведения сложных подсчетов. Надо отметить, что такие приемывычисления (здесь применен способ Архимеда) существовали до появления понятияинтеграла.
Поэтомуестественным развитием понятия определенного интеграла является выборцелесообразного способа его вычисления. Такой способ, оказывается, даетоперация интегрирования ввиду наличия связи между определенным интегралом иинтегралом неопределенным.
Связь между определенным и неопределенным интегралами.Формула Ньютона-Лейбница
Рассмотримкриволинейную трапецию (рис. 2), у которой правая граничная прямая незафиксирована. Площадь этой трапеции измеряется переменной величиной, зависящейот положения ее правой границы х. Пусть это будет некоторая функция Φ(х).Тогда справедлива следующая теорема.
/>
Рис. 2
Теорема.Функция Φ(х), выражающая площадь переменной криволинейной трапеции (сподвижной правой стороной), является первообразной для функции y = f(х), графиком которой является кривая, ограничивающая эту жетрапецию сверху.
По смыслуопределения первообразной запись
Φ(х) = ∫f(х)dx
будетоправдана, если мы докажем, что
Φ'(х) = f(х).
Доказательство.Дадим начальному значению х приращение Δх. Тогда функция, выражающаяплощадь криволинейной трапеции, получит приращение
ΔΦ(х)= пл. хММ1х1,.
Этоприращение площади (рис. 2) больше площади прямоугольника хМNх1, равной f(х)Δх, и меньше площадипрямоугольника xN1M1x1, равной
f(х+ Δх)Δх, т.е. f(х)Δх
Деление всехчленов неравенств на Δх > 0 дает
f(х)
Если теперьввести условие Δх → 0, то в силу непрерывности функции
у= f(х) />
Таким образом,отношение /> заключено между двумя переменными,имеющими общий предел при Δх → 0. Но из этого следует,
что />,
т.е.Φ'(х) = f(х).
Этимдоказано, что функция Φ(х), выражающая площадь криволинейной трапеции,является первообразной для f(х).
Выражениеэтой функции возможно в двоякой форме.
Исходя изтого, что рассмотренная ранее задача о площади криволинейной трапеции (сфиксированными границами) получает свое разрешение с помощью определенногоинтеграла, можно записать
пл. aABb = />
Вместе с темэта же площадь может быть выражена как частное значение функции Φ(х) при x = b, и тогда
Φ(b) = /> (1)
Аналогичноплощадь криволинейной трапеции (рис. 2) с переменной правой границей хвыражается в виде
Φ(х) = /> (2)
Этот интегралоказывается функцией от верхнего предела.
С другойстороны, если Φ(х), выражающая площадь aAMx, является первообразной для функции f(х), то можно представить ее в видеΦ(х)=F(х)+C, где F(х) –некоторая первообразная для той же функции.
Приравниваяпервые части равенств (1) и (2), получаем
/>= F(х) + C.
Дляопределения постоянной С используем то, что при х = а трапеция превращается вотрезок, и ее площадь оказывается равной нулю, т.е.
Φ(а) = F(а) + C = 0,
а отсюда С = −F(а) и, следовательно,
Φ(х) = />= F(х) −F(а).
Даваяаргументу х значение фиксированного верхнего предела, т.е. при x = b, мы получаем выражение определенного интеграла через значенияпервообразной в виде следующей формулы:
/>
Это – формулаНьютона-Лейбница. Она связывает определенный интеграл с неопределенным.
Длявычисления определенного интеграла эта формула обычно записывается в виде
/>
где знак />служитсимволическим обозначением разности между значениями первообразной функции F(b) и F(а).
Пример 1.
/>
Пример 2.
/>
Пример 3.
/>
Такимобразом, формула Ньютона-Лейбница используется для вычисления определенногоинтеграла так:
1). Находитсяпервообразная для данной подынтегральной функции.
2).Вычисляются частные значения первообразной подстановкой значений x = a и x = b, где b – верхний и a –нижний пределы интегрирования.
3).Определяется разность частных значений первообразной F(b) – F(а).
Свойстваопределенного интеграла
Доопределим понятиеопределенного интеграла при a ≥ b следующими равенствами:/> /> /> /> /> /> /> />
Сформулируем некоторыесвойства определенного интеграла в предположении, что подынтегральная функцияограничена на отрезке, по которому она интегрируется.
1). Если функцияинтегрируема на [a; b], то она интегрируема на
любом отрезке [x1; x2] />[a; b].
2). Для любых a, b и c
/>
3). Интеграл обладаетсвойством линейности: для любых функций f(x) и g(x) и любой постоянной A
/>
/>
4). Если f(x) и g(x)интегрируемы на [a; b], то f(x) · g(x) также интегрируема наэтом отрезке.
5). Если f(x) –периодическая функция с периодом T, то для любого a
/>
Для определенныхинтегралов верны также следующие оценки (предполагается, что функции f и gинтегрируемы на [a; b]).
1). Если f(x) ≥ g(x),то
/>
2). В частности, если f(x) ≥ 0,то
/>
3). Если f(x) ≥ 0для любого х /> [a; b] и существует х0/> [a; b]такое, что f(x0)>0, причем f(x) непрерывна в х0то
/>
4). |f(x)| интегрируемана [a; b], причем
/>
5). Если на отрезке [a; b]m ≤ f(x) ≤ M, то
/>
Геометрическийсмысл определенного интеграла
Понятие определенного интегралавведено таким образом, что в случае, когда функция y = f(x) неотрицательна на отрезке [a; b], где a
/>
численно равен площади S под кривой y = f(x) на [a; b] (рис. 3).
/>
Рис. 3
Действительно, пристремлении />кнулю ломаная (рис. 4) неограниченно приближается к исходной кривой и площадьпод ломаной переходит в площадь под кривой.
/>
Рис. 4
Учитывая сказанное, можноуказать значения некоторых интегралов, используя известные планиметрическиеформулы для площадей плоских фигур. Например,
/> /> /> и т.д.
(Первый из интегралов –площадь квадрата со стороной единичной длины; второй – площадь прямоугольноготреугольника, оба катета которого единичной длины; третий – площадь четвертикруга единичного радиуса).
Механическийсмысл определенного интеграла
Пусть материальная точкаМ перемещается под действием силы />, направленной вдоль оси Ох иимеющей переменную величину F = F(x), где х – абсцисса движущейся точки М.
Найдем работу А силы /> по перемещениюточки М вдоль оси Ох из точки х = а в точку х = b (a на этом отрезке изменяетсянезначительно. Ее можно приближенно считать постоянной и равной значениюфункции F = F(x) в произвольновыбранной точке х = ci/> [хi-1; хi]. Поэтому работа, совершенная этой силой на отрезке[хi-1; хi], равна произведению F(ci)∙Δхi. (Как работа постоянной силы F(ci) на участке [хi-1; хi]).
Приближенное значениеработы А силы /> на всем отрезке [a; b] есть
/>
Это приближенноеравенство тем точнее, чем меньше длина Δхi. Поэтому за точное значение работы А принимаетсяпредел суммы при условии, что наибольшая длина λ частичных отрезковстремится к нулю:
/>.
Итак, работа переменнойсилы />,величина которой есть непрерывная функция F = F(x), действующая на отрезке [a; b], равна определенному интегралу от величины F(x) силы, взятому по отрезу [a; b].
В этом состоитмеханический смысл определенного интеграла.
Аналогично можнопоказать, что путь S, пройденныйточкой за промежуток времени от t = a до t = b,равен определенному интегралу от скорости v(t):
/>
масса т неоднородногостержня на отрезке [a; b] равна определенному интегралу отплотности
γ(х): />
Необходимоеусловие интегрируемости
Теорема. Если функция y = f(x) непрерывна наотрезке [a; b], то она интегрируема на этом отрезке.
Приведем примернахождения определенного интеграла на основании определения.
Пример 1. Вычислить />
Решение. Запишемвыражение для интегральной суммы, предполагая, что все отрезки [хi-1; хi] разбиения имеют одинаковую длину Δхi, равную 1/n, где n –число отрезков разбиения, причем для каждого из отрезков [хi-1; хi] разбиения точка ξi совпадает с правым концом этого отрезка, т.е.
ξi = хi = />,
где i=1, 2, ..., n. (В силу интегрируемости функции у = х2, выбор такого«специального» способа разбиения отрезка интегрирования на части и точек ξ1,ξ2, ..., ξп на отрезках разбиения не повлияетна искомый предел интегральной суммы). Тогда
/>
Известно, что суммаквадратов чисел натурального ряда равна
/>
Следовательно,
/>
Анализ приведенногопримера показывает, что успешное решение поставленной задачи оказалосьвозможным благодаря тому, что интегральную сумму удалось привести к виду, удобномудля нахождения предела. Однако такая возможность существует далеко не всегда,поэтому долгое время задача интегрирования конкретных функций оставаласьзадачей чрезвычайно сложной. Установление связи между определенным инеопределенным интегралами позволило разработать эффективный метод вычисленияопределенного интеграла.
Списокиспользованной литературы
1). Баврин И.И. Высшая математика.Учебник для педагогических институтов. Москва: Просвещение, 1993 год, 319 стр.
2). Кремер Н.Ш., Путко Б.А., ТришинИ.М., Фридма М.Н. Высшая математика для экономистов. Москва: Юнити, 2000 год,271 стр.
3). Маркович Э.С. Курс высшейматематики с элементами теории вероятностей и математической статистики.Москва: Высшая школа, 1972 год, 480 стр.