Общая характеристика аксиоматики Гильберта

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АКСИОМАТИКИ ГИЛЬБЕРТА
Имеется принципиальная разница впостановке вопроса об аксиоматическомобосновании геометрии у Гильберта от той поста­новки, которая имела место до него.
Евклид в своих «Началах» наметил идеалстрого логического изложениягеометрии, хотя и не смог до конца выполнить свой замысел. Согласно этому замыслунеобходимо строго отделить ми­нимум того, что должно быть заимствовано и абстрагировано из опыта игеометрической интуиции и с полной ясностью и от­чётливостью высказано в аксиомах, от того, чтодолжно быть выве­дено изаксиом исключительно логическим путём без всяких обра­щений к очевидности иопыту. Весь длительный путь развития гео­метрии от Евклида до Гильбертапоказывает, насколько было труд­но осуществить эту задачу. Трудность её таилась в трудности пре­одоления влияния очевидности, наглядныхпредставлений на логическийпроцесс при выяснении необходимых и достаточных первоначальных предпосылок геометрии.
Наше пространственное воображение,наглядные представле­нияи конкретное понимание геометрических понятий являются весьма ценным и необходимым спутникомнашего мышления. Они влогическом процессе играют наводящую роль и служат как бы предварительнойориентировке в изучаемых явлениях. Они дают возможность охватить эти явления в целом и наметить тотпуть, по которому следуетнаправить логические рассуждения для окон­чательного доказательства истины и проверки фактов,добытых при помощинаблюдения и опыта.
Короче говоря, «созерцание намечает,логика проверяет; со­зерцаниепредсказывает, логика устанавливает; созерцание откры­вает, логика доказывает» (В. Ф. Каган).
Одна логика не может нам объяснить, почему мы в качестве аксиом выбираем то или иноепредложение, почему мы выбираем .для изучения то или иное понятие. Первостепенную роль при вы­боре аксиом и геометрических понятийиграют опыт, индукция, наглядныепредставления, чертёж. Они играют большую роль также в нахождении самого пути логическогодоказательства, впостроении той цепи умозаключений и аргументов, которые обос­новывают доказываемое предложение. Одналогика не может объяснить,почему при доказательстве избираются эти построения и преобразования, а не другие. Здесь мыимеем широкое поле дей­ствиягеометрической интуиции, наглядности, догадки*).
Во-первых, если наши геометрическиепонятия о точке, прямой ит. д. неразрывно связаны с определёнными конкретными нагляд­ными представлениями, то это ведёт к потереобщности и ксужению поля применимости геометрических истин и логи­ческих рассуждений, ибо создаётсявпечатление, что эти истины и рассуждения справедливы только по отношению к тем объектам реальногомира, которые отражаются в наших наглядных пред­ставлениях, хотя, возможно, они имеют силу и в отношенииобъек­тов другой природы.Таким образом, из-за деревьев мы не видим леса.
Во-вторых, при строго логическомпостроении геометрии в гео­метрическихпонятиях и аксиомах должны найти своё выражение лишь те свойства и отношения объектов реального мира,которые являютсясущественными для логических рассуждений. Только эти существенные признаки и должны быть отмечены ваксиомах и определениях.Все остальные признаки и стороны этих объектов должны быть оставлены в стороне, как не играющие никакойроли в рассуждениях и неимеющие значения для дедукции. Мы должны от них отвлечься. Между тем если наши геометрическиепонятия срастаются с обычными их наглядными конкретными представле­ниями, тоуказанные существенные свойства сливаются в нашем представлении со многимидругими несущественными для логиче­ских выводов свойствами. Эго чрезвычайно затрудняет выделение существенных для дедукции признаков иустановление их логи­ческихзависимостей. Вместе с тем чрезвычайно затрудняется вы­деление минимума исходных предпосылокгеометрии и проверка их нанепротиворечивость, независимость и полноту.
Поэтому, если мы ставим перед собойзадачу составить полный переченьаксиом геометрии, а также разработать принципы про­верки их на непротиворечивость инезависимость и сохранить общностьгеометрических истин, мы прежде всего должны поза­ботиться о максимальном устранениивлияния наглядных пред­ставленийна наши рассуждения. Мы должны отвлечься от всего несущественного ибезразличного для логического построения гео­метрии, добиваясь наибольшейобщности и применимости полу­чаемых выводов к изучению объектов реального мира.
И вот Гильбертустановил совершенно новую точку зрения на .основные' понятия и аксиомы геометрии Если до Гильберта подаксиомами геометрии понимались со­вершенно конкретные познавательные истины,относящиеся к вполне определённымконкретным объектам — точкам, прямым, плоскостями т. Д., которые связаны с вполне определёнными про­странственными представлениями, то для Гильбертаосновные по­нятия геометрии (аследовательно, и производные) не связываются ни с какими конкретными объектами, они вводятся без пр я м ы хопределений и всё, что о них необходимо знать, излагается в" аксиомах. Аксиомы Гильбертаявляютсяв этомсмысле косвенными оп ре делениями основных понятий.
Гильберт, начинаяизложение своих «Оснований геометрии», предполагает существование трёх различныхсистем вещей, при­рода которых безразлична: «вещи первой системы мы называем точкамииобозначаем их А, В, С,...;вещивторой системы называем прямымии обозначаем их а, Ь, с,...;вещитретьей системы мы называем плоскостямии обозначаем их а, р, 7, •••'. точкиназываются также  э л е ментами линейной геометрии,точки и прямые называются элементами плоской геометрии и, наконец, точки, прямые и плос­кости называются элементамипространственной геометрии или элементамипространства».
Далее,предполагается, что «точки, прямые, плоскости нахо­дятся в некоторыхвзаимных отношениях, и обозначаем эти отно­шения словами «лежат», «между»,«параллельный», «конгруэнтный» и«непрерывный)4; точное и для математических целей полное опи­сание этих отношений даётся аксиомамигеометрии».
Таким образом, всистеме Гильберта основные понятия и акси­омы представляют собой дальнейший процессабстракции от вещей реального мира, они становятся абстрактными формами сперемен­нымсодержанием. Теперь уже слова «точка», «прямая», «плоскость» и т. д. обозначают необязательно те объекты, которые под этими словами привыкли понимать обычно, а могутобозначать объекты любой другой природы, лишь бы отношения между ними «лежит», «между», «конгруэнтный»,также понимаемые определённым об­разом, удовлетворяли той же системе аксиом.Эго значит, что мы теперь абстрагируемся от качественной природы геометрических объектов, для насважно лишь, чтобы структура отношений между ними была такова, что для них выполняются всеаксиомы Гиль­берта. Но раз для различных систем объектов будут справедливы эти аксиомы, то и вселогические следствия из них, т. е. все теоремы геометрии, остаютсясправедливыми, независимо от природы рас­сматриваемых объектов, т. е. отпадает необходимостьповторять доказательстватеорем для каждой системы объектов.
Это приводит нас к возможности различныхистолкований од­ной и той же геометрии. Удаляя из геометрии всё, что связано с обычнымипространственными представлениями, и оставляя лишь её логический скелет,мы получаем возможность заполнять его различным конкретным материалом.
«Пространственноепредставление играет чрезвычайно большую роль при самом построении аксиоматики. Оноопределяет, что должно быть охвачено системой аксиом, и указывает путь, на ко ко­тором могут бытьполучены новые результаты, новые абстрактные формулировки.
Однако в готовой ужесистеме ссылки на ту или иную конкрет­ную интерпретацию не должны иметь место.Пространственное представление можно сравнить в этом отношении с лесами, необ­ходимыми при постройкеаксиоматического здания, но которые убираются, когда оно закончено» (Р. Б а л ь д у с Неевклидова геометрия, ГТТИ, 1933).
Обычное понимание геометрическихэлементов и отношений меж­ду ними является лишь одним из таких возможныхистолкований. Так, например, аксиома «Через всякие две точки проходит одна и только одна прямая»может быть истолкована обычным образом. Но мы можем придать ей другой смысл, понимаяпод «точками» парывещественных чисел (х, у), под «прямой» — уравнениеах + + by+£==0,а под термином «прямая проходит через точку» — тот факт, что числа х, у удовлетворяютуказанному уравнению. Можно также под«точками» понимать обычные прямые, проходя­щие через данную точку О, апод «прямой» — плоскость, проходя­щую черездве такие прямые, и опять указанная аксиома в этом новом истолковании остаётся справедливой.
Другим примером можетслужить выполнение всех аксиом евклидовой планиметрии на орисфере в системе орициклов. Пони­мая под «плоскостью» орисферу, под «прямой» —• орициклна ори­сфере, под «точкой» — точку на орисфере, мы получаем новое ис­толкование всех аксиом Евклида.
Этот процесссовершенно аналогичен процессу абстрагирования , в алгебре, когда, например, под символом а + Ь спервапонимает­ся лишь обычное сложение двухконкретных чисел, а затем сложе­ние любых чисел, а затем под а, Ь и+ понимаются объекты и от­ношения другойприроды, как, например, сложение векторов, мат­риц, тензоров и т. д.
Однако не нужнодумать, что при таком абстрактном понима­нии геометрия теряет реальную почву.Наоборот, возможность различных реализаций, разнообразных конкретныхистолкований геометрии расширяет область её приложений.
Если раньше геометрия развиваласьприменительно к объектам конкретной области, то теперь, когда в аксиомах несообщается, о каких объектах идёт речь и каков конкретный смысл отношений, в которых эти объектывыступают, мы в геометрии изучаем свой­ства количественных отношений ипространственных форм во всей их общности. Оказалось, таким образом, что хотя геометриябыла изобретенаи развита с той целью, чтобы изучить свойства физическогопространства, но её истины имеют, однако, более общее значение иостаются в силе и для многих объектов, которые каче­ственно отличны от объектов, связанныхс обычными нашими гео­метрическимипредставлениями.
Огромная степеньабстракции не уменьшает, а неизмеримо умножает возможности применения геометрии к изучению зако­номерностей реального мира. «Мышление, восходя отконкретного к абстрактному, неотходит,— если оно правильное, от истины, а подходит к ней… Все научные (правильные, серьезные, не вздор­ные) абстракции отражают природу глубже, вернее,полнее» (В. И. Ленин).
Таковы общиезамечания по вопросу о понимании сущности основных понятий и аксиом в системе Гильберта, которыечитатель должен иметь постоянно в виду.
С указанной точкизрения понятно, что, строго говоря, при построении геометрическойабстрактно-логической системы чер­тежи и обычные пространственные представленияявляются лишь вспомогательными средствами; они облегчают находить путь ло­гическихрассуждений и позволяют проверить правильность ло­гического выводана конкретном материале.
Изучениеаксиоматики Гильберта необходимо связать с двумя важнейшими задачами. Во-первых,читатель должен получить ясное представление о строго научном построении геометриина точноочерченной аксиоматической базе; во-вторых, будущий пе­дагог должен врезультате этого изучения получить отчётливое понимание того, насколько школьныйкурс геометрии отличается от строго логического изложения геометрии. Он увидит, чтоцелый рядпредложений, которые со всей тщательностью, до тонких де­талей доказываютсяпри строго логическом изложении, в школь­ном преподавании принимаются бездоказательства.просто как са­мо собой разумеющиеся. Таковы, к примеру, предложенияо том, что точка делит прямую на два луча, что прямая делит плоскость на двеполуплоскости, что прямая содержит бесконечное множество точек, что простоймногоугольник делит плоскость на внутреннюю и внешнюю области, что внутренний луч, выходящий извершины треугольника, пересекаетпротивоположную сторону треуголь­никаи т. д. Знать это различие чрезвычайно важно для учителя. Школьный курсгеометрии по необходимости приспособляется к возрастнымособенностям учащихся, к требованиям практики и психологии, а поэтому не может совпадать со строго логическим курсом. Но знание строго научной трактовки вопросовгеометрии предостережёт педагога отряда ошибок и слепого следования учебнику;учитель будет понимать, где даётся мнимое доказатель­ство," а гдедействительно дан строгий вывод, где даётся простое описание, а где настоящееопределение; он не будет видеть полного доказательстватам, где имеется неизбежный пробел, и будет от­крыто и сознательно, ане слепо допускать в случае необходимости 1акиеотступления.
 Аксиомы Гильберта Делятся на 5 групп:
 Группа I. Аксиомы связи (соединения, сочетания)(8аксиом).
 Группа II. Аксиомы порядка или расположения (4аксиомы).
 Группа III. Аксиомы конгруэнтности (5 аксиом).
     ГруппаIV. Аксиоманепрерывности (1 аксиома).
 Группа V. Аксиома параллельности (1 аксиома).
 Всего 19 аксиом. Заметим, что в отношениипорядка и содер­жания аксиом групп IVи Vмыдопускаем некоторые отступления от изложения у Гильберта *).
§ 3. ГРУППА I. АКСИОМЫСОЕДИНЕНИЯ
Как уже говорилось,у Гильберта основными элементами гео­метрии являются неопределяемые понятия«точка», «прямая», «плоскость». Между этими элементами в первой группе аксиомустанавливаетсянекоторое отношение, выражаемое неопределяе­мым понятием «лежать на», связывающимточку и прямую, а также точку и плоскость. Так, мы говорим: «Точка лежит на пря­мой или наплоскости». Но то же отношение выражается словами: «прямая проходитчерез точку» или «плоскость проходит через точку». Для единообразия терминологиивводится единый термин «принадлежности»или «и н ц и де н т н о с т и». Мы говорим: «Точка и прямая принадлежат друг другу илиинцидентны друг другу». При этомникакого конкретного смысла в понятие «принадлежности» или «инцидентности» мыне вкладываем, это может быть любое отношение между элементами геометрии, лишь бы оно удовлетворяло аксиомам первой группы.Аксиомы соеди­нения представляют собой косвенное определение «понятия инци­дентности.
Мы всё же наряду сэтими терминами будем употреблять при­вычные выражения, связанные с обычныминаглядными представ­лениями: «точка лежит на прямой», «прямая проходит черезточку» и т. д. Будем также говорить: «на прямой а существует точка Л». Если точка А принадлежитпрямой а и прямой Ь, то мы также будем говорить: «Прямые а и dимеют общую точку Л» или «Пря­мые а и dпересекаются в точке A». Если прямая а принадлежит двум точкам А и В, томы будем говорить: «Прямая проходит через точки А и В или соединяет точки Aи В».
Формулируем теперь аксиомы первой группы.
I.1.Д л я любых двух точек А и В с у ще с т в у е т прямая, принадлежащая каждой из  них.
(В обычнойтерминологии: через любые две точки А и В прохо­дит прямая.)
I.2.С у щ е с т в у е т не болееоднойпрямой, принадлежащеи каждойиз  двухданны х 
т о ч е к А и В.
Если аксиома I.1 утверждает, что через две точки проходит не менее одной прямой, то аксиома I.2 утверждает, что через две точки проходит не более одной прямой. Отсюданепосредственно следует теорема: «Через любые две точки проходит одна и толькоодна пря­мая, т. е. прямая вполнеопределяется двумя точками». Эту прямую .можно обозначать через АВ или В А.
   I.3. На каждой прямой существуют по крайней мере две точки.Существуют по меньшей мере триточки, не принадлежа­щие однойпрямой.
Аксиомы 11 3 устанавливаютсвязь между понятиями «точка» и «прямая». Следующие аксиомы выражают связимежду этими понятиями и понятием «плоскость».
I4.Для любых трёх точек А, В, С, к е принад­лежащиходнойпрямой,существуетплос­кость,принадлежащаякаждой из этихто­чек; каждой плоскостипринадлежит по меньшей мереодна точка.
I5.Каковы бы ни были три точки А, В, С, не принадлежащие одной прямой, сущест­вуетне болееоднойплоскости,принадле­жащейкаждой из трёхточекА, В, С.
Изаксиом I4и I5непосредственно вытекает предложение:
Теорема. «Черезвсякие три точки А, В, С, не лежащие на од­ной прямой,проходит одна и только одна плоскость». Эту плос­кость можно обозначить через»ABC.
I6. Еслидве точкиAи В прямойа  принад­лежат п л о с к о с т и  а, т о и каждая точкапря­мой  а  принадлежитплоскостиа.
Определение. Относительно прямой а,каждая точка которой принадлежит плоскостиа, будем говорить, что «прямая а принад­лежит плоскости а» или что «прямая а лежит на плоскости а» или что «плоскость а проходит через прямую а».
Таким образом, понятие «принадлежности»в отношении прямой и плоскости являетсяопределяемым понятием.
I7.  Если  двеплоскости  а и (3 имеют общую
точку A, то ониимеют по меньшеймереещё
однуобщуюточкуВ.
I8.  Существуют   по  меньшей  меречетыре
точки,не  принадлежа щ и е  однойплоскости.
Аксиомы11-3  называются   плоскостными,   аксиомы
I4_8—пространственными.
Обратим внимание на то, что аксиомы первой группы обеспе­чивают существование на прямой лишь двух двух точек, существование трёх точек, не лежащих на одной прямой, и существование лишь одной точки,лежащей на плоскости. Таким образом, пока наши прямые и плоскостичрезвычайно бедны точками. Если бы мы ис­ходилииз наглядных представлений, то мы неизбежно включили бы в аксиомытребование существования на прямой и плоскости бесконечного всюду плотногомножества точек. Теперь же, посколь­ку это требование отсутствует,существование бесконечного мно­жества точекна прямой должно быть строго доказано.
Заметим ещё, чтоаксиомы 11—4 соответствуют первому посту­лату Евклида.Аксиом, соответствующих остальным аксиомам первой группы, у Евклида нет.
Следствия аксиом соединения
Рассмотрим теперь несколько теорем,которые могут быть до­казаны с помощью лишьодних аксиом первой группы.
Теорема 3. 1. Две прямые не могут иметь болееодной общей точки.
Доказательство:
Предположим, чтодве различные прямые а и Ь имеют две общие точки А и В. Нопо аксиоме I.2 существует не более одной прямой, проходящей через точки Aи В. Следовательно, прямые а и Ьсо­впадают, что противоречит условию.Таким образом, две прямые а и dлибо вовсе не имеют общих точек, либо имеют только одну общую точку.
 Теорема 3. 2. Две плоскости или не имеют ни одной общей точ­ки, или имеют общую прямую, на которой лежат всеобщие точки этих двух плоскостей.
Доказательство:
Пусть две различные плоскости Mи V имеют общую точку A. Тогда у них существует по меньшей мере ещё одна общая точка В (аксиомаI7). Точки Aи В определяют единственную прямую,про­ходящую через эти точки (аксиомы I.1—I.2). Эта прямая AВ принад­лежит каждой из плоскостей аир(аксиома I6). Никакихдругих общих точек плоскости Mи Vне имеют, ибоесли предположить противное, т. е. что существует общая точка С плоскостейVи M, не лежащая на прямой AВ, то в силу аксиом I4_5 существовала бы лишь одна плоскость AВС, проходящаячерез точки A, В, С, а по­тому плоскости VиMдолжны совпасть,что противоречит условию.
Теорема 3.3. Плоскостьи не лежащая на ней прямая не могут иметьболее одной общей точки.
Доказательство:
Если предположить,что прямая а, не лежащая в плоскости M, имеет с ней двеобщие точки Aи В, то по аксиоме I6каждая точкапрямой а должна лежать в плоскости M, т. е. прямая а лежит в плоскости M, что противоречит условию.
Теорема 3.4. Черезпрямую и не лежащую на ней точку про­ходитодна и только одна плоскость.
Доказательство:
Пусть дана прямая aи не лежащая на ней точка А, Напрямой aсуществуютпо меньшей мере две точки В и С (аксиома 13). Точки А, В иС не лежат на одной прямой.
В самом деле, если допустить противное,то проходящая через нихпрямая должна совпасть с прямой а, так как в силу аксиом I.1-I.2 существует лишь единственная прямаяа, проходящая через точки В и С.Но в таком случае прямая а, проходит через точку А, что противоречит условию. Итак, точки А, В иС не лежат на од­ной прямой, а потомучерез них проходит единственная плоскость а (аксиома 14 и 15).Плоскость а, проходя через точки В и С прямой а, проходит черезпрямую а (аксиома 16). Итак, плоскость а про­ходит через прямую а и точку А.
Теорема 3.5. Через две прямые, имеющие общую точку, прохо­дит одна и только одна плоскость.
Доказательство:
Пусть а и Ь — две прямые с общей точкой С. Напрямой Ь су­ществует по меньшей мереещё одна точка В, отличная от С (ак­сиома Is). Точка В не лежит на прямой а, ибо впротивнем случае прямые а и Ь, имеяобщие точки В и С, совпадали бы в силу акси­ом Ii_2.На основании теоремы 3.4 через прямую а и точку В проходит одна и только одна плоскость а. Этаплоскость проходит через точки С и В, а следовательно, и черезпрямую Ь (аксиома 16/).
По аксиоме I4на каждой плоскости существует по меньшей мере одна точка; теперь мы можем доказать существованиена плоскости трёх точек.
Теорема 3.6. На каждой плоскости существуют по меньшей мере три точки, не лежащие на одной прямой.
Доказательство:
Пусть дана плоскость M.По аксиоме I4на плоскостисуществует точка А. По аксиоме I3существуют три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Если точки В и С лежат наплоскости M, то тео­ремадоказана. Если С не лежит, а В лежит на плоскости M, то найденавторая точка В, лежащая на плоскости M. Если ни В, ни С не лежат на плоскости M, то три точки A, В и С, не лежащие на одной прямой, принадлежат одной итолько одной плоскости V(аксиомы I4_5).Плоскость, имея с плоскостью а общую точку A,имеет с ней ещё одну общую точку D(аксиома 17). Остаётся дока­зать существование ещё одной точки на плоскости а.
По аксиоме I8существует точка М,не лежащая в плоскости V.
Точки A, В и М не лежат на одной прямой, ибо прямая AВ лежитв плоскости  V(aксиомаI6), а точка М нележит в этой плос­кости. Если точка М лежитна плоскости M, то теорема доказана. Еслиточка М не лежит на плоскости M, то через три точки A, Bи М, нележащие на одной прямой, проходит единственная плос­кость I(аксиомы14-8), имеющая с плоскостью а одну общую точку А.  Поаксиоме 17 плоскости к и у имеют ещё одну общую точку F. Три точки А, Dи Fплоскости Mне лежат на одной пря­мой. Действительно, если бы A, Dи Fпринадлежали бы одной прямой, то, проходя через точки Aи Dплоскости I.3, эта прямая поаксиоме I6лежала бы вплоскости V, а проходя через точки Aи F, ока принадлежала быплоскости у, т. е. эта прямая была бы общейпрямой плоскостей Vи M.Кроме того, точка В, не лежащая на этой прямой (ибо она не лежит в плоскости M), также является общей точкой плоскостей (В и у. По теореме 3.4 плоскости и  долyна насовпасть и, следовательно, точка М должна лежать плоскости V. Полученное противоречие и доказывает,что точки A, Dи Fне лежат на. одной прямой.
Как впоследствии будет доказано, при помощи одних лишь аксиом соединения нельзя доказатьсуществование бесконечного множестваточек у прямой или плоскости. Но если мывоспользуемся аксиомами следующей группы, аксиомами по­рядка, то это окажется возможным.
 
§ 4. ГРУППА IIАКСИОМЫ ПОРЯДКА
В аксиомах второй группы описываютсяосновные свойства не­определяемогопонятия «лежать м е ж д у», выражающего не­которое отношение трёхточек,лежащих на одной прямой.Напоминаем ещё раз, что никакого конкретного со­держания и наглядного представления мы с термином«лежать между» не связываем.
II1. ЕслиточкаВ лежит между точкой Aи точкой С, то A, В, С— различные точки одной прямой иВ лежит такжемежду С и заметим, что в этой аксиоме фигурируют три точки прямой, одна ко их существование не постулируется, а даётсяусловно («если...»). В следующейаксиоме прямая обогащается ещё одной точкой.
  II 2. Если A и В — две точки, то на прямой ЛВ всегда существует по меньшей мере одна такая точка С, что В лежит между A и С.
II 3. Из трёх точек прямой не более одной точки лежит между двумя другими.
Эта аксиома означает, что для трёхточек А, В, С прямой не может быть одновременно, чтобы В лежала между Aи С, Aле­жала между В и С и С лежала между Aи В. Может иметь место не более одного из указанныхположений. Однако будет ли обязательно иметь место одно из них, об этом ваксиоме не гово­рится ибудет впоследствии доказано.
Заметим, что аксиома II3означает незамкнутостьпрямой.Если точки A, В и С лежат, например,на окружности, то каждая из этих точек, будет лежать между двумя другими.
Определение. Система двух точек прямой Aи В называется отрезком ABили ВA; точки Aи В называются концами отрезка;точки, лежащие между А и В (еслитакие точки существуют), на­зываются точками отрезка АВ или внутреннимиточками отрезка АВ;все остальные точки прямой АВ называются в не ш­ нимииточками к отрезку АВ.
Заметим, что аксиомы II.1-3не  утверждают существования
внутренних точек отрезка, но из аксиомыП2 вытекает, что для всякого отрезка существует по крайней мере одна внешняя точка.
Аксиомы  III.1-3 называются линейными  аксиомами порядка;
следующая  аксиома является  плоскостной.
П4. (Аксиома Паша.) Пусть А, В, С — т р и  т о ч