Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
О сверхразрешимости некоторых классов
факторизуемых групп
Курсовая работа
Исполнитель:
Студентка группы М-31
____________ Леванюк А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент
____________ Скиба М.Т.
Гомель 2005
Содержание
Перечень условных обозначений
Введение
1 Факторизуемые группы с -перестановочными подгруппами
2 Факторизуемые группы с -перестановочными силовскими подгруппами
Заключение
Литература
Перечень условных обозначений
В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются обозначения, принятые в книгах. Буквами />обозначаются простые числа.
Будем различать знак включения множеств />и знак строгого включения />;
/>и /> — соответственно знаки пересечения и объединения множеств;
/>— пустое множество;
/>— множество всех />для которых выполняется условие />;
/>— множество всех натуральных чисел;
/>— множество всех простых чисел;
/>— некоторое множество простых чисел, т.е. />;
/>— дополнение к />во множестве всех простых чисел; в частности, />;
примарное число — любое число вида />;
Пусть /> — группа. Тогда:
/>— порядок группы />;
/>— порядок элемента />группы />;
/>— единичный элемент и единичная подгруппа группы />;
/>— множество всех простых делителей порядка группы />;
/>— множество всех различных простых делителей натурального числа />;
/>--группа — группа />, для которой />;
/>--группа — группа />, для которой />;
/>— подгруппа Фраттини группы />, т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы />;
/>— подгруппа Фиттинга группы />, т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы />;
/>— наибольшая нормальная />-нильпотентная подгруппа группы />;
/>— коммутант группы />, т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы />;
/>— />-ый коммутант группы />;
/>— наибольшая нормальная />-подгруппа группы />;
/>— />--холловская подгруппа группы />;
/>— силовская />--подгруппа группы />;
/>— дополнение к силовской />--подгруппе в группе />, т.е. />--холловская подгруппа группы />;--PAGE_BREAK--
/>— группа всех автоморфизмов группы />;
/>— />является подгруппой группы />;
/>— />является собственной подгруппой группы />;
/>— />является максимальной подгруппой группы />;
нетривиальная подгруппа — неединичная собственная подгруппа;
/>— />является нормальной подгруппой группы />;
/>— подгруппа />характеристична в группе />, т.е. />для любого автоморфизма />;
/>— индекс подгруппы />в группе />;
/>;
/>— централизатор подгруппы />в группе />;
/>— нормализатор подгруппы />в группе />;
/>— центр группы />;
/>— циклическая группа порядка />;
/>— ядро подгруппы />в группе />, т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с />в />.
Если />и /> — подгруппы группы />, то:
/>— прямое произведение подгрупп />и />;
/>— полупрямое произведение нормальной подгруппы />и подгруппы />;
/>— />и />изоморфны.
Группа />называется:
примарной, если />;
бипримарной, если />.
Скобки />применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
/>— подгруппа, порожденная всеми />, для которых выполняется />.
/>, где />.
Группу />называют:
/>-замкнутой, если силовская />-подгруппа группы />нормальна в />;
/>-нильпотентной, если />-холловская подгруппа группы />нормальна в />;
/>-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо />-группы, либо />-группы;
/>-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо />-группой, либо циклической группой;
нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;
метанильпотентной, если существует нормальная нильпотентная подгруппа />группы />такая, что />нильпотентна.
разрешимой, если существует номер />такой, что />;
сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.
Группа Шмидта — это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.
Добавлением к подгруппе />группы />называется такая подгруппа />из />, что />.
Минимальная нормальная подгруппа группы /> — неединичная нормальная подгруппа группы />, не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы />.
Цоколь группы /> — произведение всех минимальных нормальных подгрупп группы />.
/>— цоколь группы />. продолжение
--PAGE_BREAK--
Экспонента группы /> — это наименьшее общее кратное порядков всех ее элементов.
Цепь — это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп — это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.
Ряд подгрупп />называется:
субнормальным, если />для любого />;
нормальным, если />для любого />;
главным, если />является минимальной нормальной подгруппой в />для всех />.
Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Также обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:
/>— класс всех групп;
/>— класс всех абелевых групп;
/>— класс всех нильпотентных групп;
/>— класс всех разрешимых групп;
/>— класс всех />--групп;
/>— класс всех сверхразрешимых групп;
/>— класс всех абелевых групп экспоненты, делящей />.
Формации — это классы конечных групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.
Пусть /> — некоторый класс групп и /> — группа, тогда:
/>— />--корадикал группы />, т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп />из />, для которых />. Если /> — формация, то />является наименьшей нормальной подгруппой группы />, факторгруппа по которой принадлежит />. Если /> — формация всех сверхразрешимых групп, то />называется сверхразрешимым корадикалом группы />.
Формация />называется насыщенной, если всегда из />следует, что и />.
Класс групп />называется наследственным или замкнутым относительно подгрупп, если из того, что />следует, что и каждая подгруппа группы />также принадлежит />.
Произведение формаций />и />состоит из всех групп />, для которых />.
Введение
Понятие />-перестановочной подгруппы оказалось полезным инструментом в вопросах классификации непростых конечных групп. Отметим, в частности, что классическая теорема Холла о разрешимых группах на языке />-перестановочных подгрупп может быть сформулирована так: Группа />разрешима тогда и только тогда, когда любые ее две силовские подгруппы />-перестановочны.Согласно теореме 3.8 из группа />является сверхразрешимой тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы />-перестановочны со всеми другими подгруппами этой группы. Новые характеризации в терминах />-перестановочных подгрупп для класов разрешимых, сверхразрешимых и нильпотентных групп можно найти в работах. Целью данной главы является нахождение новых признаков сверхразрешимости группы на основе условий />-перестановочности некоторых ее подгрупп.
1. Факторизуемые группы с />-перестановочными подгруппами
В данном разделе, развивая основные наблюдения работы, мы дадим новые критерии сверхразрешимости групп.
Пусть /> — группа и /> — ее подгруппа Фиттинга. Тогда />является сверхразрешимой в том и только том случае, когда />, где />и /> — такие сверхразрешимые подгруппы группы />, что каждая подгруппа группы />/>-перестановочна с каждой подгруппой группы />.
Доказательство. Необходимость. Пусть /> — сверхразрешимая группа. Пусть /> — минимальная нормальная подгруппа группы />. Тогда />для некоторого простого числа />. Пусть /> — такая максимальная подгруппа группы />, что />. Тогда />, />и />сверхразрешимы и каждая подгруппа группы />перестановочна с каждой подгруппой группы />.
Достаточность. Предположим, что /> — произведение сверхразрешимых подгрупп />и />, /> — подгруппа Фиттинга группы />и каждая подгруппа группы />/>-перестановочна с каждой подгруппой группы />, но />не является сверхразрешимой группой. Допустим, что /> — контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.
(1) Если /> — максимальная подгруппа группы />такая, что />и либо />, либо />, то />сверхразрешима. продолжение
--PAGE_BREAK--
Предположим, что />. Тогда по тождеству Дедекинда имеем
/>.
Так как
/>
то каждая подгруппа группы />/>-перестановочна с каждой подгруппой группы />. Поскольку />, то по выбору группы />мы заключаем, что />сверхразрешима.
(2) Для любой неединичной нормальной в />подгруппы />факторгруппа />сверхразрешима.
Ясно, что />. Пусть />и />. Так как по условию для некоторого />,
/>
то мы имеем
/>
/>
/>
где />. Это показывает, что каждая подгруппа группы />/>-перестановочна с каждой подгруппой группы />. Но поскольку /> — произведение сверхразрешимых подгрупп />и />, то по выбору группы />мы заключаем, что />сверхразрешима.
(3) Группа />имеет абелеву минимальную нормальную погруппу.
Допустим, что />. Тогда ввиду (2), /> — сверхразрешимая группа и поэтому />разрешима. Следовательно, />имеет абелеву минимальную нормальную погруппу.
Предположим теперь, что />. Пусть /> — минимальная нормальная подгруппа группы />. Тогда по условию />. Предположим, что />. Ввиду леммы мы видим, что />. Но />сверхразрешима, и поэтому минимальная нормальная подгруппа группы />, содержащаяся в />, абелева. Пусть теперь />. Предположим, что />и пусть /> — такая максимальная подгруппа группы />, что />. Согласно (1), />сверхразрешима, но />, и поэтому ввиду леммы, />. Это показывает, что минимальная нормальная подгруппа группы />, которая содержится в />, абелева. Пусть теперь />. Так как />, то каждая подгруппа группы />перестановочна с каждой погруппой группы />. Пусть /> — минимальная нормальная подгруппа группы />. Тогда />. Предположим, что />. Ввиду леммы мы видим, что />. Но />сверхразрешима, и поэтому минимальная нормальная подгруппа группы />, содержащаяся в />, абелева. Пусть теперь />. Предположим, что />и пусть /> — такая максимальная подгруппа группы />, что />. Согласно (1), />сверхразрешима, но />, и поэтому ввиду леммы, />. Это показывает, что минимальная нормальная подгруппа группы />, которая содержится в />, абелева. Следовательно, />. Поскольку />и />абелевы группы, то группа />имеет абелеву минимальную нормальную подгруппу.
(4) Группа />имеет единственную минимальную нормальную подгруппу />и />, где />и /> — такая максимальная в />подгруппа, что
/>и />.
Пусть /> — произвольная минимальная нормальная подгруппа группы />. Так как класс всех сверхразрешимых групп образует насыщенную формацию, то /> — единственная минимальная нормальная подгруппа в />, причем />. Пусть /> — максимальная подгруппа в />такая, что />и пусть />. Тогда по тождеству Дедекинда мы имеем />. Так как ввиду (3), />абелева, то />и />. Это показывает, что />. Следовательно, /> — сверхразрешимая группа и ввиду леммы />. Согласно (2) и выбора группы />, мы имеем />
(5) /> — наибольший простой делитель порядка группы />.
Предположим, что />не является наибольшим простым делителем порядка группы />, и пусть /> — наибольший простой делитель />. Пусть />и /> — такие максимальные подгруппы группы />, что />, />. Тогда />. По лемме, />и />не сопряжены в />. Так как ввиду леммы все максимальные подгруппы группы />, которые не содержат />, сопряжены в />, то либо />содержит />, либо />содержит />. Пусть, например, />и пусть /> — силовская />-подгруппа группы />. Предположим, что />. Согласно (2), />сверхразрешима и поскольку />максимальная подгруппа группы />, то по лемме /> — простое число. Значит, />содержит неединичную силовскую />-подгруппу />. Согласно лемме, />, и поэтому />. Это противоречие показывает, что />. Ясно, что />. Тогда />. Предположим, что />и пусть /> — максимальная подгруппа группы />, содержащая />. Ввиду (1), />сверхразрешима. Без ограничения общности, мы можем предположить, что />. Так как группа />сверхразрешима, то />, и поэтому />, что невозможно в силу (4). Значит, />. Следовательно, по тождеству Дедекинда мы имеем продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
и поэтому />. Пусть />, где />. Предположим, что />. Тогда />, и очевидно />. Это влечет />. Следовательно, />. Ясно, что />, и поэтому />. Пусть /> — максимальная подгруппа группы />. Тогда для некоторого />, мы имеем />. Так как />не является сверхразрешимой группой, то ввиду (4) мы видим, что />. Но поскольку />, то приходим к противоречию. Следовательно, />. Пусть /> — силовская />-подгруппа группы />и для некоторого />, />. Предположим, что />. Пусть /> — максимальная подгруппа группы />, содержащая />. Согласно (1), />сверхразрешима. Это влечет />, противоречие. Следовательно, />. Предположим теперь, что />. В этом случае />, и поэтому каждая силовская />-подгруппа группы />является силовской />-подгруппой группы />. Следовательно, />. Это противоречие показывает, что />, и поэтому /> — максимальная подгруппа группы />. Согласно лемме, мы имеем />, для некоторого />. Это противоречие показывает, что /> — наибольший простой делитель порядка группы />.
(6) /> — силовская />-подгруппа группы />.
Предположим, что это не верно. Тогда />. Отсюда следует, что />, и поэтому ввиду (5) и леммы, />, что невозможно в силу (4). Значит, /> — силовская />-подгруппа группы />.
(7) Заключительное противоречие.
Без ограничения общности мы можем предположить, что />. Так как />сверхразрешима, то ввиду (5), />имеет нормальную подгруппу />порядка />. Согласно (6), />Пусть /> — холлова />-подгруппа группы />и для некоторого />, />. Поскольку
/>
то />. Согласно (6), силовская />-подгруппа группы />содержится в />Тогда />и поэтому />что невозможно в силу (4). Это противоречие завершает доказательство теоремы.
Пусть /> — группа и /> — ее подгруппа Фиттинга. Тогда />является сверхразрешимой в том и только том случае, когда />, где />и /> — нильпотентные подгруппы группы />и />имеет такой главный ряд
/>
что каждая />/>-перестановочна с каждой подгруппой группы />, для всех />.
Доказательство. Необходимость. Предположим, что /> — сверхразрешимая группа. Тогда согласно лемме, />. Пусть />и /> — такая подгруппа группы />, что />и />для каждой собственной подгруппы />группы />. Тогда />. Так как подгруппы />и />нильпотентны, то /> — нильпотентная подгруппа. Рассмотрим главный ряд группы />, проходящий через />
/>
Поскольку /> — простое число для каждого />, то этот ряд является главным рядом группы />и каждая подгруппа />перестановочна со всеми подгруппами группы />для каждого />.
Достаточность. Предположим теперь, что />, где /> — нильпотентные подгруппы группы />и группа />имеет такой главный ряд
/>
что каждый член этого ряда />-перестановочен с каждой подгруппой группы />. Покажем, что />сверхразрешима. Предположим, что />не является сверхразрешимой группой, и пусть /> — контрпример минимального порядка. Без ограничения общности мы может предположить, что />и />для каждой собственной подгруппы />группы />. Для начала заметим, что поскольку группа />является произведением двух нильпотентных подгрупп, то по известной теореме Кегеля, группа />разрешима. Доказательство разобьем на следующие этапы.
(1) Для любой неединичной нормальной в />подгруппы />факторгруппа />сверхразрешима. продолжение
--PAGE_BREAK--
Ясно, что />где />и />нильпотентны. Рассмотрим в />ряд
/>
Без ограничения общности, мы можем предположить, что все члены этого ряда различны.
Пусть />. Так как по условию для некоторого />,
/>
то мы имеем
/>
/>
/>
где />и />. Это показывает, что каждый член ряда (2) />-перестановочен со всеми подгруппами группы />.
Поскольку />то />Так как /> — простое число, то />также является простым числом. Следовательно, ряд (2) является главным рядом группы />. Поскольку />, то по выбору группы />мы заключаем, что />сверхразрешима.
(2) Группа />имеет единственную минимальную нормальную подгруппу />и />, где />и /> — такая максимальная в />подгруппа, что />и />.
Пусть /> — произвольная минимальная нормальная подгруппа группы />. Так как класс всех сверхразрешимых групп образует насыщенную формацию, то /> — единственная минимальная нормальная подгруппа в />, причем />. Пусть /> — максимальная подгруппа в />такая, что />и пусть />. Тогда по тождеству Дедекинда мы имеем />. Так как />разрешима, то /> — элементарная абелева />-группа для некоторого простого />и поэтому />и />. Это показывает, что />. Следовательно, /> — сверхразрешимая группа и ввиду леммы />. Согласно (1) и выбора группы />, мы имеем />.
(3) />и />имеют не простые порядки.
Действительно, если для некоторого простого />, />, то в группе />каждая подгруппа группы />/>-перестановочна с каждой подгруппой группы />и поэтому по теореме, />сверхразрешима, что противоречит выбору группы />. Следовательно, />не является простым числом. Предположим теперь, что />. Допустим, что />. Тогда />. Так как />нильпотентна, то ввиду(2), /> — />-группа. Покажем теперь, что />. Предположим, что />. Так как />сверхразрешима, то />. Но поскольку />, то согласно лемме, />, и поэтому />. Предположим теперь, что />. В этом случае, для некоторого />,
/>
Так как,
/>
Значит, />. Покажем, что условия теоремы справедливы для подгруппы />. Ясно, что />, где />и /> — нильпотентные подгруппы и подгруппа />имеет главный ряд
/>
где />. Пусть />. Тогда />. По условию, для некоторого />, мы имеем />. Поскольку />и />, то />. Это означает, что каждая подгруппа />/>-перестановочна с каждой подгруппой группы />, для всех />. Поскольку />, то по выбору группы />мы заключаем, что />сверхразрешима. Значит, />. Отсюда следует, что />, противоречие. Таким образом, />. Следовательно, /> — силовская />-подгруппа группы />и поэтому /> — максимальная подгруппа группы />. Поскольку для некоторого />, />и />максимальная подгруппа группы />, />, то />. Получили противоречие с нашим предположением о группе />. Значит, />. По условию, />, для некоторого />и поэтому />. Согласно лемме, />. Так как порядок группы />является не простым числом, то />. Отсюда следует, что />, что невозможно в силу (2). Этим доказано (3). продолжение
--PAGE_BREAK--
(4) /> — силовская />-подгруппа группы />.
Допустим, что наше предположение не верно. Пусть /> — наибольший простой делитель порядка группы />. Так как />и согласно (2), />. Пусть /> — максимальная подгруппа группы />. По условию для некоторых, />, />и />. Согласно (3), />и />неединичные группы. Так как группы />и />нильпотентны, то />и />. Ввиду леммы, />и />. Отсюда следует, что />. Ясно, что либо />, либо />. Допустим, что />. Покажем, что /> — сверхразрешимая группа. Подгруппы />и />нильпотентны и подгруппа />имеет главный ряд
/>
где />. Пусть />. Тогда />. По условию, для некоторого />, мы имеем
/>
Поскольку />и />, то />. Это означает, что каждая подгруппа />/>-перестановочна с каждой подгруппой группы />, для всех />. Поскольку />, то по выбору группы />мы заключаем, что />сверхразрешима. Пусть /> — силовская />-подгруппа группы />. Тогда ввиду леммы, />, и поэтому />, противоречие. Пусть теперь, />. Покажем, что группа />сверхразрешима. Ясно, что />и /> — нильпотентные подгруппы и подгруппа />имеет главный ряд
/>
где />. Пусть />. Тогда />. По условию, для некоторого />, мы имеем
/>
Поскольку />и />, то />. Это означает, что каждая />/>-перестановочна с каждой подгруппой группы />, для всех />. Поскольку />, то по выбору группы />мы заключаем, что />сверхразрешима. Пусть /> — силовская />-подгруппа группы />. Тогда ввиду леммы, />, и поэтому />, противоречие. Следовательно, (4) справедливо.
(5) />и />.
Предположим, что />. Поскольку />нильпотента, то />/>-группа, и поэтому согласно (4), /> — силовская />-подгруппа группы />. Ясно, что />и />. Тогда />. Пусть /> — такой элемент из />, что />. Тогда />. Так как />, то />и поэтому />, противоречие. Значит, />.
Пусть теперь, />. Так как /> — нильпотентная группа, то ввиду (4), /> — силовская />-подгруппа группы />. Поскольку />и />, то />. Пусть /> — максимальная подгруппа группы />и />, где />. Согласно (3), />и />. Поскольку />, то
/>
и поэтому />. Следовательно, />, противоречие. Значит, />.
(6) Заключительное противоречие.
Пусть /> — холлова />-подгруппа группы />. Допустим, что />. Тогда />. Поскольку по условию, />, для некоторого />, и />, то согласно лемме, />. Так как />и />, то />. Значит, />и />, противоречие с (2). Следовательно, />. По условию,
/>,
где />. Поскольку />, то продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
Тогда />, и поэтому />, что противоречит (5). Это противоречие завершает доказательство теоремы.
Пусть /> — группа и /> — ее подгруппа Фиттинга. Тогда />является сверхразрешимой в том и только том случае, когда />, где />и /> — такие сверхразрешимые подгруппы группы />, что />и />/>-перестановочна с каждой подгруппой группы />и />/>-перестановочна с каждой подгруппой группы />.
Доказательство. Необходимость. Пусть /> — сверхразрешимая группа. Тогда ввиду леммы, />. Пусть /> — минимальная нормальная подгруппа группы />. Тогда />для некоторого простого числа />. Пусть /> — такая максимальная подгруппа группы />, что />. Тогда />, />и />сверхразрешимы и каждая подгруппа группы />перестановочна с каждой подгруппой группы />.
Достаточность. Пусть />, где />и /> — сверхразрешимые подгруппы, /> — подгруппа Фиттинга группы />, />и />/>-перестановочна с каждой подгруппой группы />и />/>-перестановочна с каждой подгруппой группы />. Предположим, что />не является сверхразрешимой группой, и пусть /> — контрпример минимального порядка. Поскольку />, то />разрешима. Тогда:
(1) Для любой неединичной нормальной в />подгруппы />факторгруппа />сверхразрешима.
Ясно, что /> — произведение сверхразрешимых подгрупп />и />. Пусть />и />. Так как по условию для некоторых />,
/>и
/>
то мы имеем
/>
/>
/>и
/>
/>
/>
где />и />. Это показывает, что подгруппа />/>-перестановочна с каждой подгруппой группы />и каждая подгруппа группы />/>-перестановочна с подгруппой />. Но поскольку согласно лемме ,
/>
то по выбору группы />мы заключаем, что />сверхразрешима.
(2) Группа />имеет единственную минимальную нормальную подгруппу />и />, где /> — силовская />-подгруппа группы />и /> — такая максимальная в />подгруппа, что />и />.
Пусть /> — произвольная минимальная нормальная подгруппа группы />. Так как класс всех сверхразрешимых групп образует насыщенную формацию, то ввиду (1), /> — единственная минимальная нормальная подгруппа в />, причем />. Пусть /> — такая максимальная подгруппа в />, что />и пусть />. Тогда по тождеству Дедекинда мы имеем />. Так как />разрешима, то /> — элементарная абелева />-группа для некоторого простого />и поэтому />и />. Значит,
/>.
Следовательно, /> — сверхразрешимая группа и ввиду леммы />.
Так как />, то />абелева. Поскольку /> — неприводимая абелева группа автоморфизмов группы />, то /> — циклическая группа. Ввиду леммы, /> — силовская />-подгруппа группы />. Согласно (1) и выбора группы />, мы имеем />.
(3) />или />. продолжение
--PAGE_BREAK--
Допустим, что />и />. Пусть /> — силовская />-подгруппа группы />, где />. Тогда /> — циклическая группа. Ввиду леммы, />, где />и /> — силовские />-подгруппы групп />и />соответственно и />. Тогда либо />, либо />. Пусть, например, />. Так как />, то />. Поскольку />сверхразрешима, то ввиду леммы, />. Тогда />. Так как />, то />. Это показывает, что /> — абелева группа экспоненты, делящей />, и ввиду леммы, />сверхразрешима, что противоречит выбору группы />. Значит, либо />, либо />.
(4) Заключительное противоречие.
Пусть />. Тогда />. Так как />сверхразрешима, то в группе />содержится минимальная нормальная подгруппа />простого порядка />.
Предположим, что />. Пусть /> — холлова />-подгруппа группы />. Тогда для некоторого />, />. Поскольку
/>
для некоторого />, то />. Пусть />. Тогда />и />, что противоречие (2). Значит, />Пусть />и />для некоторого />. Поскольку />и />, то />, что невозможно в силу (2). Этим завершается доказательство теоремы.
Пусть /> — группа и /> — ее подгруппа Фиттинга. Тогда />является сверхразрешимой в том и только том случае, когда />, где />и /> — такие сверхразрешимые подгруппы взаимно простых порядков, что />и каждая подгруппа группы />простого порядка или порядка 4 наследственно />-перестановочна с каждой подгруппой группы />, />и каждая подгруппа группы />простого порядка или порядка 4 наследственно />-перестановочна с каждой подгруппой группы />.
Доказательство. Необходимость. Пусть /> — сверхразрешимая группа. Пусть /> — минимальная нормальная подгруппа группы />. Тогда для некоторого простого />, />. Пусть /> — максимальная подгруппа группы />такая, что />. Тогда />и />перестановочна с каждой подгруппой группы />.
Достаточность. Предположим, что /> — произведение подгрупп />и />, где />, /> — сверхразрешимы подгруппы взаимно простых порядков, /> — подгруппа Фиттинга группы />, />и каждая подгруппа группы />простого порядка или порядка 4 наследственно />-перестановочна с каждой подгруппой группы />, />и каждая подгруппа группы />простого порядка или порядка 4 наследственно />-перестановочна с каждой подгруппой группы />. Предположим, что />не является сверхразрешимой группой, и пусть /> — контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.
(1) В группе />имеется несверхразрешимая максимальная подгруппа.
Предположим, что каждая максимальная подгруппа группы />сверхразрешима. Тогда ввиду леммы, />разрешима. Согласно леммы, для некоторого />в группе />имеется нормальная силовская />-подгруппа />, удовлетворяющая следующим условиям:
(i) />свехразрешима и /> — наименьшая нормальная подгруппа группы />, факторгруппа по которой сверхразрешима;
(ii) если />то />; если />то экспонента подгруппы />равна 2 или 4;
(iii) /> — главный фактор группы />.
Допустим, что />. Тогда />. Пусть />и пусть /> — такое простое число, что />, /> — силовская />-подгруппа группы />. Пусть /> — такая холлова />-подгруппа группы />, что />. Тогда />. Поскольку />, то />содержится в некоторой максимальной подгруппе группы />. Так как каждая максимальная подгруппа группы />сверхразрешима, то />сверхразрешима. Значит, в группе />имеется такая нормальная подгруппа />, что />и поэтому />, где />. Следовательно, />или />. Для некоторого />, мы имеем />. Тогда по условию, />. Поскольку />субнормальна в />и />, то />, и поэтому />. Следовательно, /> — циклическая группа. Так как /> — сверхразрешимая группа, то />сверхразрешима. Значит, /> — сверхразрешимая группа. Это противоречие с выбором группы />доказывает (1). продолжение
--PAGE_BREAK--
(2) Группа />не является разрешимой.
Допустим, что />разрешима и пусть/> — произвольная максимальная подгруппа группы />. Тогда />для некоторого простого />. Без ограничения общности мы можем предположить, что />. Согласно теоремы, />для некоторого />. Покажем, что />сверхразрешима. Используя тождество Дедекинда, получаем />, где />и /> — сверхразрешимые подгруппы группы />взаимно простых порядков. Пусть /> — произвольная подгруппа группы />простого порядка или порядка 4. И пусть /> — подгруппа группы />. Тогда по условию />для некоторого />. Поскольку />, то />. Значит, теорема справедлива для />и ее подгрупп />и />. Так как />, то по выбору группы />, заключаем, что подгруппа />сверхразрешима, и поэтому />тоже сверхразрешима. Следовательно, каждая максимальная подгруппа группы />сверхразрешима, что невозможно в силу (1). Этим доказано (2).
(3) Группа />имеет нормальную силовскую подгруппу.
Пусть /> — наибольший простой делитель />. Без ограничения общности, мы можем предположить, что />. Пусть /> — силовская />-подгруппа группы />. Так как по условию, />сверхразрешима, то ввиду леммы, />. Пусть /> — силовская />-подгруппа группы />, где />. Тогда для некоторого />, />. Предположим, что />. Согласно леммы, />и поэтому />. Тогда для некоторого />, />. Если />, то по теореме Бернсайда, />разрешима, что невозможно в силу (2). Значит, />. Так как теорема справедлива для группы />, то по выбору группы />, мы заключаем, что группа />сверхразрешима. Это влечет />. Следовательно, />.
(4) Заключительное противоречие.
Пусть /> — нормальная силовская подгруппа группы />. Тогда />для некоторых />и />. Без ограничения общности, мы можем предположить, что />. Покажем, что теорема справедлива для
/>.
Подгруппы />и />являются сверхразрешимыми подгруппами группы />взаимно простых порядков. Предположим, что />. Пусть /> — произвольная подгруппа группы />простого порядка (порядка 2 или 4, в случае, когда />). Тогда по теореме Шура-Цассенхауза, группа />имеет такую подгруппу />, что />и />. Пусть /> — подгруппа группы />. Используя тождество Дедекинда, мы имеем />. По условию для некоторого />, />и поэтому
/>
/>
Поскольку />, то />. Значит, теорема справедлива для группы />, и поэтому />разрешима. Следовательно, /> — разрешимая группа, что невозможно в силу (2). Этим противоречием завершается доказательство теоремы.
2. Факторизуемые группы с />-перестановочными силовскими подгруппами
Строение конечной группы тесно связано с условиями, налагаемыми на силовские подгруппы некоторых выделенных подгрупп этой группы. Отметим, в частности, что в работе Хупперта, было доказано, что разрешимая группа />является свехразрешимой, если все максимальные подгруппы всех силовских подгрупп из />перестановочны со всеми членами некоторой силовской системы группы />. Целью данного раздела является дальнейшее изучение строения факторизуемых групп, у которых силовские подгруппы некоторой выделенной подгруппы группы перестановочны или />-перестановочны с некоторой системой ее подгрупп.
Пусть /> — разрешимая группа и /> — произведение />-сверхразрешимых подгрупп />и />взаимно простого порядка. Предположим, что />делит порядок подгруппы />и
(1) если />, то />и каждая ее подгруппа простого порядка />перестановочна с каждой силовской подгруппой группы />;
(2) если />, то />и каждая ее подгруппа порядка 2 и 4 перестановочна с каждой силовской подгруппой группы />.
Тогда /> — />-сверхразрешимая группа.
Доказательство. Предположим, что теорема неверна и пусть /> — контрпример наименьшего порядка. Пусть /> — класс всех />-сверхразрешимых групп. продолжение
--PAGE_BREAK--
Пусть /> — />-абнормальная максимальная в />подгруппа. Тогда />для некоторого />или />для некоторого />и />. Предположим сначала, что />. Поскольку />делит />и согласно теоремы Холла, />имеет такой элемент />, что />, то без ограничения общности мы можем предположить, что />. Покажем, что /> — />-сверхразрешимая группа. Используя тождество Дедекинда, мы имеем />, где />и />/>-сверхразрешимые подгруппы группы />взаимно простых порядков. Если />является />-подгруппой, то />/>-группа и поэтому />/>-сверхразрешима. Предположим теперь, что />. Пусть /> — произвольная подгруппа группы />простого порядка />(или 4, в случае, если />). И пусть /> — силовская />-подгруппа группы />. Тогда по условию, />и поскольку />, то />. Итак, теорема справедлива для группы />и ее подгрупп />и />. Но />и поэтому согласно выбора группы />, мы заключаема, что группа />/>-сверхразрешима. Пусть теперь, />, где />. Рассуждая как выше, мы можем показать, что />/>-сверхразрешима. Следовательно, каждая />-абнормальная максимальная в />подгруппа />-сверхразрешима.
Так как />разрешима, то ввиду леммы, />имеет нормальную />-подгруппу />, удовлетворяющую следующим условиям:
(i) />/>-сверхразрешима и />наименьшая нормальная подгруппа группы />, факторгруппа по которой />-сверхразрешима;
(ii) если />то экспонента подгруппы />равна />; если />то экспонента подгруппы />равна 2 или 4;
(iii) /> — главный фактор группы />.
Ясно, что />. Пусть />и пусть /> — такое простое число, что />, /> — силовская />-подгруппа группы />. Пусть /> — некоторая такая холлова />-подгруппа группы />, что />. Тогда />. Рассуждая как выше, видим, что />/>-сверхразрешима. Тогда в группе />имеется такая нормальная подгруппа />, что />и поэтому />, где />. Ясно, что />или />. Согласно лемме, для некоторого />, мы имеем />. Тогда по условию, />. Так как />субнормальна в />и />, то />, и поэтому />. Следовательно, /> — циклическая группа. Ясно, что />/>-сверхразрешима и поэтому />/>-сверхразрешима, противоречие. Теорема доказана.
Прежде, чем дать доказательство следующего основного результата этого раздела, нам необходимо установить справедливость следующей леммы.
Пусть /> — простое число, />, где />, /> — разрешимая группа, />/>-перестановочна с каждой силовской подгруппой группы />, где /> — подгруппа Фиттинга группы />. Тогда />разрешима.
Доказательство. Предположим, что эта лемма не верна и пусть группа /> — контрпример минимального порядка. Тогда:
(1) />не простая группа.
Предположим, что /> — простая группа. Тогда />. Пусть /> — силовская />-подгруппа группы />. Тогда по условию />. Действительно, поскольку для каждого />мы имеем
/>
где />и />. Тогда ввиду леммы, />непроста.
(2) /> — разрешимая группа для каждой неединичной нормальной подгруппы />группы />. продолжение
--PAGE_BREAK--
Пусть /> — неединичная нормальная подгруппа группы />. Если />, то />разрешима.
Пусть />. Тогда /> — произведение подгруппы />простого порядка />и разрешимой группы />. Пусть /> — силовская />-подгруппа группы />. Тогда />для некоторой силовской />-подгруппы />группы />, и поэтому по условию,
/>
для некоторого />. Итак, теорема справедлива для факторгруппы />. Но />, и поэтому ввиду выбора группы />, факторгруппа />разрешима.
(3) Заключительное противоречие.
Если />, то ввиду (2), />разрешима и поэтому /> — разрешимая группа, противоречие. Значит, />. Путсь /> — минимальная нормальная подгруппа группы />. Тогда ввиду (1), />. Допустим, что />. Тогда />. Так как по условию, />разрешима, то />разрешима и поэтому согласно (2), /> — разрешимая группа, противоречие. Следовательно, />. Поскольку /> — холлова />-подгруппа группы />, то /> — холлова />-подгруппа группы />. Ясно, что />, и по тождеству Дедекинда, />. Путсь /> — силовская />-подгруппа группы />, /> — силовская />-подгруппа группы />такая, что />. Тогда по условию, />, и поэтому />. Следовательно, теорема справедлива для группы />и поэтому />разрешима. Следовательно, /> — разрешимая группа, противоречие с выбором группы />. Лемма доказана.
Пусть /> — группа и /> — ее подгруппа Фиттинга. Если />, где />и /> — сверхразрешимые подгруппы группы />, каждай примарная циклическая погруппа группы />/>-перестановочна с каждой силовской подгруппой группы />и каждай примарная циклическая погруппа группы />/>-перестановочна с каждой силовской подгруппой группы />, то />сверхразрешима.
Доказательство. Предположим, что теорема неверна и пусть /> — минимальный контрпример. Тогда:
(1) Для каждой нормальной неединичной подгруппы />в />фактогруппа />сверхразрешима.
Пусть /> — неединичная нормальная подгруппа в />. Заметим, что /> — произведение сверхразрешимых подгрупп />и />. Пусть /> — примарная циклическая подгруппа группы />. Ясно, что для некоторой примарной циклической подгруппы />группы />, />. Поскольку />, то />для некоторого />, имеющего примарный порядок и для некоторого />, и поэтому />. Пусть /> — силовская />-подгруппа группы />. Тогда />для некоторой силовской />-подгруппы />группы />. Так как по условию, для некоторого />, />и поэтому
/>
/>
/>
Ясно, что />. Итак, теорема справедлива для />. Но />, и ввиду выбора группы />, мы имеем (1).
(2) />разрешима.
Допустим, что />не является разрешимой группой.
Если />, то ввиду (1), />сверхразрешима и поэтому />разрешима, противоречие с выбором группы />. Следовательно, />. Пусть /> — наибольший простой делитель />. Без ограничения общности, мы можем предположить, что />. Пусть /> — />-подгруппа группы />. Тогда по условию, />сверхразрешима. Ввиду леммы, />. Следовательно, />имеет такую минимальную нормальную подгруппу, скажем />, что />. Если />, то ввиду леммы, />. Поскольку теорема справедлива для />, то />сверхразрешима и поэтому минимальная нормальная подгруппа группы />, которая содержится в />, абелева. Ввиду (1), />разрешима, противоречие. Пусть />и пусть />, где /> — силовские подгруппы группы />. Тогда по условию, />перестановочна со всеми />, />. Допустим, что />. Поскольку теорема справедлива для />и />, то мы заключаем, что />сверхразрешима. Но />, и поэтому ввиду леммы и (1), мы снова приходим к противоречию. Допустим теперь, что />. Ввиду леммы, мы можем предположить, что />. Пусть /> — силовская />-подгруппа группы />. Тогда />, и />. Поскольку />, то />, и поэтому ввиду (1), />разрешима, противоречие. Это доказывает (2). продолжение
--PAGE_BREAK--
(3) />имеет единственную минимальную нормальную подгруппу />и />, где />для некоторого простого числа />, />сверхразрешимая максимальная подгруппа группы />и />.
Пусть /> — произвольная минимальная нормальная подгруппа группы />. Так как класс всех сверхразрешимых групп образует насыщенную формацию, то ввиду (1), /> — единственная минимальная нормальная подгруппа в />, причем />. Пусть /> — максимальная подгруппа группы />, не содержащая />и />. Тогда по тожеству Дедекинда, />Так как ввиду (2), />абелева, то />и поэтому />. Следовательно, />и />сверхразрешима и согласно леммы, />.
(4) /> — наибольший простой делитель порядка группы />.
Пусть />и /> — такие максимальные подгруппы группы />, что />, />. Так как />, то ввиду леммы, />для некоторого />. Поскольку ввиду леммы, />, то либо />, либо />. Пусть />. И пусть /> — наибольший простой делитель />. Тогда силовская />-подгруппа группы />нормальна в />, и поэтому />содержится в />. Следовательлно, /> — наибольший простой делитель />. Если />не является холловой подгруппой группы />, то справедливо (4). Пусть /> — холлова подгруппа группы />и допустим, что />, где />наибольший простой делитель порядка группы />. Тогда />для некоторого />. Так как />, то ввиду (1), />порядок силовской />-подгруппы группы />. Ясно, что />. Пусть /> — силовская />-подгруппа группы />. По условию, />для некоторого />и ввиду леммы, />. Согласно леммы, />. Поскольку />, то />имеет нормальную подгруппу />простого порядка />такую, что />и />для некоторого />. Согласно леммы, />, и поэтому ввиду (2), />, противоречие. Полученное противоречие доказывает (4).
(5) /> — силовская />-подгруппа группы />.
Допустим, что это утверждение не верно. Тогда />. Это влечет />и поэтому ввиду (4), и леммы, />, что противоречит (3). Итак, /> — силовская />-подгруппа группы />.
(6) Заключительное противоречие.
Поскольку />и /> — силовская />-подгруппа группы />, то либо />, либо />. Допустим, что />и пусть /> — минимальная нормальная в />подгруппа, содержащаяся в />.
По условию, />для некоторого />, где /> — некоторое простое число, />и /> — холлова />-подгруппа группы />. Тогда
/>
Значит, />и поэтому />. Таким образом, />. Следовательно, /> — сверхразрешимая группа, что противоречит выбору группы />. Теорема доказана.
Заключение
В данной главе получены новые критерии сверхразрешимости факторизуемых групп на основе условия />-перестановочности некоторых подгрупп. Полученные здесь результаты показывают, что строение группы в существенной мере определяется наличием в ней факторизаций системами перестановочных и />-перестановочных подгрупп. ?? Пальчик Э.М., Конторович Н.П. О группах, все />-максимальные подгруппы которых перестановочны с силовской подгруппой.
Литература
1.Подгорная В.В. Полунормальные подгруппы и сверхразрешимость конечных групп // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-матэм. навук. — 2000. — № 4. — С. 22---25.
2.Подгорная В.В. Факторизации конечных групп дисперсивными и сверхразрешимыми подгруппами // Веснiк Вiцебскага дзяржаунага Унiверсiтэта. — 1999. — № 4(14). — С. 80---82.
3.Поляков Л.Я. Конечные группы с перестановочными подгруппами // Конечные группы. — Минск: Наука и техника, 1966. — С.75---88.
4.Самусенко (Подгорная) В.В. О конечных группах с заданными минимальными добавлениями к подгруппам // Вопросы алгебры. Выпуск 13. — 1998. — С. 177---182.
5.Самусенко (Подгорная) В.В. О сверхразрешимости конечных групп с циклическими добавлениями к подгруппам // Вопросы алгебры. Выпуск 14. — 1999. — С. 141---146.
6.Сергиенко В.И. Критерий />-разрешимости для конечных групп // Мат. заметки. — 1971. — Т. 9, № 4. — С. 375---383.
7.Сергиенко В.И. Некоторые свойства квазинормальных групп // Подгрупповое строение конечных групп: труды гомельского семинара / Под ред. В.С. Монахова. — Мн.: Наука и техника, 1981. — С.149---152.
8.Скиба А.Н. />-перестановочные подгруппы // Известия Гомельского государственного университета имени Ф.Скорины. — 2003. — № 4(19). — C. 37---39.
9.Черников Н.С. Группы, разложимые в произведение перестановочных подгрупп. — Киев: Наук. думка, 1987. ---208с.
10.Черток В.Д. Порождение конечной группы системами недостижимых подгрупп // ИАН БССР. Сер. физ.-матем. наук. — 1967. — № 2. — С. 80---84.
11.Чунихин С.А. Об условиях теорем типа Силова // ДАН СССР. — 1949. — Т. 69, № 6. — С. 735---737.
12.Чунихин С.А. Подгруппы конечных групп. — Минск: Наука и техника, 1964. — 158 с.
13.Шеметков Л.А. Формации конечных групп. — М.: Наука, 1978.--- 272 с.
14.Шмидт О.Ю. Группы, все подгруппы которых специальные // Мат. сб. — 1924. — Т. 31. — С. 366---372.