Министерствообразования Республики Беларусь
Учреждениеобразования
«Гомельскийгосударственный университет
имени ФранцискаСкорины»
Математический факультет
Кафедра алгебрыи геометрии
Допущена кзащите
Зав. кафедрой Шеметков Л.А.
« » 2007 г.
О ω-насыщенныхформациях с />-разложимым дефектом 1
Курсоваяработа
Исполнитель:
Студентгруппы М-51А.И. Рябченко
Научныйруководитель:
к.ф.- м.н.,старший преподаватель В.Г. Сафонов
Гомель2007
Оглавление
1.Введение
2.Основные понятия и обозначения
3.Используемые результаты
4.Основной результат
5Заключение
Литература
1. Введение
Работа посвящена изучениюрешеточного строения частично насыщенных формаций конечных групп. Основнымрабочим инструментом исследования является понятие H-дефекта ω-насыщеннойформации. При этом, под H-дефектом ω-насыщенной формации F понимаютдлину решетки ω-насыщенных формаций, заключенных между формацией F/>H и F.
В случае, когда H –формация всех />-разложимыхгрупп, H-дефект ω-насыщенной формации F называют ее />-разложимым lω-дефектом.Доказано, что />-разложимый lω-дефектчастично насыщенной формации F равен 1 в том и только в том случае, когда F представима в виде решеточного объединения минимальной ω-насыщеннойне />-разложимой подформациии некоторой ω-насыщенной />-разложимойподформации формации F. Приведен ряд следствий.
Полученные результатыявляются естественным развитием исследований, связанных с изучением решеточногостроения частично насыщенных формаций, имеющих заданный нильпотентный илиразрешимый lω-дефекты. Работа может быть полезна приизучении и классификации ω-насыщенных формаций с заданнойструктурой ω-насыщенных подформаций.
Рассматриваются толькоконечные группы. Используется терминология из [1–3].
В работе [4] было введенопонятие H-дефекта насыщенной формации и получена классификация насыщенныхформаций с нильпотентным дефектом />2. Приэтом под H-дефектом насыщенной формации F понимают длину решетки насыщенныхформаций, заключенных между F/>H и F.
В дальнейшем этотрезультат получил развитие в разных направлениях, поскольку нашел широкоеприменение в теоретических исследованиях. Содной стороны, в качестве Hстали рассматривать другие достаточно хорошо известные классы (А.Н.Скиба,1991г., В.В.Аниськов, 1995-2003гг.). С другой стороны, исследовались решеткинасыщенных формаций большей длины (В.Г.Сафонов 1996-2004г.). Кроме того, этот подходнашел широкое применение при изучении структурного строения формаций группдругих типов (n-кратно насыщенные формации, тотально насыщенные формациии др.).
В теории ω-насыщенныхформаций данный метод был использован Дж. Джехадом [5] и Н.Г.Жевновой [6] приизучении p-насыщенных и ω-насыщенных формаций снильпотентным lω-дефектом 1. Классификация неразрешимых ω-насыщенныхформаций, имеющих разрешимую максимальную ω-насыщенную подформацию,получена в [7].
Естественным развитиемисследований в этом направлении является изучение решеточного строения частичнонасыщенных формаций, близких к N потем или иным свойствам. Так в совместной работе авторов было дано описание не />-нильпотентной ω-насыщеннойформации с />-нильпотентноймаксимальной ω-насыщенной подформацией [8].
В данной работе полученаклассификация частично насыщенных формаций/>-разложимогоlω-дефекта 1.
Основным результатомявляется
Теорема 1. Пусть F –некотораяω-насыщенная формация. Тогда в том и только в том случае />-разложимый lω-дефектформации F равен 1, когда F=MVωH, где M –ω-насыщенная/>-разложимая подформацияформации F, H –минимальная ω-насыщенная не />-разложимая подформацияформации F, при этом: 1) всякая ω-насыщенная />-разложимая подформация изF входит в MVω(H/>X);2) всякая ω-насыщенная не />-разложимаяподформация F1из Fимеет вид HVω(F1/>X).
2. Основные понятия иобозначения
Пустьω –некоторое непустое множество простых чисел. Тогда через ω 'обозначаютдополнение к ω во множестве всех простых чисел.
Всякую функцию вида f:ω/>{ω'}/>{формации групп} называют ω-локальнымспутником. Если f –произвольный ω-локальный спутник,тоLFω(f)={ G | G/Gωd/> f(ω')иG/Fp(G)/> f(p) для всех p/>ω />/>(G)}, гдеGωd –наибольшаянормальная подгруппа группы G, у которой для любого ее композиционногофактора H/K имеет место />(H/K)/>ω />Ø, Fp(G)– наибольшая нормальнаяp-нильпотентная подгруппа группы G,равная пересечению централизаторов всех pd-главных факторов группы G.
Если формация F такова,что F=LFω(f) для некоторого ω-локальногоспутника f, то говорят, что F является ω-локальнойформацией, а f ее ω-локальный спутник.Если при этомвсе значения f лежат в F, то f называют внутренним ω-локальнымспутником.
Пусть X – произвольнаясовокупность групп и p – простое число. Тогда полагают, что X(Fp)=form(G/Fp(G)| GÎX), если p/>/>(X), X(Fp)=Ø, если p />/>(X).
Формация F называется ω-насыщенной,если ей принадлежит всякая группа G, удовлетворяющая условию G /L/>F, где L/>Ф(G)∩Oω(G).
Ввиду теоремы 1 [1, c.118] формация является ω-локальной тогда и только тогда, когда онаявляется ω-насыщенной.
Черезlωобозначают совокупность всех ω-насыщенных формаций.
Полагают lωformFравным пересечению всех тех ω-насыщенных формаций, которыесодержат совокупность групп F.
Для любых двух ω-насыщенныхформаций M и H полагают M/>H=M∩H,а MVωH=lωform(M/>H). Всякое множество ω-насыщенныхформаций, замкнутое относительно операций /> иVω, является решеткой. Таковым, например, являетсямножество lω всех ω-насыщенных формаций.
Через F/ωF∩Hобозначают решеткуω-насыщенных формаций, заключенных между F∩Hи F. Длину решетки F/ωF∩H обозначают|F:F∩H|ω и называют Hω-дефектомω-насыщеннойформации F.
ω-Насыщенная формация F называетсяминимальной ω-насыщенной не H-формацией, если F/>H, но все собственные ω-насыщенныеподформации из Fсодержатся в H.
Пусть /> –некоторое непустое множество простых чисел.Группу G называют />-специальной, если в нейсуществует нильпотентная нормальная />-холловаподгруппа.Класс всех />-специальныхгрупп совпадает с классом N/> G/>'.
Группу G называют />-замкнутой,если она имеет нормальную />-холлову подгруппу. Класс всех />-замкнутыхгрупп, очевидно, совпадает с G/>G/>'.
Группа называется />-разложимой,если она одновременно />-специальна и />'-замкнута.
3.Используемые результаты
Ниже приведем некоторыеизвестные факты теории формаций, сформулировав их в ввиде следующих лемм.
Лемма 1 [1]. Пусть F=MH,где M и H – формации, причем M=LFp(m) для некоторого внутреннего спутника m.Формация F является p-локальной в том и только том случае, когда выполняетсяследующее условие: либо p/>(M), либо формация H являетсяp-локальной. Более того, при выполнении этого условия F=LFp(f), гдеf(p')=m(p')H и f(p)=m(p)H, если p/>/>(M), f(p)=h(p), если p/>(M).
Следствием теоремы 1.2.25[3] является следующая
Лемма 2 [3]. Пусть X –полуформация и A/>F=formX. Тогда если A –монолитическая группа и A/>X, то в F найдется группа H стакими нормальными подгруппами N, M, N1, ..., Nt, M1, ..., Mt (t/>2), что выполняютсяусловия: (1) H/N/>A, M/N=Soc(H/N); (2) N1∩…∩Nt=1; (3) H/Ni – монолитическая F-группа с монолитом Mi/Ni, который H-изоморфенM/N; (4) M1∩…∩ Mt/>M.
Лемма 3 [2]. Пусть M и N– нормальные подгруппы группы G, причем M/>CG(N). Тогда [N](G/M)/>formG.
Лемма 4 [9]. Пусть F –произвольная ω-насыщенная не />-разложимая формация. Тогда в Fимеется, по крайней мере, одна минимальная ω-насыщенная не />-разложимая подформация.
Следствием леммы5.2.8 [3,c. 194] является
Лемма 5. Пусть F, M, X иH – ω-насыщенные формации, причем F=MVωX. Тогда если m, r и t соответственноHω-дефекты формаций M, X и F и m, r, то t/>m+r.
Лемма 6 [1]. Решетка всехω-насыщенных формаций lω модулярна.
Лемма 7 [1]. Если F=lωformXи f – минимальный ω-локальный спутник формации F, то справедливы следующиеутверждения: 1) f(ω ') = form(G/Gωd | G/>X); 2) f(p)=form(X(Fp)) для все p/>ω; 3) еслиF=LFω(h) и p – некоторый фиксированный элемент из ω, то F=LFω(f1),где f1(a)=h(a) для всех a/>(ω\{p})/>{ω’}, f1(p)=form(G |G/>h(p)∩F, Op(G)=1) и, кроме того, f1(p)=f(p); 4) F=LFω(G), где g(ω')=F и g(p)=f(p)для всех p/>ω.
Лемма 8 [1]. Пусть fi –такой внутренний ω-локальный спутник формации Fi, что fi(ω')=Fi, гдеi/>I. ТогдаF=F1VωF2=LFω(f), где f=f1V f2.
Лемма 9 [10]. Тогда итолько тогда F – минимальная ω-насыщенная не />-разложимая формация, когда F=lωformG,где G – такая не />-разложимая монолитическая группас монолитом P, что /> (G)∩/>=Ø и либо />=/>(P)∩ω=Øи P совпадает с />-разложимым корадикалом группы G,либо />Øи выполняется одно из следующих условий: 1) группа P неабелева, причем, если />/>', то G/P – />'-группа, если />={p}/>/>, то G/P – p-группа,если же />∩ω/>Ø и |/>|>1, то G=P –простая неабелева группа; 2) G – группа Шмидта: 3) G=[P]H, где P=CG(P) –минимальная нормальная подгруппа группы G, H – простая неабелева группа, причем/>∩/>(H)=Ø.
Лемма 10 [2, с. 41].Пусть A монолитическая группа с неабелевым монолитом, M – некоторая полуформацияи A/>formM.Тогда A/>M.
Лемма 11 [1]. Еслиформации M и H являются ω-насыщенными, то формация F=MH также являетсяω-насыщенной.
Лемма 12 [1]. Пусть F –ω-насыщенная формация и f – ее ω-локальный спутник. Если G/Op(G)/>f(p)∩F,то G/>F.
Следующая лемма являетсячастным случаем леммы 5.2.7 [3, с. 193].
Лемма 13. Пусть M, F и H –ω-насыщенная формации и M/>F. Тогда |M:M∩H|ω/>|F:F∩H |ω.
Лемма 14 [3]. Пусть F –произвольная непустая формация и пусть у каждой группы G/>X F-корадикал GF неимеет фраттиниевых G-главных факторов. Тогда если A – монолитическая группа изform X\F, то A/>H(X).
4.Основной результат
В дальнейшем через Xбудем обозначать формацию всех />-разложимых групп, а X-дефектω-насыщенной формации F называть ее />-разложимым lω-дефектом. Заметим,что класс всех />-разложимых групп совпадает склассом G/>’G/>∩N/>G/>'.
Лемма 15. Пусть H –некоторая формация. Тогда формация NωH является ω-насыщенной.
Доказательство. Пусть F=NωH.Как известно, формация Nω является насыщенной и, следовательно,ω-насыщенной для всякого непустого множества простых чисел ω. В силулеммы 7 формация Nω имеет такой внутренний ω-локальный спутник n, чтоn(p)=1 для любого p/>ω и n(ω')=Nω.
Так как для любого pÎω справедливо включение, топрименяя лемму 1 заметим, что F – p-локальная формация. Следовательно формацияF является ω-локальной или ω-насыщенной. Лемма доказана.
Лемма 16. Пусть A –простая группа, M и X – некоторые непустые формации. Тогда если A/>MVX, то A/>M/>X.
Доказательство.Предположим, что A/>M/>X=F. Тогда в силу леммы 2 в Fнайдется группа H с такими нормальными подгруппами N, M, N1, ..., Nt, M1, ...,Mt (t/>2),что выполняются условия: (1) H/N/>A, M/N=Soc(H/N); (2) N1∩…∩Nt=1; (3) H/Ni – монолитическая F-группа с монолитом Mi/Ni, который H-изоморфенM/N; (4) M1∩…∩ Mt/>M.
Ввиду леммы 3 имеем [Mi/Ni]((H/Ni)//>)/>form(H/Ni).
Пусть A – группа простогопорядка. Тогда ввиду (1) M/N=H/N – абелев фактор.
Поэтому CH(M/N)=H. В силуусловия (3) CH(Mi/Ni)=CH(M/N)=H. Поскольку />=CH(Mi/Ni)/Ni, то (H/Ni)/
/>/>H/CH(Mi/Ni)=H/H=1. Значит, Mi/Ni/>form(H/Ni). Новвиду (3) H/Ni/>F=M/>X. Поскольку M и X – формации, тоA/>Mi/Ni/>M/>X.
Пусть теперь A – простаянеабелева группа. Тогда в силу леммы 10 получаем A/>M/>X. Лемма доказана.
Доказательство теоремы 1.Необходимость. Пусть />-разложимый lω-дефектформации F равен 1. Так как F не является />-разложимой формацией, то по лемме4 в F входит некоторая минимальная ω-насыщенная не />-разложимая подформацияH1. По условию M=X∩F – максимальная ω-насыщенная подформация в F.Значит, F=MVωH1.
Достаточность. Пусть F=MVωH1,где M – ω-насыщенная />-разложимая подформация формацииF, H1 – минимальная ω-насыщенная не />-разложимая подформация F.Понятно, что F/>X. Пусть />-разложимые lω-дефектыформаций F, M и H1 равны соответственно t, m и r. Поскольку M –ω-насыщенная />-разложимая формация, то m=0. Таккак H1 – минимальная ω-насыщенная не />-разложимая формация, то ее />-разложимый lω-дефектr равен 1. В силу леммы 5 для />-разложимого lω-дефектаформации F имеет место неравенство t/>m+r = 0+1 = 1.
Если t = 0, то F – />-разложимаяформация, что противоречит условию F/>X. Таким образом, |F:F∩X |ω=1.
Докажем теперьсправедливость утверждения 1) второй части теоремы.
Так как X∩H1 –максимальная ω-насыщенная подформация в H1, то, в силу леммы 6, имеетместо решеточный изоморфизм
(((X∩H1)VωM)VωH1)/ω((X∩H1)VωM)/>H1/ωH1∩((X∩H1)VωM)=
= H1/ω(X∩H1)Vω(H1∩M)= H1/ωX∩H1.
Следовательно, (X∩H1)VωM– максимальная ω-насыщенная подформация в F.
Тогда, поскольку F/>X, то всякаяω-насыщенная />-разложимая подформация из Fвходит в (X∩H1)VωM.
Для доказательстваутверждения 2) покажем прежде, что в F нет минимальных ω-насыщенных не />-разложимыхподформаций, отличных от H1. Пусть M1=F∩X. Тогда M1 – />-разложимая максимальнаяω-насыщенная подформация формации F. Предположим обратное, т.е. что в Fсуществует H2 – минимальная ω-насыщенная не />-разложимая подформация, отличнаяот H1. Поскольку M1 является />-разложимой формацией, то H2/>M1. Значит, F=H2VωM1=H1VωM1.
Из леммы 9 следует, что Hi=lωformGi,где Gi – такая не />-разложимая монолитическая группас монолитом Pi, что />(Gi)∩/>=Ø и либо />=/>(Pi)∩ω=Øи Pi совпадает с />-разложимым корадикалом группы Gi,либо />/>Ø ивыполняется одно из следующих условий: (1) группа Pi неабелева, причем, если />/>/>', то Gi/Pi – />'-группа, если />={pi}/>/>, то Gi/Pi – p-группа,если же />∩ω/>Ø и |/>|>1, то Gi=Pi– простая неабелева группа; (2) Gi – группа Шмидта; (3) Gi=[Pi]Hi, где Pi=/>(Pi) –минимальная нормальная подгруппа группы Gi; Hi – простая неабелева группа,причем />∩/>(Hi)=Ø.
По лемме 7 формации Hi иM1 имеют такие внутренние ω-локальные спутники hi и m соответственно, что hi(a)=form(Gi/Fa(Gi)| Gi/>Hi), еслиa/>ω∩/>(Gi), hi(a)=Hi,если a=ω', hi(a)=Ø, если a/>ω\/>(Gi), где i=1,2 иm(a)=form(A/Fa(A) | A/>M1), если a/>ω∩/>(M1), m(a)=M1,если a=ω', m(a)=Ø, если a/>ω\/>(M1).
Тогда по лемме 8получаем, что формация F имеет такой ω-локальный спутник f, что f(p)=hi(p)Vm(p) для всех p />ω и f(ω')=HiVM1=form(H1/>M1)/>F.
Пусть G2 удовлетворяетусловию (1), т.е. P2 – неабелева ωd-группа. Обозначим через R формацию,равную form(H1/>M1). Поскольку, по лемме 15, NωR– ω-насыщенная формация и H1/>M1/>R/>NωR, то F=lωform(H1/>M1) />NωR. Но G2/>F.Следовательно G2/>NωR. Значит, R-корадикалгруппы G2 содержится в Nω.
Пусть G2R />1. Так как R-корадикал –нормальная в G2 подгруппа и P2 – единственная минимальная нормальная подгруппав G2, верно включение P2/>GR. Тогда получаем, что P2 –неабелева минимальная нормальная подгруппа в G2, содержится в нильпотентнойподгруппе G2R группы G2. Противоречие.
Следовательно, G2R=1.Поэтому G2/>R=form(H1/>M1). Применяятеперь лемму 10, имеем G2/>H1/>M1. Тогда, так как G2/>M1, то G2/>H1. Поэтому H2=lωformG2/>H1.
Поскольку H2 –минимальная ω-насыщенная не X-формация, то H1=H2. Противоречие.
Пусть группа G2удовлетворяет условию (2), т.е. G2 является группой Шмидта и P2 –ωd-группа. Поскольку для любой группы A имеет место lωformA=lωform(A/Ф(A)∩Oω(A)),то группу Gi (i=1,2) можно считать группой Шмидта с тривиальной подгруппойФраттини, т.е. Gi=[Pi] Hi, где группа Hi имеет простой порядок qi, Pi=/>(Pi) –минимальная нормальная pi-подгруппа группы Gi.
Так как G2/P2/>F∩X=M1, G2/>M1, то P2=G2M1.Из того, что M1/>Np2M1 и P2/>Np2, следует G2/>Np2M1.
По лемме 11 формация Np2M1является ω-насыщенной формацией. Так как H2=lωformG2, то H2/>Np2M1. Тогда F/>Np2M1, так какF – наименьшая ω-насыщенная формация, содержащая M1 и H2. Следовательно, G1/>Np2M1. Поскольку,G1/P1/>M1 и G1/>M1, то P1=G1M1/>Np2, т.е. P1является p2-группой. Так как G2/>F, то G2/Fp2(G2)/>f(p2)=h1(p2)Vm(p2). Но H2/>G2/P2=G2/Fp2(G2).Поэтому H2/>h1(p2)Vm(p2).
Ввиду пункта 18.20. [2],леммы 7 и замечания 1 [1] формация X всех />-разложимых групп имеет такоймаксимальный внутренний ω-локальный спутник x, что x(p)=Np, если p/>/>∩ω и x(p)=G/>’ если p/>ω\/>.
Так как m(p2) – внутреннийспутник формации M1/>X, то H2 />h1(p2)V m(p2)/>h1(p2)V x(p2). Заметимтакже, что h1(p2)=form(G1/Fp2(G1))=formH1. Кроме того p2/>/>∩ω. Таким образом, H2/>formH1Vx(p2) = formH1VNp2= form(formH1/>Np2). Применяя лемму 16, получаем,что H2/>formH1/>Np2.
Заметим, что G1удовлетворяет либо условию (2), либо условию (3). Следовательно H1 являетсяпростой группой. Поскольку H2 – q2-группа и q2/>p2, то H2/>H1.
Но тогда G2/Op2(G2)=G2/P2/>H2/>H1/>G1/Fp2(G1)/>h1(p2)/>H1. Применяялемму 12, получаем, что G2/>H1. Следовательно, H1=H2.Противоречие.
Пусть теперь для группы G2выполняется условие(3), т.е. G2=[P2]H2, где P2=CG(P2) – минимальная нормальнаяподгруппа группы G2, H2 – простая неабелева группа, причем />∩/>(H2)=Ø.
Рассуждая аналогичнослучаю (2) получаем, что P1 является p2-группой и H2/>h1(p2)VNp2 = formH1VNp2 = form(formH1/>Np2). Но H2 –простая неабелева группа. Значит, в силу леммы 16 получаем H2/>formH1/>Np2 и H2/>formH1. Следовательно, H1=H2.Противоречие.
Пусть теперь P2 –ω'-группа. Заметим, что если P2 – неабелева, то этот случай аналогичен (1).Значит, P2 – абелева p2-группа.
Рассмотрим формацию H=H1VωH2.Поскольку формация H1 содержится в формации H и />-разложимый lω-дефектформации H1 равен 1, то по лемме 13 получаем, что |H:H∩X |ω/>1. С другойстороны, так как H/>F и />-разложимый lω-дефектформации F равен 1, то по лемме 13, |H:H∩X |ω/>1. Значит, />-разложимый lω-дефектформации H равен 1. Поэтому в H существует />-разложимая максимальнаяω-насыщенная подформация L. Понятно, что L=H∩X. Тогда H=LVωH1=LVωH2.Поскольку P2 является абелевой p2-группой и единственной минимальной нормальнойподгруппой в G2 такой, что G2/P2/>L=H∩X, то G2L=P2. Этоозначает, что G2/>Np2L. Следовательно, H2/>Np2L. Крометого, L/>Np2L.А так как по лемме 11 формация Np2L является ω-насыщенной формацией и H=LVωH2,то H/>Np2L.Поэтому H=LVωH1/>Np2L и G1/>Np2L. Таким образом, аналогичнополучаем, что P1 является p2-группой.
Рассмотрим решетку HVωX/ωX.Ввиду леммы 6 HVωX/ωX/>H/ωX∩H=H/ωL.
Таким образом, Xявляется максимальной ω-насыщенной подформацией в HVωX. Тогда H1VωX=HVωX=H2VωX.Значит G1/>H2VωX.Следовательно, G1/>lωform(H2/>X)=lωform({G2}/>X)/>Nωform({G2}/>X).
Так как P1 – p2-группа иp2/>ω',то G1/>form({G2}/>X). По условиюP2=GX. Поэтому P2/>Ф(G2). Но G1/>X. Значит, G1/>form({G2}/>X)\X. Посколькудля любой группы A из {G2}/>X, подгруппа AX не содержит фраттиниевыхA-главных факторов, то по лемме 14 получаем G1/>H({G2}/>X). Так как G1/>X и G2/P2/>X, то G1/>G2. Следовательно, H1=H2.Противоречие.
Таким образом, вформации F нет минимальных ω-насыщенных не />-разложимых подформаций, отличныхот H1.
Пусть теперь F1 –произвольная не />-разложимая ω-насыщеннаяподформация из F. Тогда в силу уже доказанного и леммы получаем, что H1/>F1.Следовательно, применяя лемму 4, получаем F1=F1∩F=F1∩(H1VωM)=H1Vω(F1∩M).Теорема доказана.
Приведем некоторыеследствия доказанной теоремы.
Если ω={p}, а /> – множествовсех простых чисел, то из теоремы 1 вытекает
Следствие 1. В том итолько том случае p-насыщенная ненильпотентная формация F имеет нильпотентнуюмаксимальную p-насыщенную подформацию, когда F= MVpH, где M – p-насыщеннаянильпотентная формация, H – минимальная p-насыщенная ненильпотентная формация,при этом: 1) всякая p-насыщенная нильпотентная подформация из F входит в MVp( H∩N); 2) всякая p-насыщенная ненильпотентная подформация F1 из F имеет вид HVp(F1∩N).
Если />– множество всех простыхчисел, то из теоремы 1 вытекает
Следствие 2. В том итолько том случае ω-насыщенная ненильпотентная формация F имеетнильпотентную максимальную ω-насыщенную подформацию, когда F= MVωH,где M – ω-насыщенная нильпотентная формация, H – минимальнаяω-насыщенная ненильпотентная формация, при этом: 1) всякаяω-насыщенная нильпотентная подформация из F входит в MVω(H∩N); 2)всякая ω-насыщенная ненильпотентная подформация F1 из F имеет вид HVω(F1∩N).
Если ω и /> равнымножеству всех простых чисел, то из теоремы 1 получаем
Следствие 3 [4]. Вточности тогда нильпотентный дефект локальной формации F равен 1, когда F=MVlH,где M – нильпотентная локальная формация, H – минимальная локальнаяненильпотентная формация, при этом: 1) всякая нильпотентная подформация из Fвходит в MVl(H∩N); 2) всякая ненильпотентная локальная подформация F1 изF имеет вид HVl(F1∩N).
Если ω – множествовсех простых чисел, из теоремы 1 вытекает
Следствие 4. В точноститогда />-разложимыйдефект локальной формации F равен 1, когда F=MVlH, где M – />-разложимая локальнаяформация, H – минимальная локальная не />-разложимая формация, при этом: 1)всякая />-разложимаяподформация из F входит в MVl(H∩X); 2) всякая не />-разложимая локальная подформацияF1 из F имеет вид HVl(F1∩X).
5Заключение
В данной работе получено описаниене />-разложимыхω-насыщенных формаций с />-разложимой максимальнойω-насыщенной подформацией. Результаты работы, являются новыми и связаны сисследованием структурного строения и классификацией частично насыщенныхформаций конечных групп. В доказательствах используются методы абстрактнойтеории групп, общей теории решеток, а также методы теории формаций конечных групп.Результаты работы и методы исследования могут быть использованы при изучениивнутреннего строения частично насыщенных формаций.
Литература
1 Скиба, А.Н. Кратно ω-локальные формации и классыФиттинга конечных групп / А.Н. Скиба, Л.А. Шеметков // Матем. Труды. –1999.–Т.2, №2. – С. 114–147.
2 Шеметков, Л.А. Формации алгебраических систем / Л.А.Шеметков, А.Н. Скиба. – М.: Наука, 1989. – 256 с.
3 Скиба, А.Н. Алгебра формаций / А.Н. Скиба. – Мн.:Беларуская навука, 1997. –240 c.
4 Скиба, А.Н. Классификация локальных формаций конечных группс нильпотентным дефектом />2 / А.Н.Скиба, Е.А. Таргонский //Математ. заметки. –1987. –Т.41, .№ 4. – С. 490–499.
5 Джехад, Дж. Классификация p-локальных формаций длины />3: автореф. …дис. канд. физ.-мат. наук: 02.12.01 / Дж. Джехад; Гом. гос. ун-т им.Ф.Скорины.– Гомель, 1996. – 15 с.
6 Жевнова, Н.Г. ω-Локальные формации с дополняемымиподформациями: автореф. … дис. канд. физ.-мат. наук: 02.12.01 / Н.Г. Жевнова; Гом.гос. ун-т им. Ф.Скорины. – Гомель, 1997. – 17 с.
7 Сафонов, В.Г. О приводимых ω-насыщенных формациях сразрешимым дефектом />2 / В.Г. Сафонов, И.Н. Сафонова //Изв. Гом. гос. ун-та им. Ф.Скорины. – 2005. – №5(32). – С. 162–165.
8 Сафонов, В.Г. Частично насыщенные формации с />-нильпотентным дефектом1 / В.Г. Сафонов, А.И. Рябченко // Вестн. Мозырьского гос. пед. ун-та. – 2005.– № 2(13). – С. 16–20.
9 Сафонова, И.Н. О существовании Hω-критических формаций/ И.Н. Сафонова // Изв. Гом. гос. ун-та им. Ф.Скорины. – 1999. – №1. – С.118–126.
10 Сафонова, И.Н. К теории критических ω-насыщенныхформаций конечных групп / И.Н. Сафонова // Вестн. Полоцк. гос. ун-та. Сер. С.–2004. – №11. – С. 9–14.