Реферат по предмету "Математика"


Новый метод решения кубического уравнения

Автор: Фильчев Э.Г.
Решениекубического уравнения в системе mn параметров
 
Решениекубического уравнения на основе современных методов не представляется тривиальным.В любом справочнике по математике предлагаются следующие методы
— разложение левой части на линейные множители ( если возможно )
— с помощью формулы Кардана
— применение специальных таблиц
(см.например, И.Н.Бронштейн. К.А.Семендяев. Справочник по математике …М. Наука 1980.стр.219).
Вданной статье рассматривается метод решения любых кубических уравнений включаянеприводимый случай формулы Кардана!
 
Задача«Задано кубическое уравнение вида ax3 + bx2+cx + d = 0.
Используяформулы системы mn параметров предложить метод определения нулей исходногоуравнения ». Пусть а = 1.
 
Решение
Насайте fgg-fil1.narod.ru/fmat16.doc приведена, полученная автором, формулаmnпреобразования степенной функции. Для кубического уравнения эта формулаимеет вид
 
(2mn)2+ ( 3x+ b)(2mn)+ 3x2+ 2bx+с = 0 ( 1 )
где
x — любой из нулей ( корней) исходного уравнения
2mn- разность любой пары из трех нулей исходного уравнения
Решивуравнение (1) относительно х и подставив это значение в исходное уравнение, врезультате, после простых, но громоздких преобразований, получим
(2mn)6 +2( 3c – b2 )(2mn)4+(3c– b2 )2(2mn)2 + [ 4( 3c – b2 )3+ ( 2b3 – 9bc + 27d )2]/27 = 0 ( 2 )
 
Этоуравнение устанавливает связь коэффициентов исходного уравнения с параметром(2mn) и является кубическим относительно (2mn)2. На основании формул Виета и уравнения (2) можно сделатьследующее утверждение
Утверждение1«Для любого кубического уравнения вида x3 + bx2+cx + d = 0 справедливы уравнения
3x2 +2bx + c = — (2mn)1( 2mn)2
2(3c-b2)= — [(2mn)12+( 2mn)22+( 2mn)32 ]
[4(3c-b2)3+(2b3 — 9bc+27d)2]/27= — (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32
где(2mn)j — разность любой пары корнейисходного уравнения.
x- один ( любой ) из корней исходного уравнения. „
 
1.Для любого кубического уравнения вида x3 + bx2+cx + d = 0 определяем значение
 
D1=- /> =- (2mn)12 ∙ ( 2mn)22 ∙ ( 2mn)32
 
2.Определяем значение
 
D2= — 2( 3c – b2) = — [(2mn)12 + ( 2mn)22 +( 2mn)32]
Изэтих уравнений следует, что
— если выражение — 2(3c — ) — целое число, то оно разложимо на сумму трехквадратов
— иесли при этом выполняется равенство D1= — (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32 , то в результате получим решениедля (2mn)1,( 2mn)2,( 2mn)3.
 
3.Определяем значение корней исходного уравнения
3x2 + 2bx+ c = — (2mn)1( 2mn)2
3x2 +2bx + c = (2mn)1( 2mn)2
3x2 +2bx + c = — (2mn)1( 2mn)3
3x2 +2bx + c = (2mn)1( 2mn)3
3x2 +2bx + c = — (2mn)2( 2mn)3
3x2 + 2bx+ c = (2mn)2( 2mn)3
 
Задачарешена !
 
Пример1 Решитьуравнение с помощью формул системы mn параметров
 
x3 — 9x2+ 23x — 15 = 0
 
гдеa =1, b = — 9, c = 23, d = -15
 
Решение
1.Определяем значение D1= = — />

-→D1= — [4(69-81)3+( — 1458 +1863 — 405)2]/27= — [4(69-81)3+0]/27= 256 = 162
Обратимвнимание, что в этом примере (2b3-9bc+27d)= 0
 
2.Определяем значение D2=- 2(3c — )
-→D2= — 2( 3∙23 — 81 ) = 24 = 4 + 16 + 4
Этоединственное разложение числа 24 на три квадрата. Следовательно
имеем(2mn)1 = 2, (2mn)2= 4, (2mn)3 = 2.
 
3.Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения
3.1 3x2 + 2bx + c= — (2mn)1( 2mn)2
-→ 3x2 — 18x + 23 = — -> 3x2 — 18x + 31 = 0. Нет действительных решений.
3.23x2 + 2bx+ c= (2mn)1( 2mn)2
-→3x2 — 18x + 23 = -> 3x2 — 18x+ 15 = 0 -→ x2 — 6x+ 5 = 0
-→X1= 3 + 2 = 5, X2= 3 — 2 = 1
ЗдесьX1= 5— одно из решений исходного уравнения.
ЗдесьX2= 1 второе решение исходного уравнения.
3.3 3x2 +2bx + c= — (2mn)1( 2mn)3
-→ 3x2 — 18x + 23 = — -> 3x2 — 18x + 27 = 0 -→ x2 — 6x + 9 = 0
-→X2= 3
ЗдесьX=3 — последнее из решений исходного уравнения.
3.43x2 + 2bx+ c= (2mn)1( 2mn)3
-→3x2 — 18x + 23 = 2∙2 -→ 3x2 — 18x+ 19 = 0. Нет решений исходного уравнения.
Задачарешена!

Пример2 Решитьуравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 — 20x2+ 113x — 154 = 0
гдеa =1, b = — 20, c =113, d = -154
 
Решение
1.Определяем значение D1= — />
-→D1= — [4(339-400)3+( — 16000 +20340 — 4158)2]/27= — [-907924+33124]/27=32400
 
2.Определяем значение D2= — 2(3c — )
-→D2= — 2( — 400 ) = 122 = 32 + 72 + 82 = 42+ 52 + 92
Здесьимеет место два представления числа 122 в виде суммы трех квадратов.
Поэтому,проверяем на соответствие с числом D1= 32400.
2.132 ∙ 72 ∙ 82 = 28224 ≠ 32400
2.242 ∙ 52 ∙ 92 = 32400. Этотвариант подходит!
-→(2mn)11 = 4, (2mn)12= — 4,
(2mn)21= 5, (2mn)22 = — 5,
(2mn)31= 9, (2mn)32 = — 9.
 
3.Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения
3.1 3x2 + 2bx + c = — (2mn)1( 2mn)2
-→ 3x2 — 40x + 113 = — 4∙5 -> 3x2 — 40x + 133 = 0.
-→X1= 7, X2= />

 
4.Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X1= 7, и кроме того, известны значения (2mn)11÷ (2mn)32. Этихданных достаточно для определения двух остальных корней.
4.1Пусть (2mn)11 = 4 = (X1 — X2)-→ X2= X1– 4 = 7 – 4 = 3. Нет решения(это не корень).
4.2Пусть(2mn)12= — 4 = (X1 — X2)-→ X2= X1+ 4 = 7 + 4 = 11. Это второй корень.
4.3Пусть (2mn)21 = 5 = (X2 — X3)-→ X3= X2 — 5 = 7 — 5 = 2. Это третий корень.
Решениемисходного уравнения будет X1= 7, X2= 2, X3= 11.
Расчетзакончен !
 
Пример3 Решитьуравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 — 10x2 — 49x + 130 = 0
 
гдеa =1, b = — 10, c = — 49, d = 130
 
Решение
1.Определяем значение D1= — />
-→D1= — [4( -147 — 100)3+( 2000 +4410 — 3510)2]/27= — [-60276892+8410000]/27= 1920996
 
2.Определяем значение D2= — 2( 3c — )
-→D2= — 2( — 147 — 100 ) = 494 = 12 + 32 + 222 = 22+ 72 + 212 = 72 + 112 + 182
Изэтих трех вариантов представления числа 494 в виде суммы трех квадратовподходит последний вариант, т.к. 72 ∙ 112 /> 182 =1920996
-→ (2mn)11 = 7, (2mn)12 =- 7,
(2mn)21 = 11, (2mn)22 = — 11,
(2mn)31 = 18, (2mn)32 = — 18.
 
3.Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения
3.1 3x2 + 2bx + c = — (2mn)11( 2mn)21
-→ 3x2 — 20x — 49 = 7∙11 -> 3x2 — 20x — 126 = 0. Эти значения Xне подходят!
3.23x2 + 2bx + c= (2mn)11( 2mn)22
-→ 3x2 — 20x — 49 =- 77 -→ 3x2 — 20x + 28 = 0.
-→X1= /> , X2=2 – это один из корней исходного уравнения!
 
4.Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X1= 2, и кроме того, известны значения (2mn)11÷ (2mn)32. Этихданных достаточно для определения двух остальных корней.
4.1Пусть (2mn)11 = 7 = (X1 — X2)-→ X2= X1– 7 = 2 – 7 = — 5. Это второй корень!
4.2Пусть(2mn)12= — 7 = (X1 — X2)-→ X2= X1+7 = 2 + 7 = 9. Это не корень.
4.3Пусть(2mn)21= 11 = (X1 — X3)-→ X3= X1 — 11= 2 — 11 = — 9. Это не корень.
4.4Пусть(2mn)21= -11 = (X1 — X3)-→ X3= X1+ 11= 2 + 11 = 13. Это третий корень!
Решениемисходного уравнения будет X1= 2, X2= — 5, X3= 13.
Расчетзакончен !
Пример4 Решитьуравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 — 6.85x2 + 13.425x – 8.1 = 0
гдеa =1, b = — 6.85, c = 13.425, d = — 8.1
Вэтом уравнении имеют место нецелые значения коэффициентов. Это указывает на то,что и корни также могут иметь нецелые значения.
 
Решение
1.Определяем значение D1= — />
-→D1= — [4( 40.275 – 46.9225)3+(-642.83825 + 827.65125 – 218.7)2]/27
-→D1= — [- 1174.9923236875+1148.328769]/27= 0.987539062500
 
2.Определяем значение D2= — 2( 3c — )
-→D2= — 2(40.275 – 46.9225 ) = 13.2950
Вэтом случае имеют место дробные значения для D1и D2. Предлагаемый метод решения куб.уравнения оперирует только с целыми числами,поэтому необходимо умножить на 10k.
Приэтом значение степени kдолжно определяться
— для D2числом знаков в мантиссе ( для данного примера k2= 4 )
— для D1 =3∙ (число знаков в мантиссе для D2). -→ k1= 3∙ k2( для данного примера k1= 12 ).
Длядальнейшего рассмотрения используем два числа
— D11= 987539062500
— D21 =132950.
 
3.Далее задача заключается в том, чтобы определить три значения таких целых чисел( А, Б, Д), при которых выполняются равенства D21= А2 + Б2 + Д2и D11= А2 ∙ Б2 ∙ Д2.
Длянахождения значений чисел А, Б, Д можно использовать две методики
— найти все варианты представления числа D21в виде суммы трех квадратов. При этом один из этих вариантов будетсоответствовать условию D21= А2 + Б2 + Д2и D11= А2 ∙ Б2 ∙ Д2.
— найти все варианты представления числа D11в виде произведения трех квадратов. При этом один из этих вариантов будетсоответствовать условию D21= А2 + Б2 + Д2и D11= А2 ∙ Б2 ∙ Д2.
ВариантD11= А2 ∙ Б2 ∙ Д2следует считать более удобным.
Длярассматриваемого примера
D11= 987539062500 = 2502 ∙ 2652 ∙ 152
D21 =132950 = 2502 + 2652 + 152.
 
4.В расчетах п.2 была произведена операция перехода к целым числам путемумножения соответствующих чисел на множители k1и k2. Совершая обратную операцию, получим
(2mn)11= 2.5, (2mn)12 = — 2.5,
(2mn)21= 2.65, (2mn)22 = — 2.65,
(2mn)31= 0.15, (2mn)32 = — 0.15.
 
5.Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения
5.13x2 + 2bx+ c = — (2mn)11( 2mn)21
-→3x2 — 2∙(6.85)∙ x+ 13.425 = (2.5)∙(2.65) ->3x2 –13.7x + 6.8 = 0.
-→X1=4 – это один из корней исходного уравнения!
 
6.Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X1= 4, и
крометого, известны значения (2mn)11÷ (2mn)32. Этихданных достаточно для
определениядвух остальных корней.
6.1Пусть (2mn)11 = 2.5 =(X1 — X2)-→ X2= X1– 2.5 = 4 – 2.5 = 1.5 . Это второй корень!
6.2Пусть(2mn)12= — 2.5 = (X1 — X2)-→ X2= X1+2.5 = 4 + 2.5 = 6.5. Это не корень.
6.3Пусть(2mn)21= 2.65 = (X1 — X3)-→ X3= X1– 2.65= 4 – 2.65 = 1.35. Это третий корень!
Решениемисходного уравнения будет X1= 4, X2= 1.5, X3= 1.35.
Расчетзакончен !
Неприводимый случайформулы Кардана
 
Если для кубическогоуравнения имеет место случай одного действительного и двух мнимых сопряженныхкорней, то такой вариант называют неприводимым случаем формулы Кардана.
Рассмотрим неприводимыйслучай формулы Кардана с позиций системы mn параметров.
Задача“Задано кубическое уравнение вида ax3 + bx2+cx + d = 0. Известно, что нули этого уравнения имеют один действительный и два мнимыхсопряженных корня. Используя формулы системы mn параметров предложить методопределения нулей исходного уравнения ».
Пустьа = 1.
 
Решение
Ранее было показано, чтодля любого кубического уравнения имеют место формулы
D1= — (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32
D2= — [(2mn)12 + ( 2mn)22 + ( 2mn)32],
где
— (2mn)j -разность любой пары корней исходного уравнения
— D1= — />
— D2= — 2( 3c – b2)
— ( b,c,d)– коэффициенты исходного уравнения.
Поусловиям задачи имеем один действительный корень ( обозначим его X1= g1)и два сопряженных мнимых корня X2=( g2 — hi), X3= ( g2+ hi). Тогда
(2mn)1= ( X1 — X2)= (g1 — g2) + hi
(2mn)2= ( X1 — X3)= (g1 — g2) – hi
(2mn)3 = ( X2 — X3)= g2 — hi — g2 – hi = — 2hi
-→ D1= — ( 2mn)12∙ ( 2mn)22 ∙ ( 2mn)32 =- [(g1 — g2 ) + hi]2 ∙ [(g1 — g2 ) — hi]2 ∙ [2 hi]2
-→D1=[(g1 — g2)2 + h2]2 ∙ 4h2
Обратимвнимание на то, что в этой формуле в квадратных скобках имеют место
— знак “ + “
— только действительные числа.
Таким образом, методрешения поставленной задачи заключается в следующем
 
1. На основании значений коэффициентовисходного уравнения по формулам
 
D1= — />
D2= — 2( 3c — b2)
определяютсязначения D1и D2.
 
2.ОпределяютсяD1 — как произведение двух квадратов
D2— как удвоенная сумма двух квадратов.
 
3.Определяютсязначения g1,g2,h.

 
4.Определяютсязначения (2mn)11, (2mn)21,(2mn)31
 
5.Определяютсязначения корней исходного уравнения.
Пример5 Решитьуравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 — 9x2 + 73x – 265 = 0
 
гдеa =1, b = — 9, c = 73, d = — 265
Вэтом уравнении имеет место неприводимый случай формулы Кардана.
 
Решение
1.Определяем значение D1= — />
-→D1= — [4(219 – 81)3+(- 1458 +5913 – 7155)2]/27 = — [10512288 + 7290000]/27= — 659344
 
2.Для дальнейших расчетов общий знак “ — “ не имеет значения, поэтомубудем рассматривать D1как положительную величину.
-→D1= [(g1 — g2)2 + h2]2 ∙ 4h2= 659344= 2∙2∙2∙2∙7∙7∙29∙29 = 4∙2∙2∙7∙7∙29∙29=4∙72 ∙ 582
Здесьчисло 659344 представлено в виде всех сомножителей с целью наглядностиформирования множителей в соответствии с формулой [(g1 — g2)2 + h2]2 ∙ 4h2. Тогда можно записать
h= 7,(g1 — g2)2 + h2= 58 -→(g1 — g2)2 = 58 – 49 = 9 -→( g1 — g2) = ± 3
 
3.Для определения g1и g2воспользуемся свойством корней исходного уравнения
— b = X1+X2+X3 -→- ( — 9) = g1 + g2 + hi + g2 – hi = g1+ 2 g2 -→ 9 = g1 + 2g2.
 
4.Теперь, имея два уравнения ( g1 — g2)= ± 3 и (g1+ 2 g2)= 9, можно определить значения g1и g2
Пусть( g1 — g2)= 3 -→g2= g1– 3 -→g1+ 2(g1– 3) = 9 -→ 3g1= 15 -→ g1= 5-→g2= 2.
-→X1= 5, X2= 2 + 7i, X3= 2 – 7i
Расчетзакончен !
 
Пример6 Решитьуравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 — 30x2 + 322x – 1168 = 0
гдеa =1, b = — 30, c = 322, d = — 1168
Вэтом уравнении имеет место неприводимый случай формулы Кардана.
 
Решение
1.Определяем значение D1= — />
-→D1= — [4(966 – 900)3+(- 54000 +86940 – 31536)2]/27 = — [1149984 + 1971216]/27= — 115600
2.Для дальнейших расчетов общий знак “ — “ не имеет значения, поэтомубудем рассматривать D1как положительную величину.
-→D1= [(g1 — g2)2 + h2]2 ∙ 4h2= 115600= 2∙2∙2∙2∙5∙5∙17∙17 = 4∙2∙2∙5∙5∙17∙17=4∙ 52 ∙342
Здесьчисло 115600 представлено в виде всех сомножителей с целью наглядностиформирования множителей в соответствии с формулой [(g1 — g2)2 + h2]2 ∙ 4h2. Тогда можно записать
h= 5,(g1 — g2)2 + h2= 34 -→(g1 — g2)2 = 34 – 25 = 9 -→( g1 — g2) = ± 3
3.Для определения g1и g2воспользуемся свойством корней исходного уравнения
— b = X1+X2+X3 -→- ( — 30) = g1 + g2 + hi + g2 – hi = g1+ 2 g2 -→ 30 = g1 + 2g2.
4.Теперь,имея два уравнения ( g1 — g2)= ± 3 и (g1+ 2 g2)= 30, можно определить значения g1и g2
Пусть( g1 — g2)= — 3 -→g2= g1– 3 -→g1+ 2(g1– 3) = 30 -→ 3g1= 24 -→ g1= 8-→g2= 11.
-→X1= 8, X2= 11 + 5i, X3= 2 – 5i
Расчетзакончен !
 
Новыйметод решения кубических уравнений
Изанализа результатов вышеприведенных примеров можно предложить новый методрешения кубических уравнений… Для корней кубического уравнения могут
иметьместо следующие случаи
— три корня имеют одинаковые действительные значения
— три корня имеют действительные значения, при этом два из них являются сопряженными,т.е. если X1= g + h,то X2= g – hилиX1=/> (g+ h), то X2= />(g– h), Наличие множителя /> обусловленочисленным значением коэффициента bпри X для X3+ bX2+ cX + d= ( X – X1)∙(X2 +bX+ c) = 0.
— один корень имеет действительное значение, два других- комплексные и сопряженные,т.е. если X1= g + ih,то X2= g – ih.
Первыйслучай – тривиальный. (x– a )3 = x3– 3ax2+3a2x– a3=0. Определение корней для остальных случаев является непростой задачей.

Триразных действительных корня
Пустьимеем один действительный корень ( обозначим его X1= g1)и два сопряженных действительных корня. Если исходное уравнение разделить наразность ( X – g1),то получим квадратное уравнение вида
[ X – (g2 + h)]∙[ X – (g2 — h)] = 0
-→ X2 – 2g2X + (g22– h2) = 0
-→ X1 = g1, X2,3= g2 ± h -→ X2 = ( g2 — h), X3 = ( g2 + h)
-→(2mn)1 = ( X1 — X2) = (g1 — g2 ) + h
(2mn)2 = ( X1 — X3)= (g1 — g2 ) – h
(2mn)3 = ( X2 — X3)= g2 — h — g2 – h = — 2h
-→ D1 = — ( 2mn)12∙ ( 2mn)22 ∙ ( 2mn)32 =- [(g1 — g2 ) + h]2 ∙ [(g1 — g2 ) — h]2 ∙ [2h]2
-→ D1= [(g1 — g2 )2 — h2 ]2 ∙ 4h2(3)
-→ D2 = — [ (2mn)12+ (2mn)22 + (2mn)32 ] = — [(g1 — g2 ) + h]2 + [(g1 — g2 ) — h]2+ 4h2
→ D2= — [(g1 — g2 )2 + 2(g1 — g2)∙ h + h2 + (g1 — g2 )2 — 2(g1 — g2 )∙ h + h2 + 4h2]
→ D2= — [ 2(g1— g2)2 + 6h2] = — 2[(g1— g2)2 +3h2] (8)
Наосновании формул системы mnпараметров имеем
D1= — /> (4)
D2= — 2( 3c — b2), (5)
 
гдеb,c,d — коэффициентыисходного кубического уравнения.
Тридействительных корня и два одинаковых
Пустьимеем один действительный корень ( обозначим его X1= g1)и два равных действительных корня. Тогда имеем h=0и (2mn)I= 0
При(2mn)I= 0 наосновании уравнения (1) будем иметь
3x2+ 2bx+с = 0 (6)
→X2=( g2 — h), X3= ( g2+ h) →X2= X3= g2
→ (2mn)1 = ( X1 — X2) = (g1 — g2 )
(2mn)2 = ( X1 — X3)= (g1 — g2 )
(2mn)3 = ( X2 — X3)= g2 — g2 = 0
→ D1= — ( 2mn)12∙ ( 2mn)22 ∙ ( 2mn)32 =0
→ D2 = — [ (2mn)12+ (2mn)22 + (2mn)32 ] = — [ (2mn)12+ (2mn)22 ]
→ D2 = 2 (2mn)12= 2 (g1 — g2 )2 = — 2( 3c – b2) = 2( b2 – 3c )
→ (g1 — g2 )2= ( b2 — 3c )
Наосновании свойств корней исходного уравнения можно записать — b=X1+ 2X2
→                     g1+ 2g2= — b
Решаясистему из двух уравнений будем иметь g2= — />
→             X11,12 = g11,12= />[- b ± /> ]
→X21,22= g21,22= />[ — b± /> ]
Расчетзакончен !
Пример7 Решитьуравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 — 41x2 + 475x – 1083 = 0
гдеa =1, b = — 41, c = 475, d = — 1083
1. X11,12 = g11,12= />[- b ± /> ]→ X11,12 = />[41 ± /> ]= />[41 ± /> ]
→ X11 = /> ,X1 = 3
X21,22 = g21,22= />[- b ± /> ]→ g21,22 = />[41 ± /> ]=/>[41 ± /> ]
→X21= 19, X22= /> →X2= X3= 19
Расчетзакончен !
Выводосновных формул
Заданоисходное уравнение x3 + bx2+ cx + d = 0. Необходимонайти значения корней.
 
1.Определяем значение D1= — />
 
2.Разделим/>
 
3.Представляемчисло /> в видепроизведения двух квадратов /> = [(g1 — g2)2 — h2]2 ∙ h2.
 
4.Меньшиймножитель принимаем за h2→[(g1 — g2)2 — h2]2 = />
→(g1 — g2) = /> (6)
 
5.Для получения второго уравнения используем свойство корней исходного уравнения
Изисходного уравнения b = — (X1+ X2+ X3) →b = — (g1+ g2 — h + g2+h )
→b= — ( g1+ 2g2) (7)
 
6.Решаясистему из двух уравнений (26) и (27) в итоге получим
X1 = g1= /> -b )
→                      X11 = g11= /> -b )               (8)
→                      X12 = g12= /> -b )            (9)
Такимобразом получили значение одного из корней исходного уравнения.
7.→g2 = — />
→ g21 = — />
→g22= — />
8.Определяемдва остальных корня
X21 = g21 + h
X22 = g22 + h
X31 = g21 – h
X32 = g22 – h
 
Этимиформулами определены по два варианта каждого из трех корней. Среди этихвариантов имеют место и корни исходного кубического уравнения.
Задачарешена!
 
Пример8 Решитьуравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 — 33x2 + 311x – 663 = 0
гдеa =1, b = — 30, c = 322, d = — 1168
Решение
1.Определяем значение D1= — />
-→D1= — [4(933 – 1089)3+(- 71874+ 92367 – 17901)2]/27 = — [-15185664 +6718464 ]/27=313600
-→D1= [(g1 — g2)2 — h2]2 ∙ 4h2= 313600= 4∙42∙72∙102 = 4∙402∙72= 4∙702∙42 = 4∙282∙102
313600= 4∙1402∙22 = 4∙72∙402= 4∙52∙562
-→/> = 402∙72= 702∙42 = 282∙102 =1402∙22 =52∙562
 
2.Пусть h12= 72
→ X1 = g11 = /> -b ) = /> -b) = />
→ g11 = X11 =13, X12 = 9.
→ g21 = — /> =- /> =10
→X2,3= g21+ h1= 10 ± 7 → X2= 17, X3= 3
Задачарешена!
Неприводимыйслучай формулы Кардана
Пустьимеем один действительный корень ( обозначим его X1= g1)и два мнимых сопряженных корня
X2=( g2 — ih), X3= ( g2+ ih).
-→(2mn)1 =( X1 — X2)= (g1 — g2) +ih
(2mn)2= ( X1 — X3)= (g1 — g2) – ih
(2mn)3= ( X2 — X3)= g2 — ih— g2– ih= — 2ih
Заданоисходное уравнение x3 + bx2+ cx + d = 0. Необходимонайти значения корней.
1.Определяем значение D1= — />
 
2.Разделим/>
 
3.Представляемчисло /> в видепроизведения двух квадратов /> = [(g1 — g2)2 + h2]2 ∙ h2.
4.Меньшиймножитель принимаем за h2→[(g1 — g2)2 + h2]2 = />
→(g1 — g2) = />
 
5.Для получения второго уравнения используем свойство корней исходного уравнения
Изисходного уравнения b = — (X1+ X2+ X3) →b = — (g1+ g2 — ih + g2+ ih )
→ b = — ( g1 + 2g2 )
 
6. X1 = g1= /> -b )
→                      X11 = g11= /> -b )
→                      X12 = g12= /> -b )
 
7.→g2 = — />
→ g21 = — />
→g22= — />
8.Определяемдва остальных корня
X21 = g21 + h
X22 = g22 + h
X31 = g21 – h
X32 = g22 – h

 
Пример9 Решитьуравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 — 6x2 + 58x – 200 = 0
гдеa =1, b = — 6, c = 58, d = — 200
Решение
1.Определяем значение D1= — />
-→D1= — [4(174 – 36)3+(- 432 +3132 – 5400)2]/27 = — [10512288 + 7290000 ]/27= 659344
-→D1= [(g1 — g2)2 — h2]2 ∙ 4h2= 659344= 4∙22∙72∙292 = 4∙142∙292= 4∙72∙582 = 4∙22∙2032
-→/> = 2032∙22= 582∙72 = 292∙142
Пустьh12= 72
→ X1 = g11 = /> -b ) = /> +6) = /> =4
→ X1 = 4
→      g21 = — /> =- /> =1
→ X2,3 = g21 +ih1 = 1 ± 7i → X2= 1 — 7i, X3= 1 + 7i
Задачарешена!
 
Пример10 Дано уравнение
x3 — 6x2 + 21x– 52 = 0
гдеa =1, b= — 6, c = 21, d= — 52
Решитьуравнение с помощью формул системы mn параметров

Решение
1.Определяем значение D1= — />
-→D1= — [4(63 – 36)3+(- 432 +1134 – 1404)2]/27 = — [ 78732+ 492804 ]/27= 21168
→D1=[(g1 — g2)2 — h2]2 ∙ 4h2= 21168= 4∙22∙72 ∙ /> = 4∙142∙/> = 4∙/>
→D1= /> /> />
Пустьh12= />
→ X1 = g11 = /> -b ) = /> +6) = /> =4
→ X1 = 4
→      g21 = — /> =- /> =1
→ X2,3 = g21 +ih1 = 1 ± 2i/> →X2= 1 + 2i/> ,X3 = 1 — 2i/>
Сравнитеметод решения и результат с первоисточником.
[И.Н.Бронштейн.К. А.Семендяев.Справочник по математике. М. Наука.1980. Стр. 220 ]
Выводновых формул
 
Основныесвойства корней квадратного и кубического уравнений выражаются известнымиформулами Виета. Использование системы mnпараметров дает возможность получения новых, ранее неизвестных, формулотражающих свойства корней указанных уравнений.
Рассмотримкубическое уравнение и проведем анализ формулы (1)
(2mn)2+ ( 3x+ b)(2mn)+ 3x2+ 2bx+с = 0
Еслив это уравнение подставить значение любого из корней исходного кубическогоуравнения, то получим
(2mn)2+ ( 3xi+ b)(2mn)+ 3xi2+ 2bxi+с = 0
 
→(2mn)2 +( 3x1+ b)(2mn)+ 3x12+ 2bx1+с = 0
→(2mn)2 +( 3x2+ b)(2mn)+ 3x22+ 2bx2+с = 0
→(2mn)2 +( 3x3+ b)(2mn)+ 3x32+ 2bx3+с = 0
Такимобразом, исходное кубическое уравнение распадается на три квадратных уравнения.При этом для каждого положительного значения (2mn)Iобязательно найдется отрицательное значение (2mn)j.Поэтому общая сумма всех корней вида (2mn)будет равна нулю.
→( 3x1+ b) + ( 3x2+ b) + ( 3x3+ b) = 0 →3( x1+ x2+ x3) = — 3 b
→( x1+ x2+ x3) = — b.
Такимобразом получили строгое доказательство одного из уравнений Виета.
Рассмотримлюбых два уравнения, например,
→(2mn)2 +( 3x1+ b)(2mn)+ 3x12+ 2bx1+с = 0
(2mn)2+ ( 3x2+ b)(2mn)+ 3x22+ 2bx2+с = 0.
Здесьв качестве свободных членов имеем 3x12+ 2bx1+с и 3x22+ 2bx2+с. Их сумма равна
→Σ = 3(x12+ 3x22)+ 2b(x1+ x2) + 2 с. Расчеты показывают, что
3(x12+x22)+ 2b( x1+ x2) + 2 с = ( x1 — x2)2
→(x1+ x2)2+ b( x1+ x2) + с — x1∙x2= 0
Тогдадля трех корней исходного уравнения будем иметь
→      (x1+ x2)2+ b( x1+ x2) + с — x1∙x2= 0
→      (x1+ x3)2+ b( x1+ x3) + с — x1∙x3= 0
→(x2+ x3)2+ b( x2+ x3) + с — x2∙x3= 0
Этоновые формулы, отражающие свойства корней исходного кубического уравнения!
Вобщем случае эта формула имеет вид
(xi + xj)2+ b( xi+ xj) + с — xi∙xj= 0 ( 10 )
Пример11 Проверитьформулу ( 10 )
x3 — 20x2+ 113x- 154 = 0
гдеa =1, b= — 20, c =113, d= -154
ЗдесьX1= 7, X2= 2, X3= 11.
→(x1+ x2)2+ b( x1+ x2) + с — x1∙x2= 0 → (7 + 2)2 — 20( 7 + 2 ) + 113- 7∙ 2= 0
→(x1+ x3)2+ b( x1+ x3) + с — x1∙x3= 0 → (7 + 11)2 — 20( 7 + 11 ) +113 — 7∙ 11= 0
→(x2+ x3)2+ b( x2+ x3) + с — x2∙x3= 0 → (2 + 11)2 — 20( 2 + 11 ) +113 — 2∙ 11= 0
Расчетподтверждает верность формулы ( 10 ).
Тридействительных корня и два одинаковых
Приналичии двух одинаковых корней имеет место нулевая разность, т.е. (2mn)= 0.
Тогдаиз уравнения (2) следует 3x12+ 2bx1+с = 0. Подставив значения коэффициентов bи с и решив это уравнение получим значение корня- дубля.
Пример12 Пустьимеемв качестве исходногоуравнение x3–25x2+ 203x – 539 = 0. Необходимонайти решения данного уравнения.
РешениеДопустим,что для данного уравнения имеют место два одинаковых корня. Тогдаимеем 3x12+ 2bx1+с = 0 → 3x12 — 50x1+ 203 = 0 → x1,2= /> ) → x1= /> , x2= 7.
Подставивзначение x= 7 в исходное уравнение, убеждаемся, что это один из корней- дубля исходного уравнения.Определить третий корень исходного уравнения не представляет особого труда.Таким образом, решением заданного исходного уравнения является
X1= X2= 7,X3= 11
Тридействительных и одинаковых корня
Вэтом случае имеем для всех (2mn)= 0. Из уравнений (46), (47), (48) получим 3x12+ 2bx1+с = 0.
→x1,2= /> ).При равенстве трех корней имеем /> = 0
→x1,2,3= — /> .
Этуформулу можно получить и более просто. На основании формулы Виета
→(x1+ x2+ x3) = — b.При x= x1= x2= x3→ 3 x= — b→x= — /> .
Пример12 Дано уравнение
x3– 24x2 +183x – 448 = 0 → b=- 24, с = 183, d = — 448
Решитьуравнение с помощью формул системы mn параметров
Решение
1.Определяем значение D1= — />
-→D1= — [4(549 – 576)3+(- 27648 +39528 – 12096)2]/27 = — [-78732 + 46656 ]/27= 1188
-→1188=4∙9∙33 = 4∙36∙/>
 
2.Пусть h2= />
→/> = [(g1 — g2)2 — h2]2 ∙ h2→ [(g1 — g2)2 + h2]2 = 36 →[(g1 — g2)2 — h2] = ± 6
→(g1 — g2)2 = — 6 + /> = />→ g1 — g2= ± /> .
Второеуравнение ( x1+ x2+ x3) = — b→(g1+ g2+ h+ g2– h) = — b→g1+ 2g2= 24
Такимобразом, имеем два уравнения g1 — g2= ± />и g1= 24 — 2g2.
→24 — 2g2— g2= ± /> →g2 =/> = /> →g2= /> →g1= 24 — 2g2→g1= 24 – 17→g1= 7
→X1= 7, X2= /> ( 17 + /> ), X3= /> ( 17 — /> )
Задачарешена!
 
Внимание!В данном примере имеет место множитель /> в значениях X2и X3.Этот случайобусловленследующим
 
1.Разделим исходное уравнение x3– 24x2 +183x – 448 = 0 на (x– 7)
→/> = — x2+ 17x – 64→ x3– 24x2 +183x – 448= (x– 7)∙( x2 — 17x + 64)=0.
кубическое уравнение формула кардан
2.В уравнении x2 — 17x + 64=0 при xимеем нечетный коэффициент равный 17. Поэтому ранее и принято значение 1188= 4∙36∙/> .
Автор с благодарностьюпримет конкретные предложения, замечания и оценки.
E- Mail: fgg-fil1@narod.ru


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.

Сейчас смотрят :

Реферат Понятие и виды рабочего времени
Реферат Трудовое правоотношение
Реферат Основания прекращения трудового договора
Реферат Масові інфекційні захворювання та отруєння людей
Реферат Отличие трудовых отношений от отношений других отраслей права
Реферат Людина як абсолютна цінність
Реферат Миссия организации как перспектива ее развития
Реферат Особенности правового регулирования трудового договора отдельных категорий работников
Реферат Контроль качества аудиторской работы МСА № 220
Реферат Понятие и виды материальной ответственности работников
Реферат Испытательный срок
Реферат Рынок труда в условиях несовершенной конкуренции.
Реферат "Этногенез и биосфера Земли"
Реферат Fifth Buisness- The Death Of Boy Stauton
Реферат Аналіз регуляторного впливу проекту регуляторного акту рішення Чигиринської районної ради „Про внесення змін до рішення районної ради №7-10/vi від 05. 05. 2011 р. «Про управління, володіння та розпорядження майном районної комунальної власності»”