Новый метод «дополнительных краевых условий» Алексея Юрьевича Виноградова
для краевых задач.
www.vinogradov-alexei.narod.ru
Автор нового метода: Алексей Юрьевич Виноградов (1970 года рождения, красный диплом МГТУ им. Баумана 1993 года, кандидат физ-мат наук 1996 года).
Метод придуман вечером 17 марта 2006 года. Метод ещё не обсчитан на компьютерах, но имеет чёткое обоснование и может быть полезен для тех, кто хочет защитить диссертацию на компьютерном обсчёте этого метода (сам я заниматься программированием не имею возможности).
1. Введение — краткое изложение основных матрично-векторных понятий в их классическом виде (составлено так, чтобы было понятно выпускникам вузов).
В матричном виде система линейных дифференциальных уравнений записывается так:
Y(x)’=A(x)·Y(x) + F(x),
где Y(x) — вектор-столбец искомых функций, Y(x)’ — вектор-столбец производных искомых функций, A(x) — квадратная матрица коэффициентов, F(x) – вектор внешних воздействий на систему.
Здесь для простоты рассуждений и для незагроможденности формул будем рассматривать однородную систему дифференциальных уравнений:
Y(x)’=A(x)·Y(x),
но метод справедлив и для неоднородной системы.
Условия на левом крае записываются в виде:
L·Y(0) = L,
где Y(0) — вектор-столбец значений функций Y(x) на левом крае x=0, L — вектор-столбец «правой части» краевых условий левого края, L — прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий левого края.
Аналогично записываются условия на правом крае:
R·Y(1) = R,
где Y(1) — вектор-столбец значений функций Y(x) на правом крае x=1, R — вектор-столбец «правой части» краевых условий правого края, R — прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий правого края.
В книге «Теория матриц» Гантмахера можно посмотреть, что решение однородной (без правой части) системы дифференциальных уравнений можно искать при помощи матрицы Коши, которую ещё называют интегралом Коши или матрициантом. Для обозначения можно использовать буквуК или выражение K(х¬0). (Там же можно посмотреть формулы для неоднородной системы дифференциальных уравнений.)
Y(x)=K(х¬0)·Y(0),
где K(х¬0)=exp(Ax)
при условии, что матрица A=constant.
При условии, что матрица Aне константа можно использовать свойство перемножаемости матриц Коши и записать формулу:
Y(x)=K(х¬0)·Y(0),
где K(х¬0)=K(х4¬x3) · K(х3¬x2)· K(х2¬x1)· K(х1¬0),
где K(хj¬xi)=exp(A(xi)x),
то есть интервал интегрирования разбивается на участки и на участках матрицы Коши приближённо вычисляются по формуле для постоянной матрицы в экспоненте.
2. Новый метод Алексея Юрьевича Виноградова – метод «дополнительных краевых условий».
Запишем на левом крае ещё одно уравнение краевых условий:
M·Y(0) = M.
В качестве строк матрицы Mможно взять те краевые условия, то есть выражения тех физических параметров, которые не входят в параметры краевых условий левого края L или линейно независимы с ними. Это вполне возможно, так как у краевых задач столько независимых физических параметров какова размерность задачи, а в параметры краевых условий входит только половина физических параметров задачи. То есть, например, если рассматривается задача об оболочке ракеты, то на левом крае могут быть заданы 4 перемещения. Тогда для матрицы Mможно взять параметры сил и моментов, которых тоже 4, так как полная размерность такой задачи – 8. Вектор M правой части неизвестен и его надо найти и тогда можно считать, что задача решена, то есть задача сведена к задаче Коши, то есть найден вектор Y(0) из выражения:
| L | | L |
|----| ·Y(0) = |----|
| M| | M |,
то есть вектор Y(0) находиться из решения системы линейных алгебраических уравнений с квадратной невырожденной матрицей коэффициентов, состоящей из блоков Lи M.
Аналогично запишем на правом крае ещё одно уравнение краевых условий:
N·Y(1) = N,
где матрица N записывается из тех же соображений дополнительных линейно-независимых параметров на правом крае, а вектор Nнеизвестен.
Для правого края тоже справедлива соответствующая система уравнений:
| R | | R |
|----| ·Y(1) = |----|
| N | | N |,
Запишем Y(1)=K(1¬0)·Y(0) и подставим в последнюю систему линейных алгебраических уравнений:
| R | | R |
|----| · K(1¬0)·Y(0) = |----|
| N | | N |.
Запишем вектор Y(0) через обратную матрицу
| L |-1 | L |
Y(0) = |----| · |----|
| M| | M|
и подставим в предыдущую формулу:
| R | | L |-1 | L | | R |
|----| · K(1¬0) · |----| · |----| = |----|
| N | | M| | M| | N |.
Таким образом мы получили систему уравнений вида
| L | | R |
B· |----| = |----|
| M| | N |,
где матрица Bизвестна, а векторы Mи <