Министерство образования РФ
Рязанская государственная радиотехническая академия
Кафедра ОиЭФ
Контрольная работа
«Нелинейное уравнение и интервал изоляции корня»
Выполнил ст. гр. 255
Ампилогов Н. В.
Проверил
Малютин А. Е.
Рязань 2007
Расчетная часть.
I.Заданное нелинейное уравнение и интервал изоляции корня:
/>.
II.Схема алгоритма отделения корней
Разбиение исходного интервала />, на котором определена и непрерывна функция />, на n отрезков равной длины:
/>
Вычисление значения функции /> в точках />
концах отрезка />
Выделение отрезка />
/>/>Длина отрезка /> достаточно мала (можно предположить единственность корня)
/>/>
Корень отделен на интервале
Границы исходного отрезка сдвигаются
/>(/>)
Воспользуемся приведенным выше алгоритмом для отделения корня уравнения на заданном отрезке:
Разобьем интервал изоляции корня /> на n отрезков равной длины:
/>
Вычисляем значения функции в точках />:
/>
На концах отрезка (1;2) функция имеет разные знаки и он достаточно мал для определения корня.
III. Уточнение корня методом половинного деления
Отделение корней, нахождение отрезка изоляции
Вычисление f(a)
/>=(a+b)/2
Вычислениеf(/>)
a=/>f(a)*f(/>)
/>
Вывод />
/>Произведем вычисления согласно представленному выше алгоритму. Необходимо определить корень методом половинного деления с погрешностью/>.
Все условия для выполнения данного метода(указаны в теоретической части) выполняются.
/>
Т.к.f(/>)/> то выбираем другой отрезок [1;1,5] на концах которого функция имеет разные знаки и продолжаем вычисления.
/>
Выбираем отрезок [1;1,25] ,
/>
/>является корнем т.к. нам необходимо найти корень с заданной погрешностью и выполняется условие прекращения вычислений:
/>;
Мы нашли корень за 2 шага.
Проведем вычисления в системе MathCAD
В системе MathCAD мы нашли корень так же за 2 шага.
IV. Уточнение корня методом хорд.
Отделение корней, нахождение отрезка изоляции.
/>
/>
/>
/>
Вывод />
Произведем вычисления согласно представленному выше алгоритму. Необходимо определить корень методом хорд с погрешностью/>.
Все условия для выполнения данного метода(указаны в теоретической части) выполняются.
Для того чтобы определить какой формулой метода хорд необходимо воспользоваться найдем значения первой и второй производной на концах отрезка изоляции корня:
/>
/>
Нашли корень за 1 шаг. Проведем вычисления в системе MathCAD.
/>
В системе MathCAD мы нашли корень за 2 шага, это объясняется более высокой точностью MathCAD по сравнению с расчетами вручную.
V. Уточнение корня методом касательных.
Отделение корней, нахождение отрезка изоляции.
/>
/>
Вывод />
Произведем вычисления согласно представленному выше алгоритму. Необходимо определить корень методом касательных с погрешностью/>.
Все условия для выполнения данного метода(указаны в теоретической части) выполняются.
/>
Нашли корень за 2 шага. Проведем вычисления в системе MathCAD.
/>
В системе MathCAD мы нашли корень так же за 2 шага.
VI. Уточнение корня методом простой итерации.
Отделение корней, нахождение отрезка изоляции
[c;d]=[a-h;b+h]
Приведение уравнения
f(x)=0 к виду x=g(x)
n=0
/>
/>n=n+1
Вывод />
Произведем вычисления согласно представленному выше алгоритму. Необходимо определить корень методом простой итерации с погрешностью/>.
Все условия для выполнения данного метода(указаны в теоретической части) выполняются.
/>
Значит, итерационный процесс не применим, расходится и не позволяет получить решение.
Вывод: Изучили различные методы уточнения корней нелинейных уравнений (метод половинного деления, хорд, касательных, простой итерации). На основе полученных нами результатов можно сделать вывод о том, что высокую скорость сходимости при решении уравнений дает метод хорд и метод касательных. Скорость сходимости методов половинного деления и простой итерации небольшие, но они наиболее легко реализуются на ЭВМ.