Некоторые Теоремы Штурма

Быков В.В. bikov@rambler.ru
Содержание   Введение…………………………………………………………………………………………3
§1.Предварительные сведения……………………………………5
§2.Основные факты………………………………………………………………8
§3.Теоремы Штурма……………………………………………………………18
Использованнаялитература…………………………………………27
Введение
 
Темадипломной работы “Теорема Штурма”, связана сименем французского математика Жака Шарля Франсуа Штурма.
ШтурмЖак Шарль Франсуа (Sturm J. Ch. F. – правильноепроизношение: Стюрм), родился 29 сентября 1803 года вЖеневе. Был членом Парижской академии наук с 1836, а также иностранным членом –корреспондентом Петербургской академии наук с того же года. С 1840 года былпрофессором Политехнической школы в Париже.
Штурм(1824/25) и Раабе (1827) ввели главные формулысферической тригонометрии при помощи пространственных координат.
ТеоремуФурье ( Теорема о числе действительных корней между двумя данными пределами ),математика Жозефа Фурье (Joseph Fourier,1768-1830), затмила более общая теорема, опубликованная Штурмом в Bull.mathem.,1829. Доказательство сам Штурм представил только в одной премированной работе1835г. Коши Огюстен (Cauchy Augustin, 1789-1857)распространил теорему Штурма на комплексные корни (1831). Дополнение к ней далтакже Сильвестр Джемс Джозеф (Sylvester Y.Y., 1814-1897) в 1839 годуи позже.
Основныеработы Жана Шарля Штурма относятся к решению краевых задач уравненийматематической физики и связанной с этим задачей о разыскивании собственныхзначений и собственных функций для обыкновенных дифференциальных уравнений.(Задача Штурма-Лиувилля, о нахождении отличных от нуля решений дифференциальныхуравнений:
-(p(t)u¢)¢+q(t)u=lu,
удовлетворяющихграничным условиям вида:
А1u(a)+B1u¢(a)=0,
A2u(b)+B2u¢(b)=0,
(так называемыхсобственных функций), а также о нахождении значений параметра l(собственных значений), при которых существуют такие решения. При некоторыхусловиях на коэффициенты p(t),q(t) задача Штурма-Лиувиллясводилась к рассмотрению аналогичной задачи для уравнения вида: -u¢¢+q(x)u=lu).
Эта задача была впервые исследована Штурмом иЖозефом Лиувиллем (Joseph Liouville, 1809-1882)в 1837г. и закончена в 1841 г.
ТакжеЖак Штурм дал общий метод для определения числа корней алгебраическихуравнений, лежащих на заданном отрезке, названный правилом Штурма, которыйпозволяет находить непересекающиеся интервалы, содержащие каждый по одномудействительному корню данного алгебраического многочлена с действительнымикоэффициентами (уже упоминалось выше).
Емупринадлежат ряд работ по оптике и механике.
ШтурмЖак Шарль Франсуа умер 18 декабря 1855года.
 
§ 1.Предварительные сведения
Среди дифференциальных уравнений, наиболее часто исполь­зуемых вматематике и физике, следует выделить линейное уравне­ние второго порядка,имеющее вид
u"+g(t)u' + f(t)u=h(t)                    (1.1)
или
(р (t)и')' + q(f) и = h(t).                (1.2)
Какправило, если не оговорено противное, предполагается, что функции  (t), g(f), h(f)и р (f) ¹0, q (t), входящие в эти урав­нения, являются непрерывными(вещественными или комплекс­ными) на некотором t-интервале J, который может быть как огра­ниченным, так инеограниченным. Причина, по которой предпола­гается, что р(t)¹ 0, скоро станет ясной.
Из двух выражений (1.1) и (1.2) последнее являетсяболее общим, поскольку уравнение (1.1) может быть записано в виде
(p(t) и')'  +  р(t) f(t)u= р (t) h(t),       (1.3)
еслиопределить p(t) следующим образом:
/>                          (1.4)
принекотором a€J. Частичноеобращение этого утверждения также верно, поскольку если функция р(t) непрерывнодифференци­руема, уравнение (1.2) можно записать в виде
/>,
а этоуравнение имеет вид (1.1).
Вслучае, если функция р (t) непрерывна, но не имеет непрерыв­нойпроизводной, уравнение (1.2) не может быть записано в виде (1.1). Тогдауравнение (1.2) можно интерпретировать как линейную систему из двух уравненийпервого порядка для неизвестного двумерного вектора />:
/>, />.     (1.5)
Другимисловами, решение и= и (t) уравнения (1.2) должно быть такой непрерывно дифференцируемой функцией, чтофункция р(t) u'(t) имеет непрерывную производную, удовлетворяющую (1.2). Если р(t)¹0 и q(t), h(t) непрерывны, к системе (1.5), а потому ик уравнению (1.2) применимы стандартные теоремысуществования и единственности для линейных систем  (Мы можем рассматривать также болееобщие (т. е. менее гладкие) типы решений, если предполагать, например, только,что функции 1/p(t), q(t), h(t) локально интегрируемы.)
Частномуслучаю уравнения (1.2) при /> соответствуетуравнение
и" + q(t) u= h(t).                        (1.6)
Еслифункция /> принимаетвещественные значения, урав­нение (1.2)можетбыть приведено к такому виду с помощью замены независимых переменных
/>, т.е. />    (1.7)
принекотором a€ J. Функция s = s (t) имеет производную /> и потомустрого монотонна. Следовательно, функция s = s (t) имеет обратную  t= t(s), определенную на некотором s-интервале. Послевведения новой независимой переменнойs урав­нение (1.2) переходит в уравнение
/>   (1.8)
гдеаргумент  t  выражений p(f)q(t) и  p(t) h(f)должен бытьзаме­нен функцией t =t(s). Уравнение (1.8) является уравнением типа (1.6).
Еслифункция g(t) имеет непрерывную производную, то урав­нение (1.1) может быть приведено к виду (1.6) с помощью замены неизвестной функции и на z:
/>        (1.9)
принекотором a€ J. В самомделе, подстановка (1.9) в (1.1) приводит к уравнению
/>   (1.10)
котороеимеет вид (1.6).
В силу сказанного выше, мы можем считать, чторассмат­риваемые уравнения второго порядка в общем случае имеют вид (1.2) или (1.6).Утверждения,содержащиеся в следующих упраж­нениях, будут часто использоваться в дальнейшем.
§ 2.Основные факты
 
Прежде чем перейти к рассмотрению специальных вопросов, мыполучим следствия, касающиеся однородного и неоднородного уравнений
/>                 (2.1)
/>               (2.2)
Для этогоперепишем скалярные уравнения (2.1) или (2.2) в виде системы двух уравнений
/>      (2.3)
/>      (2.4)
гдевекторы х= (х1,х2), у == (у1, y2) совпадают с векторами />, />,  A(t)- матрицавторого порядка:
/>   (2.5)
Если неоговорено противное, то предполагается, что />, q(t), h(t) и другие коэффициенты являются непрерывными ком­плекснымифункциями на t-интервале J (которыйможет быть зам­кнутым или незамкнутым, ограниченным или неограниченным).
(i) Если /> и />, /> -произвольные комплексные числа, то задача Коши для уравнения (2.2)
/>,  />  (2.6)
имеетединственное решение, существующее при всех />/>, см. леммуIV. 1.1.
(ii) В частном случае (2.1) уравнения (2.2) и при /> соответствующимединственным решением служит функция />. Поэтому,если /> естьрешение уравнения (2.1), то нули функции и (t) не могутиметь предельной точки вJ.
(iii) Принцип суперпозиции. Если />,/>-решенияурав­нения (2.1), a />, />-постоянные,то функция />  являетсярешением уравнения(2.1). Если />-решениеурав­нения (2.2), то функция /> такжеявляется решением уравнения (2.2) тогда итолько тогда, когда функция /> удовлетворяетуравнению (2.1).
(iv) Если />, />-решенияуравнения (2.1), то соответ­ствующие векторныерешения системы (2.3) />,/> линейно  независимы   (в   каждой точке t) тогда и только тогда, когда функции />, /> линейно
независимыв том смысле, что равенство />, где /> и /> — постоянные, влечет за собой />.
(v) Если />, /> - решенияуравнения (2.1), то существует постоянная с, зависящаяот и (t) и v(t) итакая, что для их врон­скиана W(t) = W(t;и, v) выполняется тождество
/>.                 (2.7)
Посколькуматричным решением системы (2.3) является
/>,
detX(t)=p(t)W(t) и trA(t)=0.
(vi) Тождество Лагранжа. Рассмотримпару уравнений
/>, />,        (2.8)
где f=f(t), g=g(t) - непрерывные функции на J. Если умножить второе уравнение на и, первое-на v и результаты вычесть, мы получим,что
/> ,                       (2.9)
так как />. Соотношение (2.9) назы­ваетсятождеством Лагранжа. Его интегральная форма
/>   (2.10)
где />,называетсяформулой Грина.
(vii) В частности, из (v) следует,что и(t) и v(t) — линейнонезависимые решения уравнения (2.1) тогда итолько тогда, когда в(2.7) />. В этомслучае всякое решение уравнения (2.1) являетсялинейной комбинацией /> функций и(t) иv(t) с посто­янными коэффициентами.
(viii) Если /> (например, />), товронскиан любой пары решений и(t), v(t) уравнения (2.1) равен постоянной .
(ix) В соответствии с результатами общей теории,  вслучае, когда известно одно решение /> уравне­ния (2.1), отыскание других решений v(t) этого уравнения (по край­ней мерелокально) сводится к решению некоторого скалярного дифференциального уравненияпервого порядка. Если /> на подинтервале />, этимуравнением служит уравнение (2.7), где и - известная функция, аv- искомая. Если поделить (2.7) на />,тоэто уравнение запишется в виде
/>,  (2.11)
а послеинтегрирования мы будем иметь
/>,  (2.12)
где а, />. Легко проверить, что если />,/>— произвольныепостоянные и а, />, то функция (2.12)являетсярешением уравнения(2.1), удовлетворяющим(2.7) на любом интервале J', где /> .
(х) Пусть и(t), v(t) — решения уравнения (2.1), удовлетворяю­щие (2.7) с />. Прификсированном /> решениемуравнения (2.1), удовлетворяющимначальным условиям и (s) = 0, p(s)u'(s) = 1, является />. Поэтомурешением урав­нения(2.2), удовлетворяющимусловиям />, слу­житфункция
/>;       (2.13)
(прощепроверить это непосредственно). Общее решение уравнения (2.2) получается прибавлением к (2.13) общего решения />  уравнения (2.1),чтодает
/>.  (2.14)
Если замкнутый ограниченный интервал [a,b] содержитсяв J, то, полагая
/>,  />, />
мы получаемиз (2.14) частное решение
/>.(2.15)
Ономожет быть записано в виде
/>,              (2.16)
где
/>        (2.17)
матрица С (t) зависит от/>,но не зависит от их про­изводных. В этомслучае уравнение (2.1) и эквивалентная ему система (2.3) сводятся к системе
/>.        (2.28)
 (xii) Если известно частное решение /> уравнения (2.27), не равноенулю на J, то мыможем определить линейно независимые решения с помощью квадратур (см. (ix)) и затем найти матрицу, вхо­дящую в (2.28). В действительности, тот жерезультат можно полу­чить более прямым путем. Пусть уравнение (2.27) имеет решение /> на интервале J. Заменимнеизвестную функцию ив (2.1) на z, так что
/>.                       (2.29)
Функция zудовлетворяет дифференциальному уравнению
/>.
Умножая егона />, мыполучаем, что
/>  (2.30)
или, в силу (2.27), что
/>,                (2.31)
т. е.подстановка (2.29) приводит уравнение (2.1) к (2.30)илик (2.31). Мы моглитакже начинать не с решения /> дифферен­циальногоуравнения (2.27), а сфункции />, имеющей непрерывную производную /> и такой, что />  непрерыв­но дифференцируема. При этом /> определяется равенством (2.27), так что /> .Подстановка (2.29) будет назы­ваться также вариациейпостоянных.
(xiii) Подстановка Лиувилля. В качествечастного случая рас­смотрим (2.1) с р (t) = 1:
и" + q (t) и = 0.                      (2.32)
Предположим,что функция q (t) имеет непрерывную производнуювторого порядка, вещественна и не равна нулю, так что
±q(t) > 0, где ± = sgn  q(t)      (2.33)
независит от t. Рассмотрим вариацию постоянных
/>.           (2.34)
Тогда (2.32) сводится к (2.30), где />, т. е. к уравнению
/>     (2.35)
Заменанезависимых переменных />, определеннаясоотношением
/>,                    (2.36)
переводит(2.35) вуравнение
/>   (2.37)
где
/>   (2.38)
ааргументом функции q и ее производных служит функция t= t(s), обратная кфункции s = s (f), определяемой из (2.36) с помощью квадратуры; см. (1.7). В этих формулах штрих означает дифферен­цированиепо t, так что q' = dqldt.
Заменапеременных (2.34),(2.36) называется подстановкойЛиувилля. Этаподстановка, или повторное применение ее, часто приводит к дифференциальномууравнению типа (2.37), в котором функция f (s) «близка» к постоянной. Простой предель­ный случай такой подстановки см. вупр. 1.1(с).
(xiv) Уравнения Риккати. В п. (xi), (xii) и(xiii) рассматривалисьпреобразования уравнения(2.1) в различныелинейные уравнения второго порядка или в соответствующие линейные системы двухуравнений первого порядка.  Иногдаудобно преобразовать(2.1) всоответствующее нелинейное уравнение или систему. Для этого чаще всегоиспользуется следующий метод. Пусть
/>,    (2.39)
такчто />. Тогда после деления (2.1) на и результат можно записать в виде
/>.   (2.40)
Этоуравнение называется уравнением Риккати, соответствующим (2.1). (В общемслучае уравнение вида />, где праваячасть является квадратичным полиномом от г, называется дифференциальнымуравнением Риккати.)
Читателюпредоставляется проверка того факта, что если и (t) — решениеуравнения (2.1), не равное нулю на t — интервале />,тофункция (2.39) является решением уравнения (2.40) на J';обрат­но,если /> - решение уравнения (2.40)на t-интервале />, то,интегрируя (2.39), мы получаем решение
/>              (2.41)
уравнения (2.1), не равное нулю ни в одной точке из J'.
 (xv) Преобразование Прюфера. В случае,когда уравнение (2.1) имеет вещественныекоэффициенты, часто используется следующее преобразование. Пусть  />-вещественное решение уравнения2.1, и пусть
/>.
Поскольку и и и' не могутобратиться в нуль одновременно, то, фиксируя соответствующее значение функции /> в некоторой точке />,мыопределяем с помощью второго из равенств (2.42)непре­рывнодифференцируемую функцию/>. Соотношения (2.42) пере­водят уравнение (2.1) в систему
/> ,      (2.43)
/>           (2.44)
В уравнение (2.43) входит лишь одна из неизвестных функций />.Еслирешение /> уравнения (2.43) известно, то соответствую­щее решение уравнения (2.44) может быть найдено с помощью квадратуры.
Преимущество уравнения (2.43)посравнению с (2.40) состоит в том, что всякое решениеуравнения (2.43) существует на всем интервале J, гденепрерывны р и q. Это видно из соотношения, свя­зывающего решенияуравнений (2.1) и (2.43).
Упражнение2.1. Проверьте, что если функция /> непре­рывна на J и имеет локально ограниченнуювариацию (т. е. имеет ограниченную вариацию на всех замкнутых ограниченныхподин-тервалах из J) и если — вещественное решение уравнения (2.1), то равенства
/> (2.45)
прификсированном значении /> длянекоторого /> однозначноопределяют непрерывные функции />, имеющиелокально ограниченную вариацию и
/>
Соотношения (2.46) и (2.47)следуетпонимать так, что интегралы Римана — Стильтьеса от обеих их частей равны.Обратно, (непре­рывные) решения системы уравнений (2.46), (2.47) определяют реше­ния уравнения (2.1) с помощью соотношений (2.45). Заметим, что если q (t) > 0, р (t) > 0 и функция q(t)р(t) имеет локально огра­ниченную вариацию, то, полагая />, мыполучаем q//>, асоотношения (2.45),(2.46) и (2.47) переходят вравенства
/>/>  (2.48)
/>      (2.49)
/>.                 (2.50)
§ 3. ТеоремыШтурма
Вэтом параграфе мы будем рассматривать только уравнение вида (2.1) свещественными непрерывными коэффициентами р (t) > 0, q (t).Под «решением» мы будем понимать «вещественное, не­тривиальное (т. е. />) решение».Нас будет интересовать множество нулей решения u (t). Дляизучения этих нулей часто оказывается полезным преобразование Прюфера (2.42),поскольку  /> тогда и только тогда, когда />.
 
Лемма 3.1. Пусть /> -вещественное решение уравне­ния (2.1) при />, где /> и /> вещественныи непре­рывны. Пусть функция и (t)имеет в точности /> нулей /> при />.Предположим, что /> - непрерывная функция,определенная равенством (2.42), и /> . Тогда/>и /> при /> .
Доказательство. Заметим, что в той точке t, где u=0, т. е. где />,производная /> в силу (2.43). Следовательно,функция /> возрастаетв окрестности точек, где /> для некоторого целого j. Отсюдаследует, что если /> и />, то /> при />, а также что если />, то /> при />. Тем самымлемма дока­зана.
Втеоремах этого параграфа будут рассматриваться два урав­нения
/>  />
где функции /> вещественны и непрерывны наинтервале J. и
/>   .            (3.2)
В этомслучае уравнение (3.1) называется мажорантой Штурма для (3.1) на J, ауравнение (3.1)-минорантой Штурма для (3.1). Если дополнительноизвестно, что соотношения
/>   (3.32)
или
/> и  />  (3.31)
выполняютсяв некоторой точке />, тоуравнение (3.32) назы­ваетсястрогой мажорантой Штурма для (3.31) на J.
Теорема 3.1 (первая теорема сравнения Штурма). Пустькоэффициенты уравнения /> непрерывны на интервале J: />, и пустьуравнение (3.32) являетсямажорантой Штурма для (3.11). Предположим, что функция /> являетсярешением уравнения (3.11) и имеет точно /> нулей /> при /> , а функция/> удовлетворяетуравне­нию (3.12) и
/>   (3.4)
при />.[Выражение в правой (соответственно левой) части нера­венства (3.4) при /> полагаетсяравным />, если /> (соответственноесли />); вчастности, соотношение (3.4) справедливо при />, если />.] Тогда/> имеет при /> пoкрайнеймере nнулей. Более того, /> имеет покрайней мере nнулей при />,если при /> в (3.4) имеетместо строгое неравенство или если уравнение (3.1 г) является стро­гоймажорантой Штурма для (3.11) при />.
Доказательство. В силу (3.4) можно определить при /> парунепрерывных функций /> с помощью соотношений
/>   (3.5)
Тогдасправедливы аналоги соотношения (2.43):
/>  (3.6j)
Посколькунепрерывные функции />, гладким образом зависят от />, решения системы (3.6) однозначноопределяются своими начальными условиями. Из (3.2) следует, что /> при /> и всех />. Поэтому последняя часть (3.5) иследствие III.4.2 означают, что
/> для />Вчастности, из /> следует, что />, и перваячасть теоремы вытекает из леммы 3.1.
Чтобыдоказать последнюю часть теоремы, предположим вна­чале, что при /> в (3.4)имеет место строгое неравенство. Тогда />. Обозначим через /> решениеуравнения (3.62),удовлетворяющее начальному условию />, так что />. Посколькурешение уравнения (3.62) однозначноопределяется начальными условиями, /> при />. Неравенство, аналогичное (3.7),означает, что /> потому />. Следовательно, /> имеет n нулей при />.
Рассмотримтеперь тот случай, когда в (3.4) имеет место равен­ство, но в некоторой точкеиз /> выполняетсялибо (3.31), либо (3.32). Запишем (3.62) в виде
/>,
где
/>
Еслидоказываемое утверждение неверно, то из уже рассмотрен­ного случая следует, что/> при />.Поэтому /> и />при />. Так как /> только внулях функции />, то отсюда следует, что /> при /> и />.
Следовательно,если /> принекотором t, то />, т. е. />.  Если (3.31) не выполняется ни при каком t из отрезка />, то принекотором t имеет место (3.32), и потому (3.32)справедливо на неко­тором подинтервале из />.  Но тогда на этом интервале />  и потому />. Однако этопротиворечит условию />. Доказательствозакончено.
Следствие 3.1 (теоремаШтурма о разделении нулей). Пусть урав­нение (3.12) является мажорантой Штурма для (3.11) на интервале J, и пусть /> - вещественныерешения уравнений, (3.3j). Пусть /> обращаетсяв нуль в двух точках  /> интер­вала J. Тогда /> имеет покрайней мере один нуль на />. В частности, если /> и />вещественныелинейно независимые решения уравнения  (3.11)/>(3.12). То нулифункции /> разделяют нули функции /> иразделяются ими.
Заметим,что, последнее утверждение этой теоремы имеет смысл, поскольку нули функций /> и /> не имеют наJ предельных точек. Кроме того, />,/> не могутиметь общего нуля />, так как впротивном случае в силу того, что решения урав­нения (3.11) единственны, />,  где /> (так что /> и /> неявляются линейно независимыми).
Упражнение 3.1. (Другое доказательство теоремы Штурма оразделении нулей, когда p1(t)ºp2(t)>0, q2(t)³q1(t).)
Предположим,что u1(t)>0 при t10 при t1£ t£t2. Умножая (p1(t)u¢)¢+q1(t)u=0, где u=u1, на u2, а (p2(t)u¢)¢+q2(t)u=0, где u=u2,на u1, вычитая и интегрируя по [t1,t2], получаем:
p(t)(u1¢u2-u1u2¢)³0, при t1£t£t2, где p=p1=p2. Это означает, что (u1/u2)¢³0; поэтому u1/u2>0 при t10 чего быть не может.
Решение:
(p1(t)u¢)¢+q1(t)u=0, u=u1
(p1(t)u1¢)¢+q1(t)u1=0.
Умножимлевую часть равенства на u2, получим:
u2(p1(t)u1¢)¢+q1(t)u1u2=0.
Вовтором уравнении проделаем соответствующие операции:
(p2(t)u¢)¢+q2(t)u=0,u2=u
(p2(t)u2¢)¢+q2(t)u2=0.
Умножимлевую часть равенства на u1, получим:
u1(p2(t)u2¢)¢+q2(t)u1u2=0.
Вычитаемиз первого уравнения второе, получим:
u2(p1u1¢)¢+q1u1u2-u1(p2u2¢)¢-q2u1u2=0, p=p1=p2
u2(pu1¢)¢+q1u1u2-u1(pu2¢)¢-q2u1u2=0
(u2(pu1¢)¢-u1(pu2¢)¢)+u1u2(q1-q2)=0
Упростимэто уравнение,
u2(p¢u1¢+pu1¢¢)-u1(p¢u2¢+pu2¢¢)+u1u2(q1-q2)=0
Раскроемскобки, получим:
p¢u1¢u2+ pu1¢¢u2 — p¢u1u2¢-pu1u2¢¢+u1u2(q1-q2)=0.
Сравниваяс формулой (2.2), получаем:
(p(u1¢u2-u1u2¢))¢+u1u2(q1-q2)=0
(p(u1¢u2-u1u2¢))¢-u1u2(q2-q1)=0
(p(u1¢u2-u1u2¢))¢=u1u2(q2-q1)=0.
Проинтегрируемэто уравнение по [t1,t],получим:
/>[p(u1¢u2-u2¢u1)]¢dt = />u1u2(q2-q1)dt,  где
u1u2>0, q2-q1³0. Значит p(u1¢u2-u1u2¢)³0.
Т.о.(u1/u2)¢³0Þ u1/u2>0.
Упражнение 3.2.с) Проверьте, что вещественные решения u(t) ¹0 уравнения u¢¢+m/t2u=0(1/17) имеет не более одногонуля при t>0, если m£/>, и эти решения имеют бесконечно много нулей при t>0, если m>/>. В последнем случае множество нулей имеет двепредельные точки t=0 и t=¥.
Решение: в §1 было рассмотрено упражнение 1.1 с), где показали, чтофункция u=tl являетсярешением уравнения u¢¢+m/t2u=0 тогда и только тогда, когда lудовлетворяет уравнению  l(l-1)+m=0. Решая его получили: l=/>±/>m.
Еслиm>1/4,то корни  l1 и l2 –комплексные, т.е.
u=t1/2[cos (/>m-1/4ln t)c1+c2sin(/>m-1/4 ln t)]
имеют бесчисленноемножество нулей. В частности, если положить:
c1=sinu ,c2=cosu,
то получим:
u= t1/2[sin u cos (/>m-1/4ln t)+cos u sin (/>m-1/4 ln t)]=
t1/2 [sin (u+/>m-1/4ln t)].
Еслиm
u=с1t1/2+        +c2t1/2-
имеют не болееодного нуля.
Также, если m=1/4, то решение
u=c1t1/2+c2t1/2lnt
имеют не болееодного нуля.
d) Рассмотримуравнение Бесселя:
v¢¢+v¢/t+(1-m2/t2)v=0,                              (3.10)
где m-вещественныйпараметр. Вариация постоянных u=t1/2/vпереводит уравнение (3.10) вуравнение:
u¢¢+(1-a/t2)u=0, где a=m2-1/4                 (3.11)
Проверимистинность этого утверждения u=t1/2v,следовательно:
v=u/t1/2=ut-1/2.
Найдёмпервую производную:
v¢=(ut-1/2) ¢=u¢t-1/2+u(t-1/2)¢=u¢t-1/2-1/2ut-3/2.
Теперьвторую производную:
v¢¢=(u¢t1/2)¢-1/2(ut-3/2) ¢=u¢¢t-1/2+u¢(t-1/2) ¢-1/2(u¢t-3/2+u(t-3/2) ¢)=
=u¢¢t-1/2 –1/2u¢t-3/2-1/2u¢t-3/2+3/4uut-5/2=
=u¢¢t-1/2-u¢t-3/2+3/4ut-5/2.
Подставляя в уравнение (3.10), получим:
v¢¢+v¢/t+(1-m2/t2)v=0.
u¢¢t-1/2-u¢t-3/2+3/4ut-5/2+1/t(u¢t-1/2-1/2ut-3/2)+(1-m2/t2)ut-1/2=0
t-1/2(u¢¢-u¢t-1+3/4ut-2+u¢t-1-1/2ut-2+u(1-m2/t2))=0
u¢¢+1/4ut-2+u(1-m2/t2)=0
u¢¢+u-m2u/t2+1/4ut-2=0
u¢¢+u-(m2u-1/4u)/t2=0
u¢¢+u-((m2-1/4)u)/t2=0
u¢¢+u-au/t2=0
u¢¢+(1-a/t2)u=0, где a=m2-1/4.
Покажем,что нули вещественного решения v(t)уравнения (3.10) образуют при t>0 такую последовательность t1
Таккак в уравнении
u¢¢+(1-a/t2)u=0, т.е. уравнение
u¢¢+(1-(m2-1/4)/t2)u=0
m — постоянное число, то при m³1/4 и при t –достаточно большое, то выражение
1-(m2-1/4)/t2®1, т.е.если уравнение
u¢¢+(1-(m2-1/4)/t2)u=0
сравнить с уравнением u¢¢+u=0, торасстояние между последовательными нулями стремится к p,т.е. tn-tn-1®p приn®¥.
Теорема 3.2 (втораятеорема сравнения Штурма). Пусть выпол­нены условия первой части теоремы3.1 и функция /> имеет точно nнулей при />.Тогдасоотношение (3.4) выполняется при /> [гдевыражение в правой (соответственно левой) части (3.4) при /> полагаетсяравным />, если />(соответственно,/>)]. Крометого, при /> в (3.4) имеетместо строгое неравенство, если выполнены условия последней части теоремы3.1.
Доказательство этогоутверждения содержится по существу в доказательстве теоремы 3.1, если заметить,что из предположения о числе нулей функции /> вытекаетпоследнее неравенство в сле­дующей цепочке: />.Аналогично, в предположениях последней части теоремы доказательство тео­ремы3.1 дает неравенство />.
Использованная литература:
1.Ф. Хартман. Обыкновенныедифференциальные уравнения: Учебн. пособие./Пер. с англ. И.Х.Сабитова, Ю.В.Егорова; под ред.В.М.Алексеева.-М.: изд.”Мир”, 1970г.-720 с.
2.В.В.Степанов. Курсдифференциальных уравнений. Гос.изд. “Технико-теор.литер.”-М., 1953г.-468 с.
3.Большая СоветскаяЭнциклопедия. /Под ред. А.М.Прохорова. Изд. 3-е., М., “Советская Энциклопедия”, 1978г., т.29. “Чачан-Эне-ле-Бен.” – 640 с.
4.Г.Вилейтнер. “История математики от Декарта до середины19-го столетия.” М., изд. “Наука.”, 1966г. – 508 с.
5.Историяматематики с древнейших времён до начала 19-го столетия. /Подред. Юшкевича А.П., т.3 /Математика 18-го столетия/., изд. “Наука.”,М., 1972г. – 496 с.