Нарисна геометрія
Вступ
Засновником«Нарисної геометрії» є видатний французький геометр кінця VXIII – початку XIXстоліття Гаспар Монж. У своєму класичному творі «Geometry descriptive» (Нариснагеометрія), який був опублікований у 1798 р., Г. Монж розробивзагальну геометричну теорію, яка надає можливість на плоскому аркуші, якиймістить ортогональні проекції тривимірного тіла, вирішувати різністереометричні задачі. Винайдений ним метод, метод ортогонального проеціюванняна дві взаємно перпендикулярні площини проекцій, до цього часу залишаєтьсяєдиним способом створення креслення.
Предметом«Нарисна геометрія» є викладення та обґрунтування методів побудови зображеньпросторових фігур на площини проекцій та розв’язання задач геометричногохарактеру за побудованими зображеннями. Нарисна геометрія є кращим засобомрозвитку в людини просторового уявлення, без якого неможлива інженерна діяльність.Нарисна геометрія є теоретичною базою для складання креслення. Креслення – цесвоєрідна мова, за допомогою якої можна отримати зображення геометричних фігурна площини проекцій, застосовуючи лише точки, прямі та обмежений набіргеометричних індексів, букв та цифр. Мова ця інтернаціональна, оскількизрозуміла будь – якому інженеру, незалежно від того, на якій мові він розмовляєта в якій точці Земної кулі він живе.
1.Проекції точки
Будь-якугеометричну фігуру розглядають як множину точок, які їй належать. Тому проекціїгеометричної фігури на площини проекцій отримують шляхом проеціювання належнихїй точок на площини проекцій.
Усіпобудови, які виконуються у нарисній геометрії, базуються на методіпроеціювання. Залежно від апарату проеціювання проекції поділяють на центральніта паралельні (рис. 1.1).
Центральноюпроекцією точки називають точку перетину променя, проведеного через задануточку простору (А, В), та центр проекцій S з площиною проекцій (П1).(рис. 1.1 а).
Центральнепроеціювання найчастіше застосовують у архітектурі, в машинобудуваннізастосовується паралельне проеціювання.
/>
а) б)
Рисунок1.1 – Методи проеціювання: а) центральне; б) паралельне
Залежновід напрямку проеціювання паралельне проеціювання поділяють на косокутне(напрямок проеціювання не перпендикулярний площині проекцій) та прямокутне(напрямок проеціювання перпендикулярний площині проекцій). Прямокутнепроеціювання найчастіше називають ортогональним. Ортогональною проекцією точкиназивають точку перетину променя, проведеного через точку просторуперпендикулярно площині проекцій, з площиною проекцій.
Як дляцентрального, так і для паралельного проеціювання справедливе твердження, щобудь-якій точці простору відповідає одна єдина центральна (або паралельна) їїпроекція. Але при такому апараті проеціювання по центральній (або паралельній)проекції точки однозначно неможливо встановити її положення у просторі.Необхідно мати якусь допоміжну умову. Такою допоміжною умовою є проеціювання надві площини проекцій.
1.1 Проекції точки на дві взаємноперпендикулярні площини проекцій
Щоботримати ортогональні проекції точки на дві взаємно перпендикулярні площинипроекцій, необхідно з точки простору (точка А) послідовно провестиперпендикуляри до перетину їх з горизонтальною та фронтальною площинамипроекцій (рис. 1.2).На рисунку 1.2 використані такі позначення: П1– горизонтальна площина проекцій; П2 – фронтальна площина проекцій;О – початок координат; Х, У, Z – осі координат; А – точка у просторі; А1та А2 – відповідно горизонтальна та фронтальна проекції точки.
/>
Рисунок 1.2 – Проекції точки на двіплощини проекцій
Дляпобудови комплексного креслення або епюра Монжа (рис. 1.3) необхідноплощину П2 залишити без змін, а площину П1 розвернути на900вниз до суміщення з площиною П2. Послідовно вимірятита відкласти на відповідних осях абсцису, ординату та аплікату точки (рис. 1.3).
/>
Рисунок 1.3 – Побудова епюраМонжа
1.2 Проекції точки на три взаємноперпендикулярні площини проекцій
Щоботримати ортогональні проекції точки на три взаємно перпендикулярні площинипроекцій, необхідно через точку простору послідовно провести перпендикуляри нагоризонтальну, фронтальну та профільну площини проекцій (рис. 1.4). Уперетині проведених перпендикулярів з кожною з площин проекцій одержують ортогональніпроекції точки А: горизонтальну (А1), фронтальну (А2) тапрофільну (А3) проекції точок.
/>
Рисунок1.4 – Проекції точки на три площини проекцій
Нарисунку 1.4 використані такі позначення: П1, П2, П3– відповідно горизонтальна, фронтальна та профільна площини проекцій; О– початок координат; Х, У, Z – осі координат; А – точка у просторі; А1,А2, А3 – проекції точки А відповідно на П1, П2,П3.
Дляпобудови комплексного креслення (епюр Монжа) необхідно площину П2 залишитибез змін, площину П1 розвернути на 900вниз, а площину П3розвернути на 900на право до суміщення з площиною П2(рис. 1.5). Послідовно виміряти та відкласти на відповідних осях абсцису,ординату та аплікату точки А.
/>
Рисунок1.5 – Епюр Монжа
1.3 Основні властивості ортогонального проеціювання
1 Положенняточки у просторі визначається трьома її координатами (X, Y, Z).
2 Горизонтальнапроекція точки визначається її абсцисою (Х) та ординатою (У), фронтальнапроекція точки – її абсцисою (Х) та аплікатою (Z), профільна проекція точки – їїординатою (У) та аплікатою (Z).
Наслідки:
1 Віддаленняточки від площин проекцій визначається відповідними координатами:
- координатою Х– від площини П3;
- координатою У –від площини П2;
- координатою Z– від площини П1.
2 Однойменніпроекції точок знаходяться на одній лінії проеційного зв’язку, перпендикулярнійдо відповідної осі.
3 Положенняточки у просторі визначається двома її проекціями, тому за двома проекціямиточки завжди можна побудувати її третю проекцію.
Приклад 1 За двома проекціями точки А визначити їїтретю проекцію.
/>
а) б) в)
Рисунок 1.6 – Побудова третьоїпроекції точки
Заумовами задачі дані дві проекції точки: фронтальна та профільна (рис. 1.6а).Для побудови горизонтальної проекції точки А необхідно з фронтальної проекціїточки провести лінію проеційного зв’язку, перпендикулярну до осі Х (рис. 1.6б),на якій відкласти ординату точки (рис. 1.6в), яка виміряється напрофільній площині проекцій (відстань позначено двома штрихами).
Аналогічноможна побудувати фронтальну проекцію точки за її горизонтальною та профільноюпроекціями або профільну проекцію точки за горизонтальною та фронтальноюпроекціями.
2.Проекції прямої
Положення прямої у просторі визначаєтьсяположенням двох точок, які їй належать. Тому для побудови комплексногокреслення прямої достатньо мати проекції двох точок, які їй належать (рис. 1.7).
/>
Рисунок 1.7 – Проекції прямоїлінії
2.1Положення прямої відносно площин проекцій
Залежно від положення прямої відносноплощин проекцій прямі поділяють на прямі загального положення та особливого положення.
Прямими загального положення називаютьпрям, не паралельні жодній з площин проекцій (рис. 1.7).
Прямі особливого положення поділяють на прямі рівня та прямі проеціювальні.
Прямі рівня – це прямі, які паралельні одній з площинпроекцій. Залежно від того, якій площині проекцій пряма паралельна, їх поділяютьна прямі горизонтального, фронтального та профільного рівня. На рисунку 1.8наведені приклади прямих рівня: АВ – фронтальна пряма рівня, CD – горизонтальна пряма рівня, EF – профільна пряма рівня.
/>
Рисунок 1.8 – Прямі рівня
Прямі проеціювальні (рис. 1.9) – це прямі, якіпаралельні одночасно двом площинам проекцій, тобто перпендикулярні до третьої,на яку вони проектуються у вигляді точки. Залежно від того, до якої площинипроекцій прямі перпендикулярні, їх називають горизонтально-проеціювальними (відрізок EF), фронтально-проеціювальними (відрізок CD) та профільно-проеціювальними (відрізок AB).
/>
Рисунок 1.9 – Пряміпроеціювальні
Комплексне креслення (епюр Монжа)проеціювальних прямих наведене на рисунку 1.10.
/>
Рисунок 1.10 – Комплексне кресленняпроеціювальних прямих
2.2Визначення натуральної величини відрізка способом прямокутного трикутника
Аналізуючиположення відрізків прямої відносно площин проекцій, можна зробити висновок, щолише у тому випадку, коли відрізок прямої займає особливе положення, накомплексному кресленні маємо натуральну величину відрізка. Для прямихзагального положення на площини проекцій відрізок прямої проектується із спотворенням.При розв’язанні багатьох задач нарисної геометрії досить часто виникаєнеобхідність мати натуральні величини відрізків прямих ліній. Натуральнувеличину відрізка, який займає загальне положення, можна визначити способомпрямокутного трикутника (рис. 1.11). Суть способу полягає в тому, щонатуральну величину відрізка (НВ) визначають як гіпотенузу прямокутного трикутника,у якого один катет – це проекція відрізка на площину проекцій, а другий –різниця відстаней кінців відрізка від цієї площини проекцій. Цей спосіб проілюстрований нарисунку 1.11, де: АВ– відрізок у просторі; А1В1 – горизонтальна проекціявідрізка; />Z – різниця відстанейкінців відрізка АВ від горизонтальної площини проекцій; a – кут нахилу відрізка АВ догоризонтальної площини проекцій.
/>
Рисунок 1.11 – Визначеннянатуральної величини відрізка
Нарисунку 1.12 (а та б) наведений приклад визначення натуральної величинивідрізків та кутів нахилу їх до відповідних площин проекцій.
/>
а) б)
Рисунок1.12 – Визначення натуральної величини відрізка та кутів нахилу його до площинпроекцій
3. Проекції площини
Існуютьшість способів завдання площини у просторі: трьома точками, які не належатьодній прямій, прямою та точкою, яка не належить цій прямій, двома паралельнимипрямими, двома прямими, які перетинаються, геометричною фігурою (відтинанняплощини), слідами площини.
3.1Способи завдання площини на комплексному кресленні
Накомплексному кресленні площина може бути задана:
- проекціями трьохточок, які не належать одній прямій (рис. 1.13);
- проекціямипрямої та точки, яка не належить цій прямій (рис. 1.14);
-
/>
Рисунок 1.13 Рисунок1.14
- проекціямидвох паралельних прямих (рис. 1.15);
- проекціямидвох прямих, які перетинаються (рис. 1.16);
-
/>
Рисунок1.15 Рисунок 1.16
проекціямивідтинання площини (рис. 1.17);
- слідамиплощини (рис. 1.18).
-
/>
Рисунок1.17 Рисунок 1.18
3.2Положення площини відносно площини проекцій
Залежновід положення заданих площин відносно площин проекцій їх поділяють на площинизагального положення та площини особливого положення.
Площинамизагального положення називають площини, які не перпендикулярні до жодної з площинпроекцій. Приклади площин загального положення наведені на рисунках 1.13 –1.18.
Площиниособливого положення поділяють на площини проеціювальні та площини рівня.
Якщозадана площина перпендикулярна до однієї з площин проекцій, то вона на неїпроектується у вигляді відрізка. Такі площини називаються проеціювальними. Залежно від того, якій площиніпроекцій задані площини перпендикулярні, їх називають горизонтально – проеціювальними(рис. 1.19а), фронтально – проеціювальними (рис. 1.19б) тапрофільно-проеціювальними (рис. 1.19в).
/> />
а) б) в)
Рисунок1.19 – Площинипроеціювальні
Площинирівня – це площини, які перпендикулярні одночасно до двох площин проекцій,тобто паралельні третій площині проекцій, на яку вони проектуються у натуральнувеличину.
Залежновід того, якій площині проекцій задана площина паралельна, площини називаютьплощинами горизонтального рівня (рис. 1.20а), фронтального рівня (рис. 1.20б)та профільного рівня (рис. 1.20в).
/> /> />
а) б) в)
Рисунок1.20 – Площини рівня
3.3 Належність точки та прямої площині
1 Пряма належить площині, якщо вонапроходить через дві точки, які їй належать (рис. 1.21а).
/>
а) б)
Рисунок 1.21 – Належність прямої площині
2 Пряма належить площині, якщо вонапроходить через точку, яка належить цій площині та паралельна прямій, яказнаходиться у площині (рис. 1.21б).
Точка належить площині, якщо воназнаходиться на прямій, належній площині. На рисунку 1.22а точка 1 належитьплощині трикутника АВС, оскільки точка належить стороні АВ трикутника АВС. Нарисунку 1.22б точка 2 не належить площині трикутника АВС.
/>
а) б)
Рисунок 1.22 – Належність точки прямій
3.4 Головні лінії площини
До прямих, які займають особливеположення, відносять горизонталі, фронталі, профільні прямі та прямінайбільшого нахилу до площин проекцій.
Горизонталями площини (h) називають прямі, які належатьплощині та паралельні горизонтальній площині проекцій. На рисунках 1.23а(площина задана прямою та точкою, яка не належить цій площині) та 1.23б(площина задана слідами) наведені приклади побудови горизонталей площин.
Побудову горизонталі починають з їїфронтальної проекції (h2), оскільки вона паралельна осі Х12.Горизонтальну проекцію (h1) визначають по лініях проеційногозв’язку.
/>
а) б)
Рисунок 1.23 – Побудова горизонталіплощини
Фронталями площини (f) називають прямі, які належатьплощині та паралельні фронтальній площині проекцій. На рисунку 1.24а та бнаведені приклади проведення фронталей площин, які задані різними способами.
Побудову фронталі починають з їїгоризонтальної проекції (f1), оскільки вона паралельна осі Х12,її фронтальну проекцію (f2) визначають по лініях проеційногозв’язку.
/>
а) б)
Рисунок 1.24 – Побудова фронталі площини
Профільними прямими називають прямі, якіналежать площині та паралельні профільній площині проекцій.
Лініями найбільшого нахилу до площинипроекцій називають прямі, які належать заданій площині та паралельнігоризонталі, фронталі або профільній прямій. Лінії найбільшого нахилу до площинпроекцій дають можливість визначати кути нахилу до відповідних площин проекцій.
4. Перетворення комплексного креслення
Аналізуючиположення прямих та площин стосовно площин проекцій зрозуміло що, лише у томувипадку, коли вони займають особливе положення (рисунки 1.8, 1.10, 1.20), наодній (або двох) площині проекцій матимемо натуральну величину. Якщо прямі чиплощини займають загальне положення, натуральної величини бути не може. Длявизначення натуральної величини розмірів площини чи відрізка існує кількаспособів: заміна площин проекцій, обертання навколо проеціювальної осі,обертання навколо прямої рівня, плоскопаралельне переміщення.
Щобвизначити натуральну величину геометричного об’єкта, необхідно або змінитисистему площин проекцій так, щоб об’єкт зайняв особливе положення, аборозвернути сам об’єкт у просторі так, щоб він зайняв особливе положеннястосовно існуючої системи площин проекцій.
4.1Спосіб заміни площин проекцій
Суть способу полягає в тому, що положення геометричногооб’єкта у просторі залишається незмінним, а одну з площин проекцій замінюютьновою, яка створює з другою площиною проекцій нову систему взаємноперпендикулярних площин, відносно якої геометричний об’єкт займе особливеположення. Замін може бути декілька. Способом заміни площин можна розв’язуватибагато позиційних та метричних задач нарисної геометрії.
Приклад 2 Визначити натуральну величину відрізка АВ.
/>
Рисунок 1.25 – Визначення натуральної величини відрізкаспособом заміни площин проекцій
Для визначення натуральної величини відрізка необхідно ввестидопоміжну площину проекцій П4, яка перпендикулярна до горизонтальноїплощини проекцій та паралельна відрізку АВ.
Площина П4 вводиться на будь – якій відстані відвідрізка АВ. На комплексному кресленні достатньо провести нову вісь Х14паралельно горизонтальній проекції відрізка АВ та з А1 та В1 провестилінії зв’язку, перпендикулярні до осі Х14, на яких відкластивіддалення від горизонтальної площини проекцій, які вимірюються на площині П2(зроблені позначки однією та двома рисками). На рисунку 1.25 позначений кутнахилу (a) прямої АВ до горизонтальної площини проекцій – це буде кут між НВпрямої АВ та прямою паралельною осі Х14.
Щоб визначити кут нахилу прямої АВ до фронтальної площинипроекцій, необхідно ввести площину, перпендикулярну до площини П2 тапаралельну відрізку АВ.
Приклад 3 Визначити натуральну величину трикутника АВС (рис. 1.26).
/>
Рисунок1.26 – Визначення натуральної величини трикутника способом заміни площинпроекцій
Длярозв’язання задачі двічі виконують заміну площин проекцій.
Першазаміна виконана таким чином, щоб трикутник перетворити у проеціювальну площину.Для цього необхідно нову вісь Х14 провести перпендикулярно догоризонтальної проекції горизонталі (h1) – це ознака того, щотрикутник перпендикулярний до нової площини проекцій (П4), на якувін проектується у відрізок.
Другазаміна виконана таким чином, щоб трикутник перетворити у площину рівня. Длядосягнення цього необхідно нову вісь Х45 провести паралельновідрізку, в який спроектувався трикутник АВС.
Відстані, які необхідно виміряти та відкласти від нових осей,позначені відповідними лініями.
4.2Спосіб обертання навколо проеціювальної осі
Суть способу полягає втому, що система площин проекцій залишається незмінною, а геометричний елементзмінює своє положення у просторі, займаючи особливе положення відносно площинпроекцій. Усі точки геометричного об’єкта обертаються у площинах, паралельнихтій площині проекцій, відносно якої вісь обертання перпендикулярна. Якщо вісьобертання перпендикулярна до горизонтальної площини проекцій, то накомплексному кресленні всі горизонтальні проекції точок геометричного об’єктапересуваються по
колах, а фронтальніпроекції – по прямих, паралельних осі Х.
Приклад 4 Визначити натуральну величину трикутника АВС (рис. 1.27).
/>
Рисунок 1.27 –Визначення натуральної величини трикутника способом обертання навколопроеціювальної осі
Для визначення натуральної величини трикутника АВС необхіднопровести горизонталь площини.
Першим обертанням трикутник переведено у проеціювальнеположення. Обертання виконано навколо прямої, проведеної через точку А,перпендикулярної до площини П1.
Друге обертання виконано навколо прямої, проведеної черезточку В, перпендикулярно до площини П2. Трикутник переведений уположення паралельності площині П1, тому горизонтальна проекціятрикутника – це його натуральна величина.
Основним недоліком способу обертання навколо проеціювальноїосі є накладання одного зображення на інше. При розв’язанні задач способомплоскопаралельного переміщення цього недоліку немає.
4.3 Спосіб плоскопаралельного перенесення
Суть способу полягає втому, що система площин залишається незмінною, а геометричний об’єкт займаєособливе положення відносно площин проекцій, що дає можливість розв’язуватипозиційні та метричні задачі. Цей спосіб вважають винятковим способом обертаннянавколо проеціювальної осі. На комплексному кресленні одна з проекційгеометричного об’єкта, не змінюючи своїх розмірів, змінює своє положення відносноосі Х12. Тоді всі точки другої проекції пересуваються по прямих,паралельних осі Х12.
Приклад 5 Визначити натуральнувеличину відрізка АВ.
/>Рисунок1.28 – Визначення натуральної величини відрізка способом плоско паралельногопереміщення
У даному прикладі для визначення натуральної величинивідрізка способом плоскопаралельного переміщення горизонтальну проекціювідрізка (А1 В1) розміщують на вільному місці кресленняпаралельно осі Х12. Фронтальна проекція відрізка АВ буде йогонатуральною величиною. Для її побудови необхідно з фронтальних проекцій точок А2та В2 провести лінії, паралельні осі Х12 до перетину злініями проекційного зв’язку, проведених від горизонтальних проекцій цих точок.
Приклад 6 Визначити натуральнувеличину трикутника АВС.
/>
Рисунок 1.29 –Визначення натуральної величини трикутника способом плоскопаралельногопереміщення
Щоб визначитинатуральну величину трикутника АВС, необхідно спочатку перетворити площинузагального положення в площину проеціювальну (у наведеному прикладі –фронтально – проеціювальну), а потім у площину рівня (на рисунку 1.29 – це площинагоризонтального рівня). Для виконання таких перетворень перш за все необхіднопровести горизонталь площини трикутника.
Щоб перетворити площинузагального положення у площину фронтально проеціювальну, необхідногоризонтальну проекцію трикутника розмістити так, щоб горизонталь його сталаперпендикулярна до осі Х. У цьому разі всі фронтальні проекції вершин трикутникабудуть пересуватися паралельно осі Х до перетину з лініями зв’язку, проведенимиз горизонтальних проекцій вершин трикутника АВС. На фронтальну площину проекційтрикутник проектується у вигляді відрізка прямої лінії.
Щоб перетворити площинуфронтально-проеціювальну у площину горизонтального рівня, необхідно фронтальнупроекцію трикутника (відрізок прямої) розмістити паралельно осі Х – тодігоризонтальні проекції вершин трикутника будуть пересуватися паралельно осі Хдо перетину з відповідними лініями зв’язку. Горизонтальна проекція трикутника –це натуральна величина його.
5. Поверхні
Світ поверхоньбагатогранний та різноманітний. Із усього різноманіття найбільш поширеними єбагатогранники та поверхні обертання.
Багатогранникаминазивають поверхні, які обмежені площинами (гранями). До багатогранниківвідносять призми та піраміди (рис. 1.30).
/>
Рисунок 1.30 –Багатогранники
Залежно від того, якагеометрична фігура є основою багатогранника, їх називають тригранними,чотиригранними, п’ятигранними призмами чи пірамідами.
Поверхні обертанняутворені обертанням твірної (прямої або кривої лінії) навколо нерухомої осі. Доповерхонь обертання відносять конус, циліндр, сферу, тор. На рисунку 1.31наведені комплексні креслення конуса, циліндра, сфери та тора.
/>
Рисунок 1.31 – Поверхніобертання
5.1 Точки на поверхнях
Для побудови проекціїточки, яка належить поверхні, за заданою проекцією необхідно перш за всез’ясувати, якому елементу поверхні точка належить.
Якщо точка належитьповерхні призми чи піраміди, то для побудови другої проекції точки достатньопровести лінії проекційного зв’язку. При побудові проекцій точок, які належатьбудь-якій поверхні, необхідно пам’ятати про видимість. Невидимі проекції точокпозначають у дужках, наприклад, (А1) – горизонтальна проекція точкиА невидима.
/>
Рисунок 1.32 – Точки наповерхнях
На рисунку 1.32наведені приклади побудови горизонтальних проекцій точок, які належать поверхнямпіраміди та циліндра. Задані фронтальні проекції точок. Для побудовигоризонтальних проекцій точок необхідно провести лінії зв’язку на відповідніелементи поверхонь з урахуванням видимості. У наведених прикладах для поверхніпризми фронтальна проекція точки А видна, її горизонтальна проекція – невидна.На поверхні циліндра – фронтальна та горизонтальні проекції точки А не видні.
Для визначення точок,які належать поверхням піраміди або конуса, необхідно виконати допоміжніпобудови.
Якщо точка належитьребру піраміди, то для побудови другої проекції точки необхідно провести лініюзв’язку на відповідне ребро. У наведеному на рисунку 1.33а прикладі шуканаточка D знаходиться на ребрі SC. За умовами задачі задана фронтальна проекціяточки D. Для побудови її горизонтальної проекції достатньо провести лініюзв’язку на горизонтальну проекцію ребра SC.
/> />
а) б)
Рисунок 1.33 – Точки наповерхні піраміди
Якщо точка належитьграні піраміди, то через задану точку у відповідній грані необхідно провестидопоміжну пряму.
У наведеному прикладізадана фронтальна проекція точки R. Точка R належить грані SAC. Для побудови їїгоризонтальної проекції послідовно виконують такі дії:
- через задануточку на грані SAC провести фронтальну проекцію допоміжної прямої SD;
- побудуватигоризонтальну проекцію допоміжної прямої (S1D1);
- по лініїпроеційного зв’язку визначити горизонтальну проекцію точки R на грані ASC.
5.2 Перетин поверхонь проеціювальнимиплощинами
Якщо будь-якугеометричну поверхню перетнути проеціювальною площиною, то одна з проекційлінії перетину очевидна – це відрізок прямої лінії, який збігається з проекцієюпроеціювальної площини. Другу проекцію лінії перетину будують за точками, якіїй належать.
Якщо проеціювальнаплощина перетинає поверхню призми або циліндра, ніякі побудови не виконуються,а лише позначаються проекції лінії перетину. На рисунку 1.34 наведені прикладипобудови проекцій лінії перетину призми та циліндра фронтально-проеціювальнимиплощинами та визначена натуральна величина перерізів способом заміни площинпроекцій (для призми) та способом плоскопаралельного переміщення (для циліндра).
/>
а) б)
Рисунок1.34 – Перетин призми та циліндра фронтально-проеціювальними площинами
Горизонтальна проекціяфігури перерізу піраміди фронтально-проеціювальною площиною наведена на рисунку1.35 Для її побудови проведені лінії проеційного зв’язку на відповідні ребрапіраміди. Натуральна величина фігури перетину визначена способомплоскопаралельного переміщення.
/>
Рисунок1.35 – Перетин піраміди фронтально-проеціювальною площиною
Фігура перерізу конуса фронтально-проеціювальною площиноюзалежить від положення січної площини відносно елементів конуса. На рисунку1.36 наведені приклади побудови перерізів конуса фронтально-проеціювальнимиплощинами.
/>
Рисунок1.36 – Переріз конуса проеціювальними площинами
Привиконанні контурів машинобудівних креслень можливі варіанти, коли необхіднопобудувати перетин складного тіла проеціювальною площиною (рис. 1.37а) тавизначити натуральну величину перерізу. Пропоноване на рисунку 1.37а тілоскладається із послідовно встановлених одну на одну шестигранної призми,циліндра та тригранної піраміди.
/> />
а) б)
Рисунок1.37 – Переріз складного тіла фронтально-проеціювальною площиною
Длярозв’язання цієї задачі необхідно перш за все побудувати профільну проекціюпропонованого тіла (рис. 1.37б) – вигляд зліва.
Перерізпіраміди фронтально-проеціювальною площиною – чотирикутник 1234. Фронтальнапроекція його – це відрізок, обмежений точками 12≡22та 32≡42, який визначається без зайвих побудов.Горизонтальну та профільну проекції чотирикутника одержують по лініяхпроеційного зв’язку, визначаючи точки на відповідних елементах піраміди: точки1 та 2 належать ребрам, а 3 та 4 – основі піраміди. На рисунку 1.38а, б та внаведена поетапна побудова фігури перерізу піраміди заданою площиною.
/> />
а) б)
/>
в)
Рисунок1.38 – Побудова проекцій перерізу піраміди фронтально-проеціювальною площиною
Перерізциліндра даною площиною – еліпс, зрізаний з двох сторін прямими лініями,обмежений точками 5 – 10. Фронтальна проекція фігури перерізу (рис. 1.39)– відрізок, обмежений точками 52 ≡ 62 та 92 ≡102. Горизонтальні проекції точок 5 – 10 знаходять по лініяхпроеційного зв’язку на горизонтальній проекції циліндра (коло). Профільніпроекції точок 5 – 10 визначають по лініях проеційного зв’язку (рис. 1.39),проведених із точок 52≡62, 72≡82та 92≡102. Відстань точок від осі симетріївиміряють на горизонтальній площині та відкладають на відповідній лінійпроеційного зв’язку. Шукані профільні проекції точок, належних фігурі перерізу,послідовно з’єднують плавною кривою лінією.
/>
Рисунок1.39 – Побудова проекцій перерізу циліндра фронтально-проеціювальною площиною
Фігураперерізу шестигранної призми заданою фронтально-проеціювальною площиною –чотирикутник, обмежений точками 11, 13, 14 та 12.
Фронтальнапроекція фігури перерізу – це пряма лінія, яка обмежена точками 112 ≡122 та 132 ≡ 142 (рис. 1.40).
Горизонтальніпроекції точок 11, 12, 13 та 14 визначені по лініях проекційного зв’язку в перетиніз контуром горизонтальної проекції шестигранної призми (рис. 1.40).
/>
Рисунок.1.40 – Побудова проекцій фігури перерізу призми фронтально-проеціювальноюплощиною
Профільніпроекції точок 11, 12, 13 та 14 одержують по лініях проеційного зв’язку навідповідних ребрах шестигранної призми (рис. 1.40). Так, точки 11 та 12належать верхній основі призми, а точки 13 та 14 – бічним ребрам. Длявизначення профільних проекцій точок 13 та 14 достатньо з фронтальних проекційцих точок провести лінії зв’язку до перетину з відповідними ребрами. Для визначенняположення профільних проекцій точок 11 та 12 необхідно з фронтальної проекціїїх (точка 112 ≡ 122) провести лінії зв’язку, наяких відкласти відстані, які виміряються на горизонтальній площині проекцій (нарисунку 1.40 це відстані від горизонтальної осі симетрії поверхні вниз та вверхвідповідно до точок 131 та 141).
Натуральнувеличину фігури перерізу пропонованої деталі заданою фронтально-проеціювальноюплощиною найпростіше визначити способом плоскопаралельного переміщення (рис. 1.41).Для цього фронтальну проекцію фігури перерізу – пряму лінію разом з точками 12– 142, які їй належать, розмістити на вільному місці кресленняпаралельно осі х. Горизонтальні проекції нового положення точок 1 –14 одержуютьв перетині ліній проеційного зв’язку, які проведені з нового положенняфронтальної проекції фігури перерізу, з прямими, які проведені паралельно осі,з горизонтальних проекцій точок 1 – 14 (рис. 1.41).
/>
Рисунок1.41 – Визначення натуральної величини фігури перерізу поверхніфронтально-проеціювальною площиною
6.Побудова розгорток
Урізних галузях техніки та будівництва при виготовленні виробів з листовогоматеріалу часто мають справу з розгортками поверхонь.
Одержуютьці розгортки за допомогою послідовного суміщення елементів поверхні з площиною.
6.1Побудова розгортки піраміди
Щобпобудувати розгортку тригранної піраміди, необхідно перш за все визначитинатуральні величини ребер піраміди одним із способів перетворення комплексногокреслення. Найпростіше це виконати способом плоскопаралельного переміщення. Дляцього на вільному місці креслення розмістити, наприклад, горизонтальні проекціїбічних ребер так, щоб вони стали паралельні осі Х. Зважаючи на те, щокожне ребро має спільну точку – вершину S, зручніше накладати одне ребро наінше (рис. 1.42). Натуральну величину ребер одержують на фронтальнійплощині проекцій у перетині ліній проеційного зв’язку, які проведені з кінців кожногоребра, з лініями, які проведені паралельно осі з кінців фронтальних проекційребер (рис. 1.42).
/>
Рисунок1.42 – Визначення натуральної величини ребер піраміди
Розгорткупіраміди будують способом тріангуляції. Для цього з довільно вибраної точки Sпровести промінь, на якому відкласти натуральну величину будь-якого ребра (рис. 1.43а),наприклад, SA (натуральну величину виміряють на фронтальній площині проекцій).
Дляпобудови грані, наприклад ASB, необхідно визначити положення точки В за двомазаданими А та S (рис. 1.43б)). Точку В визначають у перетині дуг, якіпроведені із точок А та S та дорівнюють натуральним величинам відповідно досторони основи АВ (виміряються на горизонтальній площині проекцій, оскількиоснова паралельна горизонтальній площині проекцій) та бічного ребра ВS,натуральна величина якого визначена на фронтальній площині проекцій.
/>
а) б)
Рисунок1.43 – Побудова грані SAB способом тріангуляції
Іншідві грані (SBC таSCA) бічної поверхні піраміди будують так само, як грань ASB(рис. 1.44).
/>
Рисунок1.44 – Розгортка бічної поверхні піраміди
Длязавершення побудови повної розгортки піраміди необхідно до будь-якої грані, наприкладдо грані ASB, добудувати трикутник основи (рис. 1.45).
/>
Рисунок1.45 – Повна розгортка піраміди
6.2Розгортка призми
Розгорткаповерхні призми складається із розгортки бічної поверхні – це прямокутники,кількість яких залежить від форми основи призми, та двох основ (рис. 1.46).
/>
Рисунок1.46 – Розгортка призми
Кожнийпрямокутник має розміри сторін: висота призми, натуральна величина якоївиміряється на фронтальній площині проекцій та відповідну сторону основи,натуральна величина якої виміряється на горизонтальній площині проекцій.
6.3Розгортка циліндра
Розгорткациліндра складається з бічної поверхні, яка є прямокутником, одна сторона якогодорівнює висоті циліндра, а інша – довжині кола основи циліндра (2πR), тадвох основ циліндра – кола радіусом R (рис. 1.47).
/>
Рисунок1.47 – Розгортка циліндра
Привиконанні розгортки циліндра її поверхню апроксимують призмою. Для цього колооснови поділяють на кілька рівних частин (наприклад, на вісім). Тоді припобудові прямокутника бічної поверхні на горизонтальній прямій відкладаютьхорду кола стільки разів, на скільки частин поділене коло (рис. 1.48).
/>
Рисунок1.48 – Побудова розгортки циліндра
6.4Розгортка конуса
Розгорткаконуса складається з бічної поверхні, що є сектором кола, радіус якого дорівнюєтвірній, а кут визначається за формулою α = 3600R/l, та основиконуса.
Припобудові розгортки конуса її поверхню найчастіше апроксимують поверхнеюпіраміди. Для цього основу поділяють на кілька рівних частин (на рисунку 1.49а –на вісім).
Прямийконус має однакові твірні, натуральною величиною яких є твірні, що обмежуютьфронтальну проекцію конуса (рис. 1.49а).
Нахиленийконус має різні твірні. Натуральну величину мають твірні, що обмежуютьфронтальну проекцію конуса. Натуральну величину всіх інших твірних визначаютьспособом обертання навколо проеціювальної осі (рис. 1.49б).
/>
а) б)
Рисунок1.49 – Визначення натуральних величин твірних конуса
Бічнуповерхню розгортки нахиленого конуса будують способом тріангуляції.
6.5Розгортка бічної поверхні складної поверхні
Доволічасто у інженерній практиці виникає необхідність будувати розгортки бічнихповерхонь, що мають переходи від прямокутного контуру до кола та навпаки. Нарисунку 1.50 зліва наведене креслення такого переходу, а справа – наочнезображення його.
/>
Рисунок1.50 – Зображення складної поверхні
Бічнаповерхня пропонованого переходу складається із послідовно розміщених граннихповерхонь та поверхонь конуса. Поверхня симетрична, тому досить виконатиполовину розгортки бічної поверхні.
Дляпобудови половини трикутної грані (трикутника 123) необхідно на вільному місцікреслення провести вертикальну лінію, на якій відкласти натуральну величинусторони трикутника, наприклад, 12 (фронтальна проекція відрізка 2212– натуральна величина). З точки 1 вправо відкласти під прямим кутом до 12натуральну величину половини основи трикутника (натуральна величина відстані 13виміряється на горизонтальній площині проекцій). Натуральні величини позначеніна кресленні та розгортці відповідно однією та двома лініями. З’єднавши точки1, 2 та 3, дістаємо половину трикутної грані (рис. 1.51) пропонованоїповерхні.
/>
Рисунок1.51 – Побудова елемента розгортки
Даліза трикутною гранню йде частина нахиленого конуса з вершиною у точці 3, першоютвірною якого є сторона 23 трикутної грані.
Щобпобудувати розгортку конічної поверхні, необхідно розбити частину кола міжточками 2 та А (основа конуса) на кілька частин (на рисунку 1.52 на тричастини). Натуральна величина твірних 3С та 3В визначається способом обертаннянавколо проеціювальної осі, яка проходить через точку 3. Натуральна величинатвірної 3А – це її фронтальна проекція. Розгортку конічної поверхні будуютьспособом тріангуляції (рис. 1.52).
/>
Рисунок1.52 – Побудова розгортки конічної поверхні
Далідо розгортки необхідно додати трикутну грань 3А4, яка проектується у натуральнувеличину на фронтальну площину проекцій (рис. 1.53).
/> />
Рисунок1.53 – Побудова розгортки гранної поверхні
Потімдо розгортки додається конічна поверхня з вершиною у точці 4 (рис. 1.54).
/>
Рисунок1. 54 – Побудова розгортки конічної поверхні
Завершуєпобудову розгортки бічної поверхні половина трикутної грані 4F5, яка унатуральну величину проектується на профільну площину проекцій. На рисунку 1.55наведена половина розгортки бічної поверхні пропонованої на рисунку 1.50деталі.
/>
Рисунок1.56 – Розгортка складної поверхні
7.Аксонометрія
Аксонометрієюназивають зображення предмета разом з координатною системою, до якої вінвіднесений, на вибрану аксонометричну площину проекцій (рис. 1.56).
Залежновід напрямку проеціювання аксонометрію поділяють на косокутну та прямокутну.
Косокутноюназивають аксонометрію, коли напрямок проеціювання не перпендикулярний дозаданої площини проекцій. Прямокутною називають аксонометрію, коли напрямокпроеціювання перпендикулярний до заданої площини проекцій.
/>
Рисунок 1.56 – Побудова аксонометричної проекції точки А
ГОСТ 2.317–68 встановлює п’ять типів аксонометричнихпроекцій: прямокутна ізометрія (рис. 1. 57а), прямокутна диметрія (рис. 1.57б),косокутна фронтальна ізометрія (рис. 1.57в), горизонтальна ізометрія (рис. 1.57 г.),фронтальна диметрія (рис. 1.57д).
/>
Рисунок1.57 – Типи аксонометричних проекцій
Найчастішевиконують прямокутну ізометрію деталей. Координатні осі ізометрії розміщені підкутом 1200, поетапна побудова яких наведена на рисунку 1.58.
/>
Рисунок1.58 – Поетапна побудова ізометричних осей
Для побудовиізометричної проекції точки досить виміряти на комплексному кресленні тапослідовно відкласти на відповідних аксонометричних осях абсцису, ординату тааплікату заданої точки (рис. 1.59).
/>
Рисунок1.59 – Ізометрична проекція точки А
Ізометріякола – це еліпс, велика та мала осі якого орієнтуються по-різному залежно відтого, якій площині він належить або якій паралельний (рис. 1.60).
/>
Рисунок1.60 – Ізометрія кола
Припобудові ізометрії кола слід пам’ятати про те, що велика вісь еліпса завждиперпендикулярна до відсутньої у даній площині осі, а мала вісь з неюзбігається. При цьому, велика вісь еліпса дорівнює 1,22D, а мала – 0,71D.
Щобвиконати ізометрію деталі, пропонованої на рисунку 1.50, необхідно виконатиконтур нижньої основи – це прямокутник, а потім визначити положення верхньоїоснови – це коло, яке проектується у вигляді еліпса (рис. 1.61).
/>
Рисунок1.61 – Побудова ізометричних проекцій основ складної поверхні
Назавершальному етапі побудови аксонометричної проекції пропонованої деталінеобхідно з’єднати точки верхньої та нижньої основи – одержуємо ізометріюбічної поверхні (рис. 1.62а)). Потім необхідно видалити лінії невидимогоконтуру (рис. 1.632б).
/>
а) б)
Рисунок1.62 – Ізометрична проекція складної поверхні