Содержание
Введение 3
Основные понятия и определения 4
Глава 1. Делимость в мультипликативныхполугруппах_ 7
§1. Свойства НОДи НОК_ 7
§ 2. Строениечисловых НОД и НОК полугрупп_ 11
Глава 2. Мультипликативные полугруппынеотрицательных чисел со свойствами (*) и (**) 15
Библиографический список 19
/>/> Введение
В математическихисследованиях множество действительных чисел R очень популярно как бескрайний источник простыхпримеров и как множество, использующееся во многих структурах.
Рассматриваемое в даннойработе множество неотрицательных действительных чисел – это интересноелегко интерпретируемое подмножество R.
Как известно, различные подалгебрымножества R+ (например, полугруппа N) исследовались ранее. В этой работемы продолжим изучение мультипликативных полугрупп неотрицательныхдействительных чисел с 0 и 1.
Работа состоит из двух глав.Первая глава содержит некоторые свойства наибольшего общего делителя инаименьшего общего кратного элементов целой полугруппы (§1). В этой же главеговорится о строении НОД и НОК полугрупп. Во второй главе получена топологическаяклассификация мультипликативных полугрупп S/>R+, обладающих одним из введенныхспецифических свойств:
(*) /> (ab/>);
(**) /> (0ab/>).
/>/>Основные понятия и определения
Определение 1. Пусть Х – множествопроизвольной природы и t –семейство подмножеств Х, называемых открытыми, удовлетворяющееусловиям:
1) пересечение конечного числа множествиз t принадлежит t,
2) объединение любого множества множествиз t принадлежит t,
3) /> и ÆÎt.
Тогда /> называется топологическимпространством, t – топологиейна Х.
Определение 2. Дополнения открытых множеств в Хназываются замкнутыми множествами.
Определение 3. Пусть /> –топологическое пространство и />. Введемна множестве Х1 топологию t1.Открытыми в пространстве /> назовемвсе множества вида />, где U– произвольное открытое множество в Х.Тогда пространство /> называется подпространствомтопологического пространства />, атопология t1 – топологией, индуцированнойтопологией t на множество Х1.
Определение 4. Семейство открытых множеств втопологическом пространстве /> называетсябазой топологии t,если любое открытое множество в Х является объединением множеств изэтого семейства.
Пример. На числовой прямой R с естественной (евклидовой)топологией открытыми множествами являются всевозможные объединения интервалов,они и образуют базу этой топологии. На множестве неотрицательных чисел R+ эта топология индуцирует топологию,в которой открытым множеством будет, например, /> R+Ç (-1, 1).
Определение 5. Пространство Х1 называетсяплотным подпространством пространства Х, если любое непустоеоткрытое множество в Х содержит точки множества Х1.
Очевидно, Х1плотно в Х, если каждая точка подпространства Х1является предельной точкой множества Х.
Определение 6. Множества в топологическомпространстве, являющиеся одновременно открытыми и замкнутыми, называются открыто-замкнутыми.
Определение 7. Топологическое пространство Х называетсясвязным если открыто-замкнутыми множествами в нем являются лишь Хи Æ.
Определение 8. Множество Х1 втопологическом пространстве Х называется связным, если оно связнокак топологическое подпространство пространства Х.
Примеры:
1. Множество точек плоскости являетсясвязным, если в нем любую пару точек можно соединить кривой.
2. На числовой прямой связнымимножествами являются лишь промежутки.
Определение 9. Топологическое пространствоназывается нульмерным, если оно обладает базой из открыто-замкнутых множеств.
Пример. Дискретное топологическоепространство, в котором все его подмножества являются открытыми, – нульмерно.
Далее везде будемобозначать символом Sмультипликативную полугруппу.
Определение 10. Множество S с бинарной операцией умножения × называется мультипликативнойполугруппой, если эта операция обладает свойством ассоциативности, т.е. />.
Определение 11. Элемент b/>S называется делителем элементаа/>S, если /> длянекоторого />. При этом говорят, что /> делится на />, или /> делит /> (/>|/>).
Определение 12. Общий делитель элементов /> и />, делящийся на любой ихобщий делитель, называется наибольшим общим делителем элементов /> и /> и обозначается НОД/>.
Определение 13. Элемент />/>S называется кратным элементу />/>S, если a делится на b.
Определение 14. Общее кратное элементов /> и />, на которое делится любоеих общее кратное, называется наименьшим общим кратным элементов /> и /> и обозначается НОК/>.
Определение 15. Полугруппа Sназывается НОД-полугруппой(НОК-полугруппой), если любые два элемента из Sимеют наибольший общий делитель(наименьшие общее кратное).
Определение 16. Элемент /> изS называется неприводимым, еслион имеет ровно два делителя 1 и а. Неприводимые элементы не представимыв виде произведения неединичных элементов, т.е. если />.
Определение 17. Элемент /> изS называется простым, если />. Очевидно, простыеэлементы неприводимы.
Определение 18. Полугруппа S называется топологическойполугруппой, если на множестве S введена топология, и топологическая и алгебраическая структуры в S согласованы, т.е.
1) áS, ×ñ– полугруппа;
2) S– топологическое пространство;
3) полугрупповаяоперация × непрерывнав S:
/>.
/>/>Глава 1. Делимость в мультипликативных полугруппах/>/> §1. Свойства НОД иНОК
Пусть S – коммутативная мультипликативнаянесократимая полугруппа с 1 и без делителей единицы. Такие полугруппыназываются целыми, или коническими.
Элементы /> и /> из Sназываются взаимно простыми,еслиНОД(/>,/>)=1.
Предварительно рассмотримпростейшие свойства отношения делимости в целых полугруппах.
Свойстваделимости в целых полугруппах
(1) />;
(2) /> – рефлексивность;
(3) /> – антисимметричность;
(4) /> – транзитивность;
(5) />;
(6) />;
(7) Любой простойэлемент неприводим;
(8) р неприводим Û/>;
Свойство 1. НОД и НОК нескольких элементовопределены однозначно, если существуют.
Доказательство. Проведем доказательство для НОД двухэлементов а и bизS. Пусть />(a,b) и />(a,b). Тогда из определения НОД следует /> и />. По свойствуантисимметричности имеем />.
Свойство 2. />.
Доказательство. Импликации/> и /> очевидны. Пусть />, т.е. /> для некоторого />. Очевидно, b – общий делитель а и b. Возьмем произвольный общий делительс элементов а и b.Для него существуют такой элемент />, что и/>. Таким образом, сделит b. Это и означает, что />. Аналогичнодоказывается />.
Следствие 1. />.
Следствие 2. /> и />.
Свойство 3. /> и/>.
Доказательство следует из коммутативности операцииумножения и свойств делимости.
Свойство 4. />.
Доказательство. Обозначим d1=НОД(НОД(a,b),c). Так как d1 является общим делителем НОД(a,b)иc, то d1 – общийделитель и для элементов a,bи c. Верно и обратно: любой общий делитель этих трехэлементов является общим делителем для НОД(a,b)иc. Аналогичным свойством обладает и элемент d2=НОД(a, (НОД(b,c)). Тогда элементы d1 и d2 делят другдруга. По свойству антисимметричности делимости получаем d1=d2.
Свойство 5. />.
Доказательство. Обозначим k1=НОК(НОК(a,b),c). Так как k1 является общим кратным элементов НОК(a,b)иc, то k1 – общеекратное и для элементов a,bи c. Верно и обратно: любое общее кратное этих трехэлементов является общим кратным для НОК(a,b)иc. Аналогичным свойством обладает и элемент k2=НОК(НОК(a,b),c). Тогда элементы k1 и k2 делят друг друга. По свойству антисимметричностиделимости получаем k1=k2.
Свойство 6. Если элементы а и bне взаимно просты, то а и bимеют общий делитель, не равный 1.
Доказательство. По условию НОД(a,b)=d¹1. Тогда по определению d и есть не равный единице общий делитель а и b.
Свойство 7./>=/>.
Доказательство. Обозначим d=НОД(a,b). По свойству (6) делимости элемент сdделит любой общий делитель элементов аси bс, следовательно, является их НОД. Свойство доказано.
Свойство 8.Если />,то />.
Доказательство. Из условия /> следует, что d делит любой общий делитель элементова и bи />.Тогда по свойству (6) делимости элемент /> делитлюбой общий делитель элементов />,следовательно, является их НОД. Свойство доказано.
Свойство 9. Если /> и/>, то />.
Доказательство. Пусть НОД/> и НОД(а,b) = 1, тогда средиделителей элементов bи с нет делителей элемента а. Следовательно, и среди делителейэлемента bc нет делителей элемента а, чтои означает, что />.
Свойство 10.Если />,то /> для любых />N.
Доказательство. Докажем, что /> методом математическойиндукции. Пусть m = 1,тогда /> по условию, т.е. базаиндукции верна. Предположим, что /> длявсех k m. Покажем, что /> при k = m. /> посвойству (10) для с = b. Отсюда, /> для всех />N. /> посвойству 3 делимости. Аналогичными рассуждениями получаем /> для любого />N. Следовательно, />.
Свойство 11.Если />,то /> для любого />.
Доказательство. Пусть />,тогда а = sd и c = td для некоторых s,t/>S таких, что НОД(s,t) = 1. Поскольку />, то НОД(s,b) = 1 и по свойству 9 НОД(s,tb) = 1.Следовательно, />. Свойстводоказано.
Свойство 12. Существование НОК(a,b) влечет существование НОД(a,b) и равенство НОД(a,b)НОК(a,b) = ab.
Доказательство. Если хотя бы одно из чисел /> или /> равно 0, то /> и равенство справедливо.Пусть элементы /> и /> ненулевые и />. Поскольку /> - общее кратное чисел /> и />, то /> для некоторого />. Так как /> и />, то /> - общий делитель /> и />. Докажем, что /> делится на любой общийделитель элементов /> и />. Пусть /> - произвольный общийделитель чисел /> и />, т.е. /> и /> для некоторых />. Поскольку /> - общее кратное элементов /> и />, то />. Так как />, то /> для некоторого />. Отсюда />. Следовательно, />, и, значит, />НОД(/>).
Предложение 1. Полугруппа /> является НОК-полугруппойтогда и только тогда, когда /> естьНОД-полугруппа.
Доказательство. По свойству 12 достаточно доказать,что любая НОД-полугруппа является НОК-полугруппой. Пусть /> есть НОД-полугруппа.Возьмем произвольные />. Если хотя быодно из чисел /> равно 0, то />. Рассмотрим случай /> и />. Обозначим />. Тогда /> и /> для некоторых />. Поскольку /> по свойству 7, то />. Положим />. Число /> является общим кратнымэлементов /> и />. Осталось показать, что на/> делится любое общеекратное /> и />. Возьмем произвольноеобщее кратное /> элементов /> и />, т. е. /> для некоторых />. Тогда />, т.е. /> (поскольку />). По свойству 11 имеем />, значит, /> для некоторого />. Поэтому />, т.е. />./>/>§ 2.Строение числовых НОД и НОК полугрупп
Далее будем рассматриватьмножество всех неотрицательных действительных чисел R+и мультипликативную полугруппуS/>R+, содержащую 0 и 1, с топологией,индуцированной топологией числовой прямой.
Лемма 1. Если Sсвязно, то S=/> илиS=R+.
Доказательство. Пусть S связное множество в R+. Тогда S является промежутком. Поскольку /> и />, то />. Если в S нет элемента c > 1, то />. В противном случае числа /> (/>N) принимают сколь угодно большие значения. Поскольку S – промежуток, то /> для всех />N. Отсюда />R+.
Лемма 2. Если /> несвязно,то />.
Доказательство. Предположим, что />.Тогда в силунесвязности /> существуют такие числа />, что /> и />. Так как />, то />. Тогда />. Полученное противоречиезавершает доказательство.
Лемма 3. Если />, то /> или />=R+.
Доказательство. Очевидно, /> -полугруппа. Пусть /> и />. Тогда существует элемент />. Докажем, что />. Возьмем произвольное />. Пусть натуральное N таково, что />. Тогда из /> следует />. Отсюда />. Лемма доказана.
Лемма 4. Пусть S– НОД-полугруппа и пространство Sнесвязно. Тогда:
1) (0,с)/>Sдля любого />,
2) если />, то и/> для любого />.
Доказательство. 1) Если в интервале (0,1) нетэлементов из S, тозаключение очевидно. Пусть (0,1)ÇS¹Æ.Предположим, что (0,c)/>S для некоторого />. Не теряя общности,будем считать, что />. Так как S несвязно, то по лемме 2 существует s/>[0, 1]\S. Возьмем в S ненулевой элемент /> и положим b=as/>S. Пусть d=НОД(a,b). Поскольку 0ssn/>0 при n/>/>. Тогда sN cдля некоторого натурального N, и, значит, sN/>S. По свойству 8, пункт (3), НОД(a/d, b/d)=1. Поскольку b/d:a/d=s/>S, то элемент a/dнеобратим в S. Очевидно, необратимым является и (a/d)N. По свойству 11, пункт (5), имеем НОД((a/d)N, (b/d)N)=1. Из (b/d)N:((a/d)N=sN/>S следует, что НОД((a/d)N, (b/d)N)=(a/d)N. Значит, элемент (a/d)N ассоциирован с 1, т. е. обратим. Получили противоречие.Следовательно, (0, с)/>S для любого />.
2) Если />, то заключениесправедливо. Пусть /> и />. Тогда по лемме 3существует s/>/>. Предположим, что /> для некоторого с>1. Возьмем в S элемент /> и положим b=as/>S. Поскольку s>1, то sn/>+¥ при n/>/>. Следовательно, sN>cдля некоторого натурального N, и, значит, sN/>S. Повторяя рассуждения, проведенныевыше, заключаем: /> длялюбого/>.
Предложение 2. Пусть S– НОД-полугруппа. Если пространство Sнесвязно и />, то Sнульмерно.
Доказательство. Докажем, что при выполненныхусловиях в любом интервале />, где />, есть точки, непринадлежащие S. Доказываяот противного, предположим, что [a,b]/>S для некоторых />. Возможны два случая.
Случай 1. Пусть 0a.Докажем, что найдется n0/>N, для которого a/>/>b/>. В самом деле, допуская, что b/>a/> для всех n/>N и, переходя в неравенстве b/>a к пределу при n/>/>, получили бы b/>ab. Откуда b/>>a/> для всех натуральных n>n0. Тогда /> чтоневозможно по лемме 4.
Случай 2. Пусть />. Возьмем такое число с > a, чтобы 1cb. Рассуждая, как и в случае 1, получаем c/>/>b/> для некоторого n0/>N. Тогда/> что также невозможно полемме 4.
Докажем, что Sнульмерно. Пусть V – произвольное открытое множество в S и />.Требуется показать, что существует такое открыто-замкнутое в S множество U, что />.Поскольку топология в Sиндуцируется топологией числовой прямой, то существуют такие числа a иb/>, что />.Если />, то это и естьоткрыто-замкнутое множество U.Пусть левее s в интервале /> нет точек множества S, а правее – есть, и точка с — одна из них. По доказанному выше существует точка />,такая, что />. В этом случае /> – искомоеоткрыто-замкнутое множество U.Аналогично рассматривается случай, когда левее точки s в интервале /> есть точки множества S, а правее нет, и случай, когдаинтервал /> содержит точки из Sи справа и слева от s. Предложение доказано.
С помощью предложения 2 можнополучить следующую топологическую классификацию числовых НОД-полугрупп.
Предложение 3. Любая НОД-полугруппа Sотносится к одному из следующихклассов:
1. Sсвязно.
2. Sнульмерно, замкнуто в R+ и 0– предельная точка дляS.
3. Sнульмерно, не замкнуто в R+ и 0– предельная точка дляS.
4. Точка 0изолирована в S.
Доказательство. По лемме 1 существуют полугруппы />, которые являются связнымимножествами. Пусть /> несвязно. Если />=Æ, то 0 – изолированная точка. Еслисуществует элемент />/>, то /> для любого />N и последовательность /> сходитсяк 0. Следовательно, 0 – предельная точка дляS, множество /> приэтом может быть как замкнутым в R+, так и не замкнутым. Предложение доказано.
/>/>Глава 2. Мультипликативные полугруппы неотрицательныхчисел сосвойствами (*) и (**)
В этой главе на основепредложения 2 дадим топологическую классификацию полугрупп S, которые обладают одним из следующихсвойств:
(*) /> (ab/>);
(**) /> (0ab/>).
Лемма 8. Полугруппа S,удовлетворяющая хотя бы одному изсвойств (*), (**) являетсяНОД-полугруппой и НОК-полугруппой. При этом, в первом случае НОД(a,b)= max{a,b}, НОК(a,b)= min{a,b}для любых a,b/>S, а во втором случае – НОД(a,b)= min{a,b},НОК(a,b)= max{a,b}, если числа /> и /> не равны нулю.
Доказательство. Пусть полугруппа S обладает свойством (*). Покажем, чтолюбые два элемента /> имеют НОД и НОК.По свойству (*) a = /> и />S. Получили, что элемент b является делителем a. Следовательно, по свойству 2делимости НОД(a,b) = b = max{a,b} и НОК(a,b) = а = min{a,b}.Аналогичными рассуждениями можно показать, что если полугруппа Sобладает свойством (**), то для любыхненулевых элементов /> и /> НОД(a,b)= min{a,b}, НОК(a,b)= max{a,b}. Пусть хотя бы одно из чисел а или b равно 0, например, b. Тогда НОД(a,b) = НОД(а,0) = а и НОК(a,b) = НОК(а,0) = а.
Лемма 9. Если в полугруппе Sсо свойством (*) существует элемент c > 1, то S \ {}– группа.
Доказательство. Докажем, что в S произвольный ненулевой элемент a acn > 1 для некоторого n/>N. Тогда 1 / acn />S в силу свойства (*). Откуда1 / a = (1 / acn) cn />S.
Предложение 4. Любая полугруппа Sсо свойством (*)относится к одному изследующих классов:
1. S= [0,1].
2. S= R+.
3. S= {rn | n = 0,1,2,…}/>, где 0 .
4. S= {rn | n/>Z}/>, где0 .
5. S – нульмерное плотное подпространствов [0,1].
6. S– нульмерное плотное подпространство в R+.
7. S={0,1}.
Доказательство. Если /> связно,S=/> или S=R+ по лемме 1.
Пусть S несвязно. Поскольку полугруппа {0}È[1,+/>) не обладает свойством (*), то S нульмерно. Предположим сначала, что S замкнуто (в R+). Если в S ровно два элемента, то S= {0,1}. Пусть поэтому />.Покажем, что точка 1 изолирована в S. Предположим, что это не так. Тогда в S существует строго возрастающая последовательность (еn), сходящаяся к 1. Так как S замкнуто и несвязно, то в />(0,1) найдутся такиеэлементы c d, что />(c,d) = /> по лемме 4. В то же время строговозрастающая последовательность (en,d)элементов из S сходится кчислу d. Противоречие. Следовательно, 1является изолированной точкой в S.Обозначим />. Тогда /> />. Возьмем произвольныйненулевой элемент /> из />. Для него /> при некотором />N. По свойству (*) получаем /> и/>. Поскольку />, то />.Тогда в случае S/> имеем />0,1,2,…/>, а в противном случае />Z/> по лемме 9.
Пусть S нульмерно и не замкнуто. Существуетмонотонная последовательность чисел 0/>аn/>S, сходящаяся к некоторому а/>S. Пусть bn = an / an+1, если (an) возрастает, и bn = an+1 / an, если она убывает. Тогда bn/>S (/>N) и bn/>1 при />.Возьмем произвольное число с/>(0,1).Для каждого />N найдется такое k(n)/>N, что />. Тогдаимеем /> и />.
Следовательно, числа />N/> из /> образуютплотное подмножество в [0,1]. Если S/>, то получаем случай 5. Если же S/>/>, то по лемме 9 получаем случай 6.Предложение доказано.
Предложение 5. Любая полугруппа Sсо свойством (**)относится к одному изследующих классов:
1. S= R+.
2. S= {rn | nÎN}/>, где />.
3. S={rn | n/>Z}/>, где />.
4. S\{0} – нульмерное плотноеподпространство в [1,/>).
5. S– нульмерное плотное подпространство в R+.
6. S={0,1}.
7. />È[1,+¥).
Доказательство. Пусть /> связно.Поскольку полугруппа [0,1] не обладает свойством (**), то по лемме 1 получаем S=R+.
Очевидно, /> является полугруппой сосвойством (**).
Пусть далее /> несвязно и />. Тогда /> нульмерно по предложению 2.
Пусть /> замкнуто и />Æ. Если в /> нетэлемента, большего 1, то />. Пусть />(1,+¥)¹Æ. Докажем, что точка 1 изолирована в />. Допустим, что это не так.Тогда в /> существует строгоубывающая /> последовательность,сходящаяся к 1. Так как /> замкнутои несвязно, то в />[1,+¥) есть такие элементы />, что />. В то же время строгоубывающая последовательность /> элементовиз /> сходится к числу />, следовательно, ее члены,начиная с некоторого номера, попадают в интервал />.Получили противоречие. Следовательно, 1 является изолированной точкой в />. Обозначим />. Тогда /> и поскольку /> замкнуто, то />. Возьмем произвольныйэлемент /> из />. Для него /> при некотором />N. По свойству (**) получаем /> и />. Поскольку />, то />.В этом случае />N/>.
Пусть /> замкнуто и />Æ. Как и выше, доказывается, что 1 –изолированная точка. Обозначим /> и />. Тогда />, />. Так как /> замкнуто, то />. Из свойства (**) следует,что />. Из неравенства /> по доказанному вышеполучаем: /> для некоторогонатурального N. Поскольку />, то />.В этом случае />Z/>.
Пусть /> не замкнуто и />Æ. Тогда существует монотоннаяпоследовательность чисел />,сходящаяся к некоторому />. Пусть />, если последовательностьэлементов /> убывает, и />, если она возрастает.Тогда /> для всех />Nи /> при />. Возьмем произвольноечисло />. Для каждого />N найдется такое />N, что />.Тогда имеем /> и />.
Следовательно, числа />N/> из /> образуютплотное подмножество в [1,+ ¥) (случай 4).
Если /> не замкнуто и />Æ, то аналогичные рассужденияпоказывают, что S– плотное подпространство в R+.
Следствие 1. Любая полугруппа S, обладающая свойствами (*)и (**)относится кодному из следующих классов:
1. S= R+.
2. S– нульмерное плотное подпространство в R+.
3. S={0,1}.
/> Библиографический список
1. Варанкина, В.И.,Полукольца непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеалы и конгруэнции[Текст] // В. И. Варанкина, Е. М. Вечтомов,И. А. Семенова / Фундаментальная и прикладная математика. 1998.Т. 4. № 2. С 493-510.
2. Курош, А.Г.Лекции по общей алгебре [Текст] / А. Г. Курош. – М.: Наука, 1973.