--PAGE_BREAK--Построение модели
В модели задаются матрица А, матрица Y, а определяется матрица Х
Переменная хi– план выпуска валовой продукции (валовый выпуск i-той отрасли), хi>0
Переменная yi– конечный продукт экономической системы (плановое задание)
Матрица А – матрица технологических коэффициентов или матрица прямых затрат:
a11 a12 … a1n
Матрица А = a21 a22 … a2n
……
an1 an2 … ann
aij– кол-во i-той продукции необходимое для изготовления 1 единицы j-той продукции; это технологический коэффициент (коэф прямых затрат).
aij*xj– кол-во i-той продукции необходимое для изготовления xjединиц продукции j-той отрасли; это межотраслевая поставка.
(2) aij*xj= аij(выполняется для всех видов продукции)
Подставим (2) в (1), получим:
(3) SXi = Sjaij*xj(по j) + Yi
(4) хi>0
Соотношения (3) и (4) определяют простую балансовую модель Леонтьева.
В матричном виде:
(5) AX+ Y= X
(6) X> 0
Понятие продуктивной матрицы технологических коэффициентов. Условие разрешимости модели Леонтьева.
Матрица прямых затрат А(матрица технологических коэффициентов)
Коэффициенты матрицы А определяются на основе обработки данных о реальных потоках продукции за прошлый период. Эти данные представлены в отчетных межотраслевых балансах; для расчета технологических коэффициентов используют 1 и 2 разделы баланса. Отсюда находят:
aij= aij / xj
Если на планируемый период не намечается существенного изменения технологии, то можно считать, что технологические коэффициенты в новом плановом периоде существенно не изменятся и их можно использовать для построения балансовой модели.
Нормативы, используемые в балансовых моделях, должны отвечать ряду требований:
1. материальные затраты и продукция должны строго соответствовать номенклатуре межотраслевого баланса
2. материальные, энергетические ресурсы и продукция, на производство которой они расходуются должны быть показаны в измерениях номенклатуры МОБ
Продуктивность матрицы А
Система балансовых уравнений
(1) AX+ Y= X
(2) X> 0
имеет решение, когда матрица (Е – А) – невырожденная, значит существует обратная матрица (Е – А)-1, однако это не обеспечивает наличия неотрицательного решения системы. Исследование системы сводится к выявлению условий, которым должна удовлетворять матрица А, чтобы для любого Y> 0 система имела неотриц решение. Ответ на вопрос нахождения неотриц решения связан с понятием продуктивности матрицы А.
Матрица называется продуктивной, если существует такой неотрицательный вектор Х, что (Е – А)Х >0
То же самое: валовый продукт Х > AXпромежуточного продукта, значит существует конечный продукт.
Экономическое определение: матрица А называется продуктивной, если она определяет технологию, обеспечивающую любому объекту выпуск некоторого кол-ва готовой продукции.
Теорема 1. Продуктивность матрицы А является необходимым и достаточным условием существования единственности неотрицательного решения системы балансовых уравнений.
Теорема 2. (Необходимое и достаточное условие продуктивности). Матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда существует матрица S= (Е – А)-1 и все ее элементы не отрицательны.
Теорема 3. (Достаточный признак продуктивности) Матрица А продуктивна, если все ее элементы не отрицательны и сумма элементов по каждому из столбцов не более 1
aij ³0 Saij(по j) Í1
Матрица А м.б. продуктивной и в случае невыполнения теоремы 3.
Для продуктивной матрицы решение балансовых ур-ний м.б. найдено по формуле X = S*Y
6. Эконометрические модели. Линейн мод парной регресс.
Термин «Эконометрическое моделирование» можно перевести как Экономические измерения. Однако здесь речь идет об измерениях, существенно отличающихся от измерений в естественных науках. В эконометрике ошибки, связанные с исходными данными, основываются на различии статистических данных, а в естественных науках на ошибках приборов. Данные статистики, как правило, вероятностные, то есть это статистические ошибки.
Эконометрика занимается изучением и выявлением наблюдаемых в жизни количественных зависимостей и установлением ведущих тенденций в развитии экономических явлений. Закономерности, проявляющиеся в большой массе наблюдений, через преодоление свойственной им случайности называются статистическими закономерностями. По своей сущности они близки к закону, так как отражают существенные причинно-следственные связи. Однако эти связи менее устойчивы и не всеобщи, как в законе, а относятся к определенному пространству и времени. Таким образом. Целью экономического исследования является выявление статистических закономерностей и построение соответствующих ЭММ на основе статистических данных. Построенная модель обычно используется для выработки рекомендаций по принятию решений и прогнозу. Основным элементом любого экономического исследования является построение зависимостей и анализ взаимосвязей экономических величин. Это можно записать так: У=F(х)
Если каждому набору Х соответствует одно определенное значение У, то связь называется функциональной. Характерной особенностью функциональной связи является то, что в каждом случае известен полный перечень факторов, влияющих на результат и механизм этого влияния, выраженный определенным уравнением:
Функциональная связь имеет место в экономике, но не характерна для экономического исследования. В большинстве случаев экономические величины складываются под влиянием множества факторов, один из которых действует объективно. Не исключены случайные воздействия.
При изучении большинства экономических зависимостей не известен полный перечень факторов, влияющий на исследуемый показатель. Факторы могут быть качественно неоднородны, а их действие неоднозначно. Значение зависимой переменной подвержено случайному разбросу. Эти значения не могут быть предсказаны точно. Такие связи называют стохастическими или вероятностными.
Стохастические связи могут быть записаны так: Y= F(x) + E, Е – часть результата, возникшая вследствие случайных явлений.
Главным требованием для экономических моделей является требование допущения случайности изучаемых величин. Наличие зависимости между изучаемыми показателями устанавливается обычно не математическим путем, а на основе качественного анализа. Задача экономического моделирования состоит в установлении вида функции, то есть в отыскании уравнения, которое наилучшим образом соответствует характеру изучаемой связи.
Типы эк. моделей.
регрессионные модели с одним уравнением
Y= F(x, а) + E (а – вектор параметров, Е – стохастическое возмущение)
Y= F(x) + E– однофакторная модель или модель парной регрессии. Если много факторов – модель множественной регрессии.
В зависимости от вид функции модели могут быть линейными и нелинейными.
системы одновременных ур-й
системы могут состоять из тождеств и регрессионных уравнений, каждое из которых кроме независимых переменных может включать зависимые пер-ые из др ур-й системы. На практике такие уравнения стараются привести к рекурсивному виду. Для этого сначала выбирают показатели, зависящие только от независимых факторных переменных и находят эти переменные. Выбирают показатель, зависящий от независимых и найденных зависимых факторных пер-х.
модели временных рядов.
Это последовательность наблюдений какого-либо показателя, упорядоченного во t. Числовые значения исследуемого показателя называются уровнями ряда. Длина ряда – время, прошедшее от начала исследования до конца. Здесь всего одна независимая факторная переменная – t. Y=F(t)+E. При этом в моделях временных рядов Fразлагается на: T(t) – тренд (показывает устойчивую зависимость от t), S(t) – сезонная компонента, С(t) – циклическая компонента.
Методика построения модели.
1. формирование проблемы и ее анализ.
Проводится качественный анализ сущности изучаемого явления или процесса, движущих его сил развития, установление причинно-следственных связей. На основе анализа осуществляется выбор включаемых в модель показателей факторов (лишь наиболее существенные). Выбор переменных определяется содержанием и спецификой изучаемого процесса.
2. формирование исходных данных.
В мат стат-ке – ген совокупность (все возможные наблюдения интересующего показателя). В эконометрике – выборка (случайно отобранные значения из ген совокупности). Главное: представительность. Методы отбора: случайный, типический, механический, серийный.
Данные бывают 2 типов: экспериментальные и не экспериментальные (на основе материалов учета и стат-ки). Не экспериментальные делятся на: перекрестные (данные, относящиеся к одному периоду времени) и временные ряды (данные за разные периоды). На перекрестных данных меньше всег сказываются качественные изменения факторных величин, но слишком сильно может оказаться влияние неучтенных факторов. Временные данные по составу стабильны, но качественно неоднородны характеристики самих переменных. Поэтому возникают трудности в связи с явлениями корреляции.
3. спецификация модели – выбор мат формы Ур-я на основе исх данных.
Y= F(x,a), х- вектор факторных пер-х, а – вектор параметров.
Общие приемы подбора формы урвнения:
-графический анализ хар-ра зависимости
-расчет показателей на основе роста и прироста
-выбор простейших ф-й и переход к более сложным
-сравнение для различных видов ф-й количественных оценок тесноты связей и стат-ой надежности Ур-я в целом.
Задача моделирования: установления вида ф-и, наилучшим образом соответствующей характеру изучаемой связи и оценке точности и адекватности модели.
4. расчет параметров модели.
существует целый ряд методов расчета параметров. Наиболее распространенный –МНК. Это метод оценки параметров линейной эконометрической модели на основе минимизации меры отклонений наблюдаемых значений зависимой переменной У от искомой, линейной относительно А, функции Y= F(X,A).
У теоретическое находится по ф-ле: Y= F(X,A).
У наблюдаемое имеет вид: Утеор. + Е
В качестве меры отклонений используется сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений У от вычисленных по выбранной модели У теор.
где i– номер наблюдения. Необнодимым условием экстремума будет явяться равенство 0 системы нормальных Ур-й для нахождения параметра А:
МНК применяется для линейных относительно параметров однофакторных и
многофакторных ф-й, а также приводимых к линейным.
МНК для модели парной регрессии
y
=
a
0+
a
1*
x
.
составим систему нормальных Ур-й для нахождения параметров:
упростим систему:
поделим на n(число наблюдений):
отсюда найдем параметры: определитель системы =
(величина = D(x) — называется дисперсией величины х )
а1 =
a0 =
МНК для многофакторной линейной модели (y=a0+a1x1+a2x2+…..+akxk)
Xij– значение i-й переменной в j-м наблюдении
№
Y
X1
X2
…
Xn
1
Y1
X11
X12
X1n
2
Y2
X21
X22
X2n
…
…
….
….
…
….
N
Yn
Xn1
Xn2
…
Xnk
Запишем ф-ю в матричном виде:
Yтеор = XA
Метод МНК:
ei= Yi-Yтеор (i-е отклонение),
второй и третий члены равны, тогда:
Отсюда получаем систему нормальных уравнений:
Из системы нормальных уравнений получаем А:
Этот метод может применяться и для однофакторной модели, как частный случай, а также однофакторных моделей, представленных многочленами.
5.проверка эконометрической модели.
На данном этапе надо определить, насколько модель согласуется с реальными стат данными. Для этого на основе исходных фактических и теоретических данных вычисляют различные стат характеристики, позволяющие качественно оценить параметры модели, проанализировать надежность этих оценок, проверить различные гипотезы, лежащие в основе модели.
В реальных задачах подбирается несколько ф-й-кандидатов на модель, из которых после расчета параметров и оценки адекватности выбирается в наибольшей степени отвечающая качественным и количественным утверждениям об объекте.
7. Матрица полных материальных затрат в балансовой модели Леонтьева
Матрица
S
— матрица полных затрат
1 вариант
S = (E — A)–1
S11 S12 … S1n
продолжение
--PAGE_BREAK--S = S21 S22 … S2n
….
Sn1 Sn2 … Snn
Откуда появилась матрица S:
Исследуем балансовую модель:
(1) AX+ Y= X
(2) X> 0
AX+ Y= ЕX (Е – единичная матрица размерности n*n)
(E – A)X = Y
1) X= (E– A)-1 *Y= S*Y(если матрица продуктивна)
Матрица S кроме полных затрат содерж единицу прод-ии, на кот эти затраты собираются=> Sii≥1- диагональный элемент S, а все остальные содержат полные затраты. S- матрица полн мат затрат. Если задается ∆Y, то ∆X=S∆Y, тогда S –мультипликатор Леонтьева, через нее идет распростр-е влияния изменения конечного спроса на валов выпуск отраслей.
Экономический смысл матрицы S
Пусть одну единицу конечной продукции производит некая k-тая отрасль, а остальные отрасли конечной продукции не производят, выясним смысл элементов Sik. Это валовое кол-во продукции, которое должна изготовить i-тая отрасль, чтобы k–тая отрасль выпустила одну единицу готовой продукции. Поэтому Sikназывают коэффициентами полных материальных затрат.
aik– прямые или непосредственные затраты на изготовление единицы продукции каждой отрасли. Кроме прямых, есть еще косвенные или опосредованные затраты – те затраты, которые входят в продукт через производство других отраслей.
aj= (a1j a2j… aij) — затраты на один продукт в j-той отрасли
aj(1= aj* A — для изготовления всего вектора продукции; показывает то кол-во продукции, которое должна изготовить каждая отрасль, чтобы выпустить необходимое кол-во продукции.
Коэффициенты затрат 1-ого порядка: a1j a2j… aij
Матрица косвенных затрат 1-ого порядка: А(1 = А*А = А2
Коэффициенты затрат 2-ого порядка: aj(2
Матрица косвенных затрат 2-ого порядка: А(2 = А*А2 = А3
Определим полные затраты как сумму прямых и косвенных затрат всех порядков и назовем их матрицей С:
С = А + А2 + А3 + … + Аn
2 вариант Эк смысл S=(Е-А)¯¹. Обозначим ее решением Sij.
S11
…
S1n
S=
..
..
..
Sn1
…
Snn
Предположим, что некот k-ая отрасль выпускающая 1 единицу конечного продукта, все ост отрасли конечн продукт не выпускают.
Y=(0,..1,0) Yk=0, тогда определим X=SY
S=
S11
..
S1n
S1k
..
..
..
x
1
=
…
Sn1
Snn
Snk
X1
S1k
..
=
..
xn
Snk
(4) Sik
=
Xi
вскрывает эк смысл матрицы S. Здесь Sikэто валов кол-во прод-ии. Кот д выпустить i-я отрасль, чтобы kотрасль выпустила ед конечной прод-ии.
Теоретич доказана лемма, что если А- продуктивна, то lim(n→∞)Aⁿ=0
С=А+А²+…+Аⁿ м доказать, что S раскладывается в ряд-сходящийся:
S=Е+А+А²+…+Аⁿ
Разделим уравнение на (Е-А)
Получим Е=Е+А+А²+…+Аⁿ-А-А²…-Аⁿ+¹=>
1=Е-Аⁿ+¹ если n―>∞ то Аⁿ+¹—>0=> Е=1
S=Е+С
Матрица S кроме полных затрат содерж единицу прод-ии, на кот эти затраты собираются=> Sii≥1- диагональный элемент S, а все остальные содержат полные затраты. S- матрица полн мат затрат. Если задается ∆Y, то ∆X=S∆Y, тогда S –мультипликатор Леонтьева, через нее идет распростр-е влияния изменения конечного спроса на валов выпуск отраслей.
Матрица косвенных затрат(К)
К=
S
-
E
-
Aматрица косвенных(опосредованных) затрат равна матрица полных затрат вычесть единичнцю матрицу и матрицу производственных затрат. Возможность разложения матрицы полных затрат и косвенных затрат дает приближенный сп-б их расчета. Матрица косвенных затарт является одной из производных матрицы полных затрат( наравне с матрицей прямых затрат). Косвенные затрат входят не непосредственно, а через продукцию других отраслей.
продолжение
--PAGE_BREAK--