Реферат по предмету "Математика"


Моделирование движения парашютиста

БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
РЕСПУБЛИКАНСКИЙИНСТИТУТ ИННОВАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
КАФЕДРАИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Курсовая работа
Дисциплина «Математическоемоделирование»
Тема: «Моделированиедвижения парашютиста»
Минск 2008

Содержание
Введение
1. Свободное падение тела с учетом сопротивления среды
2. Формулировка математической модели и ее описание.
3. Описание программы исследования с помощью пакета Simulink
4. Решение задачи программным путем
Список использованных источников
/>/>/>Введение
 Формулировка проблемы:
Катапультавыбрасывает манекен человека с высоты 5000 метров. Парашют не раскрывается,манекен падает на землю. Оценить скорость падения в момент удара о землю.Оценить время достижения манекеном предельной скорости. Оценить высоту, накоторой скорость достигла предельного значения. Построить соответствующиеграфики, провести анализ и сделать выводы./>/>/>/>Цель работы:
Научитьсясоставлять математическую модель, решать дифференциальные уравненияпрограммными средствами (используется язык технических вычислений MatLAB 7.0, пакет расширенияSimulink) и анализировать полученные данные о математической модели./> 
/>1. Свободноепадение тела с учетом сопротивления среды
При реальных физических движениях тел в газовой или жидкостнойсреде трение накладывает огромный отпечаток на характер движения. Каждый понимает,что предмет, сброшенный с большой высоты (например, парашютист, прыгнувший ссамолета), вовсе не движется равноускоренно, так как по мере набора скоростивозрастает сила сопротивления среды. Даже эту, относительно несложную, задачунельзя решить средствами “школьной” физики: таких задач, представляющихпрактический интерес, очень много. Прежде чем приступать к обсуждениюсоответствующих моделей, вспомним, что известно о силе сопротивления.
Закономерности, обсуждаемые ниже, носят эмпирический характер иотнюдь не имеют столь строгой и четкой формулировки, как второй закон Ньютона.О силе сопротивления среды движущемуся телу известно, что она, вообще говоря,растет с ростом скорости (хотя это утверждение не является абсолютным). Приотносительно малых скоростях величина силы сопротивления пропорциональнаскорости и имеет место соотношение, /> где /> определяется свойствамисреды и формой тела. Например, для шарика /> — это формула Стокса, где /> —динамическая вязкость среды, r — радиус шарика. Так, для воздуха при t = 20°С и давлении 1 атм /> = 0,0182 H.c.м-2 для воды 1,002 H.c.м-2, для глицерина 1480H.c.м-2.
Оценим, при какой скорости для падающего вертикально шара силасопротивления сравняется с силой тяжести (в движение станет равномерным).
Имеем
/>
или
/>                     (1)
Пусть r= 0,1 м, />= 0,8 кг/м (дерево). При падении ввоздухе /> м/с,в воде />17м/с, в глицерине />0,012 м/с.
На самом деле первые два результата совершенно не соответствуютдействительности. Дело в том, что уже при гораздо меньших скоростях силасопротивления становится пропорциональной квадрату скорости: />. Разумеется, линейнаяпо скорости часть силы сопротивления формально также сохранится, но если />, то вкладом /> можнопренебречь (это конкретный пример ранжирования факторов). О величине k2 известно следующее: онапропорциональна площади сечения тела S, поперечного по отношению к потоку, и плотностисреды /> изависит от формы тела. Обычно представляют k2 = 0,5сS/>, где с — коэффициент лобовогосопротивления — безразмерен. Некоторые значения с (для не очень большихскоростей) приведены на рис.1.
Придостижении достаточно большой скорости, когда образующиеся за обтекаемым теломвихри газа или жидкости начинают интенсивно отрываться от тела, значение с внесколько раз уменьшается. Для шара оно становится приблизительно равным 0,1.Подробности можно найти в специальной литературе.
Вернемся куказанной выше оценке, исходя из квадратичной зависимости силы сопротивления отскорости.
Имеем
/>
или
/> (2)
для шарика
/> (3)
/>
Диск
Полусфера
Полусфера
Шар
Каплевидное тело
Каплевидное тело
с = 1,11
с = 1,33
с = 0,55
с = 0,4
с = 0,045
с = 0,01
Рис1. Значения коэффициента лобового сопротивления для некоторых тел,поперечное сечение которых имеет указанную на рисунке форму
Примем r = 0,1 м, />=0,8.103 кг/м3 (дерево). Тогда длядвижения в воздухе (/>= 1,29 кг/м3 ) получаем />/>18 м/с, в воде(/>= 1.103 кг/м3 )/>/>0,65 м/с, вглицерине (/>=1,26.103 кг/м3 ) />/> 0,58 м/с.
Сравнивая с приведенными выше оценками линейной части силысопротивления, видим, что для движения в воздухе и в воде ее квадратичная частьсделает движение равномерным задолго до того, как это могла бы сделать линейнаячасть, а для очень вязкого глицерина справедливо обратное утверждение.Рассмотрим свободное падение с учетом сопротивления среды. Математическаямодель движения — уравнение второго закона Ньютона с учетом двух сил,действующих на тело: силы тяжести и силы сопротивления среды:
/> (4)
Движениеявляется одномерным; проецируя векторное уравнение на ось, направленнуювертикально вниз, получаем
/> (5)
Вопрос, который мы будем обсуждать на первом этапе, таков: каковхарактер изменения скорости со временем, если все параметры, входящие вуравнение (7) заданы? При такой постановке модель носит сугубо дескриптивныйхарактер. Из соображений здравого смысла ясно, что при наличии сопротивления,растущего со скоростью, в какой-то момент сила сопротивления сравняется с силойтяжести, после чего скорость больше возрастать не будет. Начиная с этогомомента, />,и соответствующую установившуюся скорость />можно найти из условия />=0, решая недифференциальное, а квадратное уравнение. Имеем
/> (6)
(второй — отрицательный — корень, естественно, отбрасываем). Итак,характер движения качественно таков: скорость при падении возрастает от /> до />. Как и покакому закону – это можно узнать, лишь решив дифференциальное уравнение (7).
Однако даже в столь простой задаче мы пришли к дифференциальномууравнению, которое не относится ни к одному из стандартных типов, выделяемых вучебниках по дифференциальным уравнениям, допускающих очевидным образоманалитическое решение. И хотя это не доказывает невозможность егоаналитического решения путем хитроумных подстановок, но они не очевидны. Допустим,однако, что нам удастся найти такое решение, выраженное через суперпозициюнескольких алгебраических и трансцендентных функций – а как найти законизменения во времени перемещения? Формальный ответ прост:
/> (7)
но шансы на реализацию этой квадратуры уже совсем невелики. Дело втом, что класс привычных нам элементарных функций очень узок, и совершеннообычна ситуация, когда интеграл от суперпозиции элементарных функций не можетбыть выражен через элементарные функции в принципе. Математики давно расширилимножество функций, с которыми можно работать почти так же просто, как сэлементарными (т. е. находить значения, различные асимптотики, строить графики,дифференцировать, интегрировать). Тем, кто знаком с функциями Бесселя,Лежандра, интегральными функциями и еще двумя десятками других, так называемыхспециальных функций, легче находить аналитические решения задач моделирования,опирающихся на аппарат дифференциальных уравнений. Однако даже получениерезультата в виде формулы не снимает проблемы представления его в виде,максимально доступном для понимания, чувственного восприятия, ибо мало ктоможет, имея формулу, в которой сопряжены логарифмы, степени, корни, синусы итем более специальные функции, детально представить себе описываемый ею процесс- а именно это есть цель моделирования.
В достижении этой цели компьютер — незаменимый помощник.Независимо от того, какой будет процедура получения решения — аналитической иличисленной, — задумаемся об удобных способах представления результатов.Разумеется, колонки чисел, которых проще всего добиться от компьютера (что притабулировании формулы, найденной аналитически, что в результате численногорешения дифференциального уравнения), необходимы; следует лишь решить, в какойформе и размерах они удобны для восприятия. Слишком много чисел в колонке бытьне должно, их трудно будет воспринимать, поэтому шаг, с которым заполняется таблица,вообще говоря, гораздо больше шага, с которым решается дифференциальноеуравнение в случае численного интегрирования, т.е. далеко не все значения /> и />, найденныекомпьютером, следует записывать в результирующую таблицу (табл. 2).
Таблица 2
Зависимость перемещения и скорости падения от времени (от 0 до 15с)t(c) S(m)
/>(м/с) t(c) S(m)
/>(м/с)
1
2
3
4
5
6
7
4.8
18.7
40.1
66.9
97.4
130.3
164.7
9,6
17,9
24,4
28,9
31,9
33,8
35,0
8
9
10
11
12
13
14
15
200.1
235.9
272.1
308.5
345.0
381.5
418.1
454.7
35.6
36.0
36.3
36.4
36.5
36.6
36.6
36.6
Кроме таблицы необходимы графики зависимостей /> и />; по ним хорошо видно,как меняются со временем скорость и перемещение, т.е. приходит качественноепонимание процесса.
Еще один элемент наглядности может внести изображение падающеготела через равные промежутки времени. Ясно, что при стабилизации скоростирасстояния между изображениями станут равными. Можно прибегнуть и к цветовойраскраске — приему научной графики, описанному выше.
Наконец, можно запрограммировать звуковые сигналы, которыеподаются через каждый фиксированный отрезок пути, пройденный телом — скажем,через каждый метр или каждые 100 метров — смотря по конкретным обстоятельствам.Надо выбрать интервал так, чтобы вначале сигналы были редкими, а потом, сростом скорости, сигнал слышался все чаще, пока промежутки не сравняются. Такимобразом, восприятию помогают элементы мультимедиа. Поле для фантазии здесьвелико.
Приведем конкретный пример решения задачи о свободно падающемтеле. Герой знаменитого фильма “Небесный тихоход” майор Булочкин, упав с высоты6000 м в реку без парашюта, не только остался жив, но даже смог снова летать.Попробуем понять, возможно, ли такое на самом деле или же подобное случаетсятолько в кино. Учитывая сказанное выше о математическом характере задачи,выберем путь численного моделирования. Итак, математическая модель выражаетсясистемой дифференциальных уравнений.
/> (8)
Разумеется, это не только абстрактное выражение обсуждаемойфизической ситуации, но и сильно идеализированное, т.е. ранжирование факторовперед построением математической модели произведено. Обсудим, нельзя липроизвести дополнительное ранжирование уже в рамках самой математической моделис учетом конкретно решаемой задачи, а именно — будет ли влиять на полетпарашютиста линейная часть силы сопротивления и стоит ли ее учитывать примоделировании.
Так как постановка задачи должна быть конкретной, мы примемсоглашение, каким образом падает человек. Он опытный летчик и навернякасовершал раньше прыжки с парашютом, поэтому, стремясь уменьшить скорость, онпадает не “солдатиком”, а лицом вниз, “лежа”, раскинув руки в стороны. Ростчеловека возьмем средний — 1,7 м, а полуобхват грудной клетки выберем вкачестве характерного расстояния — это приблизительно 0,4 м. для оценки порядкавеличины линейной составляющей силы сопротивления воспользуемся формулойСтокса. Для оценки квадратичной составляющей силы сопротивления мы должныопределиться со значениями коэффициента лобового сопротивления и площадью тела.Выберем в качестве коэффициента число с=1,2 как среднее между коэффициентамидля диска и для полусферы (выбор дня качественной оценки правдоподобен). Оценимплощадь: S= 1,7 ∙ 0,4 = 0,7(м2).
В физических задачах надвижение фундаментальную роль играет второй закон Ньютона. Он гласит, чтоускорение, с которым движется тело, прямо пропорционально действующей на негосиле (если их несколько, то равнодействующей, т.е. векторной сумме сил) и обратнопропорционально его массе:
/>.
Так для свободнопадающего тела под действием только собственной массы закон Ньютона примет вид:
/>
Или в дифференциальномвиде:
/>
/>
Взяв интеграл от этоговыражения, получим зависимость скорости от времени:
/>
Если в начальный момент V0 = 0, тогда />.
Далееопределим зависимость высоты от времени, для чего проинтегрируем последнеевыражение.
/>
/>
/>.
Выясним, прикакой скорости сравняются линейная и квадратичная составляющие силысопротивления. Обозначим эту скорость /> Тогда
/>
или
/>
Ясно, что практически с самого начала скорость падения майораБулочкина гораздо больше, и поэтому линейной составляющей силы сопротивленияможно пренебречь, оставив лишь квадратичную составляющую.
После оценки всех параметров можно приступить к численному решениюзадачи. При этом следует воспользоваться любым из известных методовинтегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений: методом Эйлера,одним из методов группы Рунге — Кутта или одним из многочисленных неявныхметодов. Разумеется, у них разная устойчивость, эффективность и т.д. — этисугубо математические проблемы здесь не обсуждаются.
Вычисления производятся до тех пор, пока не опустится на воду.Примерно через 15 с после начала полета скорость становится постоянной иостается такой до приземления. Отметим, что в рассматриваемой ситуациисопротивление воздуха радикально меняет характер движения. При отказе от егоучета график скорости, изображенный на рисунке 2, заменился бы касательной кнему в начале координат.
/>
Рис. 2. График зависимости скорости падения от времени/>2. Формулировкаматематической модели и ее описание
парашютист падениесопротивление математическая модель
Припостроении математической модели необходимо соблюдение следующих условий:
— манекенмассой 50 кг соответственно падают в воздухе с плотностью 1,225 кг/м3;
— на движениевлияют только силы линейного и квадратичного сопротивления;
— площадьсечения тела S=0.4м2;
Тогда длясвободно падающего тела под действием сил сопротивления закон Ньютона приметвид:
/>,
где a – ускорение тела, м/с2,
          m – его масса, кг,
          g – ускорение свободногопадения на земле, g = 9,8 м/с2,
          v – скорость тела, м/c,
          k1 – линейный коэффициентпропорциональности, примем k1 = β = 6πμl (μ – динамическаявязкость среды, для воздуха μ = 0,0182 Н.с.м-2; l – эффективная длина,примем для среднестатистического человека при росте 1,7 м и соответствующемобхвате грудной клетки l = 0,4 м),
          k2 – квадратичныйкоэффициент пропорциональности. K2 = α = С2ρS. В данном случаедостоверно можно узнать лишь плотность воздуха, а площадь манекена S и коэффициент лобовогосопротивления С2 для него определить сложно, можно воспользоваться полученнымиэкспериментальными данными и принять K2 = α = 0,2.
Тогда получим законНьютона в дифференциальном виде:
/>
Так как
/>
Тогда можно составитьсистему дифференциальных уравнений:

/>
Математическая модель припадении тела в гравитационном поле с учетом сопротивления воздуха выражаетсясистемой из двух дифференциальных уравнений первого порядка./>3. Описаниепрограммы исследования с помощью пакета Simulink
Для имитационного моделирования движения парашютиста в системеMATLAB используем элементы пакета расширения Simulink. Для задания величинначальной высоты — H_n,конечной высоты — H_ k, числа — pi, μ – динамическая вязкость среды — my,обхват — R, массе манекена m, коэффициент лобового сопротивления — c, плотность воздуха — ro, площадь сечения тела — S, ускорение свободногопадения — g,начальная скорость — V_n используем элемент Constant находящийся в Simulink/Sources (рисунок 3).
/>
Рисунок 3. Элемент Constant

Для операцииумножения используем блок Product, находящийся в Simulink/Math Operations/Product (рисунок 4).
/>
Рисунок. 4
Для ввода k1 – линейногокоэффициента пропорциональности и k2 – квадратичного коэффициента пропорциональностииспользуем элемент Gain, находящийся в Simulink/Math Operations/Gain (Рисунок. 5.)
/>
Рисунок. 5
Дляинтегрирования – элемент Integrator. Находящийся в Simulink/Continuous/Integrator. Рисунок. 6.
/>
Рисунок. 6
Для выводаинформации используем элементы Display и Scope. Находящиеся в Simulink/Sinks. (Рисунок. 7)

/>
Рисунок. 7
Математическаямодель для исследования с использованием вышеперечисленных элементов,описывающая последовательный колебательный контур приведена на рисунке 8.
/>
Рисунок. 8
Программа исследований
1. Исследование графиказависимости высоты от времени и скорости от времени масса парашютиста равна50кг.
/>
Рисунок 9
Из графиковвидно, что при расчете падения парашютиста массой 50 кг, следующие данные:максимальная скорость равна 41,6 м/с и время равно 18с, и должна достигатьсячерез 800 м падения, т.е. в нашем случае на высоте около 4200 м.
/>
Рисунок. 10
2.Исследование графика зависимости высоты от времени и скорости от времени массапарашютиста равна 100кг.
/>
Рисунок 11
 
/>
Рисунок 12
С массойпарашютиста 100 кг.: максимальная скорость равна 58 м/с и время равно 15с, идолжна достигаться через 500 м падения, т.е. в нашем случае на высоте около4500 м. (рисунок.11., рисунок. 12).
Выводы пополученным данным, которые справедливы для манекенов, отличающихся толькомассой, но с одинаковыми размерами, формой, типом поверхности и другимипараметрами, определяющими внешний вид объекта.
Легкийманекен при свободном падении в гравитационном поле с учетом сопротивлениясреды достигает меньшей предельной скорости, но за меньший промежуток времении, естественно, при одинаковой начальной высоте – в более низкой точкетраектории, чем тяжелый манекен.
Чем тяжелееманекен, тем быстрее он достигнет земли./> 4. Решениезадачи программным путем
М-файлфункции parashut.m:
%Функция моделированиядвижения парашютиста
functiondhdt=parashut(t,h)
global k1 k2 g m
% система ДУ первого порядка
dhdt(1,1)= -h(2);
dhdt(2,1)=(m*g-k1*h(2)-k2*h(2)*h(2))/m
М-файл вывода результатов parashutist.m:
% Моделирование движенияпарашютиста
% Васильцов С. В.
clc
global h0 g mk1 k2 a
% k1-линейный коэффициентпропорциональности, определяющийся свойствами среды и формой тела. ФормулаСтокса.
k1=6*0.0182*0.4;
%k2-квадратичныйкоэффициент пропорциональности, пропорционален площади сечения тела,поперечного по
%отношения к потоку,плотности среды и зависит от формы тела.
k2=0.5*1.2*0.4*1.225
g=9.81; % ускорениесвободного падения
m=50; % масса манекена
h0=5000; % высота
[t h]= ode45(@parashut,[0200],[h0 0] )
r=find(h(:,1)>=0);
s=length(r);
b=length(t);
h(s+1:b,:)=[];
t(s+1:b,:)=[];
a=g-(k1*-h(:,2)+k2*h(:,2).*h(:,2))/m% вычисляем ускорение
% Построение графиказависимости высоты от времени
subplot(3,1,1),plot(t,h(:,1),'LineWidth',1,'Color','r'),grid on;
xlabel('t,c'); ylabel('h(t), m');
title('График зависимости высоты от времени', 'FontName','Arial','Color','r','FontWeight','bold');
legend('m=50 kg')
% Построение графиказависимости скорости от времени
subplot(3,1,2),plot(t,h(:,2),'LineWidth',1,'Color','b'),grid on;
xlabel('t,c');
ylabel('V(t),m/c');
Title('График зависимости скорости от времени', 'FontName','Arial','Color','b','FontWeight','bold');
legend('m=50 kg')
% Построение графиказависимости ускорения от времени
subplot(3,1,3),plot(t,a,'-','LineWidth',1,'Color','g'),grid on;
text (145,0,'t, c');
ylabel('a(t),m/c^2');
Title('График зависимости ускорения от времени', 'FontName','Arial','Color','g','FontWeight','bold');
legend('m=50 kg')

Экранная форма вывода графиков.
/>/>/>/>/>/>/>

/>Список использованных источников
1.  Вся физика. Е.Н.Изергина. – М.: ООО «Издательство «Олимп», 2001. – 496 с.
2.  Касаткин И. Л. Репетиторпо физике. Механика. Молекулярная физика. Термодинамика/ Под ред. Т. В. Шкиль.– Ростов Н/Д: изд-во «Феникс», 2000. – 896 с.
3.  Компакт-диск «СамоучительMathLAB». ООО «Мультисофт», Россия, 2005.
4.  Методические указания кКурсовой работе: дисциплина Математическое моделирование. Движение тела приучете сопротивления среды. – Минск. РИИТ БНТУ. Кафедра ИТ, 2007. – 4 с.
5.  Решение системдифференциальных уравнений в Matlab. Дубанов А.А. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: rrc.dgu.ru/res/exponenta/ educat/systemat/dubanov/index.asp.htm;
6.  Энциклопедия д.д. Физика.Т. 16. Ч.1. с. 394 – 396. Сопротивление движению и силы трения. А. Гордеев./Глав. ред. В.А. Володин. – М. Аванта+, 2000. – 448 с.
7.  Matlab Function Reference [Электронный ресурс]. –Режим доступа: matlab.nsu.ru/Library/Books/Math/MATLAB/help/techdoc/ref/.


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.

Сейчас смотрят :

Реферат Феномен группового давления в социальной психологии группы
Реферат Деньги как экономическая категория
Реферат Проектирование "домашней" локальной сети
Реферат Геолого-промислова характеристика нафтогазового родовища
Реферат 2. влияние изменения климата на природные системы ихтиофауна некоторых озер Монголии
Реферат Методика расчета основных индексов промышленного производства
Реферат Beautiful Women Turn Lives Of Men Upside
Реферат Формирование транснациональной экономики
Реферат Голос природы
Реферат Australias War Essay Research Paper Australia s
Реферат Производные индола и их медицинское применение
Реферат Проблемы бесплодия и современных репродуктивных технологиях
Реферат Методологические проблемы отображения общества как целого в советской философской литературе 50-80-х годов
Реферат Статистический анализ безработицы в РФ
Реферат Значение взаимоотношений в семье в развитии ребенка, его будущей жизни