--PAGE_BREAK--
Квадрики в аффинном пространстве.
Квадрикой (или поверхностью второго порядка) Q
в аффинном пространстве называется место точек этого пространства, координаты которых в каком–либо аффинном репере R
={
O
,} удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени:
+2+=0. (1)
Перенесем начало координат в точку (, т.е. перейдем к реперу R
´={ }. Формулы преобразования координат при этом имеют вид:
= +
где -старые, а — новые координаты точки M.
Уравнение квадрики в новых координатах примет вид: (+)(+)+2(+)+=0 или
+2+=0, (2) где =+ =+2+ (3)
Центром квадрикиQназывается ее центр симметрии.
Если в уравнении (2) =0 (i
=1,2,…,
n
) и М( то и М´(- ) Qи, значит, — центр квадрикиQ
.
Верно и обратно: если — центр квадрики Q, то в уравнении(2) не будет членов с первыми степенями :=0.
Пусть — центр квадрики Qи M
( и, следовательно, координаты точки M удовлетворяют уравнению (2). Тогда и M´(-): -2+=0 . (4)
Вычитая равенство (4) из равенства (2), находим
=0 . (5)
Этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки M.
Теорема. Точка является центром квадрики (1) тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют системе уравнений: +=0. (6)
При решении системы (6) встречаются три случая.
1. det 0, т.е. ранг=n. Система (6) имеет единственное решение, и, значит, квадрика Q–единственный центр. Такая квадрика называется центральной.
2. det=0, но ранг= ранг=r. Система (6) совместна,
и в ней можно оставить лишь rnлинейно независимых уравнений. Они определяют (n
-
r)-плоскость (плоскость центров), каждая точка которой служит центром квадрики.
3.det=0, но рангранг. Система (6) несовместна,- квадрикаQне имеет центра.
В случае 2 и 3 квадрика называется нецентральной.
Классификация квадрик в аффинном пространстве.
Пусть относительно репера R
={
O
, квадрика Qопределяется уравнением:
+2+=0 (1)
Переход к другой аффинной системе координат (к другому реперу R
´={
O
´,) можно выполнить в два приема:
а) перенос начала: от репера Rпереходим к реперу ={O´, с теми же координатными векторами. При этом коэффициенты квадратичной формы не изменяются, тогда как коэффициенты и свободный член вообще изменяются;
б) замена базиса { на базис {} в пространстве переносов V: =
При этом старые координаты любой точки M
выражаются через ее новые координаты с помощью системы уравнений := Внесем эти выражения в уравнение (1), получим уравнение квадрики Qв новых координатах :
+2+=0, (2)
Следовательно, при замене базиса { изменяются коэффициенты квадратичной формы и коэффициенты но не меняется свободный член. При любом преобразовании аффинной системы координат ранг и индекс квадратичной формы не меняются.
Уравнение квадрики, имеющей хотя бы один центр имеет вид: (++…++=0 . (
Уравнение квадрики, не имеющей центра (+…+(+2b=0 . ()
Рассмотрим уравнение (. Возможны следующие частные случаи:
1. r
=
n. Уравнение определяет центральную квадрику (с центром в точке =0).
А) — центр не лежит на квадрике. Пусть =-, приведем уравнение () к каноническому виду:
(=1 (3)
Если в уравнении (3) все коэффициенты положительны, , то, обозначив = , получим нормальное уравнение эллипсоида:
( + ( +… +(=1.
)В уравнении (3) все . Обозначив =, получим нормальное уравнение мнимого эллипсоида (не содержит ни одной точки из ):
( + ( +… +(=-1;
) В уравнении (3): (t=1,2,…,n-l), (s=n-l+1,…n). Такая квадрика называется гиперболоидом индекса l
. Полагая , , найдем нормальное уравнение этой квадрики: ++…+-…-=1.
Б) =0- центр лежит на квадрике. Ее каноническое уравнение: =0 (=). (4)
Квадрика называется конусом с вершиной в точке О.
) Все имеют одинаковые знаки. Квадрика называется мнимым конусом (квадрика содержит лишь одну точку О). В этом случае уравнение (4) приводится к виду:
+…+=0.
В уравнении (4): (t=1,2,…,n-l) , (s=n-l+1,…,n). Квадрика Q называется конусом индекса l, если l n-l, т.е. l.
2. r n.Система уравнений, определяющих центр: =0 (t=1,2,…,r); учитывая что ). Значит, множество центров – (n
-
r
)-мерная координатная плоскость .
А) . Обозначив =-, запишем уравнение (1) в каноническом виде:
=1 (t=1,2,…,r). (5). Квадрика называется цилиндром.
Все виды квадрик аффинно различны. Это значит, что не существует аффинного преобразования, которое переводило бы квадрику одного вида в квадрику другого вида. Квадрики, не принадлежащие одному виду, имеют различные нормальные уравнения.
Выпишем канонические уравнения квадрик в трехмерном аффинном пространстве.
а) r
=3. Тогда:
1) ++=1 () -эллипсоид;
2) ++=-1 () — мнимый эллипсоид;
3) +-=1 () — однополостный гиперболоид (гиперболоид индекса 1);
4) --=1 () — двуполостный гиперболоид;
5) ++=0 ()- мнимый конус;
6) +-=0 ( ) — конус с вершиной в точке O.
б). r. Тогда:
7) +=1 – эллиптический цилиндр;
8) +=-1 –мнимый цилиндр;
9) -=1 гиперболический цилиндр;
10) +=0 пара мнимых плоскостей, пересекающихся по прямой (O,) (мнимый конус с одномерной вершиной);
11) -=0 пара пересекающихся плоскостей (конус индекса 1 с одномерной вершиной);
12) =1 -пара параллельных плоскостей;
13) =-1 пара мнимых параллельных плоскостей;
14) =0 -пара совпавших плоскостей;
15) +=2 — эллиптический параболоид;
16)-=2 -гиперболический параболоид;
17) =2 — параболический цилиндр.
Таким образом, в аффинном пространстве существует семнадцать различных видов квадрик. продолжение
--PAGE_BREAK--
Различные виды уравнений
k
-плоскостей
.
Пусть – некоторая точка пространства и – k-мерное векторное подпространство, где k пространства, удовлетворяющих условию , называется k-плоскостью, определяемой точкой и подпространства и обозначается. При k=1 называется прямой, а при – гиперплоскостью. Пространство – называется направляющим подпространством k-плоскости. Из определения следует, что точка принадлежит плоскости, так как принадлежит .
1. Геометрические задания k-плоскости.
Для задания k-плоскости необходимо иметь некоторую её точку и подпространство . Так как подпространство однозначно определяется заданием k линейно независимых векторов , принадлежащих, то плоскость однозначно определяется заданием некоторой точки и k линейно независимых векторов.
Теорема 1: Каковы бы ни были точка и k линейно независимых векторов , существует одна и только одна k-плоскость, содержащая точку и параллельная .
Доказательство: Рассмотрим подпространство , натянутое на векторы . Плоскость является искомой. Докажем, что она единственная. Пусть, например, содержит точку и векторы .
Эти векторы принадлежат подпространству и , поэтому совпадает с . С другой стороны, точка . Отсюда следует, что эта плоскость совпадает с плоскостью .
Теорема 2: Каковы бы ни были k+1 линейно независимых точек , существует одна и только одна плоскость , содержащая эти точки.
Доказательство:
Рассмотрим векторы
Пусть – подпространство, натянутое на эти векторы. Очевидно, плоскость содержит все точки . Эта плоскость единственная, так как любая другая плоскость, содержащая эти точки должна содержать точку и векторы . Но согласно предыдущей теореме этими данными плоскость определяется однозначно.
Следствие: Каковы бы ни были nлинейно независимых точек, существует одна и только одна гиперплоскость, проходящая через эти точки.
2. Аналитическое задание k-плоскости.
Из теоремы 1 следует, что плоскость однозначно определяется заданием точки и kлинейно независимых векторов , параллельных этой плоскости. Если в пространстве выбрана система координат, то точка и векторыбудут иметь координаты: Пусть – произвольная точка плоскости тогда и только тогда, когда вектор принадлежит подпространству этой плоскости, т.е. Запишем это условие в координатах. Вектор имеет координаты: поэтому
(1)
Эти соотношения называются параметрическими уравнениями k-плоскости.
Их смысл заключается в следующем: если точка принадлежит плоскости, то всегда найдутся такие параметры , что, подставив эти параметры в соотношение (1), получим координаты точки . Обратно, каковы бы ни были параметры , подставив их в соотношения (1), получаются координаты некоторой точки плоскости. Так как векторы линейно независимы, то матрица, составленная из коэффициентов при в соотношениях (1) имеет ранг k. Если определитель, составленный из коэффициентов первых kравенств, не равен нулю, т.е.
то из равенств (1) можно однозначно определить параметры . Подставив их значения в оставшиеся соотношений, получаются , получаются независимых линейных уравнений, связывающих координаты точки . Эти соотношения могут быть записаны в следующем виде:
Точка принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда координаты её удовлетворяют соотношениям (3). Они называются уравнениями плоскости . Итак, каждая k-плоскость в пространстве может быть определена системой независимых линейных уравнений. В частности, гиперплоскость определяется одним уравнением:
3. Общие уравнения плоскости.
Теорема 3: Пусть
– совместная независимых линейных уравнений. Если в пространстве выбрана система координат , то множество всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют этой системе, есть некоторая k-плоскость.
Доказательство: Так как данная система (4) совместна и линейно независима, то матрица, составленная из коэффициентов при , имеет ранг .Пусть определитель, составленный из коэффициентов при , отличен от нуля. Решив данную систему относительно этих переменных, получается:
Вводя обозначения , получаем соотношения:
(5)
Рассмотрим плоскость , начальной точкой которой является точка , содержащую векторы , координаты которых определяются соответственно коэффициентами при в соотношениях (5). Эта плоскость согласно соотношению (1) имеет параметрические уравнения (5). Из алгебраических преобразований, следует, что координаты точек этой плоскости удовлетворяют системе (4). Соотношения (4) называются общими уравнениями k-плоскости.
Взаимное расположение
k
-плоскостей.
Каждая точка является нульмерной плоскостью. Это соответствует общему определению плоскости, так как в данном случае можно считать, что подпространством плоскости является нульмерное подпространство.
Пусть и – две плоскости, имеющие хотя бы одну общую точку . Если подпространство принадлежит одновременно подпространствам и данных плоскостей, то принадлежит плоскостям и . В самом деле, пусть . Это означает, что вектор принадлежит . Так как , то , т.е. . Аналогично доказывается, что .
Пересечением двух плоскостей и называется множество всех точек, принадлежащих одновременно плоскостям и. Если две плоскости имеют хотя бы одну общую точку , то пересечением этих плоскостей является некоторая плоскость , где (–наименьшее из чисел kи m).
Пусть – пересечение подпространств данных плоскостей и . Очевидно, Sзаключено в пределах: . Плоскость согласно предыдущему принадлежит как и .
Обратно, любая общая точка и любой общий вектор плоскостей и , очевидно, принадлежит этой плоскости. Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 1: Если плоскости и имеют по крайней мере одну общую точку, то эти плоскости имеют общую плоскость , определяемую точкой и подпространством , где .
Эта теорема, очевидно, справедлива также при S=0. В этом случае пересечением плоскостей будет одна точка.
Следствие: Имеет место неравенство
Пусть идве плоскости, где и . Подпространство называется подпространством параллельности этих плоскостей. Число называется степенью параллельности данных плоскостей. Очевидно, . Если плоскости не имеют ни одной общей точки и s=k, т.е. если , то плоскости называются полностью параллельными. Если же плоскости не имеют ни одной общей точки и , то скрещивающимися.
Из предыдущих определений следует, что возможны следующие случаи взаимного расположения двух плоскостей и ().
1º. Плоскости иимеют единственную общую точку ().
2º. Плоскости ипересекаются по некоторой плоскости , где k>s>0 (0
3º. Плоскость принадлежит плоскости ().
4º. Плоскости ичастично параллельны, т.е. не имеют общих точек и 0
5º. Плоскости иполностью параллельны, т.е. не имеют общих точек и I=1.
6º. Плоскости искрещиваются, т.е. не имеют общих точек и I=0.
Следствие: При имеет место неравенство .
В трехмерном аффинном пространстве для данной пары плоскостей все шесть случаев не могут иметь места. Так, для прямой и двумерной плоскости имеют место только случаи 1,3,5; для двух прямых и — случаи 1,3,5,6; для двух двумерных плоскостей и -2,3,5.
а) Критерий пересечения двух плоскостей, заданных общими уравнениями.
Пусть в системе плоскости и заданы общими уравнениями:
(1)
Рассмотрим систему , состоящую из всех векторов () уравнений систем(1). Плоскости и пересекаются тогда и только тогда, когда система совместна, т.е. когда r=R, где rи Rранги основной и расширенной матриц этой системы. В этом случае уравнения системыявляются уравнениями плоскости пересечения плоскостей и ; размерность этой плоскости равна n-r.
Теорема2: Пусть в системе плоскости и заданы системами уравнений (1). Если — система уравнений, состоящая из всех уравнений двух систем (1), а r и R – ранги основной и расширенной матриц этой системы, то плоскости и пересекаются тогда и только тогда, когда r=R. В этом случае размерность плоскости пересечения равна n-r.
продолжение
--PAGE_BREAK--
б) Критерий пересечения двух плоскостей, заданных точкой и подпространством.
Теорема 3: Пусть и — две плоскости, и их векторные подпространства, а — сумма и . Для того, чтобы плоскости и пересекались, необходимо и достаточно, чтобы существовали точки и , удовлетворяющие условиям: (2).
Если эти условия выполняются, то данные плоскости пересекаются по некоторой плоскости размерности m+k-σ.
Доказательство: Необходимость очевидна, так как, если плоскости и пересекаются, то за точки и можно взять одну из общих точек. В этом случае поэтому .
Докажем достаточность условия. Так как , то существуют векторы , такие, что . Возьмем точки так, чтобы Очевидно, С другой стороны, или Отсюда следует, что точки совпадают, поэтому плоскости и пересекаются. Если p-индекс параллельности плоскостей и , то по теореме 1 пересечение данных плоскостей есть p-мерная плоскость; при этом по этой же теореме 1 число pесть размерность пересечения и , поэтому p= m+k-σ.
Следствия:1º. Если сумма подпространств данных плоскостей исовпадают с , то плоскости пересекаются.
2º. Пусть и точки, принадлежащие соответственно плоскостям и, а — сумма подпространств этих плоскостей. Если , то данные плоскости не пересекаются.
Доказательство: (от противного)
Допустим, что существует такая точка , что Так как , то. Получено противоречие.
Расстояние между
k
-плоскостями
.
Две плоскости и называются ортогональными, если их подпространства и ортогональны. В частности, гиперплоскость называется ортогональной к прямой , если подпространство гиперплоскости ортогонально какому-либо ненулевому вектору прямой. Покажем, что — некоторая плоскость, а — произвольная точка пространства, то существует одна и только одна (n-k)- плоскость, проходящая через и ортогональная .
В самом деле, если — подпространство плоскости , то плоскость является искомой — ортогональное дополнение подпространства . Покажем, что эта плоскость может быть использована для определения расстояния от точки до плоскости. Так как сумма подпространств плоскостей и есть векторное подпространство , то из следствия 1º, (теорема 3) следует, что ипересекаются. Но подпространства этих плоскостей ортогональны, поэтому их пересечение есть нульмерное подпространство. Используя теорему 3, получаем, что плоскости и пересекаются в одной точке . Точка называется проекцией точки на плоскость , а расстояние между точками иназывается расстоянием от точки до плоскости . Это расстояние является наименьшим из всех расстояний от точки до любой точки плоскости .
Задача. В прямоугольной декартовой системе координат задана гиперплоскость уравнением (1) и точка . Вычислить расстояние от точки до .
Решение: Обозначим через проекцию точки на плоскость. Вектор ортогонален любому вектору гиперплоскости , поэтому он коллинеарен вектору . Отсюда вытекает, что поэтому и .
Записав это соотношение в координатах, и учитывая, что принадлежит плоскости (1) после элементарных преобразований, получим:
.
n
-мерное евклидово пространство.
Пусть V
-
n-мерное векторное пространство над полем Rвещественных чисел. Билинейной формой, определенной на векторном пространстве V, называется отображение
g:,
линейное по каждому аргументу, т.е. удовлетворяющее условию:
и
,
и .
Пусть на векторном пространстве Vзадана билинейная форма g. Возьмем в Vкакой-либо базис {} ( Для Vимеем: и, значит, g(
Обозначим через . Тогда
g(
Квадратная матрица называется матрицей билинейной формы g в базисе . Таким образом, чтобы задать билинейную форму g:Vдостаточно в пространстве Vзадать базис и взять какую-либо квадратную матрицу GcэлементамиТогда значение билинейной формы для вычисляется по формуле (*).Билинейная форма называется симметрической, если для .
Билинейная форма gна векторном пространстве Vназывается вырожденной, если .
Если же такого вектора не существует, то форма gназывается невырожденной.
По формуле () для вырожденной формы имеем: (1)
для Но (1) есть многочлен 1-й степени относительно,
и он равен нулю при любых значениях переменных . Значит, все его
коэффициенты равны нулю:.
Это есть система линейных однородных уравнений с nнеизвестными. Такая система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда т.е. матрица Gвырожденная. Отсюда следует, что билинейная форма g, будет невырожденной тогда и только тогда, когда её матрица G
невырожденная
Векторное пространство Vнад полем Rназывается евклидовым векторным пространством, если на нем задана положительная билинейная форма g.
Употребляют такие названия:
Число — скалярное произведение векторов и (его обозначают
через , или — скалярный квадрат вектора ; — неотрицательное число — норма или длина вектора .
Векторы и называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: =0.Вектор называется ортом (или единичным ), если =1. Если , то вектор = является ортом. Базис {} евклидова векторного пространства Vназывается ортонормированным, если все его векторы единичные и попарно ортогональные:
Расстояние между двумя точками.
Угол между векторами.
1. Расстояниемρ (А, В) между точками А, В Еnназывается длина вектора :
ρ (А, В) = . (1)
Возьмём в Еnортонормированную систему координат или ортонормированный репер, т. е. такой аффинный репер R= , координатные векторы которого образуют ортонормированный базис пространства переносов V.
Так как теперь · = 1, · = 0 (i
≠
j
)и, значит, gij
= 1, gij
=
(i
≠
j), то для любого вектора получим:
и, следовательно,
(2)
Так выражается длина вектора через его координаты в ортонормированном базисе.
Пусть А и В даны своими координатами в ортонормированном репере:
. Тогда
. (3)
(1), (2), (3)
Так вычисляется расстояние между двумя точками в ортонормированной системе координат.
Теорема. Расстояние между двумя точками в пространстве Еn
удовлетворяет неравенству треугольника
Это значит, что
(4)
▲Как известно, . Пусть — ортонормированный базис и Тогда Нам надо доказать, как это следует из (4), что . Здесь каждая из сумм положительна. После возведения обеих частей неравенства в квадрат, получим:
(неравенство Коши – Буняковского). Таким образом, доказательство неравенства (4) сводится к доказательству неравенству Коши – Буняковского. Докажем последнее. Ясно, что
.
Следовательно, квадратный трёхчлен, стоящий слева, принимает только неотрицательное значения, поэтому его дискриминант
, (#)
откуда и следует неравенство Коши – Буняковского. ▲
продолжение
--PAGE_BREAK--
Лемма. (теорема Пифагора в Еn)
▲
▲ (*)
Следствие. (*)
Итак,
Теорема. Если три точки А, Ви Сразличны, то неравенство в формуле (4) имеет место тогда и только тогда, когда точка Влежит между Аи
▲А. Пусть точка В лежит между А и С,
т. е. Тогда (в обозначениях предыдущей теоремы)
Вычислим левую часть формулы (#):
Значит, в этом случае в формуле (4) имеем знак равенства.
Б. Пусть точка В не лежит на прямой (АС):
Найдём на прямой (АС) точку D( (такая точка называется ортогональной проекцией точки В на прямую (АС)). Ищем , т. е.
и точка Dопределена. По следствию из леммы:
Отсюда следует, что если точка В не лежит на прямой (АС), то сумма расстояний не может быть наименьшей. Значит, равенство в формуле (4) возможно только в случае, когда точка В лежит на прямой (АС). Пусть точка В лежит на прямой (АС) и отлична от точек А и С. Тогда Возможны три случая: 1) (точка В лежит между А и С); 2) ; 3) .
Докажем, что если
(4')
то случаи 2 и 3 не могут иметь места.
В случае 2:
(5)
Но
(5), и так как , то
Следовательно, точка А лежит между В и С и по доказанному в п0А:
что противоречит условию (4').
В случае 3: , где , и, значит, точка С лежит между А и В. По доказанному в п0А:
что противоречит условию (4').
Итак, если имеет место равенство (4'), то точка В лежит между А и С.▲
Следствие. Из трёх различных точек А, В и С одной прямой всегда одна и только одна лежит между двумя другими.
2. Возьмём ненулевые векторы и какую-либо точку О. По первой аксиоме Вейля .
Выпуклый угол АОВ называется углом между данными векторами . Пусть — орты векторов соответственно. Тогда
Найдём вектор , такой, чтобы вектор был ортогонален вектору :
Так как в пространстве Еnскалярный квадрат любого вектора неотрицателен, то
Следовательно, в числовом промежутке существует число α, такое, что . Это число α называется величиной угла между векторами и обозначается обычно через . Учитывая, что
,
находим
(**)
Пример. В евклидовом пространстве Е4дан треугольник АВС с координатами вершин А (1, -1, 2, 3), В (0, 1, -1, 1), С(2, 0, 1, -2) в ортонормированном репере. Вычислить внутренний угол треугольника при вершине А.
Находим:
а) ;
б) и по формуле (**)
Движения евклидова пространства.
1.Возьмём в пространстве Еnупорядоченную пару ортонормированных реперов и каждой точке , имеющей координаты xi
в репере R, поставим в соответствие точку М' с теми же координатами xiотносительно репера R'. Мы получим преобразование пространства Еn, которое называется движением (или перемещением, или изометрией).
Таким образом, движение является частным случаем аффинного преобразования аффинного пространства An, из которого получено евклидово Еn, а именно: движение – это такое аффинное преобразование, которое переводит ортонормированный репер в ортонормированный.
Движение пространства Еnпорождается (при заданной паре соответствующих точек О и О') таким линейным преобразованием пространства переносов V, которое переводит ортонормированный базис в ортонормированный . Такое линейное преобразование евклидового векторного пространства Vназывают ортогональным (оно сохраняет скалярное произведение векторов). Следовательно, движение пространства Еnпорождается ортогональным преобразованием пространства переносов V.
Так как движение – частный случай аффинного преобразования, то всякое движение: 1) сохраняет отношение трёх точек; 2) переводит отрезок в отрезок, луч в луч, k-плоскость в k-плоскость.
В частности, движение переводит прямую в прямую с сохранением порядка точек на прямой.
Пусть движение fпространства Еnпорождено ортогональным преобразованием пространства переносов V. Возьмём в Еnдве произвольные точки Mи Nи пусть f(M) = M', f(N) = N'. Тогда . А так как — ортогональное преобразование пространства Vи, значит, сохраняет длину вектора, то
.
Следовательно, движение пространства Еnсохраняет расстояние между двумя точками этого пространства.
Справедливо и обратное утверждение:
Теорема. Если преобразование f
евклидова пространства Е
n
сохраняет расстояние между двумя точками, то
f
– движение.
▲Возьмём три произвольные точки О, А, В. Тогда
,
. (1)
Пусть преобразование fпереводит точки О, А, В в точки О', А', В' соответственно. Тогда можно написать равенство, аналогичное равенству (1):
. (2)
По условию теоремы правые части равенств (1) и (2) равны; следовательно, равны и левые части. Отсюда
. (3)
Пусть — ортонормированный репер в Еn и, значит, векторы единичные, попарно ортогональные. Если
f(O) = O', f(Ai) = Ai', то в силу формулы (3) векторы тоже единичные, попарно ортогональные и, следовательно, репер ортонормированный. Возьмём произвольную точку , и пусть f(M) = M'. Обозначим через xiкоординаты точки М в репере R, а через yi– координаты точки М' в репере R'. Тогда
и, следовательно, преобразование fесть движение. ▲
2. Пусть V– евклидово векторное пространство размерности n. Линейное преобразование пространства Vназывается ортогональным, если оно переводит ортонормированный базис в ортонормированный базис или, что равносильно этому, если оно сохраняет скалярное произведение векторов.
Пусть — матрица перехода от базиса к базису :
.
Тогда
.
Учитывая, что базисы и ортонормированные, находим:
Таким образом, матрица С обладает следующим свойством: сумма квадратов элементов каждого столбца равна единице, а сумма произведений соответствующих элементов двух различных столбцов равна нулю.
Квадратная матрица, обладающая этим свойством, называется ортогональной.
Заметим, что если базис задан, то матрица С определяет линейное преобразование (так как она определяет базис ). Поэтому можно высказать следующее утверждение6 в ортонормированном базисе всякое ортогональное преобразование определяется с помощью ортогональной матрицы С.
Обратно, пусть — ортонормированный базис евклидова векторного пространства размерности n. Возьмём какую-либо ортогональную n nматрицу и рассмотрим векторы . Равенства (6) и (7) показывают, что векторы единичные и попарно ортогональные и, значит, образуют ортонормированный базис . Следовательно, линейное преобразование пространства V, переводящее базис в базис , является ортогональным. Иначе говоря, если линейное преобразование евклидова векторного пространства задаётся в каком-либо ортонормированном базисе при помощи ортогональной матрицы, то преобразование ортогональное.
Нетрудно заметить, что равенства (6) и (7) равносильны одному матричному равенству:
С'С = Е (8)
(где Е – единичная матрица), или, что то же самое, равенству:
С' = С-1.
Следовательно, матрица С ортогональная тогда и только тогда, когда транспонированная матрица С' равна обратной матрице С-1.
(8) (С')' = (С')-1;
значит, если матрица С ортогональная, то и транспонированная матрица С' ортогональна.
Далее имеем:
(8) det(C') * det(C) = 1. (9)
Как известно из алгебры, det(C') = det(C), и равенство (9) принимает вид:
(det(C))2 = 1 det(C) = 1,
Определитель ортогональной матрицы равен 1.
3. Пусть движение fпространства Enзадано упорядоченной парой ортонормированных реперов . Так как движение f– частный случай аффинного преобразования, то координаты yiточки М' = f(М) относительно репера Rвыражаются через координаты xiточки М относительно того же репера по формулам вида:
что можно записать в матричной форме одним равенством:
y= Ax+ a. (11)
Так как f– движение, то оно порождается некоторым ортогональным преобразованием пространства переносов V. В формулах (10), (11) матрица — матрица этого преобразования в базисе и, следовательно, А – ортогональная матрица.
Обратно, пусть в Еnзадан ортонормированный репер . Напишем формулы (10), в которых матрица ортогональная. Преобразование fпространства Еn, определяемое этими формулами, является аффинным. Оно порождается таким линейным преобразованием пространства переносов V, которое в ортонормированном базисе задаётся ортогональной матрицей А. следовательно, — ортогональное преобразование, а f– движение.
Итак, если в пространстве Еnзадан ортонормированный репер R, то формулы (10) определяют движение этого пространства тогда и только тогда, когда матрица ортогональная.
Ортогональное преобразование векторного пространства Vпереводит любой ортонормированный базис в базис также ортонормированный. Следовательно, движение fпространства Еnпереводит любой ортонормированный репер в репер также ортонормированный. Поэтому движение fможно определить заданием любой пары соответствующих ортонормированных реперов: R, R' или R1, R1'. продолжение
--PAGE_BREAK--
Группа движений пространства .
Обозначим через , множество всех движений евклидова пространства . Всякое движение f
пространства является таким преобразованием этого пространства, которое сохраняет расстояние между любыми двумя точками. Следовательно, произведение gf
двух движений f
и g, а также обратное преобразование f
-1 будут преобразованиями пространства , сохраняющими расстояние между любыми двумя точками, т.е. будут движениями. Следовательно, множество является группой (относительно умножения), она называется группой движений пространства .
Две фигуры называются конгруэнтными, если они эквивалентны относительно группы , т.е. если существует движение, которое переводит одну из этих фигур в другую.
Движение f
называется движением первого (второго) рода, если в формулах: задающих это движение в ортонормированном репере , имеет место соотношение (соответственно ).
Следовательно, движение 1-го рода сохраняет ориентацию пространства (т.е. переводит репер в репер , одинаково с ним ориентированный), а движение 2-го рода меняет ориентацию пространства (переводит репер в противоположно ориентированный репер ).
Отметим важнейшие подгруппы группы движений.
I. Множество всех движений 1-го рода является группой (группа движений 1-го рода); движения 1-го рода сохраняют ориентацию каждого репера.
II. Множество движений всех движений, оставляющих неподвижной точку , также является группой. В ортонормированном репере всякое движение определяется формулами (1), где , тогда (*) или в матричной форме: (**), где — матрица (в базисе ) того ортогонального преобразования φ пространства переносов V, которое порождает данное движение f. Как известно, принимая точку О за начало пространства с векторным пространством φ. Тогда рассматриваемоедвижение f
пространства будет просто совпадать с порождающим его ортогональным преобразованием φ векторного пространства V
.
Учитывая это, всякое движение называется ортогональным преобразованием пространства , а группу — группой ортогональных преобразований, этого пространства (или ортогональной группой).
Расстояние точки М от начала О является инвариантом относительно группы .
ІІІ. Ортогональные преобразования 1-го рода ( в формулах (*)) называются вращениями пространства вокруг точки О. Множество всех вращений пространства вокруг точки О, является группой (группа вращений пространства ). Она является подгруппой группы , также подгруппой группы движений 1-го рода.
Расстояние и ориентация репера сохраняются при любых вращениях вокруг точки О.
IV. Если в формулах (1), задающих движение, матрица единичная, то эти формулы примут вид: .
Такое движение называется параллельным переносом и вполне определяется вектором переноса . Следовательно, и в евклидовом пространстве(как и в аффинном) мы имеем группу переносов. Параллельные переносы сохраняют любое направление в (т.е. переводят в себя каждое множество одинаково направленных лучей). Очевидно, перенос пространства — движение 1-го рода.
Рассмотрим, движения трехмерного евклидова пространства .
а) Пусть дана плоскость . Две точки и называются симметричными относительно плоскости , если плоскость перпендикулярна отрезку и проходит через его середину. Если же , то говорят, что эта точка симметрична самой себе относительно .
Отображение f: называется симметрией относительно плоскости (или отражением от плоскости ), если точки и симметричны относительно плоскости ,.
Рассмотрим такое отображение f и примем плоскость в качестве плоскости ортонормированной системы координат . Если — координаты точки в репере , то точка имеет координаты в том же репере. Возьмем еще какие- либо две точки и симметричные относительно плоскости . Тогда, как легко подсчитать, . Отсюда следует, что f-движение.
Как известно, репер можно определить упорядоченной четверкой точек .
В симметрии относительно плоскости точки инвариантны, а точка перейдет в точку . Следовательно, f переводит репер в репер . Здесь определитель матрицы С перехода от базиса к базису , и поэтому симметрия относительно плоскости есть движение IIрода;
б) рассмотрим пару одинаково ориентированных ортонормированных реперов и .
Существует движение, которое переводит репер в . Это движение называется поворотом пространства вокруг оси на угол .
Так как реперы и одинаково ориентированы, то поворот –движение Iрода. Ясно, что любая точка оси поворота инвариантна в этом повороте.
Угол поворота φ считают ориентированным, если . Именно, угол φ ориентирован положительно (отрицательно), если тройка векторов ориентирована положительно (отрицательно). Если угол поворота , то каждая точка М переходит в симметричную ей относительно прямой точку . Это значит, что если , то , если же , то прямая перпендикулярна к отрезку и делит его пополам. Такое движение пространства называется симметрией относительно прямой ,(это частный случай поворота, когда угол поворота );
в) произведение поворота на перенос, вектор которого параллелен оси поворота, называется винтовым движением. Поворот и перенос- движение Iрода;
г) произведение поворота на отражение от плоскости , перпендикулярной оси поворота, называется поворотным отражением. Очевидно, это движение IIрода. Ось sповорота, угол φ, плоскость и точка называются соответственно осью, углом, плоскостью, и центром поворотного отражения.
Рассмотрим частный случай поворотного отражения, когда . Легко заметить, что в этом движении каждая точка переходит в симметричную ей относительно точки О точку . Движение пространства, обладающее этим свойством, называется центральной симметрией (или отражением точки).
Теорема. Пусть и . Произведение поворота на угол φ вокруг оси на отражение от точки О есть поворотное отражение на угол Осью, плоскостью и центром этого поворотного отражения служат соответственно и О.
Пусть -поворот вокруг оси на угол , g-отражение от точки О, поворот вокруг осина угол, — симметрия относительно плоскости П. Для произвольной точки Mпространства находим :´, Так как где — симметрия относительно прямой , то точки , симметричны относительно оси Следовательно, точки и симметричны относительно плоскости П:
Итак, Поэтому Но поворотное отражение (с осью плоскостью П и центром О) на угол .
Преобразование подобия. Группа подобий.
Подобием пространства называется преобразование f
этого пространства, обладающее следующим свойством: существует число k
(коэффициент подобия), такое, что
(f
(Α),
f
(Β))=
Движение является частным случаем подобия (=1). Другим частным случаем подобия является гомотетия.
Пусть даны точка Sи число R,. Гомотетией с центром S и коэффициентом называется отображение g: по закону
g(Μ)=Μ´=.
Отсюда следует, что g(S)=S (S-неподвижная точка), и если Μ, то точка Μ´ лежит на прямой (SΜ). Возьмем произвольные точки Μ и Ν и пусть
Μ´= g(Μ), Ν´= g(Ν).
Тогда =, ==. (1)
Возьмем еще одну точку Lна прямой (MN). Для точки L
´=f(
L
)имеем:= (2)
Пусть точки Mи N
различны. Тогда =, (3)
(1),(2) =. (4)
(3),(4)гомотетиясохраняет отношение трех точек прямой.Поэтому в гомотетии отрезок переходит в отрезок, луч – в луч, прямая – в прямую, полуплоскость – в полуплоскость. Если — направляющий вектор прямой a, то— направляющий вектор прямой a
´=
f
(
a
) .
(1)a
´a
.
Следовательно, гомотетияпереводит прямую в параллельную ей прямую. В гомотетии угол переходит в конгруэнтный ему угол. Это утверждение очевидно, если стороны угла лежат на одной прямой. Рассмотрим угол АОВ, стороны которого не лежат на одной прямой. Обозначим через Π плоскость, в которой лежит этот угол. В гомотетии g плоскость Π перейдет в плоскость Π´Π, лучΠ перейдет в луч, а луч -в луч.
Если угол АОВ выпуклый, то он является пересечением полуплоскостей
и :
= .
В гомотетии g эти полуплоскости перейдут соответственно в полуплоскости и и, значит, угол АОВ перейдет в угол
=.
Соответствующие стороны углов АОВ и А´О´В´ одинаково направлены при и противоположно направлены приПри параллельном переносе пространства на вектор эти углы совпадают в первом случае и окажутся вертикальными во втором случае. Следовательно, эти углы конгруэнтны.
Так как g(Π
)=
Π
´ иg=, то угол 1, дополняющий выпуклый угол АОВ до полного угла, переходит в гомотетии g в угол 1´, дополняющий выпуклый угол Α´О´Β´ до полного угла:
.
Значит, и невыпуклый угол гомотетия переводит в конгруэнтный ему угол. Учитывая равенство (1), находим:
|=||,
Следовательно, гомотетия является подобием. Гомотетия с центром Sи коэффициентом h
=-1является центральной симметрией (относительно точки S).
продолжение
--PAGE_BREAK--