СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1. Многочлены Лежандра
2. Многочлены Чебышева
3. Преобразование Лапласа
4. Обращение преобразованияЛапласа с помощью многочленов, ортогональных на конечном промежутке
4.1 Постановка задачи
4.2.Обращениепреобразования Лапласа с помощью смещенных многочленов Лежандра
4.3. Обращениепреобразования Лапласа с помощью смещенных многочленов Чебышева первого рода.
Заключение
преобразование смещенныймногочлен исчисление
ВВЕДЕНИЕ
Математическийанализ – раздел математики, дающий методы количественного исследования разныхпроцессов изменения; занимается изучением скорости изменения (дифференциальноеисчисление) и определением длин кривых, площадей и объемов фигур, ограниченныхкривыми контурами и поверхностями (интегральное исчисление). Для задачматематического анализа характерно, что их решение связано с понятием предела.
Начало математическому анализу положил в 1665 И.Ньютон и(около 1675) независимо от него Г.Лейбниц, хотя важную подготовительную работупровели И.Кеплер (1571–1630), Ф.Кавальери (1598–1647), П.Ферма (1601–1665),Дж.Валлис (1616–1703) и И.Барроу (1630–1677).
Операционное исчисление –раздел математики,занимающийся главным образом алгебраическими операциями, производимыми надсимволами операции (или преобразования).
Во многихзадачах математического анализа рассматриваются ситуации, в которых каждаяточка одного пространства ставится в соответствие некоторой точке другого (илитого же) пространства. Пространства могут быть абстрактными, в которых «точки»в действительности являются функциями. Соответствие между двумя точкамиустанавливается с помощью преобразования или оператора. В задачу теорииоператоров входит подробное описание и классификация различных видовпреобразований и их свойств, а также разработка символических методов,позволяющих минимизировать и упростить вычисления. Обычно теорию операторовприменяют к пространствам, в которых допускается сложение или умножение точек,т.е. линейным пространствам, группам, кольцам, полям и т.д.
Операционное исчисление позволяет осуществить абстрактныепостановки задач и обобщить такие разделы математического анализа, как теориядифференциальных и интегральных уравнений. Мощным стимулом для развития теорииоператоров стали современные проблемы квантовой теории. Наиболее полныерезультаты получены для дистрибутивных операторов в т.н. гильбертовомпространстве. Интерес к этой области во многом связан с представлением такихоператоров интегральными преобразованиями.
В середине XIX века появился ряд сочинений, посвящённых такназываемому символическому исчислению и применению его к решению некоторыхтипов линейных дифференциальных уравнений. Сущность символического исчислениясостоит в том, что вводятся в рассмотрение и надлежащим образоминтерпретируются функции оператора дифференцирования.
/>.
Среди сочинений по символическому исчислению следует отметитьвышедшую в 1862 году в Киеве обстоятельную монографию русского математика М. Е.Ващенко-Захарченко «Символическое исчисление и приложение его к интегрированиюлинейных дифференциальных уравнений». В ней поставлены и разрешены основныезадачи того метода, который в дальнейшем получил название операционного.
В 1892 году появились работы английского учёного О.Хевисайда, посвящённые применению метода символического исчисления к решениюзадач по теории распространения электрических колебаний в проводах.
/>
В отличие от своих предшественников, Хевисайд определилобратный оператор однозначно, полагая и считая f(u)= 0 для u
/>
Однако широко развитое в трудах Хевисайда операционноеисчисление не получило математического обоснования, и многие его результатыоставались недоказанными. Строгое обоснование было дано значительно позже,когда была установлена связь между функциональным преобразованием Лапласа иоператором дифференцирования
/>
если существует производная />,для которой
/>
существует и f(0) = 0, то
/>.
Одним из наиболее мощных средств решения дифференциальныхуравнений, как обыкновенных, так, особенно, в частных производных, являетсяметод интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа, Ганкеля идругие применяются для решения задач теории упругости, теплопроводности,электродинамики и других разделов математической физики. Использованиеинтегральных преобразований позволяет свести дифференциальное, интегральное илиинтегро-дифференциальное уравнение к алгебраическому, а также, в случаедифференциального уравнения в частных производных, уменьшить размерность.
Интегральные преобразования задаются формулой
/>, (1)
где функции /> называютсяоригиналом и изображением соответственно, и являются элементами некоторогофункционального пространства />, при этом функция /> называется ядром интегрального преобразования.
Большинство интегральных преобразований являются обратимыми,то есть по известному изображению можно восстановить оригинал, зачастую такжеинтегральным преобразованием:
/> (2)
Хотя свойства интегральных преобразований достаточно обширны,у них довольно много общего.
преобразование смещенный многочлен исчисление
1. Многочлены Лежандра
Многочлены Лежандра — многочлен, который в наименьшейстепени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образуетортогональную систему многочленов, на отрезке />помере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов />ортогонализацией Грама ― Шмидта.
Названы по имени французского математика Адриен МариЛежандра.
МногочленыЛежандра определяются по формуле (называемой формулой Родрига)
/> (3)
частозаписываемой в виде:
/> (4)
МногочленыЛежандра также определяются по следующим формулам:
/>
/>
/>, если />;
/>, если />.
Они такжемогут быть вычислены по рекуррентной формуле:
/>
Первыемногочлены Лежандра равны:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
2. Многочлены Чебышева
Многочлены Чебышева — две последовательности многочленов Tn(x) и Un(x),/>названные вчесть Пафнутия Львовича Чебышева.
Многочлены Чебышева играют важную роль в теории приближений, поскольку корнимногочленов Чебышева первого рода используются в качестве узлов в интерполяцииалгебраическими многочленами.
Многочлен Чебышева первого рода Tn(x)характеризуется как многочлен степени n состаршим коэффициентом 2n — 1,который меньше всего отклоняется от нуля на интервале [ −1,1]. Впервые рассмотрены самим Чебышёвым.
Многочлены Чебышева первого рода Tn(x)могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:
/>
/>
/>
МногочленыЧебышева первого рода />могут быть такжеопределены с помощью равенства:
/>
или, чтопочти эквивалентно,
/>
Несколькопервых многочленов Чебышева первого рода
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
МногочленыЧебышева обладают следующими свойствами:
Ортогональностьпо отношению к соответствующим скалярному произведению (с весом />для многочленов первого рода и />для многочленов второго рода).
Среди всехмногочленов, значения которых на отрезке [ − 1,1] не превосходят помодулю 1, многочлен Чебышева имеет: наибольший старший коэффициент наибольшеезначение в любой точке за пределами [ − 1,1] если />, то />, где tk —коэффициент многочлена Чебышева первого рода, ak —коэффициент любого из рассматриваемых полиномов.
Нулиполиномов Чебышева являются оптимальными узлами в различных интерполяционныхсхемах. Например, в методе дискретных особенностей, который часто используетсяпри исследовании интегральных уравнений в электродинамике и аэродинамике.
3.
4. Преобразование Лапласа
Преобразование Лапласа — интегральное преобразование,связывающее функцию />комплексногопеременного (изображение) с функцией />действительногопеременного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических системи решаются дифференциальные и интегральные уравнения.
Одной из особенностей преобразования Лапласа, которыепредопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах,является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуютболее простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функцийсводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейныедифференциальные уравнения становятся алгебраическими.
ИнтегралЛапласа имеет вид:
/> (5)
гдеинтегрирование производится по некоторому контуру Lв плоскостикомплексного переменного z, ставящий в соответствие функции f(z), определеннойна L, аналитическую функцию F(p) комплексного переменного p=s+it. Многиеинтегралы вида (5) были рассмотрены П. Лапласом.
В узкомсмысле под преобразованием Лапласа подразумевают одностороннее преобразованиеЛапласа
/>, (6)
называемоетак в отличие от двустороннего преобразования Лапласа
/> (7)
ПреобразованиеЛапласа – частный вид интегральных преобразований;. преобразования вида (6)или (7) тесно связаны с Фурье преобразованием. Двустороннеепреобразование Лапласа (7) можно рассматривать как преобразование Фурье функции/>, одностороннее преобразование Лапласа (6) — какпреобразование Фурье функции j(t) равной /> при 0
Подынтегральнаякомплексная локально суммируемая функция f(t) называется функцией-оригиналом,или просто оригиналом; в приложениях часто удобно трактовать переменное t каквремя. Функция F(p)=L[f], (р) называется также преобразованием Лапласаоригинала f(t) или изображением по Лапласу. Интеграл (6) понимается, вообщеговоря, как условно сходящийся на бесконечности.
Априоривозможны три случая:
1) существуетдействительное число /> такое, что интеграл (6) сходится при />, а при /> – расходится; это числоσсназывается абсциссой (условной) сходимости;
2) интеграл(6) сходится при всех р, в этом случае полагают />;
3) интеграл(6) расходится при всех р, в этом случае полагают />
Если />, то интеграл (6) представляет однозначнуюаналитическую функцию F(p) в полуплоскости сходимости />. Обычно ограничиваются рассмотрением абсолютносходящихся интегралов (6). Точная нижняя грань тех s, для которых существуетинтеграл />, называется абсциссой абсолютнойсходимости /> />
Если а – естьнижняя грань тех s, для которых /> число а иногда называютпоказателем роста оригинала f(t).
При некоторыхдополнительных условиях оригинал f(t) однозначно восстанавливается по своемуF(p). Например, если f(t) имеет ограниченную вариацию в окрестноститочки t0или если f(t) кусочногладкая, то имеет место формулаобращения преобразования Лапласа:
/> (8)
Формулы (6) и(8) позволяют получить ряд соотношений между операциями, производимыми надоригиналами и изображениями, а также таблицу изображений для частовстречающихся оригиналов. Все это составляет элементарную часть операционногоисчисления.
Вматематической физике важные применения находит многомерное преобразованиеЛапласа:
/> (9)
где t= (t1, ……, tn)
-точка re-мерногоевклидова пространства
Rn, p= (p1, ……, pn) = σ+ iτ= (σ1, ……, σn) + (τ1,……, τn)
-точкакомплексного пространства
Cn, n≥1, (p,t) = (σ,t)+i(τ,t) = p1t1+ … +pntn
-скалярноепроизведение, dt= dt1…dtn — элемент объема в Rn. Комплексная функция f(t)в (9) определена и локально суммируема в области интегрирования
/>
-положительномкоординатном угле пространства Rn. Если функция f(t) ограничена в C*, то интеграл (9)существует во всех точках /> удовлетворяющих условию Re(p,t)>0, />, которое определяет снова положительныйкоординатный угол
/>
Интеграл (9)определяет голоморфную функцию комплексных переменных p= (p1,- pn) в трубчатой области/>пространства />с основанием S. В более общемслучае в качестве области интегрирования/>в (9) и основанияSтрубчатой области можно взять любую пару сопряженных замкнутых выпуклых острыхконусов в пространстве />с вершиной в началекоординат. При n=1 формула (9) переходит в (6), причем /> - положительная полуось и /> - правая полуплоскость. ПреобразованиеЛапласа (9) определено и голоморфно и для функций f(t) гораздо более широкихклассов. Элементарные свойства преобразования Лапласа с соответствующимиизменениями остаются справедливыми и для многомерного случая.
Численноепреобразование Лапласа — численное выполнение преобразования (6), переводящегооригинал f(t), 0t в изображение F(p),/>, а также численное обращение преобразованияЛапласа, т. е. численное нахождение f(t) из интегрального уравнения (6) либо поформуле обращения (8).
Необходимостьприменения численного преобразования Лапласа возникает вследствие того, чтотаблицы оригиналов и изображений охватывают далеко не все встречающиеся впрактике случаи, а также вследствие того, что оригинал или изображение зачастуювыражаются слишком сложными, неудобными для применений формулами.
Проблемаобращения преобразования Лапласа, как задача отыскания решения f(x)интегрального уравнения первого рода (6), относится к классу некорректных задачи может быть решена, в частности, посредством регуляризирующего алгоритма.
Задачу численногообращения преобразования Лапласа можно также решать методами, основанными наразложении функции-оригинала в функциональный ряд. Сюда в первую очередь можноотнести разложение в степенной ряд, в обобщенный степенной ряд, в ряд попоказательным функциям, а также в ряды по ортогональным функциям, в частностипо многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби и Лагерра. Задача разложения оригиналав ряды по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби в окончательном своем видесводится к проблеме моментов на конечном промежутке. Пусть известнопреобразование Лапласа F(p) функции β(t)f(t):
/>
где f(t) — искомая функция, а β(t) — неотрицательная, интегрируемая на [0,∞) функция.Предполагается, что функция f(t) интегрируема на любом конечном отрезке [0, Т]и принадлежит классу L2(β(t), 0, ∞).По изображению F(р).функцииβ(t), f(t), функция f(t) строится в виде ряда по смещенным многочленамЯкоби, в частности по смещенным многочленам Лежандра, Чебышева первого ивторого рода, коэффициенты которого ak вычисляются поформуле.
/>
где /> — коэффициенты смещенного многочленаЛежандра, Чебышева первого и второго рода соответственно, записанных в виде />
Другимприемом численного обращения преобразования Лапласа является построениеквадратурных формул для интеграла обращения (8).
4. Обращение преобразования Лапласа с помощью многочленов,ортогональных на конечном промежутке
4.1 Постановка задачи
Задачупреобразования Лапласа можно решать методами, основанными на разложенииоригинала в ряды по ортогональным функциям, в частности по многочленамЧебышева, Лежандра и Якоби.Эта задача, которая в окончательном своем виде сводитсяк проблеме моментов на конечном промежутке, была подвергнута изучению в работахмногих авторов.
Рассмотримпостановку этой задачи в таком виде, как это сделано в работах В.М. Амербаева ив книге В.А. Диткина и А.П. Прудникова [2].
Пустьизвестно преобразование Лапласа F(p) функции β(t)f(t):
/> (10)
Где f(t)– искомаяфункция, а β(t) – неотрицательная, абсолютно интегрируемая на[0,∞) функция. Предположим, что функция f(t) интегрируема на любомконечном отрезке [0, Т] и принадлежит классу L2(β(t), 0, ∞):
/> (11)
Требуется поизображению F(р) функции β(t)f(t), построить функцию f(t).
В интеграле(10) введем замену переменной x=e-t; тогда он приведется квиду
/> (12)
где
/>
В силуусловий, которые наложены на функции f(t) и β(t), интеграл (12) сходитсявсюду в плоскости Rep≥,0, поэтому переменной рможно придать значения 0, 1, 2, … и получить «взвешенные моменты» функции />
/> (13)
После этогорешаемую задачу можно сформулировать так: найти функцию /> по ее «взвешенным моментам» />, или, что тоже самое, найти функцию f(t) по значениямизображения функции β(t)f(t) в целочисленных точках p= k(k= 0, 1, 2, …). В частном случае этузадачу можно упростить и по первым п + 1 «взвешенным моментам» искатьмногочлен />, такой, чтобы его «взвешенные моменты»совпадали с заданными моментами функции />, то есть чтобывыполнялись равенства
/> (14)
4.2.Обращение преобразования Лапласа с помощью смещенныхмногочленов Лежандра
Рассмотрим частный случай весовой функции
/> (15)
/> или />./>
Многочленами,ортогональными на отрезке [0,1] с весом />, будут смещенымногочлены Лежандра />
Они задаютсяформулой
/> при />
или жеформулой
/>
Величина rn в этом случае равна
/>
и разложениефункции f(t) по смещенныммногочленам Лежандра имеет вид
/> (16)
Величиныαk вычисляются по формуле
/> (17)
в которой /> - коэффициенты смещенного многочленаЛежандра />
4.3. Обращение преобразования Лапласа с помощью смещенныхмногочленов Чебышева первого рода.
Положимтеперь /> Весовая функция имеет вид
/> и />
Смещенныемногочлены Чебышева первого рода /> являются ортогональнойсистемой на [0,1] по весу />
МногочленыЯкоби /> отличаются от /> только численным множителем, а именно
/>,
где/>
Многочлены /> имеют вид
/>
Значения rnвычисляются по формулам
/>
а разложениефункции f(t) по смещенныммногочленам Чебышева первого рода имеет вид
/> (18)
Коэффициенты ak(k=0, 1, …) вычисляются по формуле(17), в которой /> - коэффициенты смещенного многочленаЧебышева первого рода />.
В вычисленияхудобнее пользоваться тригонометрической записью многочленов />, а именно:/>
Сделав заменупеременной 2x– 1 = cosθ(0≤θ≤π) иучитывая, что /> разложение (18) можно переписать в виде:
/>
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Одним изнаиболее мощных средств решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных,так, особенно, в частных производных, является метод интегральныхпреобразований.
ПреобразованияФурье, Лапласа, Ганкеля и другие применяются для решения задач теорииупругости, теплопроводности, электродинамики и других разделов математическойфизики.
Преобразование Лапласа — интегральное преобразование,связывающее функцию />комплексногопеременного (изображение) с функцией />действительногопеременного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических системи решаются дифференциальные и интегральные уравнения.
Одной изособенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкоераспространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многимсоотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простыесоотношения над их изображениями.
ИнтегралЛапласа имеет вид:
/>
гдеинтегрирование производится по некоторому контуру Lв плоскостикомплексного переменного z, ставящий в соответствие функции f(z), определеннойна L, аналитическую функцию F(p) комплексного переменного p=s+it.
Численноепреобразование Лапласа — численное выполнение преобразования
/>,
переводящегооригинал f(t), 0t в изображение F(p),/>, а также численное обращение преобразованияЛапласа.
Необходимостьприменения численного преобразования Лапласа возникает вследствие того, чтотаблицы оригиналов и изображений охватывают далеко не все встречающиеся впрактике случаи, а также вследствие того, что оригинал или изображение зачастуювыражаются слишком сложными, неудобными для применений формулами.
Задачучисленного обращения преобразования Лапласа можно также решать методами,основанными на разложении функции-оригинала в функциональный ряд. Сюда в первуюочередь можно отнести разложение в степенной ряд, в обобщенный степенной ряд, вряд по показательным функциям, а также в ряды по ортогональным функциям, вчастности по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби и Лагерра. Задача разложенияоригинала в ряды по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби в окончательном своемвиде сводится к проблеме моментов на конечном промежутке. Пусть известнопреобразование Лапласа F(p) функции β(t)f(t):
/>
где f(t) — искомая функция, а β(t) — неотрицательная, интегрируемая на [0,∞) функция.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вандер Поль Б., Бремер Х. Операционное исчисление на основе двустороннегопреобразования Лапласа. — М.: Издательство иностранной литературы, 1952. —507 с.
2. Диткин В.А., Прудников А. П. Интегральныепреобразования и операционное исчисление. — М.: Главная редакцияфизико-математической литературы издательства «Наука», 1974. — 544 с.
3. Кожевников Н.И., Краснощекова Т. И., ШишкинН. Е. Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальныефункции. Преобразования Лапласа. — М.: Наука, 1964. — 184 с.
4. Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразованияФурье и обращения преобразования Лапласа. – М.: Наука, 1974. – 226 с.