Методы коллокаций и Галеркина
Метод коллокаций
Пусть необходимо определить функцию/>, удовлетворяющую линейному дифференциальному уравнению
/>(2.50)
и линейными краевыми условиями
/>, (2.51)
причем />
Выберем некоторую совокупность линейно независимых функций
/>(2.52)
которую назовем системой базисных функций.
Пусть функция /> удовлетворяет неоднородным краевым условиям
/>(2.53)
а остальные функции удовлетворяют соответствующим однородным краевым условиям:
/>. (2.54)
Если краевые условия (2.51) однородны (A=B=0), то можно положить />и рассматривать лишь систему функций />.
Будем искать приближенное решение краевой задачи (2.50), (2.51) в виде линейной комбинации базисных функций
/>. (2.55)
Тогда функция yудовлетворяет краевым условиям (2.51). В самом деле, в силу линейности краевых условий имеем
/>
и аналогично />
Составим функцию />. Подставляя сюда вместо yвыражение (2.55), будем иметь
/>.(2.56)
Если при некотором выборе коэффициентов ciвыполнено равенство
/>при />
то функция yявляется точным решением краевой задачи (2.50), (2.51). Однако подобрать так удачно функции />и коэффициенты ciв общем случае не удается. Поэтому ограничиваются тем, что требуют, чтобы функция /> обращалась в нуль в заданной системе точек />из интервала [a, b], которые называются точками коллокации. Сама функция Rназываетсяневязкой уравнения (2.50). Очевидно, что в точках коллокации дифференциальное уравнение (2.50) будет удовлетворено точно, и невязка в этих точках равна нулю.
Итак, метод коллокации приводит к системе линейных уравнений
/>. (2.57)
Из системы (2.57) в случае ее совместности можно определить коэффициенты />, после чего приближенное решение краевой задачи дается формулой (2.55).
Пример. Методом коллокации и методом сеток решить краевую задачу
/> (2.58)
1. Метод коллокаций.
В качестве базисных функций выберем полиномы
/>.
Эти полиномы удовлетворяют краевым условиям: /> За точки коллокации возьмем следующие абсциссы:
/>
Ограничиваясь двумя базисными функциями, положим
/>
Найдем функцию />
/> (2.59)
В точках коллокации /> получим
/>.--PAGE_BREAK--
Подставляя сюда (2.59), найдем
/>(2.60)
Решив эту систему, определим коэффициенты />:
/>=0.957, />=− 0.022.
Следовательно, приближенное решение будет иметь вид
/>.
Например, при x=получим y(0)=0.957.
2. Метод сеток.
Для грубого решения выбираем шаг h=1/2 (см. рис. 2).
/>
Рис. 2. Иллюстрация к методу сеток
Полагая />, ввиду симметрии уравнения и краевых условий, будем иметь:
/> (2.61)
Таким образом, нужно определить лишь две ординаты y и />. Полагая x=и пользуясь симметричными формулами для производных
/>,
получим:
/>
Аналогично, при x=1/2, то есть при i=1, получаем
/>
Учитывая теперь (2.61), найдем систему
/>
Решая эту систему, отыщем y=0.967, y1=0.721. Итак, сравним: метод коллокации дает y=0.957, а метод сеток y=0.967.
Метод Галеркина
Пусть дано дифференциальное уравнение с линейными краевыми условиями
/>, (2.62)
/> (2.63)
Будем искать приближенное решение этой краевой задачи в виде суммы
/>(2.64)
где /> – некоторая непрерывная функция, удовлетворяющая неоднородным краевым условиям (2.63), а /> – какая-то система линейно независимых функций, удовлетворяющих однороднымкраевым условиям
/>(2.65)
и, кроме того функции />при /> образуют в классе функций c2[a, b], удовлетворяющих условиям (2.65), полную систему.
Заметим, что свойство полноты понимается следующим образом.
Обозначим через Gкласс функций y(x), принадлежащих c2[a, b] (то есть дважды непрерывно дифференцируемых на [a, b]) и удовлетворяющих граничным условиям (2.65). Говорят, что система функций /> полна в классе G, если для любого /> и любой функции />можно указать такое nи такие параметры />, что имеет место неравенство продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
где />
Это означает, что для любой допустимой функции /> найдется такая функция />, которая на [a, b] будет сколь угодно точно приближать функцию y(x)вместе с ее производными /> и />.
Докажем, что если для некоторой функции F(x) и полной системы функций /> выполняется соотношение ортогональности
/>(2.66)
то функция />. Для этого из полной системы /> последовательной ортогонализацией построим полную ортогональную систему />
/>
причем /> иначе /> были бы линейно зависимы. Разлагая по новой системе функцию F(x), найдем
/>
Подставляя это разложение в соотношение ортогональности (2.66), придем к равенству
/> (2.67)
Вычислим последний интеграл:
/>
/>
/>так как />
Таким образом, уравнение (2.67) принимает вид
/>.
Полагая здесь k=1, получим />, и так как />, то />. Полагая k=2, получим />, и так далее. Следовательно, все коэффициенты /> в разложении функции F(x) равны нулю и поэтому F(x)тождественно равна нулю, что и требовалось доказать.
Возвращаясь теперь к задаче (2.62), (2.63), видим, что если бы мы нашли такую функцию y(x), удовлетворяющую условиям (2.63), и чтобы /> было ортогонально /> при любых />, то это означало бы, что />, и задача (2.62), (2.63) была бы решена. Если же ортогональность есть только при />, то в разложении /> по системе /> входят /> и более старшие коэффициенты, то есть />
Метод Галеркина состоит в том, что решение задачи (2.62), (2.63) ищется в виде (2.64), причем требуют ортогональности /> к функциям полной системы /> для />, то есть продолжение
--PAGE_BREAK--
/> (2.68)где
/>
Это дает алгебраическую систему уравнений для определения коэффициентов ak. Найдя из нее коэффициенты, получим приближенное решение.
Если оператор /> нелинейный, то система (2.68) тоже будет нелинейной и решение ее весьма затруднительно. Если же оператор /> линейный, то система (2.68) также будет линейной и можно решать задачу с большим числом коэффициентов.
В методе Галеркина функция /> должна удовлетворять краевым условиям (2.63). Поэтому /> можно выбрать в виде
/>,
и коэффициенты /> найти как решение системы уравнений
/>
Таким же образом отыскиваются функции />. Выберем, например, полную систему /> в виде многочленов последовательных степеней:
/>.
Коэффициенты /> найдем из однородных краевых условий (2.65)
/>(2.65а)
при всех />.
Так, для />/>и условия (2.65а) принимают вид:
/>
В этой системе из двух уравнений три неизвестных: /> /> и />. Одну из них можно выбрать произвольно, положив, например, />. Аналогично отыскивают коэффициенты /> для />.
Для простых условий вида />то есть /> функции /> можно вычислять по правилу
/>
или
/>
Отметим, что при нелинейном краевом условии вида, например, />линейная комбинация (2.64) с произвольными коэффициентами ak уже не будет удовлетворять этому краевому условию. Поэтому метод Галеркина применим только к задачам с линейными краевыми условиями, хотя допустим и нелинейный оператор L.
Пример 1. Методом Галеркина найти приближенное решение уравнения
/>
с условиями
/>
В качестве системы базисных функций />выберем
/>
Ограничимся четырьмя функциями />, то есть k=0, 1, 2, 3. Решение будем искать в виде
/>
Найдем функцию/>.
Так как
/>, а />, />,
то получим продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
Потребует теперь ортогональности функции F(x) к функциям />. Это приводит к системе
/>
Подставляя сюда вместо /> выражение этой функции и производя интегрирования, найдем
/>
Решение этой системы:
/>
Следовательно,
/>
Пример 2.
Решим задачу
/>
Положим /> и выберем полную систему функций
/>
Ограничиваясь k=1, легко получить
/>
Если же взять два члена, то получим />
Можно рассчитать следующую таблицу:
x
/>
/>
Точное решение />
/>
0.241
0.445
0.208
/>
0.322
0.685
0.325
/>
0.241
0.582
0.273