Міністерство освіти і наукиУкраїни
Черкаський національнийуніверситет
імені Б. Хмельницького
Кафедра геометрії таметодики навчання математики
Курсова робота
Методи розв’язуванняраціональних нерівностей вищих степенів
ІV курс, денна форманавчання, математичний факультет
Глушко Юлія Сергіївна
Науковий керівник:
викладач кафедригеометрії та
методики навчанняматематики
Воловик Оксана Петрівна
Черкаси 2010
Зміст
Вступ
§ 1. Теоретичні основидослідження
1.1 Загальні відомостіпро раціональні нерівності
1.2 Теореми прорівносильність нерівностей
§ 2. Раціональнінерівності вищих степенів та методи їх розв’язування
2.1 Розв’язуванняраціональних нерівностей вищих степенів методом інтервалів
2.2 Розв’язуванняраціональних нерівностей узагальненим методом інтервалів
2.3 Розв’язуваннядробово-раціональних нерівностей
2.4 Розв’язування раціональнихнерівностей методом заміни змінної
Висновки
Список використанихджерел
Вступ
Актуальністьтемизумовлена тим, що розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів викликаєу багатьох учнів певні труднощі. Розв’язування більшості нерівностей вищихстепенів вимагає знання різноманітних теоретичних відомостей, застосуваннярізних теорем та формул. Отримати навички розв’язування раціональнихнерівностей вищих степенів можна лише тоді, коли розв’язати їх достатньо великукількість, ознайомившись з різними методами та прийомами їх розв’язання.
Все цеобумовило обрання теми: «Методи розв’язування раціональних нерівностей вищихстепенів»
Метароботиполягає в тому, щоб розглянути різні методи раціональних нерівностей вищихстепенів
Однією зосновних функцій розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів єформування уявлень про ідею і використання раціональних методів і прийомів.
Майстерністьрозв’язувати раціональних нерівностей вищих степенів ґрунтується на володіннівисоким рівнем знань теоретичної частини курсу та певним арсеналом методів іприйомів розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів
Тому доцільнорозглянути та ознайомитись з різноманітними методами та прийоми розв’язуванняраціональних нерівностей вищих степенів. Це дозволить учням розв’язувати,здавалося б, складні нерівностей просто, зрозуміло і красиво, а сформованіуміння і навички знадобляться учням при розв’язуванні ірраціональних,логарифмічних, показникових та тригонометричних. нерівностей
Длядосягнення мети було поставлено наступні завдання:
§ проаналізувати методичнулітературу з означеної теми;
§ ознайомитись зтеоретичними відомостями, розглянути основні теореми та методичні факти, щостосуються даної теми;
§ розглянути різноманітніметоди розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів;
§ навести низку прикладіврозв’язування раціональних нерівностей вищих степенів різними методами.
§ 1. Теоретичніоснови дослідження
1.1Загальні відомості про раціональні нерівності
Дві функції,що поєднані між собою знаю /> утворюють нерівність:
/>;
/>.
Розв’язкомцих нерівностей називається значення />, що задовольняє їх. Розв’язатинерівність – значить знайти множину всіх її розв’язків або встановити, щонерівність не має розв’язків.
Областювизначення /> (областюдопустимих значень) нерівності називають множину всіх значень невідомого, наякій існують функції />.При визначенні /> часто вводяться такождодаткові умови, які пов’язані з характером нерівності. [2: 137]
Під множиноюрозв’язків системи нерівностей розуміють перетин множин розв’язків всіхнерівностей, що входять в цю систему.
Говорять, щонерівність еквівалентна системі нерівностей, якщо множина її розв’язківспівпадає з множиною розв’язків цієї системи. [1: 136]
1.2Теореми про рівносильність нерівностей
Двінерівності з одною змінною /> називаються рівносильними, якщоїх розв’язки співпадають (в тому числі, якщо обидві нерівності не маютьрозвязків). Якщо кожен частковий розвязок нерівності /> являється в той же час частковимрозвязком нерівності />, отримані після перетворення нерівності/>, тонерівність /> називаєтьсянаслідком нерівності />. В наступних теоремах річ йде проперетвореннях, які ведуть до рівносильних нерівностей.[6:321]
Теорема 1. Якщо з однієї частини нерівності перенести до іншої доданок ізпротилежним знаком, то дістанемо нерівність, рівносильну початковій.
Теорема 2. Якщо до обох частин нерівності />додати (або відняти) будь-яку функцію /> то дістанемо нерівність, рівносильнупочатковій за умовою, що області визначення отриманої і початкової нерівностейзбігаються.
Теорема 3.Якщо обидві частини нерівності /> помножити (або поділити) на будь-яку функцію />, яка зберігає сталий знак івідмінну від нуля, то при /> дістаємо нерівність, рівносильнупочатковій, а при /> рівносильною початковій буденерівність протилежного змісту (передбачається, що області визначення отриманоїі початкової нерівностей збігаються).
Таким чином, можемозаписати:
/>, якщо />;
/>, якщо />;
/>, якщо />;
/>, якщо />;
Зауваження.На практиці при застосуванні 2 і 3теорем найчастіше замість функції /> береться її окремий випадок –відмінна від нуля константа. [2:143]
§ 2.Приклади розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів різними методими
2.1 Розвязуванняраціональних нерівностей вищих степенів методом інтервалів
Будеморозглядати розв’язання раціональних нерівностей методом інтервалів. Існуютьрізні схеми реалізації цього методу. Розглянемо одну з цих схем, допускаючи, щорозв’язується нерівність />. У випадку нерівності /> ця схемааналогічна.
1.Перенестивсі члени нерівності вліво:
/>.
2.Лівучастину отриманої нерівності привести до спільного знаменника:
/>.
3.Багаточлени/> і /> розкласти намножники. Якщо при цьому з’являються однакові множники, то треба замінити їхвідповідним степенем. Наприклад,
/>.
Прискороченні треба мати на увазі, що:
/>/>
4. Виключитиз розкладення нелінійні множники. Це виключення виконується таким чином.
Якщо врозкладенні є множник, />, де />, то його виключення залежить відзнака старшого коефіцієнта і виконується за правилом:
/>
Якщо врозкладенні є множник />, то його виключення здійснюєтьсяза правилами
/> />
/>
/>
Нелінійний множник/> виключаєтьсяза правилом:
/>.
5. Начисловій осі відмітимо точки, в яких обертаються в нуль всі множники, що стоятьв чисельнику і знаменнику лівої частини нерівності, отриманої в результатівиконання пунктів «1» — «4». При цьому, якщо нерівність нестрога, точки, яківідповідають множникам чисельника будемо визначати зафарбованими кружками, аточки, що відповідають множникам знаменника світлими. Якщо нерівність строга,всі точки відмічаються світлими кружками.
6. Поставитизнаки в кожному проміжку, на якій числова вісь розбивається відміченимиточками.
Спочаткупоставити знак у самому правому проміжку на числовій осі за правилом: знак «+»ставиться, якщо число множників виду /> парне, і знак «-», якщо це числонепарне. Знаки в інших проміжках ставляться з урахуванням того, що воничергуються в сусідніх проміжках.
7.Вибираються проміжки, в яких стоїть знак «+», якщо нерівність, отримана впункті 4 має вигляд: />, або «-», якщо ця нерівність маєвигляд />.Ці проміжки містять у собі крайні точки, відмічені на числовій осізафарбованими кружками, і не містять точок, відмічених світлими кружками,.Об’єднання цих проміжків і є множиною розв’язків даної нерівності.[4:124]
Приклад 1.Розв’язатиметодом інтервалів нерівність
/>. (1)
Розв’язування: Знерівності /> знаходимоОДЗ:
/>
Далі замістьнерівності (1) розв’язуємо рівняння
/> або /> звідки />
Наносимовідповідні точки на числову вісь (див. рисунок).
/>
Розглядаємокожний з утворених інтервалів окремо.
1.Підставляємо значення /> з інтервалу /> у нерівність (1).Дістаємо нерівність />, яка не виконується. Томунерівність (1) не виконується в усіх точках інтервалу />.
2.Підставляючи в нерівність (1) значення /> з інтервалу />, дістаємо правильнунерівність />.Отже, нерівність (1) виконується на інтервалі />.
3.Підставляючи в (3) значення /> з інтервалу /> дістаємо неправильнунерівність />.Це означає, що нерівність (1) не виконується ні в одній точці інтервалу />.
Остаточномаємо розв’язок нерівності (1) />
Відповідь/>.[1:161]
Приклад 2.Розв’язатинерівність />
Розв’язування:Для знаходження коренів рівняння /> необхідно розкласти його намножники. Отже
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Отже числа/>,/>,/>є коренями даногорівняння. Наносимо ці числа на числову вісь і визначаємо знак лівої частинифункції
/> на одному зінтервалів. Зокрема, взявши точку /> з інтервалу />, дістаємо />. Провівши«криву знаків», визначаємо знак /> в кожному з інтервалів.
/>/>/>/>/> + />/>/> +
1 2 3 x
Відповідь:/>
2.2 Розв’язуванняраціональних нерівностей вищих степенів узагальненним методом інтервалів
Нехай потрібнорозв'язати нерівність
/>,
де /> цілі додатні числа;
/>— дійсні числа, середяких немає рівних і такі, що />. Нерівності подібного типурозв'язують із застосуванням узагальненого метода інтервалів. В основі цього методалежить така властивість двочлена /> точка /> ділить числову вісь надві частини, причому якщо /> (/> — парне), то вираз /> праворуч і ліворучвід точки /> зберігає додатнийзнак; якщо /> (/> — непарне число), товираз /> праворуч від точки /> додатний, а ліворучвід точки /> від'ємний.
Для розв'язаннянерівності
/>
узагальненим методомінтервалів на числову вісь наносимо числа />; в проміжку праворуч віднайбільшого з них ставимо знак «плюс», а потім, рухаючись справа наліво, припереході через чергове число /> змінюємо знак, якщо /> — непарне число, ізберігаємо знак, якщо. /> — парне число.
Зауваження 1. Якщо зустрічаютьсявирази />, то праворуч віднайбільшого з /> не обов'язково будезнак « + ». У цьому випадку найкраще визначити знак лівої частини нерівності вякомусь з інтервалів, а потім поставити знаки в кожному з інтервалів зурахуванням викладених вище міркувань.
Зауваження 2. Наведені вищеміркування справедливі і для нерівностей виду
/>, />, />, де
/>.
Приклад 1. Розв’язати нерівність
/>
Перепишемонерівність у рівносильному вигляді
/>
Числа />, />, />, /> є коренямирівняння. Наносимо ці числа на числову вісь і визначаємо знак лівої частинифункції
/>
на одному зінтервалів. Зокрема, взявши точку /> з інтервалу />, дістаємо />. Проводимочерез задані точки «криву знаків» з урахуванням того, що ліворуч і праворучточки /> будетой самий знак «+», тому що у виразі /> показник степеня(число 4) є числом парним.
/>/>/>/>/>/>/>/> + />/> + +
-7 -/>/> 6 x
Відповідь:.
/>
Приклад 2. Розв’язати нерівність
/>
Числа />,/>,/>є коренями рівняння.Наносимо ці числа на числову вісь і визначаємо знак лівої частини функції /> на одному зінтервалів. Зокрема, взявши точку /> з інтервалу />, дістаємо />. Провівши«криву знаків» з урахуванням того, що ліворуч і праворуч точки /> і /> буде той самий знак«-», тому що у виразах/>і (х + 3)6 /> показникстепеня (число 4 і 6 відповідно) є парні числа, визначаємо знак f(x) в кожномуз інтервалів.
/>/>/>/>/>/> />/> +
-3 1 5 x
Відповідь:/>.
Приклад 3. Розв’язати нерівність
/>
Числа/>, />, /> є коренямирівняння Наносимо дані точки на числову вісь. Оскільки дискримінант квадратноготричлена />х2/>, то/>для всіх /> і, значить,парабола /> неперетинає вісь Ох. За допомогою «кривої знаків» дістаємо розв’язання.
/>/>/>/>/> + />/>/> +
-1 1 2 x
Відповідь:/>.
Приклад 4. Розв’язати нерівність
/>
Числа />, />, /> є коренямирівняння Наносимо дані точки на числову вісь і визначаємо знак лівої частинифункції /> наодному з інтервалів. Зокрема, взявши точку /> з інтервалу />, дістаємо />. Проводимочерез задані точки «криву знаків» і дістаємо розв’язання.
/>/>/>/>/>/> + />/> +
-3 -1 0 x
Відповідь:./>.
Приклад 5. Розв’язати нерівність
/>.
Перепишемонерівність
/>.
Числа/>, />, /> є коренямирівняння Наносимо дані точки на числову вісь і визначаємо знак лівої частинифункції
/>
на одному зінтервалів. Зокрема, взявши точку /> з інтервалу />, дістаємо />. Проводимочерез задані точки «криву знаків» і дістаємо розв’язання.
/>/>/>/>/>/> + />/> + +
-/>/> 6 x
Відповідь:./>
2.3Розв’язування дробово-раціональних нерівностей
Приклад 1. Розв’язати нерівність
/>.
Розв’язання:розкладемо чисельник і знаменник дробу, що стоїть в лівій частині нерівності,на множники:
/>.
Отриманийдріб містить два нелінійні множники: /> і />. Перший з них додатний і йогоможна опустити, другий множник виключимо у відповідності з пунктом 4:
/>
Далі, начисловій осі відмітимо точки />, /> та інтервали, що утворюються прицьому, знаками:
/>/>/>/> + +
-2 2 x
Виберемоінтервал /> відміченийзнаком «-» (так як />), і нанесемо на числову вісьточку />. Цяточка попадає у вибраний інтервал. «Виколюючи» точку />, отримуємо інтервали /> і />, об’єднанняяких утворює множину розв’язків даної нерівності:
/>
Відповідь: />.
Приклад 2. Розв’язати нерівність
/>/>.
Розв’язання:розкладемо багаточлен, що стоїть в чисельнику лівої частини нерівності, намножники. Розглянемо рівняння />. Серед дільників 8 підберемокорінь рівняння />. Розділимо ліву частину рівнянняна двочлен />:
/>
/> />
/>
/>
/>
/>
Теперрозглянемо рівняння />. Серед дільників 8 підбереморівняння /> ірозділимо ліву частину на двочлен />:
/>
/> />
/>
/>
/>
Так якквадратний тричлен /> не має дійсних коренів, отримаєморозкладення
/>.
Таким чином,дана нерівність перетворюється до вигляду:
/>.
Дріб в лівійчастині цієї нерівності містить два нелінійних множники: квадратний тричлен />, що більшийнуля, і />.Виключимо ці множники:
/>
На числовійосі відмітимо точки />, /> і інтервали, що утворюютьсязнаками:
/>
Виберемоінтервал /> зізнаком «-» і потім відмітимо на осі точку />. Ця точка належить вибраномуінтервалу, і тому, виключаючи цю точку, отримуємо, що /> - множина розв’язків даноїнерівності.
Відповідь: />.
Приклад 3. Розв’язати нерівність
/>.
Розв’язання:у відповідності з описаною схемою методу інтервалів
/>
Будемовідмічати на числовій осі точки />, />, /> зафарбованими кружками(нерівність нестрога!), а точку /> - світлим кружком:
/>
Розв’язокданої даної нерівності складаються з об’єднанням проміжків />.
Відповідь: />.
Приклад 4.Розв’язатинерівність
/>.
Розв’язування:Нанасимо на числову пряму точки />, />, />, />, />. Точки />, />, /> відзначаємо темними кружками, аточки />, /> світлими.
/>
Провівши«кривину знаків» з урахуванням того, що в околі точок /> і /> ліва частина нерівності зберігаєзнак (тому що у виразах />), /> показники степенів є парнимичислами), дістанемо розв’язання />Ця множина на рисункузаштрихована.
Відповідь: />
Приклад 5.Розв’язатинерівність
/>.
Наносимоточки /> числовувісь. За допомогою «кривої знаків» дістанемо розв’язки, заштриховані нарисунку.
/>
Зазначимо, щоточка /> входитьу множину розв’язків, тому що при /> дістанемо />.
Відповідь: />.
2.4Розв’язування раціональних нерівностей методом заміни змінної
Приклад 1. Розв’язати нерівність
/>
Зробившизаміну змінної />, дістаємо
/>.
Коренямирівняння
/> є />, />.
Звідси
/>/>.
Оскільки />, то дістаємо
/> />
Розв’яжемонерівність />
/>/>/>/>
/>/>/>/>
0 4 x
Розв’яжемонерівність />
/>
/>/>/>/>
-1 5 x
З малюнківбачимо, що розв’язком початкової нерівності є об’єднання множин /> і />.
Відповідь:/> і />
Приклад 2. Розв’язати нерівність
/>
Зробившизаміну змінної />, дістаємо
/>.
Коренямирівняння /> є/>, />.
Звідси/>.
Оскільки />, то дістаємо
/> /> /> />/>
Зобразимоотриману множину за допомогою координатної прямої.
/>/>/>
/>1 2 x
Відповідь:/>.
Висновки
Сучаснапедагогічна наука стверджує, що для продуктивного засвоєння учнями знань і дляїхнього інтелектуального розвитку важливо встановлювати зв’язки, як між різнимирозділами курсу, так і між різними дисциплінами в цілому. Для чого потрібновміти розв’язувати раціональні нерівності? Так, щоб за їх допомогоюрозв’язувати задачі. Уміння розв’язувати раціональні нерівності вищих степенівдозволить учням розв’язувати, здавалося б, складні нерівності просто, також учнізможуть використовувати уміння та навички при розв’язуванні ірраціональних,логарифмічних, показникових та тригонометричних нерівності.
Тому доцільнорозглянути та ознайомитись з різноманітними методами та прийоми розв’язування раціональнихнерівності вищих степенів. Для досягнення мети було поставлено наступні завдання:
§ проаналізувати методичнулітературу з означеної теми;
§ ознайомитись зтеоретичними відомостями, розглянути основні теореми та методичні факти, щостосуються даної теми;
§ розглянути різноманітніметоди розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів;
§ навести низку прикладіврозв’язування раціональних нерівностей вищих степенів різними методами.
Списоквикористаних джерел
1. Литвиненко В.Н.,Мордкович А.Г.: Практикум по элементарной математике: Алгебра. Тригонометрия:Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов.- 2-е изд., перераб. идоп. / В.Н.Литвиненко, А.Г. Мордкович, — М.: Просвещение, 1991.- 352 с.
2. Титаренко О.М.:Форсований курс шкільної математики: Навчальний посібник./ О.М. Титаренко –Харків: ТОРСІНГ ПЛЮС, 2005.-368 с.
3. Шарыгин И.Ф., ГолубевВ.И. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 11 кл.сред. шк./ И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев — М.: Просвещение, 1991.-384 с.
4. Цыпкин А.Г., Пинский А.И.Справочник по методам решения задач по математике для средней школы.-2-е изд.,перераб. и доп./ А.Г. Цыпкин, А.И. Пинский — М.: Наука Гл. ред. физ.-мат.лит.,1989. – 576 с.
5. Шахмейстер А.Х.:Уравнения.- 3-е издание, исправленное и дополненное / А.Х. Шахмейстер – М.:Издательство МЦНМО: СПб.: «Петроглиф»: «Виктория плюс», 2008.-264 с.
6. Ципкін О.Г.: Довідник зматематики для середніх навчальних закладів / А.Г.Ципкін.- К.: Вища шк. Головневид-во, 1988.-416 с.
7. Маслова Т.Н., СуходенийА.М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО Изд. дом “ОНИКС 21 век”, 2003. — 672 с.
8. Математика дляпоступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов / Под ред. проф. Н.М.Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 430 с.
9. Алгебра и начала аналіза:Учебн. для 10-11 кл. общ. учредж. / Под ред. А.Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.