Реферат по предмету "Математика"


Методи вирішення проблем дискретного логарифмування

Методи вирішенняпроблем дискретного логарифмування

1. Метод Поліга-Хелмана
 
Метод Поліга-Хелмана запропонований в 1978 році для визначеннядискретного логарифма в мультиплікативній групі поля />.
Він заснований на відомій длягрупи факторизації порядку /> групи за ступенями простих чисел />
/>
Стосовно до адитивної групи точокз генератором /> порядку /> маємо /> Відповідно до відомої китайськоїтеореми про залишки існує єдине натуральне число />, таке що
/>
Після визначення значення /> дискретнийлогарифм /> здобуваютьза допомогою розширеного алгоритму Евкліда. Наведемо приклад.
Приклад1
Нехай порядок циклічної групи /> дорівнює />, а точка /> , тобто />. Це значеннямає бути визначене в підсумку рішення ECDLP.
Тут /> На першому етапі визначаємо точку/> /> Отримуємоточку /> другогопорядку з відомими координатами /> Оскільки />, маємо перше порівняння
/>
На наступному етапі знаходимо однуіз точок третього порядку /> Ці точки також відомі, тому з /> отримуємо наступнепорівняння
/>
Нарешті, визначаємо точку 5-гопорядку /> йотримуємо
/>.
Наведені три порівняння даютьєдине розв’язання /> В загальному випадку необхіднознати координати /> точок із загальної кількості />.
Задача ускладнюється із зростанням переважно простогоспівмножника в розкладанні порядку /> групи. У цьому зв'язку длязахисту від атаки Поліга-Хелмана порядок /> криптосистеми обирають рівним великомупростому числу, при цьому порядок кривої /> називають ² майжепростим ² (з малим множником />).
2. Метод ділення точок на два
 
Метод ділення точок на два. Для кривих над полем /> запропонованийметод розв’язання />, заснований на процедурі,зворотної обчисленню точки /> шляхом послідовних подвоєнь ідодавань при двійковому поданні числа />. У звичайнійарифметиці двійкове подання цілого числа починається з визначення молодшогобіта: при непарних /> з /> віднімається 1 (це молодший бітдвійкового подання />) і результат ділиться на 2. Якщо частка парна,ділення триває, у протилежному випадку виконується віднімання 1 і ділення на 2(отримуємо наступний розряд числа рівний відповідно 0 або 1). Процедура триваєдо одержання частки, рівної 1. Якщо точка />– генератор простого порядку />, то при знаннівідповіді на питання про парність (непарність) множника /> точки /> /> легко вирішується ( уполіноміальному часі ) описаною вище послідовною процедурою віднімання-діленняна два. У простому полі /> ділення на дватотожно множення на елемент /> Виявляєтьсязамість багаторазового додавання ділення точки на два виконується набагатоефективніше й швидше.
Визначимо порядок кривої як
/>
де /> - велике просте число (в існуючих криптографічнихстандартах />),/> - непарне число.
Нехай /> — точка порядку />, тоді генератор криптосистемиможе бути визначений як точка /> порядку />.
Введемо операцію ділення точкинесуперсингулярної кривої

/>: /> (1)
на два як зворотну подвоєнню.Нехай маємо точку /> та точку /> з координатами
/> (2)
Інакше кажучи, визначення /> означаєзнаходження координат точки /> з відомої точки /> Відповідно до (2) дляцього необхідно вирішувати квадратне рівняння
/> (3)
У загальному випадку це рівняннямає два розв'язки /> й /> при наслідку
/> (4)
Якщо слід />/> то точка /> - непарна точка /> — непарне). Під час виконання (4) отримуємо дві точки: /> і /> ділення точки /> на два зкоординатами
/> (5)
З (1) і (5) неважко отриматиспіввідношення між координатами точок ділення
/>
які можуть бути корисні прикриптоаналізі. Відзначимо дві властивості точок ділення.
Точки ділення пов'язані як /> , де /> — точка другого порядку, дорівнює />. Дійсно,
/>,
тому що />
Якщо /> - точка непарного порядку />, тобто />, то точка
/>
ає порядок />, тому що
/> й />.

У порівнянні з подвоєнням точки(2), яке вимагає обчислення двох множень й інверсії елемента /> (найбільш трудомісткаобчислювальна операція), ділення (5) не вимагає інверсії елемента й може бутиреалізоване набагато швидше.
Найбільш ефективне розв’язаннярівняння (3) і операцій (4), (5) виконуються в НБ (нормальному базисі)мінімальної складності, зокрема, в ОНБ (оптимальному нормальному базисі).
Розв’язання квадратного рівняння вНБ здійснюється за допомогою простої />-бітової рекурентноїпослідовності. Слід (4) елементів парної ваги дорівнює 0, а непарної ваги — 1.
Піднесення у квадрат (добуваннякореня квадратного) у нормальному базисі зводиться до циклічного зсуву вправо(вліво) />-бітовогоелемента поля.
Поряд з додаванням елементів замодулем 2 перераховані операції часто називають ²безкоштовними² іне враховують у наближених розрахунках обчислювальної складності. Діленнявідповідно до (5) вимагає лише двох множень у нормальному базисі /> як найбільш складнихоперацій. Це приблизно на порядок збільшує швидкість виконання операцій діленняна два в порівнянні з операцією подвоєння точки.
Розглянемо можливі підходи дорозв’язання задач дискретного логарифма. Найбільш проста ситуація виникає длякривої
/>,
/>, /> 
з коефіцієнтом />, порядок якої /> 
Максимальний простий порядок /> досягаєтьсяпри />.Покладемо, що />, а генератор /> має порядок />. У циклічнійгрупі /> всіточки є точками подільності на два, відповідно до (4) їх />-координати мають слід /> й, отже,непарну вагу при поданні в НБ. При діленні на два отримуємо дві точки, одна зяких належить групі /> й має порядок />, а інша максимальний порядок/> 
Вони мають відповідно непарну йпарну вагу />-координаті легко розрізнюються без множення на /> Вибір однієї із точок (5) порядку/> здійснюєтьсядосить просто. Оскільки в групі /> випливає, що
/>
то після множення /> визначається вагаелемента /> абойого слід.
При /> (парна вага елемента) користуютьсядругою формулою (5), у протилежному випадку — першою формулою (5). Таким чином, ділення на два звибором точки порядку /> практично зводиться до двохмножень у поле.
Відзначимо, що при послідовномуділенні на два для половини всіх кривих (з коефіцієнтом /> і порядком /> достатнімвиявляється лише одне множення в поле.
Для цього при кожному діленніобчислюється лише розв'язання /> квадратного рівняння (4) і /> координататочки ділення. Нехай />/>, і при послідовному діленні надва з вибором точки із групи /> одержуємо
/>.

Згідно з (5) (перша формула) />,..., />, томупідсумовуючи рівності
/>
отримуємо з урахуванням першогоділення
/> (6)
де кожне з рішень /> вибирається так, щобвиконувалася умова /> тобто в НБ вагу вектора /> була непарним.
Як видно, рекурентне обчислення заформулою (6) не вимагає обчислення /> координати на кожному кроці ділення,замість неї слід лише запам'ятати параметри /> й />. За необхідності />– координатаобчислюється як />
Таким чином, відповідно до (6)алгоритм послідовного ділення на дві точки із групи /> вимагає лише одного множенняелементів у поле />. Це чудова властивість операціїділення на два можна використати з метою збільшення продуктивності обчислень якпри криптоаналізі, так і при швидкому експоненціюванні /> будь-якої точки із групи />.
Якщо припустити, що для будь-якоїточки /> мизнайшли спосіб визначення парності (непарності) />, то послідовна процедуравіднімання й ділення на два з вибором точки із групи /> за поліноміальний час приведе насдо відомої точки />.
Значення /> у двійковому поданні визначаєтьсясамою процедурою віднімання-ділення. Зрозуміло, що така функція вже неоднобічна. Це питання поки залишається відкритим і /> доводиться вирішувати відомими методамиз експонентною складністю.
Для кривої /> з коефіцієнтом /> оптимальнийпорядок />.При діленні на дві точки із групи />, як й у попередньому випадку,отримуємо дві точки порядку /> й />, однак обидві точки ділення парній мають слід /> — координат /> (і, відповідно, парнавага в нормальному базисі).
Визначити, яка з них має порядок />, можна шляхоммноження кожної з них на />, але це вимагає більшихобчислювальних витрат. Більш раціональне дворазове ділення на два, яке в однійз галузей дасть дві точки порядку />, вони не діляться на два й маютькоординати непарної ваги. Ця галузь відбраковується й залишається точка ізгрупи />
Приклад 1. Розглянемо криву Коблиця /> над полем />, яка маєпорядок />.Всі точки /> згенератором /> наведенов таблиці 1
Таблиця 1- Координати точок /> кривої /> над полем />
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> 5 29 13 16 20 30 10 4 9 23
/> 9 7 22 7 5 19 30 29 10 28 _
/>
12P
13P
14P
15P
16P
17p
18P
19P
20P
21P
22P
/> 8 22 27 21 1 11 15 18 2 26 _
/> 19 30 28 26 14 15 25 23 28 27
/>
23P
24P
25P
26P
27P
28P
29P
30P
31P
32P
33P
/> 26 2 18 15 11 1 21 27 22 8
/> 13 30 20 19 21 15 23 14 11 27
/>
34P
35P
36P
37P
38P
39P
40P
41P
42P
43P
44P
/> 23 9 4 10 30 20 16 13 29 5 *
/> 25 27 25 18 7 29 23 29 14 15 *
Приймемо
/>.
При діленніточки /> надва отримаємо дві точки
/> й />.
Розглянемовсі операції при діленні точкивідповідно до (3), (5) (друга з формул) в ОНБ із ізоморфізмом, тобто
/>, />.
У нормальному базисі маємо />. Розв’язуєморівняння (3)
/>.
Відповідно до таблиці 2 />, тоді одне зрозв’язань для /> легко отримати, задаючи першийбіт, скажімо, рівним 0.
Таблиця 2 — Елементи поля /> як степені елемента /> в ОНБ 00000 1 11111 - -
/> 10000
/> 00011
/> 01101
/> 01000
/> 10001
/> 10110
/> 00100
/> 11000
/> 01011
/> 00010
/> 01100
/> 10101
/> 00001
/> 00110
/> 11010
/> 10010
/> 10111
/> 10011
/> 01001
/> 11011
/> 11001
/> 10100
/> 11101
/> 11100
/> 01010
/> 11110
/> 01110
/> 00101
/> 01111
/> 00111
При цьому інші біти визначаютьсяіз суми
/>, тобто
/>.
Друге розв’язання, мабуть,дорівнює />.Легко перевірити, що отримані розв’язання задовольняють рівняння
/>.
Згідно з (5) (перша з формул) іданих таблиці 2 маємо
/>
Отримано дві точки:
 /> і />.
Для визначення кожної необхідновиконати по два множення елементів поля. Неважко перевірити виконання умови
дискретнелогарифмування метод
/>, />,
зокрема,
/>/>/>.
Обидві точки мають сліди
/>,
і, отже, діляться на два, алемають різні порядки. Точка /> має порядок 22, а точка /> - порядок Для визначення порядку достатньо виконати щеодне ділення на два. Якщо поділити точку/>, то отримаємо дві точки порядку44, що не діляться на два (з непарною вагою x координат). При діленні точки /> отримаємо двіточки з порядками 22 й 11 (з парною вагою x координат).


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.

Сейчас смотрят :

Реферат Сравнительная оценка безопасности непродовольственных товаров однородных групп или подгрупп на
Реферат Blue Highways Essay Research Paper Blue HighwaysNew
Реферат Пластиковые карточки, возможности использования в современной экономике
Реферат Гран-при Лонг-Бич 2008
Реферат The Cons Of Marijuana Usage Essay Research
Реферат Дизель (Diesel), Рудольф
Реферат Танеев Сергей Иванович
Реферат по Учетному анализу и аудиту внешнеэкономической деятельности
Реферат Маркетинговый план разработки и реализации товара
Реферат Русские полководцы ПС Салтыков ПА Румянцев и ГА Спиридонов
Реферат 1 Нежилое деревянное здание, год постройки 1992, общая площадь 155,7 кв м., требуется ремонт системы отопления и текущий ремонт г. Могоча, ул
Реферат Анализ качества услуг гостиничного предприятия
Реферат Разработка многопользовательской информационной системы ведения документации по аренде
Реферат Экономическое развитие Древнего Мира
Реферат Human Rights Essay Research Paper Human rights