Міністерство освіти і науки України
Кафедра вищої математики
КУРСОВА РОБОТА
з дисципліни
„Вища математика”
за темою:
Перетворення Фур’є. Спектринеперіодичних функцій.
Виконав студентгрупи
Викладач
Дніпропетровськ 2010
Атестаційний аркуш
захисту курсовоїроботи
студента_____________________________________________________
_____________________________________________________________/> /> /> /> /> /> />
/>/>Якістьоформлення курсової роботи
Якість виступу назахисті курсової роботи
/>/>Рівень знаньбазового предмету
Додаткові питанняпри захисті курсової роботи:
______________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
/>/>Оцінкавідповідей на додаткові питання
/>/>КІНЦЕВАОЦІНКА
Дата захисту__________ 2010 р.
Підпис викладача_________________
Підписи комісії____________________
Зміст
Вступ
1. Постановка задачі
2. Перетворення Фур'є
2.1 Зображення функції інтегралом Фур’є
2.2 Комплексна форма інтеграла Фур’є
2.3 Інтегральне перетворення Фур’є
3. Спектральна характеристика (щільність) неперіодичноїфункції
4. Розрахункова частина
Висновки
Список використаної літератури
Вступ
Розкладанняперіодичної функції в ряд Фур'є з погляду фізики відповідає на запитання пророзподіл енергії процесу по гармоніках, дискретно, тобто стрибком, що міняєчастоту. Такі явища, як світлові промені або шуми при радіозв'язкумістять у своєму складі гармоніки всіх частот та у дану схему не укладаються. Безперервназміна частоти приводить до поняття інтеграла Фур'є, у якому розподіл енергії почастотах характеризується спектральною щільністю. Кожній окремій узятій частотівідповідає нульова енергія, однак вона здобуває вагу, якщо розглядається деякийінтервал частот. Подібно повній масі, що у випадку безперервного розподілувиражається інтегралом від щільності, до інтеграла зводиться й повна енергіяпроцесу, неперервно розподілена по частотах. Цей підхід став надбанням фізиківі інженерів, чиї професійні інтереси пов'язані з теорією передачі сигналів (радіофізика,оптика, акустика, кібернетика, електричні лінії тощо). Разом з тим, незалежновід фізичного змісту гармонійний аналіз має іншу важливу складову, він — ефективнийзасіб рішення широкого класу задач із різних галузей науки.
Перетворення Фур'є- це самостійна операція математичного аналізу, досліджувана в курсовій роботісаме в цій якості.
1. Постановка задачі
Для неперіодичної функції/>, знайти розклад інтегралаФур'є амплітудний і фазовий спектри.
Ця задача маєвідношення до розділу математики, який називають гармонійний аналіз (або Фур'єаналіз).
Спектральныйаналіз (Spectral analysis, Синоніми: Фур'єАналіз, Гармонійний аналіз, Frequencyanalysis) — це різновид обробки даних, пов'язаний з перетворенням їхньогочастотного подання або спектра. Спектр виходить у результаті розкладаннявихідної функції, що залежить від часу (часовий ряд) або просторових координат(наприклад, зображення), у базис деякої періодичної функції. Найбільш часто дляспектральної обробки використовується спектр Фур'є, одержуваний на основібазису синуса (розкладання Фур'є, перетворення Фур'є) [7].
Основний зміст перетворенняФур'є в тім, що вихідна неперіодична функція довільної форми, яку неможливоописати аналітично й у загальному випадку важка для обробки й аналізу,представляється у вигляді сукупності синусів або косинусів з різною частотою йамплітудою. Іншими словами, складна функція перетворитьсяв множину більш простих. Кожна синусоїда (або косинусоїда)з певною частотою й амплітудою, отримана в результаті розкладанняФур'є, називається спектральною складовою або гармонікою. Спектральніскладові створюють спектр Фур'є [5].
Візуально спектрФур'є представляється у вигляді графіка, на якому по горизонтальній осівідкладається кругова частота, позначувана грецькою буквою «омега», апо вертикалі — амплітуда спектральних складових, звичайнопозначувана латинською буквою A. Тоді кожна спектральнаскладова може бути представлена у вигляді відліку, положення якого погоризонталі відповідає її частоті, а висота — її амплітуді.Гармоніка з нульовою частотою називається постійною складовою (утимчасовому поданні це пряма лінія).
/>
Рис.1.1 Основніпоказники спектру функції [7]
Навіть простийвізуальний аналіз спектра може багато сказати про характер функції, на основіякої він був отриманий. Інтуїтивно зрозуміло, що швидкізміни вихідних даних породжують у спектрі складові з високою частотою, аповільні — з низкою. Тому якщо в ньомуамплітуда складових швидко убуває зі збільшенням частоти, то вихідна функція (наприклад,часовий ряд) є плавною. І, навпаки,якщо в спектрі присутні високочастотні складові з великою амплітудою, товихідна функція буде містити різкі коливання. Так, для часовогоряду це може вказувати на більшу випадкову складову, нестійкість описуваних їмпроцесів, наявність шумів у даних.
В основіспектральної обробки лежить маніпулювання спектром. Дійсно,якщо зменшити (придушити) амплітуду високочастотнихскладових, а потім на основі зміненого спектра відновити вихідну функцію,виконавши зворотне перетворення Фур'є, то вона стане більш гладкою за рахуноквидалення високочастотного компонента. Для часового ряду,наприклад, це означає забрати ін. — формацію про щоденніпродажі, які сильно піддані випадковим факторам, і залишити більше стійкітенденції, наприклад, сезонність. Можна,навпаки, придушити складові з низькою частотою, що дозволить забрати повільнізміни, а залишити тільки швидкі. У випадку часового рядуце буде означати придушення сезонного компонента.
Застосовуючиспектр таким чином, можна домагатися бажаної зміни вихідних даних. Найбільше часто використовується згладжування часових рядів шляхомвидалення або зменшення амплітуди високочастотних складових у спектрі [7].
Для маніпуляцій зіспектрами використовуються фільтри — алгоритми, здатніуправляти формою спектра, придушувати або підсилювати його складові. Головною властивістю будь-якого фільтра є його амплітудно-частотнахарактеристика (АЧХ), від форми якої залежить перетворенняспектра. Якщо фільтр придушує тільки складові з низькоючастотою, то він називається фільтр нижніх частот (ФНЧ), із його допомогою можна згладжувати дані, очищати їх від шуму й аномальнихзначень, а якщо тільки складові з високою частотою, то це фільтр високих частот(ФВЧ). Завдяки йому можна придушувати повільні зміни,наприклад, сезонність у рядах даних. Крім цього,використовується множина інших типів фільтрів: фільтрисередніх частот, загороджувальні фільтри й смугові фільтри, а також більш складні,які застосовуються при обробці сигналів у радіоелектроніці. Підбираючи тип і форму частотної характеристики фільтра, можнадомогтися бажаного перетворення вихідних даних шляхом спектральної обробки.
Виконуючи частотнуфільтрацію даних з метою згладжування й очищення від шуму, необхідно правильновказати смугу пропущення ФНЧ. Якщо її вибрати занадтовеликою, то ступінь згладжування буде недостатнім, а шум буде подавлений неповністю. Якщо вона буде занадто вузькою, то разом ізшумом можуть виявитися подавленими й зміни, що несуть корисну інформацію.
Спектральнийаналіз є одним з найбільш ефективних і добре розроблених методів обробки даних.Частотна фільтрація — тільки один з йогочисленних додатків. Крім цього, він використовується вкореляційному й статистичному аналізі, синтезі сигналів і функцій, побудовімоделей і т.д.
2. Перетворення Фур'є
2.1 Зображення функції інтеграломФур’є
Наведемо лишесуттєвими рисами ті міркування, що приводять до інтегральної формули Фур’ є[3].
Нехай функція />визначена на всій числовійпрямій та задовольняє таким умовам:
Функція /> є обмеженою та абсолютноінтегрованою на />, тобто існуєневластний інтеграл
/>
2. У будь-якомускінченому проміжку />функція /> розкладається у ряд Фур’є
/> (2.1)
де коефіцієнтиФур’є визначаються формулами
/> (2.2)
Підставившизамість коефіцієнтів /> і /> їх вирази, перепишемо ряду вигляді
/>
або
/> (2.3)
Дістанемо граничнуформу цього розвинення при />. Оскількифункція />абсолютна інтегрована навсій числовій осі, то при граничному переході при /> першийдоданок у правій частині (2.3) прямує до нуля
/> (2.4)
Позначимо /> та перепишемо (2.4) як
/> (2.5)
При /> інтеграл /> можназамінити інтегралом
/>, а суму
/>
можна вважати заінтегральну суму для інтеграла
/>
Таким чином, зрівності (2.5) дістаємо
/> (2.6)
Рівність (2.6) називаєтьсяінтегральною формулою Фур’є, а інтеграл у її правій частині — інтегралом Фур’є.Зображення функції /> у виглядіінтеграла Фур’є звичайно називають розкладанням цієї функції в інтеграл Фур’є.
Зауваження 1. Формула(2.6) має сенс тільки для точок неперервності функції />, а у кожній точці /> розриву першого роду, як ідля рядів Фур’ є, інтеграл Фур’є збігається до числа
/>.
Формулу (2.6) приводимодо вигляду, що є збіжним з рядом Фур’ є:
/> (2.7) де
/> (2.8)
Рівність (2.7) аналогічнарозвиненню функції в тригонометричний ряд Фур’є, а вираз (2.8) — формулам длякоефіцієнтів Фур’ є. І, таким чином, (2.7) можна трактувати як розкладання неперіодичноїфункції, визначеної на всій числовій осі на суму гармонічних складових частоти />, які неперервно заповнюютьдійсну піввісь />
Зауваження 2. Якщофункція /> - парна, то /> />та інтеграл Фур’є для такоїфункції має вигляд
/> (2.9)
У випадку непарноїфункції />
/>/>
інтеграл Фур’є набуваєвигляду
/> (2.10)
Приклад 1. Зобразитиінтегралом Фур’є неперіодичну функцію
/>
/>
Дана функціязадовольняє умовам зображення її інтегралом Фур’є. За формулами (2.8) і (2.7)
/>
/>
/>
у точках розриву /> і /> інтеграл збігається дочисла />
Приклад 2. Зобразитиінтегралом Фур’є неперіодичну функцію
/>
/>
Функціязадовольняє умовам зображення її інтегралом Фур’ є, до того ж вона парна, авідтак />
/>
Якщо />, то
/> і
/>
Функція /> у точці /> має усувний розрив (що невпливає на значення інтеграла (2.7)). Побудоване зображення функції /> інтегралом Фур’є можназаписати у вигляді
/>.2.2 Комплексна форма інтеграла Фур’є
Перетворимо задопомогою формули Ейлера [2] підінтегральну функцію уформулі (2.7) до наступного вигляду
/> (2.11)
де позначено
/>
Тоді
/> (2.12)
Для /> дістаємовираз
/> (2.13)
Звідси
/> (2.14)
Безпосередньобачимо, що ці формули не втрачають сенс і при />,бо />. Тому із формули (2.7) випливає
/> (2.15)
Отже, в точкахнеперервності функції
/> (2.16) де
/> (2.17)
Вираз для /> у формі (2.15) називаютькомплексною формою інтеграла Фур’є для функції />.
Зауваження. Множник/> можна записати у будь — якуз формул (2.16) чи (2.17): у вираз для />, як у формулі (2.17), або у формулі (2.16), як це у подальшому будезроблено для формул перетворення Фур’ є відповідно до стандартів електротехніки.
Приклад. Побудуватирозклад (2.17) для функції
/>, />
Розв‘язок
Тут />. Проінтегруємо по проміжку/>, відповідно (2.2) при /> отримаємо
/>
/>
Оскільки
/>, тоді
/>.
Розклад (2.18), де/> запишеться як:
/>
2.3 Інтегральне перетворення Фур’є
При дотриманніпевних умов у ряд Фур'є розкладається періодична функція, задана на всій дійснійосі, або функція, визначена на кінцевому інтервалі. Розкладання в ряд Фур'єнеперіодичної функції, заданої на необмеженому інтервалі, нездійсненно. Однакідея подання функції нескінченним набором гармонік у декілька зміненій форміреалізована і в цьому випадку. Засобом досягнення мети служить інтеграл Фур'є [3],[4], [5].
Припустимо, щокомплексна формула інтеграла Фур'є має місце для всіх значень /> за винятком скінченоїкількості точок.
Тоді
/> (2.18)
Вираз у дужках — функціявід />. Позначимо цю функцію />:
/> (2.19) тоді
/> (2.20)
Вирази (2.19) та(2.20) називаються двобічним прямим та оберненим перетворенням Фур'є. Якщофункція /> при />, то дістанемо однобічніперетворення Фур'є.
/> (2.21)
/> (2.22)
Аналогічно, звернувшисьдо формул (2.9) і (2.10), можна ввести пряме і обернене косинус-перетворенняФур'є для парної функції />.
/> (2.23)
/> (2.24)
та пряме іобернене синус-перетворення Фур'є для непарної функції />:
/> (2.25)
/> (2.26)
Приклад. Знайтипрямі косинус — перетворення Фур'є /> та синус-перетворення /> функції />.
/>, />
За формуламиобернених перетворень (2.24) і (2.25) маємо
/>
/>
3. Спектральна характеристика (щільність)неперіодичної функції
У відповідності зформулою (2.22), неперіодична функція /> зображуєтьсясукупністю нескінченно великої кількості гармонік з нескінченно малимиамплітудами /> у всьому діапазоні частот /> до />. Функцію />, визначену длянеперіодичної функції /> за формулою(2.19) чи (2.22), називають спектральною характеристикою (спектральноющільністю, спектральною функцією) функції />.ЇЇ модуль /> і аргумент /> називають відповідноамплітудною та фазовою спектральними характеристиками (відповідно амплітудно-частотнимта фазочастотним спектрами).
Деякі властивостіспектральної характеристики. Нехай /> - спектральнахарактеристика /> (це символічноможна записати />. Тодіспектральній характеристиці (у випадку двобічного перетворення Фур'є) притаманнітакі властивості [3]:
Лінійність />де />; />
Диференціюванняоригіналу />, якщо />абсолютно інтегрованафункція. Інтегрування оригіналу/> заумови, що />. Диференціюванняспектральної функції /> у випадку, коли /> - абсолютно інтегрованафункція
Зміна масштабунезалежної змінної />. />
Зсув незалежноїзмінної />. />
Зсув спектральноїфункції />
Множення функції /> на косинус та синус
/>
/>
Функція /> - комплексно — спряженадля функції />, і, оскільки модуліспряжених функцій /> і /> рівні, а аргументи — відрізняютьсязнаком, то амплітудно-частотний спектр — завжди парна, а фазо-частотний спектр- завжди непарна функція частоти />.
Інколи спектральнухарактеристику /> описуютькривими, що являють собою дійсну />та уявну/> частину спектральноїфункції.
/> (3.1)
/> (3.2)
Ці дві кривімістять повну інформацію про амплітуду і фазу спектральної характеристикипричому /> - непарна функція, /> - парна функція, а відтак,якщо функція /> - парна, то спектрзводиться тільки до дійсної частини />, щозбігається з />. Аналогічно у разінепарної функції /> спектр зводитьсядо уявної частини />.
Зауваження 1. Спектральнухарактеристику можна вважати обвідною коефіцієнтів ряду Фур'є, тобто границеюлінійчатого спектра частот періодичної функції, коли період функції прагне донескінченності.
4. Розрахункова частина
У розрахунковійчастині даної роботи досліджується неперіодична функція
/>,
Потрібно знайти:
розклад в інтегралФур'є
амплітудний іфазовий спектр.
Розв'язання
а) Функція /> задовольняє таким умовамтеореми Фур’є [4], [5]:
/>
Рис.4.1 Графікдосліджуємої неперіодичної функції f (t)
(прямокутнийімпульс тривалості t) задана на всій осі />. на будь-якомукінцевому відрізку цієї осі задовольняє умовам Дирихле [], а отже розкладаєтьсяв ряд Фур'є.
Абсолютно інтегрувальнапо всій осі, тобто /> те функція /> допускає подання у форміінтеграла Фур'є
/> (4.1), де
/> (4.2)
Застосувавши (4.2),знайдемо спектральну щільність
/>. (4.3)
Згідно (4.1),підставляючи (4.3), отримуємо інтеграл Фур’є в комплексній формі:
/> (4.4)
З формули (4.4) післявідділення дійсної й мнимої частини можна перейти до інтеграла Фур'є в дійснійформі. З обліком парних і непарних функцій одержимо
/>, тобто
/> (4.5)
б) Минаючистандартну процедуру, визначимо модуль і аргумент величини />привівши її до показовоїформи запису
/> (4.6)
Поки співмножникекспоненти (разом із синусом) міняє знак, він не може відігравати роль модуля />. Неважко перевірити, що впроміжках
/> при />
/>.
Тому для /> />, значить />;
звідки
/>. (4.7)
В виразі (4.7) цілечисло /> довільне, його вартовибрати так, щоб виділялося головне значення. Оскільки в означених вищеінтервалах зміни w справедливо />, то досить взяти/>.
Маємо:
1. амплітуднийспектр у вигляді функції
/>,
Побудуємо таблицюамплітудного спектра k -4 -2 2 4
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Графікамплітудного спектра наведений на рис.4.2
/>
Рис.4.2 Графік амплітудногоспектру досліджуємої неперіодичної функції
2. фазовий спектру вигляді функції
/>, />. Діаграми для
/> побудовані зурахуванням парності /> й непарності />.
Побудуємо таблицюдля фазового спектра k -2 -1 1 2
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Графік фазовогоспектра наведений на рис.4.3
/>
Рис.4.3 Графікфазового спектру досліджуємої неперіодичної функції
Розглянуту функцію/>в радіотехніці застосовують для опису прямокутного імпульсу тривалості />. Прилад, що реєструє цейсигнал, сприймає тільки кінцевий інтервал частот. Важливо, щоб в останнійпопадала основна частина спектра, який відповідає найбільшим значенням амплітуд/>. Довжину такого інтервалухарактеризують за допомогою поняття ширини спектра. У даному прикладі шириноюспектра називають величину />. Тривалістьімпульсу /> й ширина його спектраобернено залежні. Ця властивість — загальна для імпульсів різної форми.
Висновки
В курсовій роботірозглянута теорія та практика спектрального аналізу функцій при спектральномупредставленні неперіодичних функцій з застосуванням математичного апаратуінтегральних перетворень Фур’є.
Від періодичногоколивання до неперіодичного можна просто перейти, якщо не змінюючи формиімпульсу безмежно збільшувати період його проходження, що, у свою чергу,приведе до нескінченно близького розташування друг до друга спектральнихскладових, а значення їхніх амплітуд стають нескінченно малими. Однак початковіфази цих складових такі, що сума нескінченно великої кількості гармонійнихколивань нескінченно малих амплітуд відрізняється від нуля й дорівнює функціїтільки там, де існує імпульс. Тому поняття спектра амплітуд для неперіодичногоколивання не має змісту, і його заміняють, використовуючи пряме й зворотнеперетворення Фур'є. Відомо, що функція, що задовольняє заданим умовам, можебути представлена інтегралом Фур'є (зворотне перетворення Фур'є)
/>.
Використовуючипряме перетворення Фур'є, приходимо до інтеграла
/>.
Функція /> називається комплексноюспектральною щільністю амплітуд, а її модуль /> -спектральною щільністю амплітуд. Аргумент /> називаютьфазовим спектром неперіодичного коливання.
Список використаної літератури
1. Ильн В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. ч.1М.: «Наука»- 387с-1980. ч.2М. Наука. — 444с-1982.
2. Овчинников П.П. Вища математика: підручник. Ч.2-3є вид. — К.: Техніка,2001. — 792 с.
3. 3. Поляков М.Г., Фомичова Л.Я., Сушко С.О., Математичні основи теоретичноїелектротехніки: Навчальний посібник — Дн.: НГА України, 2001. — ч.1-210с.
4. 4. Синайский, Е.С. Высшая математика: учеб. пособие.- 2е изд. — / Синайский Е.С., НовиковаЛ.В., Заславская Л.И.; Министерство образования и науки Украины, Национальныйгорный университет. — Днепропетровск: НГУ. — Ч.1. — 2009. — 399 с.
5. Синайский Е.С. Высшая математика / Синайский Е.С., Новикова Л.В., ЗаславскаяЛ. И.; Министерство образования и науки Украины, Национальный горныйуниверситет. — Днепропетровск: НГУ. — Ч.2. — 2006. — 452 с.
6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.:„Наука”, 1970. — Т.2. — 800 с.
7. Харкевич А.А. Спектры и анализ — М.: Физматгиз, 1980. — 246 с.