Математический факультетКафедра информатики и прикладной математики
Курсоваяработа НА ТЕМУ:
«ОЦЕНИВАНИЕ СМЕЩЕНИЯ СТАТИСТИКИВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ МНОГОМЕРНОГО ВРЕМЕННОГО РЯДА»Брест 2009
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1.ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ,ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАБОТЕ
2.ОЦЕНИВАНИЕ СМЕЩЕНИЯСТАТИСТИКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ
3.ОКНА ПРОСМОТРА ДАННЫХ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
ПРИЛОЖЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Современный этап развитиятеории вероятностей и математической статистики характеризуется значительнымрасширением теоретических исследований по статистическому спектральному анализу(анализу в частной области) временных рядов и их практическим применением во многихобластях человеческой деятельности, таких, как экономика, спектроскопия,медицина, биология, страхование, финансы, социология, радиоэлектроника,электротехника, геофизика, геология и многие другие. Цели изучения временныхрядов могут быть различными. Можно, например, стремиться предсказывать будущеена основании знания прошлого, управлять процессом, порождающим ряд, выяснитьмеханизм, порождающий ряд, или просто сжато описать характерные особенностиряда. Поэтому под статистическим спектральным анализом временных рядов понимаютстатистический спектральный анализ стационарных случайных процессов.
Одной из главных задачспектрального анализа временных рядов является построение и исследование оценокспектральных плотностей стационарных случайных процессов, так как они даютважную информацию о структуре процесса.
Существуютпараметрические и непараметрические методы спектрального анализа. Срединепараметрических методов выделяют метод, в котором для построения оценкиспектральной плотности производится осреднение периодограмм, построенных понепересекающимся интервалам исходной последовательности наблюдений и вводятсяокна просмотра данных для уменьшения смещения оценок.
В данной работеоцениваются смещения статистики взаимной спектральной плотности. Построеныграфики оценки спектральной плотности для последовательности наблюдений — солнечной активности по Вольфу с 1749 г. по 1901 г.
Также построеныграфики для центрированного случайного процесса.
/>1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ,ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАБОТЕ
Временным рядом называют последовательностьнаблюдений, обычно упорядоченную во времени, хотя возможно упорядочение икакому-то другому параметру.
Совокупность функций вида
/>
назовём r-компонентным векторным временнымрядом (r-мерным временным рядом).
Переменная t обычно соответствует временивыполнения или регистрации наблюдений и измерений.
Действительным случайным процессом /> = /> называется семействослучайных величин, заданных на вероятностном пространстве />, где />/>,/>, /> — некоторое параметрическоемножество.
Если />, или /> подмножество из />, то говорят, что />, /> — случайный процесс сдискретным временем.
Если />, или />подмножество из />, то говорят, что />, /> — случайный процесс снепрерывным временем.
Аргумент /> чаще всегоинтерпретируется как время, хотя при решении практических задач он может иметьи другое смысловое значение.
При каждом фиксированном />, />, />/> -множество случайных величин.
Если в определениислучайного процесса />, />, />, то />=/>называется />-мерным случайным полем.
Введем характеристики случайногопроцесса />, />, во временной области.
Математическим ожиданием случайного процесса />, />, называется функция вида
/>, />.
Дисперсией случайного процесса />, />, называется функция вида
/>, />.
Корреляционнойфункцией случайногопроцесса />, />, называется функция вида
/>, />.
Ковариационнойфункцией случайногопроцесса />, />, называется функция вида
/>/> />.
Заметим, что если />, то />, />.
Смешанным моментом /> го порядка, />,случайного процесса />, />, называется функция вида
/>, />,/>.
Заметим, что
/>, />.
Пусть /> — значения случайногопроцесса /> в точках />.
Смешанный момент /> го порядка, />, можно также определитькак
/>/>/>, />,/>.
Смешаннымсемиинвариантом (кумулянтом ) /> го порядка, />, случайного процесса />, />, называется функция вида
/>/>/>, />,/>,
которую также будемобозначать как />.
Между смешанными моментамии смешанными семиинвариантами />гопорядка, />, существуют связывающие ихсоотношения, которые имеют вид
/>(1.1)
/>(1.2)
/>
/>
/>/>
/>суммирование повсевозможным разбиениям множества />.
Спектральнойплотностьюслучайного процесса />, />, называется функция вида
/>=/>/>/>/>, />,
при условии, что
/>/>.
Из определения видно, чтоспектральная плотность />непрерывная,периодическая функция с периодом, равным /> покаждому из аргументов.
Семиинвариантнойспектральной плотностью /> го порядка, />, случайного процесса />, />, называется функция вида
/>=/>/>/>/>, />/>,
при условии, что
/>/>/>.
Лемма 1. Для любого целого /> справедливо соотношение
/> (1.3)
Теорема 1. Для смешанного семиинварианта /> го порядка, />, случайного процесса /> справедливы представления
/>/>/>/>, (1.4)
Доказательство. Домножаяобе части соотношения (1.1) на
/>, />,/>
и интегрируя обе частиполученного неравенства по /> на />, получим
/>/>/>/>/>/>/>/>/> />/>.
Используя лемму 1,получим при />требуемый результат.Теорема доказана.
Лемма 2. Если функция /> интегрируема и периодичнас периодом />, то для любогодействительного /> имеет местосоотношение
/>
Доказательство. Предположим, что />>0. Можно записать
/>
В третьем слагаемомправой части последнего равенства сделаем замену переменных интегрирования /> и, учитывая периодичностьс периодом /> функции />, получаем требуемое.Случай, когда />
Спектральнойплотностьюслучайного процесса />, />, называется функция вида
/>=/>/>/>/>, />,
при условии, что
/>/>.
Из определения видно, чтоспектральная плотность />непрерывная,периодическая функция с периодом, равным /> покаждому из аргументов.
/>2. ОЦЕНИВАНИЕ СМЕЩЕНИЯСТАТИСТИКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ
Рассмотрим действительныйстационарный в широком смысле случайный процесс/>/>,/>, с математическим ожиданием />, />, взаимной ковариационнойфункцией />, и взаимной спектральнойплотностью />.
Предположим, имеются Тпоследовательных, полученных через равные промежутки времени наблюдений />/> засоставляющей />,рассматриваемого процесса />. Какоценку взаимной спектральной плотности в точке /> рассмотримстатистику
/> (2.1)
где /> />, — произвольная, не зависящая отнаблюдений четная целочисленная функция, /> для/>, а
/> (2.2)
s – целое число, /> — целая часть числа />.
Статистика />, называемая выборочнойвзаимной спектральной плотностью или периодограммой, задается соотношением
/> (2.3)
/>определено равенством (2.2).
Известно, если /> рассматривать как оценкувзаимной спектральной плотности /> в точке/>, то она являетсяасимптотически несмещенной, но не состоятельной оценкой этой спектральной плотности.Заметим, что оценка (2.1) взаимной спектральной плотности /> построена путем осреднениязначений периодограммы в точках /> некоторойвесовой функцией />.
Лемма 3. Для любого действительного />, и любого /> справедливо неравенство
/>
где /> — ядро Фейера, задаваемоеравенством
/>(2.4)
/>, а
/>, (2.5)
Доказательство. Учитывая чётность функции /> и элементарное неравенство
/> (2.6)
справедливое для всех x, таких, что />, имеем
/>
Сделаем замену переменнойинтегрирования /> тогда праваячасть последнего неравенства примет вид
/>
Применив для оценкипервого интеграла, стоящего в квадратных скобках, неравенство />, а для оценки второго –неравенство />, получим
/>
Лемма доказана.
Проведен численный анализдля соотношения (2.5) при Т=100 и при />,T/> , где T — число наблюдений и получены следующие результаты
/>
/>
/> 0,1 0.663138 2.13239 0,2 0.447986 1.48005 0,3 0.308154 1.04694 0,4 0.216092 0.7554 0,5 0.154768 0.556644 0,6 0.113483 0.41954 0,7 0.085422 0.323925 0,8 0.06619 0.256576 0,9 0.0529213 0.208718 1 0.0437283 0.348932 α
/>
/> 0,1 0.663138 1.63184 0,2 0.447986 1.10052 0,3 0.308154 0.755087 0,4 0.216092 0.527538 0,5 0.154768 0.375825 0,6 0.113483 0.273535 0,7 0.085422 0.203842 0,8 0.06619 0.155894 0,9 0.0529213 0.122613 1 0.0437283 0.0993358
/>3. ОКНА ПРОСМОТРА ДАННЫХ
Для выделения определенныххарактеристик спектральных оценок, нередко прибегают к сглаживанию значений наконцах случайного временного ряда. Временное сглаживание представляет собойумножение ряда на «окно данных».
При определениирасширенного конечного преобразования Фурье, задаваемого соотношением
/>
введена функция />, называемая окномпросмотра данных (множителем сходимости, коэффициентом сглаживания).
Функцию
/>(3.1)
/> называют частотным окном. Изсоотношения (3.1) вытекает, что
/>
Характерное поведениефункции /> состоит в том, что онастановится все более сконцентрированной в окрестности нуля при />.
Примеры окон просмотраданных:
1. />1 – окно Дирихле;
2. />1-/> –окно Фейера;
3. />/>;
4. />/> – окно Хэннинга;
5. />/> – окно Хэмминга;
6. />/> – окно Хэмминга;
7. />/>, где /> –окно Хэмминга;
8. />1-/> –окно Рисса.
/>ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной работеисследована оценка спектральной плотности вида
/>
где /> />, а периодограмма заданаследующим соотношением
/>
Оценивается смещениеданной спектральной плотности. Построены графики этой оценки для различных оконданных на основании наблюдений за солнечной активностью по Вольфу с 1749 г. по1901 г.
Также построены графикидля центрированного случайного процесса.
/>СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХИСТОЧНИКОВ
1. Бриллинджер Д. Временные ряды.Обработка данных и теория. — М.: Мир, 1980. — 536 с.
2. Андерсон Т. Статистический анализвременных рядов. – М.: Мир, 1976. – 755 с.
3. Труш Н.Н. Асимптотические методыстатистического анализа временных рядов. – Мн.: БГУ, 1999. — 218 с.
4. Журбенко И.Г. Спектральный анализвременных рядов. — М.: Изд-во МГУ, 1982. — 168 с.
5. Труш Н.Н., Мирская Е.И. Случайныепроцессы. Преобразования Фурье наблюдений. – Мн.: БГУ, 2000.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Для исследования оценки(2.1) был исследован ряд, состоящий из 100 наблюдений за солнечной активностьюпо Вольфу с 1749 г. по 1901 г.
/>
Рис. 1 — График оценкиспектральной плотности (2.1) для окна Дирихле
/>
Рис. 2 — График оценкиспектральной плотности (2.1) для окна Дирихле для центрированного случайногопроцесса
/>
Рис. 3 — График оценкиспектральной плотности (2.1) для окна Фейера
/>
Рис. 4 — График оценкиспектральной плотности (2.1) для окна Фейера для центрированного случайногопроцесса
/>
Рис. 5 — График оценкиспектральной плотности (2.1) для окна вида 3
/>
Рис. 6 — График оценкиспектральной плотности (2.1) для окна вида 3 для центрированного случайногопроцесса
/>
Рис. 7 — График оценкиспектральной плотности (2.1) для окна Хэннинга
/>
Рис. 8 — График оценкиспектральной плотности (2.1) для окна Хэннинга для центрированного случайного процесса
/>
Рис. 9 — График оценкиспектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 5
/>
Рис. 10 — График оценкиспектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 5 для центрированногослучайного процесса
/>
Рис. 11 — График оценкиспектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 6
/>
Рис. 12 — График оценкиспектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 6 для центрированногослучайного процесса
/>
Рис.13 — График оценкиспектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 7
/>
Рис. 14 — График оценкиспектральной плотности (1) для окна Хэмминга вида 7 для центрированногослучайного процесса
/>
Рис. 15 — График оценкиспектральной плотности (1) для окна Рисса
/>
Рис. 16 — График оценкиспектральной плотности (1) для окна Рисса для центрированного случайного процесса