С.К. Соболев
Матричный способ решения СЛАУ, формулы Крамера, свойство присоединенной матрицы и основное свойство линейной зависимости.
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), содержащую
т уравнений и п неизвестных:
/>(1)
Пусть
/>
– матрица коэффициентов при неизвестных, столбец свободных членов (чисел стоящих справа от равенства в системе (1)) и столбец неизвестных соответственно системы (1). Матрица А называется основной матрицей системы (1). Тогда очевидно, что система (1) может быть кратко записана в матричной форме />. Форма (1) называется координатной записью системы. Если />, т.е. число уравнений равно числу неизвестных, то СЛАУ называется «квадратной», она принимает вид:
/>(2)
Если же матрица А к тому же не вырождена, т.е. />, то тогда СЛАУ (2) можно решить как матричное уравнение />по формуле
/>. (3)
Этот метод называется матричным способом решения СЛАУ (2). />
Пример. Решить систему матричным способом, если это возможно:
/>
Решение. Запишем эту систему как матричное уравнение />, где
/>, />. Вычисляем: />, следовательно, матричный способ применим. Находим обратную матрицу:
/>
Следовательно,
/>.
Ответ: />
Формулы Крамера для решения СЛАУ
Эти формулы применимы для решения СЛАУ при тех же условиях, что и матричный способ, а именно, когда матрица А коэффициентов при неизвестных этой СЛАУ квадратная и не вырожденная. Для нахождения неизвестных квадратной системы (2) надо вычислить главный определитель />, убедиться что />, и затем вычислить п вспомогательных определителей />, где определитель />(/>) получается из главного определителя заменой в нем k-го столбца на столбец В свободных членов:
/>
Тогда решением системы (2) будет: />.
Вывод формул Крамера. Распишем подробно формулу (3) />.
Вспомним, что />, где />– алгебраическое дополнение элемента />, равное />, а />– определитель порядка />, полученный из главного определителя вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. Получим
/>.
Итак, матричный способ дает формулу
/>(4)
Сравним эту формулу с выражением для />, полученным по формуле Крамера:
/>. (5)
Заметим, что у всех элементов k-го столбца этого определителя алгебраические дополнения точно такие же, как и у элементов k-го столбца матрицы А. Поэтому, разложив определитель в (5) по этому столбцу, получим:
/>. (6)
Полученная формула (6) в точности совпадает с (4). Формулы Крамера доказаны.
Пример. Решить систему />методом Крамера, если это возможно:
Решение. Вычислим главный определитель системы: />, следовательно, метод Крамера применим. Далее вычислим три вспомогательных определителя:
/>
Следовательно, />.
Дополнение 1. При выводе на лекции в ауд. 220 формулы для обратной матрицы через алгебраические дополнения использовалось основное свойство присоединенной матрицы
/>.
Доказательство этого свойства, в свою очередь, опиралось на два свойства определителя:
Сумма произведений элементов произвольной строки квадратной матрицы на соответствующие алгебраические дополнения
этой же
строки равна определителю этой матрицы (и аналогично для столбцов):
/>(разложение по i-й строке),
/>(разложение по j-му столбцу)
Сумма произведений элементов произвольной строки квадратной матрицы на соответствующие алгебраические дополнения
другой
строки равна нулю (и аналогично для столбцов):
/>, (для строк, при />),
/>(для столбцов, при />)
Свойство (1) нам известно из общих свойств определителя, которые у нас идут без доказательства. Среди этих свойств есть, в частности, такое:
если в определителе две строки или два столбца совпадают, то он равен нулю.
Теперь докажем свойство (2). Заменим в определителе />
j — строку на строку с номером i. Понятно что после этого у полученного определителя />две одинаковые строки, и потому он равен нулю. Заметим также, что алгебраические дополнения изменённой j-й строки не изменились, т.к. они не зависят от элементов этой строки. Разложим определитель />по j-й строке, получим:
/>
Аналогично доказывается для столбцов.
Дополнение 2. Относительно линейной зависимости векторов теории линейного пространства, просьба не путать:
Общий критерий линейной зависимости векторов произвольного линейного пространства: Совокупность векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов выражается в виде линейной комбинации остальных.
Основное свойство линейной зависимости: Пусть даны nвекторов линейного пространства />, и еще какие-то т векторов этого же пространства, />каждый из которых линейно выражается через />, причем, />. Тогда векторы />линейно зависимы.
Доказательство этого свойства есть в лекциях, присланных на вашу Почту.