Задание 1
Вычислите /> и /> последовательности />.
Решение.
Рассмотрим последовательность />.
/>для любого натурального />
Следовательно, множество /> является ограниченным сверху. Это означает, что последовательность /> имеет верхнюю точную грань: />.
/>
Следовательно, множество /> не является ограниченным снизу. Это означает, что нижняя грань /> последовательности /> не существует.
Ответ. />/> не существует
Задание 2
Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что />.
Доказательство.
Число /> называется пределом последовательности />, если для любого положительного числа /> существует номер /> такой, что при /> выполняется неравенство />.
Используя определение предела последовательности, докажем, что />.
Возьмем любое число />.
/>
/>
Если взять />, то для всех /> будет выполняться неравенство />. Следовательно, />.
Доказано
Задание 3
Пользуясь определением предела функции, докажите, что />.
Доказательство
Число /> называется пределом функции /> при />, если для любого числа /> существует число /> такое, что для всех />, удовлетворяющих неравенству />, выполняется неравенство />.
Используя определение предела функции, докажем, что />.
Возьмем любое />.
/>
/>
/>
Положим />.
Если взять />, то для всех />, удовлетворяющих неравенству />, выполняется неравенство />. Следовательно, />.
Доказано.
Задание 4
Вычислите предел />.
Решение.
/>
/>
Ответ. />
Задание 5
Вычислите предел />.
Решение.
/>
/>
Ответ. />
Задание 6
Вычислить предел />.
Решение.
/>
Ответ. />
Задание 7
Вычислить предел />.
Решение.
/>
Ответ. />
Задание 8
Вычислить предел />.
Решение
/>
/>
/>
Ответ. />
Задание 9
Вычислить предел />.
Решение.
/>--PAGE_BREAK--
Ответ. />
Задание 10
Вычислить предел />.
Решение.
/>
/>
/>
/>
Ответ. />
Задание 11
Вычислить предел />.
Решение.
/>
/>
/>
Ответ. />
Задание 12
Вычислить предел />.
Решение.
/>
/>
Ответ. />
Задание 13
Вычислить предел />.
Решение.
/>
Ответ. />
Задание 14
Вычислить предел />.
Решение.
/>
/>при /> функция /> является бесконечно малой
/>для любого /> функция /> является ограниченной.
Известно, что произведение бесконечно малой функции и ограниченной функции есть бесконечно малая функция. Следовательно, функция /> является бесконечно малой при />. Это означает, что />.
/>
/>
Ответ. />