Узнать стоимость написания работы
Оставьте заявку, и в течение 5 минут на почту вам станут поступать предложения!
Реферат

Реферат по предмету "Математика"


Математичні методи представлення знань

МІНІСТЕРСТВООСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
Національнийуніверситет “Львівська політехніка”
ІнститутКомп’ютерних наук та інформаційних технологій
Кафедраавтоматизованих систем управління
Лабораторнаробота № 5-6
з дисципліни
“Математичні методи представленнязнань”
на тему:
«Обчислення означених інтегралів»
Виконав:
студент групи КН-29
Коцуба О.
Прийняв:
Биненко Б. І.Львів– 2011

Обчислення означенихінтегралів
Мета роботи: вивчитиметоди наближених обчислень і запрограмувати алгоритми обчислення означенихінтегралів .
Порядок роботи:
1. Попереднє опрацюваннятеоретичного матеріалу.
2. Отримання допуску довиконання лабораторної роботи.
3. Опрацювання типовогонавчального завдання (прикладів).
4. Створення проекту длявиконання індивідуального завдання.
5. Оформити звіт для захистулабораторної роботи за зразком:
· назвароботи;
· метароботи;
· порядокроботи;
· короткітеоретичні відомості;
· алгоритмрозв’язування задачі;
· тексти відповіднихмодулів проекту;
· аналізотриманих результатів та висновки.
6. Захистлабораторної роботи.
Короткітеоретичні відомості
1.Формули прямокутників.
Нехайна відрізку/>задана неперервна функція />. Потрібно обчислити інтеграл />
Розіб’ємовідрізок /> наn рівних частин точками />, i=0,1,…n-1, довжина кожної зяких дорівнює /> . Через /> позначимо значення функції /> в точках /> і складемосуми
/> або />/>
Кожназ цих сум є інтегральною сумою для /> на відрізку/>і тому наближеновиражають означений інтеграл:
/> (1)
/> (1/)
Ціформули називаються формулами прямокутників. Із рис. 1 видно, що якщо />додатна ізростаюча функція, то формула (1) відображає площу ступінчатої фігури, щоскладена із “ внутрішніх” прямокутників, а формула (1/) – площу фігури, щоскладена із “зовнішніх” прямокутників.
Похибкаметоду прямокутників дається формулою (2):
/> (2)
формула прямокутник лагранж функція
Похибкапри цьому буде тим меншою, чим більше число n (тобто чим менший крок поділу/>). Зауважимо,що формули прямокутників дають точні результати для багаточленів першогостепеня.
2.Формула трапецій.
Очевидно,що можна отримати більш точне значення інтеграла, якщо дану криву /> замінити неступінчатою лінією, як це мало місце у формулі прямокутників, а вписаною ламаною(рис.2). Тоді площа криволінійної трапеції, обмеженої лініями /> і  заміниться площамитрапецій, обмежених зверху хордами Оскільки площа
 />
Рис.1Рис.2
першоїтрапеції дорівнює />другої – /> і т.д.,
то />
або
/> (3)
Формула (3)називається формулою трапецій. Число n вибирається довільним, але чим більшимце число буде, а значить, крок /> меншим, тим з більшою точністюсума в правій частині наближеної рівності (3) буде давати значення інтегралу.
3.Формула парабол (Сімпсона).
МетодСімпсона найпоширеніший і простіше застосовний для програмування. Його сутьполягає в наближенні підінтегральної функції відрізками парабол.
Отже,розглянемо спочатку інтеграл />, де /> – парабола; />,/>,/>– деякі параметри (абочисла).
Тоді
/>
/>
Нехай тепер маємоінтеграл />,де /> - неперервнана інтервалі/>функція. Якщо інтервал розбити на п рівних частинок />, i=0,1,…n-1,, то заданий інтегралІ можна записати так:
/>
Якщона кожному з інтегралів для проміжків /> функцію />замінимо параболами />, що проходятьчерез точки /> , то одержимо
/>
Черезте, що, формула матиме вигляд:
/> або
/>
/> (4)
Формула(4) називається формулою парабол або Сімпсона. Доведено, що похибка обчислень /> за формулоюСімпсона є такою:
/> (5)
Проте,цією оцінкою похибки можна користуватись, якщо /> є хоча б чотири рази диференційовною.Але, якщо /> навітьчотири рази диференційовна, то часто оцінка четвертої похідної /> може виявитись досить складною.Тому на практиці переважно користуються таким методом: обчислюють інтеграл,розділяючи інтервал, заданий границями інтегрування, один раз на n рівнихчастин, а другий раз на т частин. Якщо одержані двоє значень інтеграла маловідрізняються, то результат можна вважати прийнятним. Порівнюючи їх можнаоцінити і точність обчислень.
Приклад.Обчислити з точністю до 0,001 інтеграл
/>
Р о зв ’ я з у в а н н я. За формулою (4) маємо:
при  при
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> -0,5 0,0000
/> -0,5 0,00000
/> 0,05 0,0371
/> -0,4 -0,1203
/> -0,45 -0,0946
/> 0,10 0,0772
/> -0,3 -0,1303
/> -0,40 -0,1203
/> 0,15 0,1200
/> -0,2 -0,1081
/> -0,35 -0,1304
/> 0,20 0,1652
/> -0,1 -0,630
/> -0,30 -0,1303
/> 0,25 0,2122
/> 0,0000
/> -0,25 -0,1204
/> 0,30 0,2607
/> 0,1 0,0772
/> -0,20 -0,1081
/> 0,35 0,3103
/> 0,2 0,1652
/> -0,15 -0,0881
/> 0,40 0,3610
/> 0,3 0,2607
/> -0,10 -0,0630
/> 0,45 0,4121
/> 0,4 0,36098
/> -0,05 -0,0335
/> 0,50 0,4637
/> 0,5 0,46365
/> 0,00 0,0000
Отже,
/>.

Нехай деякафункція f(x) задана в вузлахінтерполяції:
 (i=1,2,3.,n) навідрізку [а,b] таблицею значень: />.        
Потрібно знайтизначення інтегралу />.
Спершу складемоінтерполяційний багаточлен Лагранжа:
/>
Длярівновіддалених вузлів інтерполяційний багаточлен має вигляд:
/>
де q=(x-x0) /h –крок інтерполяції, замінимо підінтегральну функцію f(x) інтерполяційним багаточленомЛагранжа:
/>
Поміняємо знакпідсумовування і інтеграл і винесемо за знак інтеграла постійні елементи:
/>
Оскільки dp=dx/h,то, замінивши межі інтеграції, маємо:

/>
Длярівновіддалених вузлів інтерполяції на відрізку [а,b] величина кроквизначається як h=(b-a)/n. Представивши цей вираз для h у формулу (4) івиносячи (b-a) за знак суми, отримаємо:
/>
Покладемо, що
/>
де i=0,1,2.,n;Числа /> називаютькоефіцієнтами Ньютона-Kотеса. Ці коефіцієнти не залежать від вигляду f(x), а єфункцією тільки по n. Тому їх можна обчислити заздалегідь. Остаточна формулавиглядає так:
/>
Формула трьохвосьмих:
Якщо в формуліНьютона-Котеса взяти n = 3, тобто функцію f(x) замінити інтерполяційним багаточленомтретього степеня, побудованим за значення функції f(x) у точках x0=a, x1=a+h,x2=a+2h, x3=b, h=(b-a )/3. то одержимо таку квадратурну формулу:

/> де
/> 
Ця квадратурнаформула називається малою квадратурною формулою трьох восьмих. Використовуючицю формулу, легко записати велику квадратурну формулу трьох восьмих.
ЗавданняОбчислити інтеграл методомпрямокутників, трапецій, парабол, трьох восьмих, Монте-Карло оцінити абсолютнута відносну похибку обчислення :
А) заданийінтеграл обчислити наближено та точно.
B) заданийінтеграл обчислити наближено.
Варіант 1
1. />
2. />
3. />
Варіант 2
1. />
2. />

3. />
Варіант 3
1. />
2. />
3. />
Варіант 4
1. />
2. />
3. />
Варіант 5
1. />
2. />
3. />
Варіант 6

1. />
2. />
3. />
Варіант 7
1. />
2. />
3. />
Варіант 8
1. />
2. />
3. />
Варіант 9
1. />
2. />
3. />
Варіант 10
1. />
2. />
3. />

Рекомендованалітература:
1. ЦегеликГ.Г. Чисельні методи: Підручник. – Львів: Видавничий центр ЛНУ ім. І. Франка,2004. – 408 с.
2. КоссакО., Тумашова О., Коссак О. Методи наближених обчислень: Навч. посіб. – Львів:Бак, 2003. – 168 с.
3. АнджейчакІ.А., Федю Є.М., Анохін В.Є. і ін. Практикум з обчислювальної математики.Основні числові методи. Частина І. – Навч. посіб. Львів: Вид-во ДУ «Львівськаполітехніка», 2000. – 100 с.
4. ДудикевичА.Т., Левицька С.М., Шахно С.М. Практична реалізація методів розв’язуваннянелінійних рівнянь і систем: Навч.-метод. посібн. – Львів: ВЦ ЛНУ ім…І.Франка, 2007. – 78 с.
5. ПаранчукЯ.С. та ін. Алгоритмізація, програмування, числові та символьні обчислення впакеті MathCAD. – Навч. посіб. / Я.С. Паранчук, А.В. Маляр, Р.Я. Паранчук, І.Р.Головач. – Львів: Вид-во Львівської політехніки, 2008. – 164 с.


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.

Сейчас смотрят :

Реферат Рыночная стоимость и принципы оценки недвижимости
Реферат Политическая жизнь и политическое устройство Испании
Реферат Семейный бюджет, черта бедности.
Реферат Мифы и правда о конверсии
Реферат Некоторые экономические теории
Реферат Язык и стиль русской поэзии Серебряного века
Реферат Монополизация экономики. Антимонопольное регулирование экономики
Реферат Анализ требований предъявляемых к автономным системам электропитания с учётом обеспечения электромагнитной
Реферат Маркетинговое исследование Восприятие бренда Nokia
Реферат Erences found by multiple research centers is used to determine the distance in attitudes between Ukrainians from ages 18 to 35 and Ukrainian society as a whole
Реферат «Кто ничего не делает, с тем ничего не станется»
Реферат Люминесценция. Оптические квантовые генераторы и их использование в медицине. Радиоспектроскопия. ЭПР и ЯМР
Реферат Нуклонный “веполь” - новое состояние материи и топологический дефект нуклонной массы атомов.
Реферат Nick Carraway Essay Research Paper Nick Carraways
Реферат Мировой экономический кризись начало века