/>
Математическийанализ.
Практикум.
Для студентовВУЗов по специальности:
«Государственноеи муниципальное управление»
Т.З. Павлова
Колпашево2008
Глава 1. Введение в анализ
1.1Функции. Общие свойства
1.2 Теория пределов
1.3 Непрерывность функции
Глава 2. Дифференциальное исчисление
2.1 Определение производной
2.2Основные правиладифференцирования
2.3 Производные высших порядков
2.4 Исследование функций
2.4.1 План полного исследования функции
2.4.2Примеры исследованияфункции
2.4.3. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
2.5 Правило Лопиталя
Глава 3. Интегрально исчисление
3.1 Неопределенный интеграл
3.1.1 Определения и свойства
3.1.2 Таблица интегралов
3.1.3 Основные методы интегрирования
3.2 Определенный интеграл
3.2.1Понятие определенногоинтеграла и его свойства
3.2.2 Методы вычисления определенного интеграла
3.2.3 Приложения определенногоинтеграла
Глава 4. Функции нескольких переменных
4.1 Основные понятия
4.2Пределы и непрерывностьфункций нескольких переменных
4.3 Производные и дифференциалы функций нескольких переменных
4.3.1 Частные производные первого порядка
4.3.2Частные производныевторого порядка
4.3.3Полный дифференциал иего применение к приближеннымвычислениям
4.3.4Дифференцирование неявной функции
Глава 5.Классические методыоптимизации
5.2 Глобальный экстремум(наибольшее и наименьшее значение функции)
Глава 6.Модель потребительскоговыбора
6.1 Функция полезности.
6.2 Линии безразличия
6.3 Бюджетное множество
6.4 Теория потребительского спроса
Задания для домашней контрольной работы
Литература
Глава1. Введение в анализ1.1 Функции.Общие свойства
Числоваяфункция определена на множестве D действительных чисел, если каждому значениюпеременной />поставленов соответствие некоторое вполне определенное действительное значение переменнойy, где D – область определения функции.
Аналитическоепредставление функции:
в явном виде:/>;
в неявномвиде: />;
впараметрической форме:/>
разными формулами вобласти определения />:
/>
Свойства.
Четнаяфункция: />. Например, функция /> – четная, т.к. />.
Нечетнаяфункция: />. Например, функция /> – нечетная, т.к. />.
Периодическаяфункция: />, где T – период функции, />. Например,тригонометрические функции.
Монотоннаяфункция. Если для любых /> изобласти определения /> – функция возрастающая,/> – убывающая. Например, /> – возрастающая, а />– убывающая.
Ограниченнаяфункция. Если существует такое число M, что />. Например, функции /> и />, т.к. />.
Пример 1.Найти область определения функций.
/>/>/>/> + 2 – 3 +
/>1.2 Теорияпределов
Определение1. Пределом функции /> при /> называется число b, еслидля любого /> (/> – сколь угодно малое положительноечисло) можно найти такое значение аргумента />,начиная с которого выполняется неравенство />.
Обозначение: />.
Определение2. Пределом функции /> при /> называется число b, еслидля любого /> (/> - сколь угодно малое положительноечисло) существует такое положительное число />,что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству /> выполняется неравенство />.
Обозначение: />.
Определение 3. Функция /> называетсябесконечно малой при /> или />, если />или />.
Свойства.
1. Алгебраическаясумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.
2. Произведение бесконечномалой величины на ограниченную функцию (постоянную, другую бесконечно малуювеличину) есть величина бесконечно малая.
3. Частное отделения бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от нуля,есть величина бесконечно малая.
Определение 4. Функция /> называетсябесконечно большой при />, если />.
Свойства.
1. Произведение бесконечнобольшой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечнобольшая.
2. Сумма бесконечнобольшой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая.
3. Частное отделения бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел, есть величина бесконечнобольшая.
Теорема. (Связь между бесконечно малойвеличиной и бесконечно большой величиной.) Если функция /> бесконечно малая при /> (/>), то функция /> является бесконечнобольшой величиной при /> (/>). И, обратно, если функция/> бесконечно большая при /> (/>), то функция /> является бесконечно малойвеличиной при /> (/>).
Теоремы о пределах.
1. Функция не можетиметь более одного предела.
2. Пределалгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме пределовэтих функций:
/>.
3. Пределпроизведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:
/>
4. Предел степениравен степени предела:
/>
5. Предел частногоравен частному пределов, если предел делителя существует:
/>.
6. Первыйзамечательный предел.
/>.
Следствия:
/>
7. Второйзамечательный предел:
/>
Следствия:
/>
Эквивалентные бесконечномалые величины при />:
/>
Вычисление пределов.
При вычислении пределовиспользуют основные теоремы о пределах, свойства непрерывных функций и правила,вытекающие из этих теорем и свойств.
Правило 1. Чтобы найти предел в точке /> функции, непрерывной вэтой точке, надо в функцию, стоящую под знаком предела, вместо аргумента x подставить его предельное значение />.
Пример 2. Найти
/>
Правило 2. Если при отыскании предела дробипредел знаменателя равен нулю, а предел числителя отличен от нуля, то пределтакой функции равен />.
Пример 3. Найти
/>
Правило 3. Если при отыскании предела дробипредел знаменателя равен />, апредел числителя отличен от нуля, то предел такой функции равен нулю.
Пример 4. Найти
/>
Часто подстановкапредельного значения аргумента приводит к неопределенным выражениям вида
/>.
Нахождение пределафункции в этих случаях называется раскрытием неопределенности. Для раскрытиянеопределенности приходится, прежде чем перейти к пределу, проводить преобразованиеданного выражения. Для раскрытия неопределенностей используют различные приемы.
Правило 4. Неопределенность вида /> раскрывается путемпреобразования подпредельной функции т.о., чтобы в числителе и знаменателевыделить множитель, предел которого равен нулю, и, сократив на него дробь,найти предел частного. Для этого числитель и знаменатель либо раскладывают намножители, либо домножают на сопряженные числителю и знаменателю выражения.
Пример 5.
/>
Пример 6.
/>
Правило 5. Если подпредельное выражениесодержит тригонометрические функции, тогда, чтобы раскрыть неопределенностьвида /> используют первыйзамечательный предел.
Пример 7.
/>
/>.
Пример 8.
/>
Правило 6. Чтобы раскрыть неопределенностьвида /> при />, числитель и знаменательподпредельной дроби необходимо разделить на высшую степень аргумента и находитьдалее предел частного.
Возможны результаты:
1) искомый пределравен отношению коэффициентов при старших степенях аргумента числителя изнаменателя, если эти степени одинаковы;
2) предел равенбесконечности, если степень аргумента числителя выше степени аргументазнаменателя;
3) предел равеннулю, если степень аргумента числителя ниже степени аргумента знаменателя.
Пример 9.
а) />
т.к. />
Степени равны, значит,предел равен отношению коэффициентов при старших степенях, т.е. />.
б) />
Степень числителя />, знаменателя – 1, значит,предел равен />
в) />
Степень числителя 1,знаменателя – />, значит, пределравен 0.
Правило 7. Чтобы раскрыть неопределенностьвида />, числитель и знаменательподпредельной дроби необходимо домножить на сопряженное выражение.
Пример 10.
/>
/>
Правило 8. Чтобы раскрыть неопределенностьвида /> используют второйзамечательный предел и его следствия.
Можно доказать, что
/>
Пример 11.
/>
Пример 12.
/>
Пример 13.
/>
Правило 9. При раскрытии неопределенностей,подпредельная функция которых содержит б.м.в., необходимо заменить пределы этихб.м. на пределы б.м., эквивалентных им.
Пример 14.
/>
/>
Пример 15.
/>
/>
Правило 10. ПравилоЛопиталя (см. 2.6). 1.3 Непрерывностьфункции
Функция /> непрерывна в точке />, если предел функции пристремлении аргумента к a, существует и равен значению функции в этой точке.
Эквивалентныеусловия:
1. />;
2. />
3. />
4. />
Классификацияточек разрыва:
разрыв I рода
— устранимый– односторонние пределы существуют и равны;
— неустранимый (скачок) – односторонние пределы не равны;
разрыв IIрода: предел функции в точке не существует.
Пример 16. Установитьхарактер разрыва функции /> в точке/> или доказать непрерывностьфункции в этой точке.
а) />
при /> функция не определена,следовательно, она не непрерывна в этой точке. Т.к. />и,соответственно, />, то /> – точка устранимогоразрыва первого рода.
б) />
по сравнениюс заданием (а) функция доопределена в точке /> так,что />, значит, данная функция непрерывнав данной точке.
в) />
При /> функция не определена;
/>.
Т.к. один изодносторонних пределов бесконечен, то /> –точка разрыва второго рода.
Глава2. Дифференциальное исчисление 2.1 Определение производной
Определениепроизводной
Производная /> или /> от данной функции /> есть предел отношенияприращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда приращениеаргумента стремится к нулю:
/> или />.
Механическийсмысл производной – скорость изменения функции. Геометрический смыслпроизводной – тангенс угла наклона касательной к графику функции:
/>2.2 Основныеправила дифференцированияНаименование Функция Производная Умножение на постоянный множитель
/>
/> Алгебраическая сумма двух функций
/>
/> Произведение двух функций
/>
/> Частное двух функций
/>
/> Сложная функция
/>
/>
Производные основныхэлементарных функций№ п/п Наименование функции Функция и её производная 1 константа
/> 2
степенная функция
частные случаи
/>
/> 3
показательная функция
частный случай
/>
/> 4
логарифмическая функция
частный случай
/>
/> 5
тригонометрические функции
/>
/>
/>
/> 6
обратные
тригонометрические
функции
/> />
/>
/>
Пример 17
а) />
б) />
в)/>
/> 2.3 Производные высших порядков
Производнаявторого порядка функции />
Производнаявторого порядка функции />:
/>
Пример 18.
а) Найтипроизводную второго порядка функции />.
Решение. Найдемсначала производную первого порядка />.
Отпроизводной первого порядка возьмем еще раз производную />.
Пример 19. Найтипроизводную третьего порядка функции />.
Решение.
/>. 2.4 Исследование функций 2.4.1 План полногоисследования функции:
Планполного исследования функции:
1. Элементарноеисследование:
— найтиобласть определения и область значений;
— выяснитьобщие свойства: четность (нечетность), периодичность;
— найти точкипересечения с осями координат;
— определитьучастки знакопостоянства.
2. Асимптоты:
— найтивертикальные асимптоты />, если />;
— найтинаклонные асимптоты: />.
Если /> любое число, то />– горизонтальные асимптоты.
3.Исследование с помощью />:
— найтикритические точки, те. точки в которых /> илине существует;
— определитьинтервалы возрастания, те. промежутки, на которых />иубывания функции – />;
— определитьэкстремумы: точки, при переходе через которые/> меняетзнак с «+» на «–», являются точками максимума, с «–» на «+» – минимума.
4.Исследование с помощью />:
— найтиточки, в которых /> или несуществует;
— найтиучастки выпуклости, т.е. промежутки, на которых /> ивогнутости – />;
— найти точкиперегиба, т.е. точки при переходе через которые /> меняетзнак.
5. Построениеграфика функции.
Рекомендациипо применению плана исследования функции:
1. Отдельныеэлементы исследования наносятся на график постепенно, по мере их нахождения.
2. Если появляютсязатруднения с построением графика функции, то находятся значения функции внекоторых дополнительных точках.
3. Цельюисследования является описание характера поведения функции. Поэтому строится неточный график, а его приближение, на котором четко обозначены найденныеэлементы (экстремумы, точки перегиба, асимптоты и т.д.).
4. Строго придерживатьсяприведенного плана необязательно; важно не упустить характерные элементы поведенияфункции. 2.4.2 Примерыисследования функции:
20. />.
1) />
2) Функциянечетная:
/>.
3) Асимптоты.
/> – вертикальные асимптоты, т.к.
/>
/>
/>
Наклоннаяасимптота />.
/>
/>
/>
5) />
/>
/>
/> /> /> –точка перегиба.
/>
Схематичныйграфик данной функции:
/>
21. />
1) />
2) Функциянечетная:
/>
3) Асимптоты:Вертикальных асимптот нет.
Наклонные:
/>
/>– наклонные асимптоты
4) /> – функция возрастает.
5) />,
/> – точка перегиба.
Схематичныйграфик данной функции:
/>
22. />
1) />
2) Функцияобщего вида
3) Асимптоты
/>
/> – наклонных асимптот нет
/>
/> – горизонтальная асимптота при />
4) />
/>
/>
/>
/> – точка перегиба
/>
Схематичныйграфик данной функции:
/>
23. />
1) />
2) Асимптоты.
/> – вертикальная асимптота, т.к.
/>
/> – наклонных асимптот нет
/>, /> –горизонтальная асимптота
Схематичныйграфик данной функции:
/>
24. />
1) />
2) Асимптоты
/> – вертикальная асимптота при />, т.к.
/>
/> – наклонных асимптот нет
/>, /> –горизонтальная асимптота
3) /> – функция убывает накаждом из промежутков.
Схематичныйграфик данной функции:
/>
2.4.3 Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
Чтобы найтинаибольшее и наименьшее значение функции на отрезке можно воспользоватьсясхемой:
1. Найти производнуюфункции />.
2. Найти критическиеточки функции, в которых /> или несуществует.
3. Найти значениефункции в критических точках, принадлежащих заданному отрезку и на его концах ивыбрать из них наибольшее /> инаименьшее />.
Пример. Найтинаименьшее и наибольшее значение функции на данном отрезке.
25. /> на промежутке />
1) />
2) /> – критические точки
3) />,
/> – />
/> – />
/>
26. /> на промежутке />.
/>
Производнаяне существует при />, но 1 непринадлежит данному промежутку. Функция /> убываетна промежутке />, значит,наибольшего значения нет, а наименьшее значение />.
2.5 ПравилоЛопиталя
Теорема. Пределотношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределуотношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существуетв указанном смысле.
Т.е. прираскрытии неопределенностей вида />или /> можно использовать формулу:
/>.
Примеры.
27. />
28. />
/>
Глава3. Интегрально исчисление 3.1 Неопределенный интеграл/>/> 3.1.1 Определения исвойства
Определение1. Функция /> называется первообразнойдля />, если />.
Определение2. Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность всехпервообразных для этой функции.
Обозначение: />, где c — произвольная постоянная.
Свойстванеопределенного интеграла
1. Производная неопределенногоинтеграла: />
2. Дифференциалнеопределенного интеграла: />
3. Неопределенныйинтеграл от дифференциала: />
4. Неопределенныйинтеграл от суммы (разности) двух функций:
/>;
5. Вынесениепостоянного множителя за знак неопределенного интеграла:
/>/>/>3.1.2 Таблицаинтегралов
/> />
/>
/> />
/>
/>3.1.3 Основные методыинтегрирования
1. Использованиесвойств неопределенного интеграла.
Пример 29.
/>
/>
2. Подведение подзнак дифференциала.
Пример 30.
/>
3. Метод заменыпеременной:
а) замена /> в интеграле
/>: />
/>,
где /> - функция, интегрируемаялегче, чем исходная; /> — функция,обратная функции />; /> — первообразная функции />.
Пример 31.
/>
/>
б) замена /> в интеграле вида:
/>
/>;
Пример 32.
/>
/>/>
Пример 33.
/>
/>
4. Методинтегрирования по частям:
/>
Пример 34.
/>
/>
Пример 35.
/>
/>/>
Возьмемотдельно интеграл
/>
/>
Вернемся кнашему интегралу:
/>/>/>
/>3.2Определенный интеграл/>/> 3.2.1 Понятиеопределенного интеграла и его свойства
Определение.Пусть на некотороминтервале /> задана непрерывная функция/>. Построим ее график.
/>
Фигура,ограниченная сверху кривой />, слеваи справа прямыми /> и снизу отрезкомоси абсцисс между точками a и b, называется криволинейной трапецией.
S – область –криволинейная трапеция.
Разделиминтервал точками /> и получим:
/>
Интегральнаясумма:
/>
/>
Определение. Определенныминтегралом называется предел интегральной суммы.
Свойстваопределенного интеграла:
1. Постоянный множительможно выносить за знак интеграла:
/>
2. Интеграл оталгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов этихфункций:
/>
3. Если отрезокинтегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен суммеинтегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых a, b, c />:
/>
4. Если на отрезке /> />, то и />
/>
5. Пределыинтегрирования можно менять местами, при этом меняется знак интеграла:
6. />
7. Интеграл в точкеравен 0:
/>
8. />
9. (“о среднем”) Пустьy = f(x) – функция, интегрируемая на [a,b]. Тогда />, где />, f(c) – среднее значение f(x)на [a,b]:
/>
10. ФормулаНьютона-Лейбница
/>,
где F(x) –первообразная для f(x). 3.2.2 Методывычисления определенного интеграла.
1. Непосредственноеинтегрирование
Пример 35.
а) />
б) />
в) />
/>
д) />
2. Заменапеременных под знаком определенного интеграла.
/>
/>
Пример 36.
/>
/>
2. Интегрированиепо частям в определенном интеграле.
/>/>
Пример 37.
а) />
б) />
/>
в) />
/>
/>
/>
д) />
/>
3.2.3Приложения определенного интегралаХарактеристика Вид функции Формула площадь криволинейной трапеции в декартовых координатах
/> площадь криволинейного сектора в полярных координатах
/> площадь криволинейной трапеции в параметрической форме
/>
длина дуги
кривой в декартовых координатах
/>
длина дуги
кривой в полярных координатах
/>
длина дуги
кривой в параметрической форме
/>
объём тела
вращения в декартовых координатах
/>
объём тела с заданным поперечным
сечением
/>
Пример 38. Вычислитьплощадь фигуры, ограниченной линиями: />и/>.
Решение: Найдем точки пересечения графиковданных функций. Для этого приравняем функции и решим уравнение />
Итак, точкипересечения /> и />.
/>
Площадьфигуры найдем, используя формулу
/>.
В нашемслучае
/>
/>
Ответ:площадь равна /> (квадратныхединиц).
Глава 4. Функции нескольких переменных4.1 Основные понятия
Определение. Если каждойпаре независимых друг от друга чисел /> изнекоторого множества по какому-либо правилу ставится в соответствие одно илинесколько значений переменной z, топеременная z называется функцией двух переменных.
Определение. Областьюопределения функции z называетсясовокупность пар />, при которыхфункция z существует.
Область определенияфункции двух переменных /> представляетсобой некоторое множество точек на координатной плоскости Oxy. Координата z называется аппликатой, и тогда сама функция изображается ввиде некоторой поверхности в пространстве E3. Например:
/>
Рис.1
Пример 39. Найти областьопределения функции.
а) />
Выражение, стоящее вправой части имеет смысл только при />. Значит,область определения данной функции есть совокупность всех точек, лежащих внутрии на границе круга радиуса R сцентром в начале координат.
/>
б) />.
Область определенияданной функции – все точки плоскости />, крометочек прямых />, т.е. осей координат.
Определение. Линии уровняфункции /> – это семейство кривых накоординатной плоскости />, описываемоеуравнениями вида />/>.
Пример 40. Найти линииуровня функции />.
Решение. Линии уровняданной функции – это семейство кривых на плоскости />,описываемое уравнением
/>, или />.
Последнее уравнениеописывает семейство окружностей с центром в точке О1(1, 1) радиуса />. Поверхность вращения(параболоид), описываемая данной функцией, становится «круче» по мере ееудаления от оси, которая задается уравнениями x = 1, y = 1.(Рис. 4)
/>
Рис.4 4.2 Пределы и непрерывность функций несколькихпеременных.
1. Пределы.
Определение. Число A называется пределом функции /> при стремлении точки /> к точке />, если для каждого скольугодно малого числа /> найдется такоечисло />, что для любой точки /> верно условие />, также верно условие />. Записывают: />.
Пример 41. Найти пределы:
/>
т.е. предел зависит от />, а, значит, он несуществует.
/>
2. Непрерывность.
Определение. Пусть точка /> принадлежит областиопределения функции />. Тогда функция /> называется непрерывной вточке />, если
/> (1)
причем точка /> стремится к точке /> произвольным образом.
Если в какой-либо точкеусловие (1) не выполняется, то эта точка называется точкой разрыва функции />. Это может быть вследующих случаях:
1) Функция /> не определена в точке />.
2) Не существуетпредел />.
3) Этот пределсуществует, но он не равен />.
Пример 42. Определить,является ли данная функция />непрерывнойв точке />, если />.
/>
/>
Получили, что /> значит, данная функция непрерывнав точке />.
/>
предел зависит от k, т.е. он в данной точке несуществует, а значит, функция имеет в этой точке разрыв. 4.3 Производные и дифференциалы функцийнескольких переменных 4.3.1 Частныепроизводные первого порядка
Частная производнаяфункции />по аргументу x является обыкновенной производнойфункции одной переменной x прификсированном значении переменной y и обозначается:
/>
Частная производнаяфункции />по аргументу y является обыкновенной производнойфункции одной переменной y прификсированном значении переменной x и обозначается:
/>
Пример 43. Найти частныепроизводные функций.
/> 4.3.2 Частныепроизводные второго порядка
Частные производныевторого порядка – это частные производные от частных производных первогопорядка. Для функции двух переменных вида /> возможнычетыре вида частных производных второго порядка:
/>
Частные производныевторого порядка, в которых дифференцирование производится по разным переменным,называют смешанными производными. Смешанные производные второго порядка дваждыдифференцируемой функции равны.
Пример 44. Найти частныепроизводные второго порядка.
/>
/>
/> 4.3.3 Полныйдифференциал и его применение к приближенным вычислениям.
Определение. Дифференциалпервого порядка функции двух переменных /> находитсяпо формуле
/>.
Пример 45. Найти полныйдифференциал для функции />.
Решение. Найдем частныепроизводные:
/>
тогда
/>.
При малых приращенияхаргументов x и y функция />получаетприращение />, приблизительно равное dz, т.е. />.
Формула для нахожденияприближенного значения функции /> в точке/>, если известно ее точноезначение в точке />:
/>.
Пример 46. Найти />.
Решение. Пусть />,
/>.
Тогда используем формулу
/>.
Получим:
/>.
/>
Ответ. />.
Пример 47. Вычислитьприближенно />.
Решение. Рассмотримфункцию />. Имеем
/>
Ответ. />.
Пример 48. Вычислитьприближенно />.
Решение. Рассмотримфункцию />. Получим:
/>
/>
Ответ. />.4.3.4Дифференцирование неявной функции
Определение. Функция /> называется неявной, еслиона задается уравнением />, неразрешимым относительно z.
Частные производные такойфункции находятся по формулам:
/>
Пример 49. Найти частныепроизводные функции z, заданнойуравнением />.
Решение. />
Определение. Функция />называется неявной, еслиона задается уравнением />, неразрешимым относительно y.
Производная такой функциинаходится по формуле:
/>.
Пример 50. Найтипроизводные данных функций.
/>
/>/>
/>
Глава5. Классические методы оптимизации
5.1 Локальный экстремумфункции нескольких переменных
Определение 1. Функция /> имеет максимум в точке />, если /> для всех точек /> достаточно близких к точке/> и отличных от нее.
Определение 2. Функция /> имеет минимум в точке />, если /> для всех точек /> достаточно близких к точке/> и отличных от нее.
Необходимое условиеэкстремума. Если функция />достигаетэкстремума в точке />, то частныепроизводные от функции /> обращаются внуль или не существуют в этой точке.
Точки, в которых частныепроизводные обращаются в нуль или не существуют, называются критическими.
Достаточный признакэкстремума. Пусть функция />определенав некоторой окрестности критической точки /> иимеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка
/>
Тогда
1) /> имеет локальный максимум вточке />, если />и />;
2) /> имеет локальный минимум вточке />, если />и />;
3) /> не имеет локального экстремумав точке />, если />;
Схема исследования наэкстремум функции двух переменных.
1. Найти частныепроизводные функции />:/> и />.
2. Решить системууравнений />, /> и найти критические точкифункции.
3. Найти частныепроизводные второго порядка, вычислить их значения в критических точках и спомощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.
4. Найти экстремумыфункции.
Пример 51. Найтиэкстремумы функции />.
Решение.
1) Найдем частныепроизводные />.
2) Решим системууравнений />
3)
/>
4) Найдем частныепроизводные второго порядка и их значения в критических точках: />. В точке /> получим:
/>
значит, в точке /> экстремума нет. В точке /> получим:
/>
значит, в точке /> минимум.
5) />.
Ответ. /> 5.2 Глобальный экстремум (наибольшее инаименьшее значение функции)
Наибольшее и наименьшеезначения функции нескольких переменных, непрерывной на некотором замкнутоммножестве, достигаются или в точках экстремума, или на границе множества.
Схема нахождениянаибольшего и наименьшего значений.
1) Найти критическиеточки, лежащие внутри области, вычислить значение функции в этих точках.
2) Исследоватьфункцию на границе области; если граница состоит из нескольких различных линий,то исследование необходимо провести для каждого участка отдельно.
3) Сравнить полученныезначения функции и выбрать наибольшее и наименьшее.
Пример 52. Найтинаибольшее и наименьшее значения функции /> впрямоугольнике /> />.
Решение. 1) Найдемкритические точки функции, для этого найдем частные производные: />, и решим системууравнений:
/>
Получили критическуюточку A/>. Полученная точка лежит внутризаданной области, />
/>
Границу области составляютчетыре отрезка: /> и/>. найдем наибольшее инаименьшее значение функции на каждом отрезке.
/>
4) Сравнимполученные результаты и получим, что /> в точках />.
Глава6. Модель потребительского выбора
Будем полагать, что имеетсяn различных товаров. Тогда некоторыйнабор товаров будем обозначать через n-мерный вектор />, где /> – количество i-того товара/>. Множество всех наборовтоваров X называется пространством.
Выбориндивида-потребителя характеризуется отношением предпочтения: считается, чтопотребитель может сказать о любых двух наборах, какой более желателен, или онне видит между ними разницы. Отношение предпочтения транзитивно: если набор /> предпочтительнее набора />, а набор /> предпочтительнее набора />, то набор /> предпочтительнее набора />. Будем полагать, чтоповедение потребителя полностью описывается аксиомой индивида-потребителя:каждый индивид-потребитель принимает решение о потреблении, покупках и т.п.,исходя из своей системы предпочтений. 6.1 Функция полезности
На множествепотребительских наборов X определенафункция />, значение которой напотребительском наборе /> равнопотребительской оценке индивида для этого набора. Функция /> называется функциейполезности потребителя или функцией потребительского предпочтения. Т.е. каждыйпотребитель имеет свою функцию полезности. Но все множество потребителей можноразделить на определенные классы потребителей (по возрасту, имущественномуположению и т.п.) и каждому классу приписать некоторую, может быть, осредненнуюфункцию полезности.
Т.о., функция /> является потребительскойоценкой или уровнем удовлетворения потребностей индивида при приобретенииданного набора />. Если набор /> предпочтительнее набора /> для данного индивида, то />.
Свойства функцииполезности.
1. />
Первые частныепроизводные функции полезности называются предельными полезностями продуктов.Из этого свойства следует, что возрастание потребления одного продукта при неизменномпотреблении других продуктов приводит к росту потребительской оценки. Вектор /> является градиентомфункции />, он показывает направлениенаибольшего роста функции. Для функции /> ееградиент представляет собой вектор предельных полезностей продуктов.
2. />
Т.е. предельнаяполезность любого товара уменьшается с ростом потребления.
3. />
Т.е. предельная полезностькаждого продукта увеличивается с ростом количества другого продукта.
Некоторые виды функцийполезности.
1) Неоклассическая: />.
2) Квадратическая: />, где матрица />отрицательно определена и /> для />.
3) Логарифмическаяфункция: />. 6.2 Линии безразличия
В прикладных задачах имоделях потребительского выбора часто используется частный случай набора издвух товаров, т.е. когда функция полезности зависит от двух переменных. Линиябезразличия – это линия, соединяющая потребительские наборы, имеющие один и тотже уровень удовлетворения потребностей индивида. По сути своей линиибезразличия представляют собой линии уровня функции />.Уравнения линий безразличия: />.
Основные свойства линийбезразличия.
1. Линиибезразличия, соответствующие разным уровням удовлетворения потребностей, некасаются и не пересекаются.
2. Линии безразличияубывают.
3. Линии безразличиявыпуклы вниз.
/>
Из свойства 2 следуетважное приближенное равенство />.
Это соотношениепоказывает, на сколько индивид должен увеличить (уменьшить) потребление второгопродукта при уменьшении (увеличении) потребления первого продукта на однуединицу без изменения уровня удовлетворения своих потребностей. Отношение /> называется нормой заменыпервого продукта вторым, а величина /> –предельной нормой замены первого продукта вторым.
Пример 53. Еслипредельная полезность первого товара равна 6, а второго – 2, то при уменьшениипотребления первого товара на единицу нужно увеличить потребление второготовара на 3 единицы при том же уровне удовлетворения потребностей. 6.3 Бюджетное множество
Пусть /> – вектор цен на набор из n продуктов />; I – доход индивида, который он готов потратить на приобретениенабора продуктов />. Множествонаборов товаров стоимостью не более I приданных ценах /> называется бюджетныммножеством B. При этом множество наборовстоимостью I называется границей G бюджетного множества B. Т.о. множество B ограничено границей G и естественными ограничениями />.
Бюджетное множествоописывается системой неравенств:
/>.
/>
Рис. 1
Для случая набора из двухтоваров бюджетное множество B (рис. 1) представляетсобой треугольник в системе координат />,ограниченный осями координат и прямой />.6.4 Теорияпотребительского спроса
В теории потребленияполагается, что потребитель всегда стремится максимизировать свою полезность иединственным ограничением для него является ограниченность дохода I, который он может потратить напокупку набора товаров. В общем виде задача потребительского выбора (задачарационального поведения потребителя на рынке) формулируется следующим образом:найти потребительский набор />,который максимизирует его функцию полезности при заданном бюджетномограничении. Математическая модель этой задачи:
/>
В случае набора из двухтоваров:
/>
Геометрически решениеэтой задачи – это точка касания границы бюджетного множества G и линии безразличия.
/>
Решение этой задачисводится к решению системы уравнений:
/> (1)
Решение этой системы /> является решением задачи потребительскоговыбора.
Решение задачи потребительскоговыбора /> называется точкой спроса.Эта точка спроса зависит от цен /> идохода I. Т.е. точка спроса является функциейспроса. В свою очередь функция спроса – это набор n функций, каждая из которых зависит от /> аргумента:
/>
Эти функции называютсяфункциями спроса соответствующих товаров.
Пример 54. Для набора издвух товаров на рынке, известных ценах на них /> и/> и дохода I найти функции спроса, если функцияполезности имеет вид />.
Решение.Продифференцируем функцию полезности:
/>.
Подставим полученныевыражения в (1) и получим систему уравнений:
/>
В данном случае расход накаждый товар составит половину дохода потребителя, а количество приобретенноготовара равно затраченной на него сумме, поделенной на цену товара.
Пример 55. Пусть функцияполезности для первого товара />,второго />,
цена первого товара />, цена второго />. Доход />. Какое количество товарадолжен приобрести потребитель, чтобы максимизировать полезность?
Решение. Найдемпроизводные функций полезности, подставим в систему (1) и решим ее:
/>
Этот набор товаровявляется оптимальным для потребителя с точки зрения максимизации полезности.
Заданиядля домашней контрольной работы
Контрольная работа должнабыть выполнена в соответствии с вариантом, выбираемым по последней цифре номеразачетной книжки в отдельной тетради. Каждая задача должна содержать условие, подробноерешение и вывод.
1. Введение вматематический анализ
Задача 1. Найти областьопределения функции.
1./>
2. />
3. />
4. />
5. />
6. />
7. />
8. />
9. />
10. />
Задача 2. Найти пределыфункций.
/> />
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>.
Задача 3. Найти точкиразрыва функции и определить их тип.
1. />2. />3. />
4. />5. />6. />
7. />8. />9. />10. />
Глава 2. Дифференциальноеисчисление функции одной переменной
Задача 4. Найтипроизводные данных функций.
1. а)/>; б) /> в) y = />;
г) y = />x6+ /> + />+ 5; д) y = x tg x + ln sin x + e3x;
е) y = 2 x — arcsin x.
2. а) />; б) y = />/>; в) y = />; г) y = />x2 –/>+ 3; д) y = e cos/>; е) y = />.
3. а) y = /> lnx; б) y =/>; в) y = ln />;
г) y = />; д) y = />x7 + />+ 1; е) y = 2/>.
4. а) y = />;б) y = (e5x – 1)6; в) y = />; г) y = />;д) y = />x8 +/>+ />+ 5; е) y = 3 x — arcsinx.
5. а) y = 2x3 — />+ ex; б) y = />; в) y = />;
г) y = />/>; д) y = 2 cos/>; е) y = />.
6. а) y = /> lnx; б) y =/>; в) y = ln />;
г) y = />; д) y = />x7 + />+ 1; е) y = 2/>.
7. а) />; б) y = />/>; в)y = />; г)y = x2 + x sin x + />; д) y = e cos/>; е) y = />.
8. а) y = />; б) y = (3x– 4)6; в) y = sin tg />;
г) y = 3x4 – /> – 9/>+ 9; д) y = />;
е)y = x2 + arcsinx — x/>.
9. а)/>; б)/>;в) y = />;г) y = 5 sin3x; д) y = />x3 – /> – 6/>+ 3; е) y = 4x 4/> + ln/>.
10. а) />б) y = />; в) y = (3x– 4)6; г) y = />; д)y = x2 — x/>; е) y = e sin3x+ 2.
Задача 5. Исследоватьфункцию и построить ее график.
1. а) /> б) /> в) />.
2. а)/> б) /> в) />.
3. а)/> б) /> в) />.
4. /> б) /> в) />
5. а)/> б) /> в) />.
6. а)/> б) /> в) />.
7. а)/> б)/> в) />.
8. а)/> б) /> в) />.
9. а)/> б) /> в) />.
10. а)/> б) /> в) />.
Задача 6. Найтинаибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке.
1. />.
2. />.
3. />.
4. />.
5. />.
6. />.
7. />.
8. />.
9. />.
10. />.
Глава 3. Интегральноеисчисление
Задача 7. Найтинеопределенные интегралы.
1. а) />б)/>;
в) />; г) />.
2. а) />; б)/> в) /> г) />.
3. />/>
4. /> /> г)/>
5. а)/>; б)/>; в) />; г)/>.
6. а)/>; б)/>; в)/>; г)/>
7. а) />; б) />; в) />; г) />
8. а) />; б)/>; в)/>; г) />.
9. а) />; б) /> в)/>; г)/>.
10. а) />б)/> в) />; г) />.
Задача 8. Вычислитьопределенные интегралы.
1. />
2. />
3. />
4. />
5. />
6. />
7. />.
8. />
9. />
10. />
Задача 9. Найтинесобственные интегралы или доказать, что они расходятся.
1. />.
2. />.
3. />.
4. />.
5. />.
6. />.
7. />.
8. />.
9. />.
10. />.
Задача 10. Найти площадьобласти, ограниченной кривыми
1. />.2. />.
3. />4. />
5. />6. />
7. />, />.8./>.
9. />
10. />, />.
Глава 4. Дифференциальноеисчисление функции нескольких переменных.
Задача 11. Найти областьопределения функции (показать на чертеже).
1. />
2. />.
3. />.
4. />
5. />.
6. />.
7. />.
8. />.
9. />.
10. />
Задача 12. Исследовать нанепрерывность функции при
/> и />.
1. />
2. />
3. />
4. />
5. />
6. />
7. />
8. />
9. />
10. />
Задача 13. Найтипроизводную неявно заданной функции.
1. />.
2. />.
3. />.
4. />.
5. />.
6. />.
7. />.
8. />.
9. />.
10. />.
Задача 14. Вычислитьприближенно
1. а) />; б) />; в) />
2. а) />; б) />; в) />.
3. а)/>; б) />; в) />.
4. а)/>; б) />; в) />.
5. а)/>; б) />; в) />.
6. а)/>; б) />; в) />.
7. а)/>; б) />; в) />.
8. а) />; б) />; в) />
9. а) />; б) />; в) />.
10. а) />; б) />; в) />
Задача 15. Исследоватьфункцию на экстремумы.
1. />.
2. />/>.
3. />/>.
4. />/>.
5. />/>.
6. />/>.
7. />/>.
8. />/>.
9. />/>.
10. />/>.
Задача 16. Найтинаибольшее и наименьшее значение функции /> вданной замкнутой области.
1. /> в прямоугольнике />
2. /> в треугольнике,ограниченном осями координат и прямой />
3. /> в прямоугольнике
/>
4. /> в области, ограниченнойпараболой
/> и осью абсцисс.
5. /> в квадрате />
6. /> в треугольнике,ограниченном осями координат и прямой />
7. /> в треугольнике,ограниченном осями координат и прямой />
8. /> в треугольнике,ограниченном осями координат и прямой />
9. /> в области, ограниченнойпараболой
/> и осью абсцисс.
10. /> в области, ограниченнойпараболой
/> и осью абсцисс.
Литература
Основная
1. М.С. Красс, Б.П.Чупрынов. Основы математики и ее приложение в экономическом образовании:Учебник. – 4-е изд., исп. – М.: Дело, 2003.
2. М.С. Красс, Б.П.Чупрынов. Математика для экономических специальностей: Учебник. – 4-е изд.,исп. – М.: Дело, 2003.
3. М.С. Красс, Б.П.Чупрынов. Математика для экономического бакалавриата. Учебник. – 4-е изд., исп.– М.: Дело, 2005.
4. Высшая математикадля экономистов. Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н.Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера, — 2-е изд., перераб. и доп. – М: ЮНИТИ,2003.
5. Кремер Н.Ш, ПуткоБ.А., Тришин И.М., Фридман М.Н… Высшая математика для экономических специальностей.Учебник и Практикум (части I и II) / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера, — 2-е изд., перераб. и доп. – М: Высшее образование, 2007. – 893с. – (Основынаук)
6. Данко П.Е., ПоповА.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М. высшаяшкола. 1999.
Дополнительная
1. И.И. Баврин, В.Л.Матросов. Высшая математика. «Гуманитарный издательский центр Владос», 2002.
2. И.А. Зайцев.Высшая математика. «Высшая школа», 1998.
3. А.С.Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандра. Математика в экономике/ в двух частях/. М. Финансы и статистика. 1999.