Вступ
Обрана мною темакурсової роботи – математичні більярди – є дуже цікавою і актуальною. Вумовах розвитку комп’ютерних технологій, створень математичних пакетів длявирішення багатьох задач з різних галузей математики постає проблема пошукунайбільш оптимальних шляхів розв’язання. Не останню роль в вирішенні цієїпроблеми грає вивчення теорії математичних більярдів. Тому розгляд цьогопитання, встановлення зв’язків основ цієї теорії з рішеннями проблем інформатики,фізики є достатньо важливим компонентом навчального курсу «Вища математика».Крім цього, деякі відомості доречно було б вивчати в середній школі длярозв’язання задач підвищеної складності, при підготовці учнів до математичнихолімпіад, на факультативах з математики та в класах з поглибленим вивченнямматематики.
Вивченняматематичних більярдів, як системи руху абсолютно пружного тіла (без врахуванняопору середовища), послужило основою концепції детермінованого хаосу. Досистем, відповідаючім більярдам, зводяться ряд задач статистичної фізики.Багато складних для аналітичного розв’язання математичних задач легкорозв’язуються за допомогою побудови траєкторій більярдів в прямокутній таопуклій області. Чітко простежується зв’язок такої науки, як оптики зпроблемами побудови траєкторій математичних більярдів в еліпсі та ін.
Все це свідчитьпро необхідність подальшого розгляду цієї теми, використання для вирішенняпитань теорії більярдів сучасних комп’ютерних програм. Тому метою моєїроботи було вивчення основних теоретичних відомостей вищезазначеної теми,аналіз можливостей застосування законів теорії в середніх навчальних закладахта використання комп’ютерних програм для оптимізації роботи з пошуку рішенняпроблемних питань, для наочної демонстрації правил побудови більярднихтраєкторій та розширення сфери застосування теорії математичних більярдів. Дляцього були вивчені роботи відомих математиків, що займались цією проблемою,проведена спільна з викладачами вищої математики та інформатики ХНПУ ім. Г.С. Сковородидослідницька робота. В результаті проведеної роботи були отримані наступнівисновки, що представлені в двох розділах даної курсової роботи.
Відомості зтеорії математичних більярдів
Об’єкт та історія вивчення теорії
Назва більярдпоходить від французького «billiard» — крива палка або «billart» (кий) та «bille» (куля).
Подібно до того,як азартна гра у кості викликала до життя «обчислення» вірогідності, гра вбільярд стала предметом серйозних наукових досліджень з механіки та математики.Опису руху більярдної кулі присвячена книга видатного французького фізика Г.Г.Коріоліса, створена ним в 1835 році. Окремі відомості цієї праці будутьнаведені в подальших розділах даної курсової роботи.
Відомі різніваріанти гри на більярді. Наприклад, так званий французькій більярд взагалі немає луз. При грі в цей більярд треба попасти в задану кулю після декількохзіткнень з іншими кулями. Французький більярд і став прообразом математичногобільярда.
/>
Об’єктом вивченняв математичних більярдах є траєкторія, тобто слід рухомої більярдної одиниці. Взагальному випадку ця ламана, що вписана в область Q і складена з нескінченної кількостіланок, на яких вказано напрям руху. Ця ламана може бути однозначно побудованапо будь-якій своїй ланці. В окремому випадку, коли більярдна частка вертаєтьсяв вихідне положення (і після цього знов розпочинає свій рух), ламана замкнена іскладається з скінченої кількості ланок. Така траєкторія називається періодичною.Основна ціль теорії математичних більярдів – опис всіляких типів траєкторій врізних областях.
Більярдипризводять до багатьох цікавих і красивих математичних задач. О декількох з нихрозповідається в другій частині даної роботи.
Ці задачі буваютьдалеко не простими і приховують в собі багато невирішених проблем. Наприклад,досі невідомо, чи в будь-якій області існує періодична більярдна траєкторія (ценевідомо навіть для многокутників). Іще один приклад пов'язаний з проблемоювисвітлення довільної області з дзеркальними стінками точковим джерелом світла:з деякої точки q € Q випустимо різноманітні променісвітла, що дзеркально відбиваються від границі ∂Q; чи освітлять вони (після можливихвідбиттів) всю область Q? Відповідь невідома, якщо Q – многокутник. Для плоских областей загального вигляду відповідьнегативна.
Окрімвикористання в чисто математичних задачах, більярди цікаві тим, що моделюютьдосі складні фізичні процеси. Традиційно більярди використовуються в оптиці(дзеркальне відбиття, задачі про освітлення, фокусіровка променів в лазері) таакустиці (побудова «шепочущіх галерей»), оскільки променям світла та звуковимихвилям притаманні пружні (дзеркальні) відбиття від непроникних поверхонь.
До більярдівможуть бути зведені деякі важливі моделі класичної механіки і гідродинаміки –гази і рідини, що складені з молекул, пружно стикаються один з одним та зстінками ємкості (системи твердих куль). Тут закон пружного зіткнення покладенов самій моделі, зостається лише уявити (закодувати) рух багатьох молекултраєкторією однієї більярдної частки. Багато проблем класичної механіки твердихкуль можуть бути сформульовані і вирішені в термінах більярдів. Наприклад, такбуло розв’язане питання про можливу кількість зіткнень в системі з нескінченноїкількості твердих куль у відкритому просторі (без стінок).
Більярдні траєкторії виникають признаходженні власних функцій оператора Лапласа всередині випуклої області зграничними умовами.
Нескінченно можнаперераховувати можливості застосування теорії математичних більярдів. Останнімчасом статистична механіка дала великого імпульсу розвитку теорії більярдів.Тому надалі приділимо їй найбільшу увагу.
Проблема чіткогообґрунтування законів статистичної механіки здавна хвилювала розум вчених (вповному обсязі вона не вирішена й досі). Мова йде про вивід законів еволюціїсистем великої кількості часток (компонент) з рівнянь руху кожної окремоїчастки (компоненти) під впливом всіх інших часток. Ще в позаминулому сторіччіЛ. Больцман вказав, що визначені математичні властивості системи твердих кульможуть бути корисними для такого висновку. Властивості ці – ергодичність,перемішування та інші – не такі прості. Ці властивості (їх називаютьстохастичним) виявляються також корисними при вивченні багатьох інших явищ, наприкладквантового хаосу.
Ергодичнівластивості більярдів обговорювалися ще в працях А. Пуанкаре, Г. Біркгофа і Ж.Адамара. Великий внесок в розуміння ролі цих властивостей для проблемстатистичної механіки вніс радянський фізик Н. С. Крилов. Математичний апаратдля вивчення ергодичних властивостей більярдів з’явилися в 70-х роках, післятого, як в серії праць Д.В. Аносова, Я.Г. Сіная, С. Смейла та інших булостворено новий напрямок теорії динамічних систем, що отримало назву теоріїгіперболічних динамічних систем. Перше фундаментальне дослідження ергодичнихвластивостей більярдів належить Я.Г. Сінаю. Його праця відкрила двері дляпроникнення динамічних систем (хаосу, безповоротності руху, дифузії,релаксації, рівноваги) в математичну теорію більярдів.
В умовахсучасності теорія більярдів здобула відомість і отримала широке визнання внауковому світі. Стали звичними такі поняття, як «стохастичний більярд»,«квантовий більярд» «ентропія більярду», «статистичні властивості більярду». Втой же час, це порівняно молода теорія. Тому можливості використання новітніхтехнологій розв’язання можливо допоможуть знайти відповідь на ще нерозв’язанізадачі даної теорії.
Перейдемо дозагальної математичної проблеми більярду. Вона полягає в тому, щоб змалюватирізноманітні типи більярдних траєкторій в даній області Q. Найпростіший принцип такогозмалювання – розділ траєкторій на періодичні, або замкнені, і інші –неперіодичні. На малюнку зображені деякі періодичні траєкторій більярдів впрямокутнику, в правильному трикутнику, в колі.
/>
Траєкторія з«початковою умовою» (напрямок, початкове положення точки) буде періодичною,якщо через деякий час (через період) точка повертається в своє першочерговеположення з первинною швидкістю. Періодичний рух сприймається як найбільш «правильний».Проблема періодичних траєкторій зводиться до існування: чи в будь-якій областііснують замкнені траєкторії?
Іще одне питання– про критерії періодичності: як по даним умовам визначити, чи є задана теоріяперіодичною?
Цікавістьпредставляють такі питання:
ü Якукількість ланок може мати періодична траєкторія?
ü Якіперіоди мають періодичні траєкторії в даній області? (ці питання мають прямевідношення до дослідження спеціальних систем квантової механіки). Перейдемо дорозглядання цих питань в простіших поверхневих областях (коло, еліпс,прямокутник, трикутники).
Більярди вопуклих гладких областяхБільярд в колі
Більярд в крузі.Найпростіша область з криволінійною гладкою межею на площині — це, звичайно ж,круг. Правильна, симетрична форма круга приводить до правильного рухубільярдної частки: при віддзеркаленнях від межі круга кут падіння залишаєтьсяпостійним!
/>
Мал.1
Якщоцей кут ще і раціональний (в градусах, наприклад, 45°, 30°, 1° або 2,5°), тоточки віддзеркалення лягають у вершини правильного многокутника і рухбільярдної частки буде періодичним (тобто вона рано чи пізно повернеться впервинне положення і в точності відтворюватиме свою траєкторію). Якщо ж кутпадіння ірраціональний, то точки віддзеркалення усюди щільно заповнюватимутьколо (тобто на будь-якій маленькій дузі їх буде нескінченно багато) ітраєкторія ніколи не повернеться в початкове положення. Цей цікавий і доситьелементарний факт витікає з теореми Якобі.
Длянас важливо, що у всіх випадках є величина, яка зберігається при русі частки.Ця величина — кут падіння. Така величина називається інваріантом, а у фізиці —частіше першим інтегралом.
· Рівністьвсіх траєкторій (з рівності кутів)
· Серединивсіх ланок траєкторії віддалені від центра кола на однакову відстань.
Будь-якабільярдна траєкторія в колі ніколи не заходить всередину деякого концентричногокола, границі якого дотикаються всі її ланки, тобто це значить, що більярд вколі не ергодичний.
Більярднатраєкторія в колі не всюди щільна. Вид більярдної траєкторії в колі повністювизначається числом α, а саме
Якщо число αтаке, що α/π є раціональним числом (тобто дорівнює деякому дробу m/n з цілими m і n), то більярдна траєкторія періодична
Якщо α/πірраціональне, то відповідаюча куту α траєкторія неперіодична.
Доведення
Α =m/n*2π, m,n – цілі
Nα = 2πm, при повороті на кут nα кожна точка Г переходить всебе.
P0P1P2P3 (вершини більярдної траєкторії: Pn=P0; Pn+1 = P1; Pn+2 = P2…)
Тобто вершини,починаючи з n-ої повторюються. (що ісвідчить про періодичність більярдних траєкторій)
Якщо m/n нескоро чувана, то траєкторіяскладається з n ланок. При m=1 – це буде правильний n-кутник, при m>=2 траєкторія представляє собою правильну самоперетинаючуюся замкнену(зірчасту) ламану! Більярдний шар після n віддзеркалень від борта Г опиняєтьсяв початковій точці P0 (зробив m обертів навколо центру О).
Уявімо, щобільярдна траєкторія періодична/, тоді α і π такі, що α/π –раціональні, а це протирічить умові, що α/π– ірраціональне. Теоремудоведено.
Теорема Якобі.Нехай α – невимірне з π (α/π — ірраціональне), {P0,P1,P2,…}={ Pk} – нескінченна послідовністьточок послідовності Pk+1 отримується з попередньої точки Pkповоротом навколо центра на αрадіан. Тоді для будь-якої дуги Δ кола Г хоча б одна точка послідовності {Pk} лежить на цій дузі.
ТеоремаЯкобі стверджує, що якщо коло провертати на ірраціональний (в градусах) кут р,то образи кожної точка а, а+р, а+2р… (в кутових координатах, узятих по модулю360°) заповнять щільно все коло.
Неперіодичний рухможе виявитись «майже періодичним», або квазіперіодичним. Квазіперіодичністьозначає, що хоч його траєкторія і не замкнена, але через деякий час (черезквазіперіод) вона буде близько до попереднього відрізку траєкторії. Характерніквазіперіодичні траєкторії для кола показано на малюнку.
/>
Виявляється, длябільярда в колі неперіодична траєкторія має бути квазіперіодичною. Вказанінеперіодичні траєкторії всюди щільно заповнюють відповідну область. Якщовважати, що більярдний шар «чорнильний» і залишає після себе слід, то він зчасом обов’язково замалює всю область цілком. Зрозуміло, що періодичнатраєкторія властивості всюди щільної мати не може – вона може заповнювати область«дуже щільно», але не всюди щільно. Довільна неперіодична траєкторія більярда вколі та еліпсі не є всюди щільною.
/>
Більярдв кільці. Ще одним прикладом досить правильної області з гладкою криволінійноюмежою служить кільце, тобто область, укладена між двома концентричними колами.В кільці бувають траєкторії двох типів:
а) щовідображаються тільки від зовнішнього круга — ці траєкторії зберігають кутпадіння, як і в крузі (вони не «відчувають» присутності внутрішнього круга);
б) щовідображаються поперемінно від зовнішнього і від внутрішнього кругів.
/>Траєкторії типу «б» трохи складніше, ніж типу «а», але і уних кути падіння на зовнішнє коло однакові. І на внутрішню — теж, що видно з мал.Траєкторії математичного більярду веліпсі
Природнимузагальненням круга в математиці є еліпс. Цікава властивість більярдів веліпсі: як би ми не випустили більярдний шар з одного фокусу, він після одноговіддзеркалення від еліпсу пройде через другий фокус, після другого – черезперший фокус. (дотична до еліпса, що проведена в його довільній точці М,утворює рівні кути з відрізком F1M F2M, що з’єднують обидва фокуси з цієюточкою).
Теоремапро каустик в еліпсі. Якщо одна ланка більярдної траєкторії в еліпсі Э0проходить через фокус, то і вся решталанок проходить через фокуси. Якщо ж жодна ланка траєкторії не проходить через фокуси, то всі її ланки торкаютьсяоднієї і тієї ж кривої. Цією кривою є або еліпс Э1 софокусний зданим, або гіпербола Г1, софокусна з даним еліпсом Э0 (востанньому випадку торкатися гіперболи Г1 можуть не самі ланки, а їхпродовження за точку віддзеркалення).
/>
Криві,які одночасно торкаються всіх ланок більярдної траєкторії, називаються їїкаустиком. Точніше, каустика в більярді — це така крива, що якщо більярдну часткузапустити по дотичній до неї, то після віддзеркалення частка також полетить подотичній до цієї ж кривої. Термін «каустику» запозичений з оптики, де вінозначає лінію, огинаючу світловий пучок в місці його сходження після віддзеркаленнявід дзеркала (назва «каустика» означає ту, що «пекуча», оскільки каустик служить місцемконцентрації енергії).
Доказтеореми:
(тільки длякаустик-еліпсів) Тут F1 і F2 —фокуси еліпса, а А1АА2 — дві ланки більярдноїтраєкторії. Точка В1 і В2 симетричніфокусам F1 і F2 відносно прямих А1А і А2А.Добре відомо, що відрізки F1А і F2А утворюють однакові кути з дотичною до еліпса в точці А.Тому всі чотири кути ‹В1АА1, ‹А1АF1 ‹F2AA2 i ‹A2AB2 рівні між собою. Отже, трикутники АВ1F2 і AB2F1 рівні, тобто B1F2=B2F1. Звідсіля |F1C1| + |F2C1| = |F1C2| + |F2C2|, де С1 і С2 –точки перетину АА1 з В1F2 i AA2 з B2F1.Значить, С1 і С2лежать на одному еліпсі з фокусами F1 і F2, для якого відрізки АА1 і АА2 єдотичними. До речі, каустики є і у більярда в колі – це концентричні кола меншого радіусу.Математичний більярд напрямокутному столі без луз
Більярдом впрямокутнику називається така система: один точковий більярдний шар на прямокутномубільярдному столі ABCD безлуз, що рухається по ньому без тертя і віддзеркалюється від його сторін(«бортів») по більярдному закону «кут падіння дорівнює куту віддзеркалення».
Найпростішібільярдні траєкторії в прямокутнику – періодичні. Вони можуть бути декількохтипів: складатися з дворазово пройдених відрізків між протилежними сторонами(малюнок а)); утворювати родини паралелограмів зі сторонами, паралельнимидіагоналям прямокутника (малюнок б)); утворювати замкнені ламані (малюнок в))
/>
Бувають і такітраєкторії, які попадають в вершини прямокутника. В такому випадку незрозуміло,як шару належить рухатися після виходу «з кута». Такі траєкторії мають назву –особі, і якщо траєкторія попадає в вершину, обривають її, і від траєкторіїзалишається тільки її частина (напівтраєкторія). Але у випадку прямокутногобільярду шар можна вважати вилетівшим після попадання в вершину в точності упротилежному напрямку. (Такого висновку не можна робити для більярду вдовільному многокутнику.)
Намалювати хоча бодну неперіодичну траєкторію більярда в прямокутнику вже значно важче. Задачапро розпізнання періодичних і неперіодичних траєкторій більярда розв’язуєтьсяза допомогою процедури «випрямлення траєкторій»
Випрямленнятраєкторії в довільному многокутнику
НехайР1Р2Р3… — довільна не особлива траєкторіябільярда в многокутнику Q=А1А2А3… Аn. Побудуємо по цій ламаній спеціальнупряму. А саме, відобразимо наш многокутник Q разом з ламаною Р2Р3Р4…відносно тієї сторони многокутника, на якій лежить точка Р2 (першуланку ламаної Р1Р2 ми не чіпаємо). Згідно законувіддзеркалення, відрізок Р2Р3 симетричний відрізку Р2Р3є продовженням відрізку Р1Р2 і перший шматокламаної Р1Р2Р3Р4… — Р1Р2Р3– нами випрямлений. Тепер відобразимо другий (отриманий з Q при першому віддзеркаленні)багатокутник Q1щодо тієї йогосторони, на якій лежить наступна точка зламу Р3′. Отримаємонаступний багатокутник Q2, і образ ланки Р3′ Р4′ при новомувіддзеркаленні буде, знову-таки, продовженням відрізка P1P2P'. Продовжуючи так і далі, миможемо будь-який шматок ламаної P1P2P3P4 —… «випрямити», тобто послідовнимивіддзеркаленнями перетворити в відрізок прямої P1P2P3'P4'
Звичайно,для різних траєкторій прийдеться робить різні послідовності випрямляючихвіддзеркалень. Проте якщо ми розглядаємо більярд в прямокутнику, ми можемо ізсамого початку з допомогою віддзеркаленні замостити всю площину прямокутниками,рівними даному, отримавши грати з прямокутників. Намалювавши на цій площині довільнийпромінь, що не проходить ні через одну з вершин отриманих прямокутників, миможемо за допомогою процедури, зворотної описаної, «скласти» цей промінь втраєкторію більярда в початковому прямокутнику ABCD. При такому «складанні» ґратпрямокутників в початковий прямокутник ABCD в кожну точку М прямокутника ABCD потрапляє нескінченно багато точок Мm,nплощини— саме всі ті крапкиякі виходять з М описаними вище віддзеркаленнями.
Якщотраєкторія, що виходить з точки М під кутом α до сторони AB, періодична, то це значить, що післявипрямляння з цієї траєкторії вийде пряма, що проходить через М і через одну зкрапок Мm,n. Якщо нумерувати крапки Мm,n індексами m i n, то крапка Мm0,n0повинна бути такою, що m0 та n0— парні числа. Саме (і лише) в цьомувипадку більярдна куля проходить через ту ж крапку М під колишнім кутом α: номери m0 та n0показують, скільки потрібне зробитивіддзеркалень щодо вертикальних і горизонтальних сторін прямокутників, щоботримати з крапки Мm0,n0крапку М; при цьому непарне число віддзеркалень міняєнапрям, парний же — не міняє.
/>
Доведемо,що неособлива траєкторія, що виходить з крапки М прямокутника ABCD під кутом α до сторони AВ, періодична в тому і лише б томувипадку, коли тангенс її кута нахилу k=tgaвимірний з відношенням сторін а1/а2 прямокутника ABCD.
Дійсно,тільки що було з'ясовано, що періодичні ті і лише ті траєкторії, які (післявипрямлення) відповідають прямим, що йдуть з точки М в одну з точок виду М2m,2n. Зауважу, що точка М2m,2n отримується з М зсувом навектор 2m·АВ + 2·AD (*) так, що ΔМ М2m,2n К має катети з довжинами MK=2ma1 і М2m,2nК=2na2. Таким чином k=tgα=2ma1/2na2=m/n ·a2/a1, тобто k вимірне з a2/a1. Навпаки, якщо число k вимірне з a2/a1, тобто k= m/n ·a2/a1, то будь-яка пряма, що виходить зточки М з тангенсом кута нахилу k, проходить через точку, що отримується з М зсувом на вектор (*), тобточерез точку М2m,2n.Якщо ця пряма не проходить через вершини прямокутників, тоїй відповідає неособлива періодична траєкторія, що й потрібне було довести.
/>
Зазначу,що в даному випадку ми все-таки можемо продовжити і будь-яку особливу, тобтотаку, що закінчується в одній з вершин прямокутника, — траєкторію за цювершину: ніщо не заважає на площині, замощеній нашими прямокутниками,продовжити, наприклад, МС за вершину С івважати тим самим, що, потрапивши у вершину С, більярдна куля вилітає з неї потому ж шляху, по якому він туди залетів — після відповідних віддзеркаленьпромінь СМ′ поєднується з променем СМ. Таким чином,у разі більярда в прямокутнику можна вважати, що рух по будь-якій траєкторіїпродовжується необмежено в часі (наприклад, двічі прохідна діагональ АСпрямокутника — це періодична траєкторія).
Здоведеного твердження виходить:
Теорема1. Якщо тангенс кута нахилу до траєкторійвимірний з числом k0=a2/a1 то незалежно від початкового положення більярдної кулійого рух буде періодичним;в противному випадку траєкторія неперіодична.
Здопомогою теореми 1 можна по початковій ланці траєкторії кулі визначати, чи єця траєкторія періодичної або неперіодичної. Для цього треба знайти відношеннядовжин сторін прямокутника або, що те ж саме, тангенс кута нахилу діагоналіпрямокутника і тангенс кута, під яким запущена кулька, і поділити перше числона друге: якщо в результаті вийде раціональне число, то траєкторія періодична,якщо ж — ірраціональне, то неперіодична. Звідси слідує також і та обставина, щодля фіксованого початкового вектора швидкості кулі траєкторія буде періодичноюабо неперіодичною незалежно від його початкового положення на прямокутномустолі. Тому, якщо запустити паралельно один одному відразу декілька більярднихшарів, вони або одночасно опишуть періодичні траєкторії, або ніколи не пройдутьпо своєму старому сліду. Послідовність віддзеркалень цих куль від бортівбільярда буде різною, якщо вони знаходяться достатньо далеко один від одного.Якщо ж кулі знаходяться достатньо близько, то послідовність бортів, від якихвони віддзеркалюються, буде однією і тією ж. Якщо першу ланку траєкторії однієїбільярдної кулі оточити паралельними ланками цілого сімейства траєкторій іншихкуль, то отримані траєкторії, у разі, коли вони періодичні, заповнятьсамоперетинаючийся «коридор». Таким чином, знаючи одну періодичну траєкторію,ми паралельним зсувом її ланок одержуємо іншу періодичну траєкторію.
/>
Задачаа) Довести, що у всіх неособливих «паралельних періодичних траєкторій» впрямокутнику рівне число ланок і рівні довжини б) Довести, що в прямокутникуіснують скільки завгодно довгі періодичні траєкторії.
Рішення.Це виходить з розгляду випрямлених траєкторій, що зображаються на ґратахпрямокутників рівними паралельними відрізками.
Якже поводиться на прямокутному столі неперіодична більярдна траєкторія? В крузі іеліпсі неперіодична траєкторія не заходила в деякі ділянки — в концентричнийкруг і, відповідно, в софокусний еліпс (або в криволінійні сегменти софокусноїгіперболи), проте заповнювала усюди щільно кільце між їх межами. В прямокутникувона вже заходить в усі його ділянки і заповнює його усюди щільно, В цьому іполягає основний результат про неперіодичні траєкторії в прямокутному більярді.
Теорема2. Якщо k/k0— ірраціональне число, то будь-якатраєкторія з кутовим коефіцієнтом k усюди щільно заповнює весь прямокутник, тобто перетинає будь-який(скільки завгодно малий) круг, що лежить усередині нього.
Такимчином, якщо точкову більярдну кулю запустити з будь-якого положення М вбудь-якому напрямі α такому, що число tgα/tgφ ірраціональну, де φ — кутнахилу діагоналі до горизонтальної сторони, то він рано чи пізно зіткнеться зіншим, вже неточковою більярдною кулею (диском) N, куди б ми його ні поставили і скільки б малий він був!Отже, гравцям (у разі відсутності тертя) не потрібно особливо старатися, щобпотрапити в іншу кулю (або лузу!), треба лише мати терпіння і час, щобдочекатися потрібного зіткнення.Проблема побудови траєкторій більярдів в багатокутниках
Особливийклас утворюють більярди в многокутних і багатогранних областях. Ці областіхарактеризуються тим, що у кожної дільниці межі ðQ – сторони многокутника або гранібагатогранника – вектор нормалі ň один і той же для всіх точок цієїдільниці. Внаслідок цього паралельний пучок білліардних траєкторій, відбившисьвідсторони (грані) остається паралельним. Для многокутних більярдів мається один елементарний, алеводночас потужний геометричний прийом, так званий «прийом барона Мюнхаузена»,що значно спрощує дослідження. («Прийом барона Мюнхаузена» — це методвипрямлення більярдних траєкторій, що наводивсяраніше. А саме, береться більярдна куля О (як у барона Мюнхаузена – гарматне ядро) і, озброївшисьсистемою координат, спрямував вісь Оу в напрямку руху, а вісь Ох – вправо,перпендикулярно осі Оу). Метод випрямлення більярдних траєкторій в многокутникуналежить німецькому математику Г.А. Шварцу (1843-1921). Але є перешкода, із-заякої картина поведінки в многокутнику виявляється досі непростою. Це – вершинимногокутника (а у багатогранників — ребро).
Неменш цікаві і складні питання, пов’язані з періодичними і всюди щільнимитраєкторіями в многокутниках. Як приклад: вже в деяких трикутних областяхмінімальна кількість ланок періодичних траєкторій може бути як завгодно велике.В випуклих областях діє теорема Биркгофа. В випуклій області Q з гладкою межою існує періодичнатраєкторія з будь-якою кількістю ланок n≥2 (достатньо вписати в Q ламану максимальної довжини ззаданої кількістю ланок).
/>
/>
/>
Три ланковабільярдна траєкторія
Вписанийтрикутник АВС найбільшого периметру. Проведемо дотичну D'D'' в точці С і доведемо, що ‹АС D'' = ‹ВС D'. Тоді ‹АСС'>‹ВСС'. Для точки В',симетричної В відносно прямої СС', ламана АС'В' містить ламану АСВ' і тому довше, ніж вона.
Тобто периметр ΔАС'В більш, ніж периметр Δ АСВ, що протирічить вибору точок А, В, С.
Труднощівиникають і при знаходженні всюди щільних траєкторій в многокутниках. Роздивимосьособливості траєкторій в різних видих многокутників.Питання побудови траєкторії в кутах
Більярд в плоскому куті. Застостосовуємо прийом барона Мюнхгаузена до більярда в куті АВС на площині, величину якого позначимо α. Як поводитьсябільярдна частка, відбиваючись від сторін цього кута? Чи може виявитися так, що вона «заплутається»усередині кута, після нескінченного числа віддзеркалень? Виявляється,не може, і метод випрямляння дає негайний доказ тому. На малюнку, що наведено нижче, показано що найбільше число Nαвіддзеркалень частки від сторін кутаа може дорівнювати або π/α, якщо це число ціле, або [π/α] +1. Обидвіотримані відповіді можна записати однією формулою: Nα = — [—π/α].
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Більярд в двогранному куті. Також просто виходить відповідь на питання про числовіддзеркалень променя світла в дзеркалі, що має форму двогранного кута впросторі (мал. а). Величину його плоского кута позначимо α. Зробившидекілька віддзеркалень відносно граней цього кута, отримаємо «книжку», «листи»якої перетинає випрямлена траєкторія (мал. б). Зрозуміло, що число цих «листів»обчислюється по тій же формулі Nα = — [—π/α], оскільки проекція більярдноїтраєкторії γ на площину δ, перпендикулярну «корінцю» книжки (тобтозагальному ребру всіх «листів»), дає знову більярдну траєкторію в плоскому кутівеличиною α.
/>
Більярд в багатогранному кутку. Питання, поставлене в вищє, можна поставити для довільногобагатогранного кутав просторі. Вже в тригранному кутку відповідь на нього стає досить складною.Вперше у всій повноті —«для довільного числа граней кута і в просторідовільної розмірності — цю задачу вирішив в 1978 р. Я.Р. Синай. Він довів, щоіснує рівномірна оцінка числа ударів частки з гранями кута, тобто існує такечисло N = N(Q), залежне тільки від«геометрії» кута Q (відкутів між всілякимигранями різних розмірностей), що частка зможе віддзеркалитисьв куті не більш N раз від його граней незалежно від початкового руху, після чого рухатиметьсярівномірно і прямолінійно. Через десять років було знайдено інше рішення.Основні методи побудов траєкторій втрикутниках
Мінімізація периметра
Якщомежа більярдногостолу має точки зламу, то метод Біркгофа перестає «працювати» — вершинивписаного багатокутника найбільшого периметра можуть потрапити в кутові точкимежі. Наприклад серед трикутників, вписаних в даний трикутник АВС, найбільшийпериметр має сам ΔАВС! Як же шукати періодичні більярдні траєкторії втрикутнику?
Длягострокутного трикутника вихід полягає в тому, щоб замінити максимальний периметрна мінімалъний. Впишемо в даний трикутник АВСтрикутник ХYZ якнайменшого периметра звершинами на сторонах АВ, BC і СА. Cтверджуємо, що ХУZ — більярдна траєкторія.
/>
Задача. Довести, що трикутник, вершини якого — підстави висотданого трикутника АВС, є більярдною траєкторією в ΔАВС.
Задачапоказує, як побудувати триланкову більярдну траєкторію в гострокутномутрикутнику.
Ідеярозглядати вписаний трикутник якнайменшого периметра застосовна і до фігур,обмежених декількома гладкими кривими. Нажаль, цей спосіб не спрацьовує для тупокутнихтрикутників — для них вписаний трикутник якнайменшого периметра вироджується у висоту,опущену з вершини тупого кута. Більш того, більярд в тупокутному трикутнику немає триланкових періодичних траєкторій. Проте це не означає, що ідея мінімізаціїпериметра даремна для побудови періодичних більярдних траєкторій в тупокутнихтрикутниках; її треба лише з'єднати з методом випрямляння.
Механічнаінтерпретація:
Надінемона кожну із сторін гострокутного трикутника АВС по малому колечку і пропустимочерез них натягнуту резиночку ХУZ (див. мал. Резиночка прагнестиснутися, тому колечки займуть положення у вершинах вписаного в АВСтрикутника ХУZ якнайменшого периметра. Розглянемоколечко на стороні АВ. Оскільки воно не рухається уздовж сторони трикутника,рівнодіюча сил натягнень Т1 і Т2 перпендикулярна цій стороні. Крім того,вектори Т2 і Т1 мають однакову довжину, оскільки натягнення уздовж резинки постійно.Отже, вектори Т1 і Т2 утворюють взаємно доповнюючі кути з відрізком АВ.Значить, ХYZ — більярдна траєкторія. Отже, ми довели,що вписаний трикутник якнайменшого периметра є періодичною траєкторією в ΔАВСє траєкторією.
Зтраєкторією XYZ можна зв'язати сімейство «паралельнихперіодичних траєкторій», зображене на малюнку.
/>
Якщотрикутник АВС вважати плоскою пластинкою, то кожну траєкторію побудованогопучка можна уявляти собі як пружну замкнуту нитку, обвиваючу цю пластинку іпоперемінно перехідну з однієї неї сторони на іншу 6 разів.
Алеякщо ΔАВС — тупокутний, то ця конструкція періодичних траєкторій неспрацьовує — пружна нитка зіскочить з пластинки через вершину тупого кута. Отжезнайти періодичні більярдні траєкторії в тупокутних трикутниках досить важко.
Двіконструкції для тупокутних трикутників:
/>
Якщонамотати нитку на пластинку способом, зображеним на малюнку а), то зіскакуванняне відбудеться. Уважний розгляд цього малюнка підказує ідею, як будуватискладніші періодичні траєкторії для спеціальних класів тупокутних трикутників.
/>
Стійкі траєкторії
Тількищо побудовані періодичні траєкторії мають один істотний недолік — при скількизавгодно малій зміні кутів трикутника вони руйнуються (в тому сенсі, що поблизупочаткової траєкторії немає періодичних траєкторій в деформованому трикутнику).Зараз ми побудуємо періодичну траєкторію в тупокутному трикутнику, вільну відцього дефекту.
Хайгострі кути α і β тупокутного трикутника АВС зв'язані нерівностями
(π-β)/2
(π-α)/2Теоретичні відомості про більярди вмногокутниках та багатогранниках
Задачіна побудову траєкторій в многокутниках зводимо до побудови обмоток.
Першза все опишемо ще один подход до більярдів, що дає можливістьбудувати пучки — з перескакуванням. Хай Q — фіксований многокутник. Виберемо на площині напрям відлікукутів—скажімо, задаватимемо напрям v на Q кутом φ, відлічуванимвід напряму сторони АВ многокутника Q протигодинникової стрілки до напряму v. Кут φвимірятимемо в радіанах, причому так, що 0
Розглянемокулю, що «скаче» з одного многокутникана інші многокутники за наступним правилом. Якщо в початковий момент часу кулязнаходилася на багатокутнику Q(φ1), то він рухається по своїй траєкторії до тих пір,поки не потрапить на одну із сторін, скажемо CD. Якби куля була більярдна, то вінвідскочив би від сторони CD за законом пружного віддзеркалення і став би рухатися під новим напрямомφ2. Наша ж кулька, що скаче, перескакує з боку CD многокутника Q(φ1) в ту ж точкутієї ж сторони CD іншого многокутника Q(φ2), де φ2 було визначеневище із закону пружного віддзеркалення, і рухається по намальованій на Q(φ2) траєкторії,Дійшовши до сторони KL багатокутника Q(φ2), кулька перескакує в ту ж крапку на тійже стороні KL наступного многокутника Q(φ3), де φ3 — напрям, підяким рухається більярдний шар після зіткнення із стороною КL, налетівши на неї під напрямом φ2.І так далі як зображено на малюнку.
/>
Якщонакласти всі ці багатокутники один на одного, то відрізки траєкторії, що скаче,дадуть траєкторію більярда в багатокутнику Q.
МногокутникиQ, всі кути яких вимірні з πназиваються раціональними.
Більярдв будь-якому раціональному многокутнику зводиться до обмоток кренделя – сфери зручками, який отримується в результаті вищеописаних склейок. На кренделібувають неперіодичні траєкторії і заповнюється всюди щільно лише частинакренделя. (Доведення основане на теоремі Якобі).
/>
Доведенатеорема, що в будь-якому раціональному многокутнику існують періодичнітраєкторії.
Теперперейдемо до наступного розділу курсової роботи, де продемонстровано, яквикладені теоретичні відомості застосовуються на практиці.
Практичне застосування теорії математичних більярдів
Практичні задачі, що розв’язуються застосуванням правилпобудови більярдних траєкторій
Ось деякіолімпіадні задачі, що дуже витончено розв’язуються за допомогою «більярдів». Мова йде про «переливання», які,здавалось би, не мають нічого спільного з більярдами.
Є два сосудиємкістю 7 і 11 літрів і велика бочка, що наповнена водою. Як за допомогою цихдвох сосудів відміряти рівно два літри? На сосудах не можна робити засічок, неможна нахиляти, щоб відміряти долі літра.
Запропонованазадача вирішується або алгебраїчним методом, або методом спроб та помилок.
Цю задачу можна злегкістю розв’язати, викресливши більярдну траєкторію кулі, що відбивається відбортів ромбічного столу. Межі таких столів зручніше за все малювати на папері,на якому нанесена гратка з однакових рівносторонніх трикутників. В наведенійзадачі сторони столу мають бути завдовжки 7 і 11 одиниць. По горизонталівідкладено кількість води в 11-літровому сосуді в будь-який момент часу, а повертикалі – та ж величина для 7-літрового сосуда.
/>
Як жекористуватися діаграмою? Шар знаходиться в лівій нижній вершині в точці О. Вінбуде рухатися вздовж нижньої основи ромба до тих пір, поки не досягне правоїбокової сторони в точці 11. Це значить, що 11-літровий сосуд наповнений верхи,а 7-літровий порожній. Відбившись пружно від правого борту, куля покотитися вгору і вліво і вдариться вверхній борт в точці з координатами 4 по горизонталі і 7 по вертикалі. Цезначить, що в 11-литровому сосуді залишилось лише 4 літри води, а 7 літрів знього перелили в менший сосуд.
Простежачіподальший рух кулі і записуючи всі етапи його руху до тих пір, поки він не попадев точку 2 верхнього борта, ви отримаєте відповідь і взнаєте, в якійпослідовності маєте виконувати переливання, щоб виміряти 2 літри води. Всі 18переливань зображені схематично на малюнку, що приведено нижче.
Похилі стрілочкикажуть про те, що вода переливається з одного сосуду в інший, а вертикальнізначать, що або вода цілком виливається з меншого сосуду назад до бочки, або більший сосуд требанаповнити до країв.
Чи є це рішеннянайкоротшим? Ні, існує другий шлях, коли воду спочатку наливають в 7-літровийсосуд. На діаграмі це відповідає тому, що куля з точки 0 котитися вгору вздовж лівого борту до тихпір, поки не вдариться в верхній борт. Намалював траєкторію більярдної кулі,можна переконатися, що точка 2 досягається цього разу за 14 віддзеркалень відборта. Отриманий розвязок з 14 переливаннями вже є найкоротшим.
Метод більярдноїкулі можна застосувати до будь-якої задачі про переливання рідини за допомогоюне більш, ніж трьох сосудів.
/>
Ось і стараголоволомка з трьома сосудами, що приписують ще Нікола Фонтана, італійськомуматематику XVI століття. Восьмилітровийсосуд до країв наповнений водою. За допомогою порожніх сосудів ємкістю 3 і 5літрів воду треба порівну розлити в два великі сосуди. Діаграма для цієї задачі– ромбічний стіл розміром 3´5. Головна діагональ ромба, щоподілена похилими прямими на 8 частин, відноситься до 8-літрового сосуду.
Як і в попереднійзадачі, більярдна куля починає рухатися з точки 0. За допомогою намальованоїтраєкторії отримаємо розв’язок з мінімальною кількістю переливань, що дорівнює7.
Якщо об’єми двохменших сосудів не мають спільного дільника (взаємно прості), а об’єм третьогососуда більше або дорівнює сумі об’ємів двох менших, то за допомогою цихсосудів можна виміряти будь-яку цілу кількість літрів, починаючи з 1 літра ізакінчуючи об’ємом середнього сосуду.
Маючи, наприклад,сосуди місткістю 15,16 і 31 літр можна виміряти будь-яку кількість води від 1до 16 літрів. Така процедура неможлива, якщо об’єми двох менших сосудів маютьспільний дільник. Коли об’єм більшого сосуда менше суми об’ємів двох інших,виникають нові обмежування. Якщо, наприклад, об’єми сосудів дорівнюють 7,9 і 12літрів, то в ромбічного столу треба відсікти нижній правий кут. Тоді шар зможепотрапити в будь-яку точку від 1 до 9, за виключенням точки 6. Не дивлячись нате, що 7 і 9 взаємно прості, виміряти 6 літрів води виявляється неможливиміз-за того, що найбільший сосуд має надто маленький об’єм.
/>
Узагальненнявказаного методу на випадок чотирьох сосудів зводиться до руху більярдної кулів об’ємній (тетраедричній)області.
Розгляну іншийтип елементарних геометричних задач, що відносяться до більярдів. В нихвимагається знайти замкнену траєкторію більярдної кулі в даному многокутнику,або знайти шлях більярдної кулі, що попадає через задану кількість ударів зоднієї фіксованої точки всередині многокутника до іншої. Для рішення цих задачдуже зручним є метод «дзеркального відбиття» або «випрямлення» більярдноїтраєкторій, суть якого наводилась в теоретичній частині.
Продемонструюметод випрямлення на наступних прикладах.
1. Нехай напрямокутному більярдному столі знаходиться одна куля; під яки кутом йогонеобхідно направити з точки А, щоб він після заданої кількості відбиттів відбортів попав в точку В (наприклад в лузу?)
Для розв’язаннязобразимо прямокутник (початковий більярд) симетрично відносно всіх йогосторін; всі отримані так5им чином прямокутники знов відобразимо відносно всіх йогосторін, і так далі, до нескінченності. В результаті всіх зроблених відбиттівтраєкторія кулі «розпрямляється».
/>
Якщо отримана«випрямлена траєкторія» проходить через образ точки В в одному з прямокутників,то траєкторія кулі в початковому прямокутнику пройде через В. Тому, для тогощоб пустити кулю з точки А так, щоб вона після заданої кількості відбиттів остінки прямокутного більярду попала в точку В, необхідно провести такийвідрізок з початком в точці А і кінцем в одному з образів точки В, щоб вінперетнув цю ж саму кількість разів лінії грат «клітчатої площини». Зробившизворотню процедуру «складання» проведеного відрізка, перетворимо його в шуканутраєкторію в початковому більярді.
2. Роздивлюсьбільярд в рівносторонньому трикутнику. Оскільки однаковими рівностороннімитрикутниками можна без щілин і перекриттів замостити всю площину, і тут можназастосувати процедуру «випрямлення більярдної траєкторії».
Траєкторіябільярдної кулі вирішує наступну відому задачу: знайти найкоротший шлях, поякому має повзти бджола з точки А в точку В всередині рівносторонньоготрикутника, щоб спочатку насолодитися медом на одній стороні трикутника, потімцукром – на другій стороні, і варенням – на третій. (Покладають, що кожнасторона повністю змащена відповідним речовиною)
Відповідьприведена на малюнку нижче.
/>
Легко побачити,що інший шлях, що йде потрібним способом від А до В, після дзеркальнихвідбиттів перетворюється в шлях з точки а в точку В''', довжина якої більша,ніж відрізок АВ''', і тому не є найкоротша.
3. Виникає двапитання, пов’язаних з узагальненням плоского більярду на випадок простору: чиіснують замкнені більярдні траєкторії всередині куба, що є просторовим аналогомквадрата, і тетраедра – просторового аналогу рівностороннього трикутника?
В одній зчисленних статей о Льюісє Кероллє (відомий письменник був математиком за фахом)є згадка про більярд всередині куба. Ця задача не є «надуманою». Реальнімолекули повітря в кубічній кімнаті як раз і уявляють собою «більярдні кулі».Що стикаються одна з одною і з стінами кімнати за законом пружного удару. Докубу теж можна застосувати метод «випрямлення траєкторії».
/>
/>
Провівши 5віддзеркалень від граней куба ми отримали шукану замкнену траєкторію. Якщо згорнутикуби, зробивши зворотні віддзеркалення, отримаємо замкнену більярдну траєкторіюз 6 ланок. (Ця траєкторія відома хімікам-органікам як «шестикутник в формікрісла». Вона дуже часто зустрічається у вуглеводних сполученнях).
/>/>Для знаходження замкненоїбільярдної траєкторії в тетраедрі роблять те ж саме, як і у випадку куба.
Застосуванняматематичних законів іметодів більярдів, що наводились в теоретичномурозділі для розвязання задач більярдної гри. Пропонується для використання нафакультативах з математики, на нетрадиційних уроках та як ілюстрації до методівпобудови траєкторій на прямокутному столі.Застосування інформатики для рішення проблем математичнихбільярдів
Комп’ютерний, або обчислювальнийексперимент дозволяє без особливих розумових зусиль розглянути досить складніявища і скласти якісь уявлення про них. З розповсюдженням комп’ютерної техніки такі експериментипроникають в багато галузей людської діяльності. З обчислювальних досліджень більярдів існує десятки наукових робіт.
Як робитьсяобчислювальний експеримент? Обирається точка z0 і будується більярдна траєкторія, щовиходить з неї. Програма видає наступну (після z0 ) точку віддзеркалення z1€ М, потім точку другого віддзеркаленні і так далі. Важливо,щоб фазовий циліндр М містив інваріантні криві (незмінні при перетвореннях).
Для ілюстраціїнаведемо результат обчислювального експерименту французьких дослідників А. Хеліі Т. Дюмона. Вони прорахували більярд в області, обмеженій двома дугами AD і ВС більшого радіусу і двома дугамиAB і CD – меньшого радіусу. В такій побудовівиділяють 10 інваріантів. Це ілюструє малюнок, приведений нижче.
/>
Математичнийбільярд в силовому полі
/>
Математичнийбільярд — відома задача, розв'язується аналітично звичайно на прямокутному»столі". Аналітичне ж рішення задачі математичного більярда всиловому полі (наприклад, в полі сили тяжкості) на «столах», що маютьрізні форми, вельми скрутно. Графічне представлення траєкторій руху абсолютнопружного тіла (без урахування опору середовища) може бути отримано за допомогоюкомп'ютера.
На мал. 1 — 5 представлені траєкторії руху тіл на столі зпараболічним бортом. На мал. 1 — тіло рухається в полі з />, з початковоюшвидкістю, рівною нулю. Таке ж сімейство кривих виходить для випадків руху тіл,кинутих «під кутом до горизонту», якщо перший удар об стінку будесправа. В осоружному випадку, траєкторії матимуть інший вигляд — мал. 3, яківироджуються у відрізок параболи, якщо перший удар відбувається під кутом 90 0. На цих малюнках чітко видні «заборонені зони».
/>
На рис.4 представлений випадок повернення в початкову крапкупісля 14 ударів об параболічний борт.
На рис.5 зображено сімейство кривих — траєкторія руху тіла зкрапки А 1 з невеликої відстані від параболічного борту.
На мал. 6 — 8 зображені траєкторії руху тіла у кута борту зрізними кутами розчину — 90 0 (рис.6), 60 0 (мал. 8) і — менше 90°(мал. 7).
/>
Чітко видна «заборонена зона» на рис. 8.
/>
1. Задача повинназаймати важливе місце в курсі фізики; 2. спираючись на вивчений матеріал,повинна містити нові елементи 3. носити узагальнений характер, щоб можна буловирішувати великий клас задач по вибраній темі; 4. математичний апарат повиненбути найпростішим з можливих, але не шкодити строгості математичної моделі.
/>
Робота з пакетом Derive
Оголосимо спочатку в пакеті Derive невеличку бібліотекудопоміжних функцій для розв’язування деяких стандартних задач аналітичноїгеометрії.
#1: SYM_Z(p, c) := 2·c – p
Функція SYM_Z(P, C) повертає образ точки P при симетріївідносно точки C. Наступна функція SYM_L(P, A, q) повертає образ точки P присиметрії відносно прямої, що проходить через точку A паралельно вектору q.
Функція SYM_PL(P, A, B) повертає образ точки Pпри симетрії відносно прямої AB.
Функція SYM_PL(P, A, B) повертає образ точки Pпри симетрії відносно прямої AB.
Значенням функції PR(v) є вектор, що одержується із вектораv при повороті на 90°.
Оголосимо тепер функцію SOL2(m, n, p, q), що повертаєрозв’язок системи векторних рівнянь
/>
Функція INTERSECT(A, B, C, D) повертає точкуперетину прямих AB і CD.
LINE1(n, r0, r) — пряма, щопроходить через точку r0 перпендикулярно вектору n (r— радіус-вектор довільної точки прямої); LINE2(q, r0,r) — пряма, що проходить через точку r0 паралельновектору q; Оголосимо тепер функцію BIL2(K, L, A, B, C), яка повертаєвектор, елементами якого є дві точки, що задають відбитий промінь. Функція REPLACELAST(u,v) вилучає останній елемент вектора u і дописує в кінець одержаного вектора елементивектора v.
Тепер ми можемо випробувати нашу програму на практиці.Розглянемо більярд у трикутнику з вершинами (2; 2), (5; 6),(8; 2). Спочатку побудуємо сам трикутник.
#22: [[2, 2], [5, 6], [8, 2],[2, 2]]
Побудуємо більярдну траєкторію, що задається точкою(3; 2) та вектором (0; 1).
#23: BIL([3, 2], [0, 1], [1, 1], [4, 5], [7, 1], 4)
Після спрощення виразу #23, одержимо:
#24: [[3, 2], [3, 11/3], [181/39, 485/117], [1389/527, 1],[1837/975, 6373/2925], [1037/175, 1]]
Результат побудови зображено на рис.2.
/>
Збільшимо кількість вершин більярду.
#25: BIL([3, 2], [0, 1], [1, 1], [4, 5], [7, 1], 100)
#26: [[3, 2], [3, 11/3], [181/39, 485/117], [1389/527, 1],[1837/975, ...
Результат побудови виразу #26 (рис.3) на перший погляд можездатися неправдоподібним, оскільки наш більярд повинен містити 101ланку. Що жце означає?
/>
Наша більярдна траєкторія періодична! Це означає, щотраєкторія через деякий час попаде в початкову точку Р(3; 2) і матиме вцій точці напрям v(0; 1). Очевидно, що далі точка буде повторюватипопередню траєкторію. Траєкторія двічі зустрічається з основою трикутника підпрямим кутом і змінює напрям руху на протилежний. Неважко переконатися, щопобудована періодична траєкторія має 98 вершин.
Як і очікувалося більярдна точка після трьох зіткнень зісторонами трикутника не влучила у вершину і продовжила свій шлях у трикутнику(рис.5). На рисунку 6 наведено збільшене зображення околу вершину трикутника, ана рисунку 7 зображено перші 500 ланок того ж самого більярда.
/>
Рисунок 5
/>
Рисунок 6
/>
Рисунок 7
За допомогою цієїпрограми можна створювати такі цікаві траєкторії, як показані на малюнку,наведеному нижче.
/>
Висновок
В результатіпроведеної роботи, зазначеної у вступі, були отримані такі висновки:
Хоча математичнийбільярд – достатньо молода теорія, але в останній період вона здобула широкевизнання. Основну роль в бурхливому розвитку цієї теорії відіграє застосуваннякомп’ютерних програм длямоделювання ситуацій розташування траєкторій. В практичній частині яскравопоказано доцільність вивчення елементів теорії математичних більярдів, а саме«методу випрямлень» і побудові траєкторій в опуклих гладких областях, в школіна факультативах з математики. Дуже цікавими виявились правила гри в дійснийбільярд, що витікають з математичної теорії. Це можна застосовувати дляпроведення нетрадиційних уроків з математики. Важливі висновки були зробленіпри розробках комп’ютерної програми для побудовибільярдних траєкторій. На наглядному прикладі використання математичнихвідомостей було продемонстровано використання математичних правил в фізичнихдослідженнях.
Отримані висновкисвідчать про широкі можливості застосування теорії. Як зауваження, хотілось бизапропонувати введення елементів теорії математичних більярдів в курс геометріїв вищих спеціалізованих навчальних закладах, поряд з вивченням теми Симетрія.На доданках 1 і 2 запропоновані задачі для самостійної роботи студентів другогокурсу спеціальності «математика».
Отже, можна підбитивисновки і на основі вищезазначеного стверджувати, що поставлена в вступнійчастині мета в ході роботи була досягнена.
Список джерел
1. Балін І.В. В мире бильярда –Ростов н/д: «Фенікс», 2001.
2. Біркгоф Г. Динамические системы. – М.,:Л.: ОГИЗ, 1941
3. Гальперін Г.О. Биллиарды и хаос – М.: Знание, 1991.
4. Гальперін Г.О., Земляков О.М.Математические бильярды–М.: Наука, 1990. //Библиотечка «Квант», вып.77.
5. Гальперін Г.О., Стьопін А.М. Периодические движения бильярдногошара – Квант, 1989, № 3.
6. Земляков А.Н. Бильярды и поверхности. –Квант,1979, №9.
7. Земляков А.Н. Математика бильярда. – Квант, 1976,№5.
8. Коріоліс Г.Г. Математическия теория бильярднойигры. – М.: Гостехиздат, 1956
9. Лазуткін В.Ф. Выпуклый биллиард и собственныефункции оператора Лапласа – С.-П.: Изд-во ЛГУ, 1981
10. Раков С.А. Комп’ютернемоделювання трикутного математичного більярду // Комп’ютер у школі та сім’ї. —2005. — №1. — C. 42–47.
11. СінайЯ.Г. Бильярдныетраектории в многогранном угле // Успехи математических наук. – 1978. – Т.33. –Вып.1. – с.291-300.
12. СінайЯ.Г. Динамическиесистемы с упругим отражениями. Эргодические свойства рассеивающихся биллиардов.//Успехи математических наук, 1970, т. 25, вып 2.
13. Совертков П.И. Занимательное компьютерноемоделирование в элементарной математике: Учебное пособие. – М.: Гелиос АРВ,2004. – 384 с.