Министерство образования Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный горный институт им.Г.В.Плеханова
(технический университет)
Математическоемоделирование и расчет систем управления техническими объектами
Учебное пособие
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2002
УДК 681.51(075.8)
ББК 30в6
Б82
Авторы:
Б.М. Борисов, В.Е. Большаков,В.И. Маларёв, Р.М. Проскуряков
Изложеныосновные характеристики систем управления техническими объектами и принципыпостроения математических моделей таких систем. Рассмотрены разновидности иметоды динамического моделирования технологических объектов с позицийисследования их в системах управления. Отмечены особенности построения моделейна базе линейных и нелинейных элементов систем управления.
Пособие предназначено длястудентов всех форм обучения специальности 180400 «Электропривод и автоматикапромышленных установок и технологических комплексов» и может быть использованостудентами других специальностей для курсового и дипломного проектирования
Рецензент к.т.н. А.А.Сарвин(Северо-Западный государственный заочный технический ун-т).
Математическоемоделирование и расчет систем управления техническими объектами:
Б82 Учебное пособие /Б.М.Борисов,В.Е.Большаков, В.И.Маларёв, Р.М.Проскуряков; Санкт-Петербургский государственныйгорный институт (технический университет). СПб, 2002. 63 с.
ВВЕДЕНИЕ
Современное горноепроизводство характеризуется достаточным арсеналом средств автоматизации иуправления. Для их рационального использования необходимо определить иреализовать оптимальные параметры автоматических систем и регуляторов. Определениеоптимальных параметров возможно на стадии проектирования путем изученияповедения моделей управляемых технологических установок, процессов.
/>
В процессе изучениядисциплины «Математическое моделирование и расчет систем управлениятехническими объектами» анализируются функциональные схемы управления технологическихпроцессов, определяются взаимосвязи между подсистемами, ограничения, критерииуправления. Рассматриваются статические и динамические режимы работы машин,установок и их математическое описание. Изучаются особенности методовисследования математических моделей, имеющих нелинейные зависимости,трансцендентные уравнения.
1.Математические модели систем управления
1.1 Операторыпреобразования переменных
Рассмотрениепричинно-следственного взаимодействия системы управления со средой связано собособлением собственно системы S и выделением ее связей со средой черезпеременные входа f и выхода у (рис.1).
Системаоказывается звеном в искусственно разорванной цепи причинно-следственныхотношений «среда – система – среда».
На содержательном уровнеобъекты и системы управления интерпретируются как устройства получения,передачи и обработки информации. С другой стороны, объекты и системы можнорассматривать как преобразователи сигналов – носителей этой информации.Преобразование сводится к изменению параметров, кодирующих информацию. Свойствасистемы как преобразователя характеризуются ее оператором, отображающиммножество функций времени на входе системы на множество функций выхода:
/>.
Оператор линеен,если обладает свойствами однородности и аддитивности, т. е.
/>
/>
В общем случае линейнойкомбинации входных воздействий отвечает та же линейная комбинациясоответствующих реакций:
/>
Свойство линейностиоператора, выраженное приведенной формулой, иногда называют принципомсуперпозиции. Принцип суперпозиции дает возможность выражать реакциюлинейной системы на любое воздействие через ее реакцию на определенный вид элементарныхвоздействий fi(t).
Припостроении моделей стремятся к их простоте при максимальной адекватностиоригиналам. В частности, принимают гипотезу о линейности оператора, чтопринципиально упрощает анализ и синтез.
Если принцип суперпозициине выполняется, то оператор называется нелинейным. Разумеется, класснелинейных операторов много богаче класса линейных.
Оператор стационарен,если его характеристики инвариантны ко времени. Другими словами, при сдвиге вовремени входного воздействия без изменения его формы реакция претерпевает такойже сдвиг во времени без изменения своей формы. В ряде случаев модели должныотражать изменение свойств объекта во времени, тогда вводятся в рассмотрение нестационарныеоператоры />
Нестационарностьоператора учитывает воздействие среды принципиально иного характера, чемсигнальный вход f(t). В простейшем случае нестационарностьсводится к изменению параметров модели, например коэффициентовдифференциального уравнения. В общем случае влияние среды приводит кнеобходимости изменения структуры оператора, например порядка дифференциальногоуравнения.
Если вариации операторапроисходят много медленнее основных процессов, то вместо нестационарногооператора рассматривают множество стационарных операторов, различающихсязначениями параметров. Описание объекта множеством равновероятных операторовсодержит неопределенность. Если параметры модели заданы с точностью доинтервалов значений, то о таких системах говорят, что они интервальные.
Оператор может быть детерминированнымили стохастичным. В случае стохастичных операторов параметры представляютсякак случайные величины и задаются их вероятностные характеристики.
Объекты управления могутбыть с сосредоточенными или распределенными параметрами. Впоследнем случае они описываются уравнениями в частных производных (разностях).
1.2 Классы моделей
Модель объекта илисистемы управления принадлежит тому же классу, что и описывающий их операторпреобразования. Выделяют следующие признаки классов систем с непрерывным и дискретнымвременем:
• линейные Л илинелинейные Л;
• стационарные С илинестационарные С;
• детерминированные Д илистохастичные Д;
• сосредоточенные (конечномерные)К или распределенные (бесконечномерные) К.
Эти четыре независимыхпризнака биальтернативны, поэтому можно насчитать всего 24 = 16классов непрерывных и столько же дискретных систем.
Простейшийкласс – ЛСДК – линейные стационарные детерминированные конечномерные системы.Они имеют форму обыкновенных линейных дифференциальных (разностных) уравнений спостоянными детерминированными коэффициентами. Математика разработала весьма развитыйаппарат анализа этого класса систем.
Более сложные классы операторовполучаются при введении одного из альтернативных признаков:
ЛСДК; ЛСДК; ЛСДК; ЛСДК.
Для таких системсуществует незначительное число общих методов аналитического исследования,разработанных только для частных случаев. Операторы второго уровня сложностиполучаются введением двух отрицаний:
ЛСДК; ЛСДК; ЛСДК; ЛСДК;ЛСДК; ЛСДК.
Притрех отрицаниях получаем операторы третьего уровня сложности:
ЛСДК; ЛСДК; ЛСДК; ЛСДК.
Операторы четвертогоуровня сложности – ЛСДК – нелинейные нестационарные стохастичныебесконечномерные. Им соответствуют нелинейные дифференциальные уравнения вчастных производных с переменными случайными параметрами.
Длясистем, описываемых операторами второго и выше уровней сложности, имеется, какправило, только единственная возможность их анализа и синтеза путемвычислительных экспериментов.
Еслимодель системы образована элементами различных классов, то класс системыопределяется классом элемента с максимальным числом отрицаний.
Система называется автономной,если на нее не действуют внешние силы, в том числе параметрического типа.Автономные системы, таким образом, стационарны. Изменение их состоянияпроисходит в силу накопленной ранее энергии. На рис.2 модель среды представленав виде автономной системы, имеющей выходы, но не имеющей входов. Движенияавтономной системы называют свободными.
Дифференциальныеуравнения автономных систем включают переменные системы и их производные, но несодержат переменных, описывающих воздействия среды, и имеют постоянныепараметры. Это так называемые однородные дифференциальные уравнения
/> /> /> /> /> /> /> /> />
б />
а /> /> />
в /> /> />
Рис.2. Графическое представление физических
систем с сосредоточенными параметрами
/>,
дополняемые начальнымиусловиями />
Начальные условияявляются следствием предыстории системы и вместе с дифференциальнымиуравнениями полностью определяют поведение автономной системы. В случаеавтономных систем с дискретным временем будем иметь однородные разностныеуравнения:
/>.
Среда на входе системымоделируется автономными системами – генераторами воздействий илипреобразователями типовых воздействий – фильтрами. Распространеннымитиповыми сигналами, моделирующими детерминированное воздействие, являются единичныеимпульсная и ступенчатая функции. Примером типового случайного воздействияявляется так называемый «белый шум». Среда может моделироваться динамическойсистемой того же класса, что и сама система управления. Однако часторассматриваются детерминированные системы со случайными воздействиями на входе.
1.3. Способы построениямоделей
В зависимости отхарактера и объема априорной информации об объекте исследования выделяют дваспособа построения моделей систем управления в формах, принятых в теорииуправления: аналитический и экспериментальный.
Аналитический способ применяется дляпостроения моделей объектов хорошо изученной природы. В этом случае имеется всянеобходимая информация о свойствах объекта, но она представлена в другой форме.В результате идеализации физических объектов появляются структурные модели ввиде схем с сосредоточенными компонентами (рис.2, а). Типичнымипредставителями физических систем, допускающих такое представление, являютсяэлектрические и механические объекты. На рис.2, б изображенаэлектрическая схема; рис.2, в представляет собой пример механическойпоступательной системы.
/>
Подобныесхемы являются моделями, в которых информация об интересующих свойствах объектапредставлена в наглядной форме с использованием графических образов, отражающихфизическую природу явлений, устройство и параметры объектов. На таких моделяхбазируются соответствующие дисциплины, например, теоретическая электротехника итеоретическая механика. Принципиальные схемы – стационарные линейные модели ссосредоточенными компонентами.
Методытеории управления абстрагируются от конкретной природы объектов и оперируютболее общими – математическими (символьными) моделями.
Аналитический способмоделирования складывается из этапа построения схемы объекта и ее дальнейшегопреобразования в математическое описание требуемой формы. При этом принципиальныепроблемы моделирования решаются на первом – неформальном этапе. Второй этапоказывается процедурой преобразования форм представления моделей. Это даетвозможность разработать различные компьютерные программы, позволяющиеавтоматизировать составление уравнений по схемам.
Рассмотрим примерысоставления дифференциальных уравнений электрического и механического объектов.Ограничимся классом линейных стационарных моделей.
Существуют три типапассивных электрических двухполюсников – сопротивление R, емкость Си индуктивностьL, описываемые следующими уравнениями для токов i(t)и напряжений u(t):
/>
/>;
/>
Активными двухполюсникамиэлектрических схем являются источник напряжения и источниктока.
Уравнения связидвухполюсников в конкретной схеме выражаются законами Кирхгофа, представляющимисобой условия непрерывности токов и равновесия напряжений:
· первый закон – сумматоков в любом узле равна нулю;
· второй закон – сумма напряжений в любомконтуре равна нулю.
Рассмотрим примерэлектрической схемы, изображенной на рис.2, б. Пусть выходом схемы являетсянапряжение на емкости />. В соответствии с первым закономимеем:
/>.
Второйзакон для единственного контура запишется так:
/>.
Выражая напряжения /> и /> через />:
/>; />,
получим дифференциальноеуравнение второго порядка
/>.
Рассмотрим механическуюсистему (рис.2, в). Пассивными двухполюсниками механических схемявляются механическое сопротивление В, массаМ и упругость K,описываемые следующими уравнениями для сил f и перемещений x илискоростей v:
/>;
/>;
/>.
Идеальными источникамимеханической энергии являются источник скорости и источник силы.Уравнения связей механических двухполюсников выражают условия равновесия сил инепрерывности перемещений (скоростей). В соответствии с приведенными ранееуравнениями механических двухполюсников и уравнениями связей записываютдифференциальное уравнение для перемещений:
/>.
В этом однородномуравнении отсутствует правая часть, описывающая внешнее воздействие намеханическую систему, т. е. она автономна. Свободные движения автономнойсистемы являются следствием ненулевых начальных условий, например начальногосмещения х(0) от равновесного состояния.
При моделированииобъектов различной природы – электрической, механической поступательной ивращательной, гидравлической или пневматической и др., а также смешаннойприроды, например электромеханической (двигатели, генераторы), могут бытьвыделены аналогичные пассивные и активные компоненты. Дальнейшей абстракциейпри построении моделей физических объектов с сосредоточенными компонентамиявляется полюсный граф. Эти универсальные топологические моделипозволяют унифицировать составление уравнений. Специфика предметной областипроявляется только на этапе построения схемы и полюсного графа, а также на заключительномэтапе интерпретации результатов анализа и синтеза.
/>
Рис.3. Схема экспериментальногоисследования объекта
При проектировании системуправления, когда некоторые элементы реально не существуют, аналитический методпостроения моделей оказывается единственно возможным.
Если свойства объектапознаны в недостаточной степени, либо происходящие явления слишком сложны дляаналитического описания, для построения математических моделей реально существующихобъектов применяется экспериментальный способ, который заключается вактивных экспериментах над объектом или в пассивной регистрации его поведения врежиме нормальной эксплуатации (рис.3, а). В результате обработки данныхнаблюдений получают модели в требуемой форме. Совокупность этих операцийобъединяется термином идентификация объекта. В результате идентификацииполучаются модели вход-выход (рис.3, б). Модель зависит не только отсвойств объекта, но также от входных сигналов, их разнообразия.
Практическиоб идентифицируемом объекте всегда имеется какая-то априорная информация, т. е.он не является «черным ящиком». Это дает возможность комбинировать оба способа –вначале аналитически строить структуру модели и определять начальныеприближенные значения параметров, а далее обработкой экспериментальных данныхуточнять их значения.
1.4. Особенностиструктурных моделей систем управления
Особенностьюматематических моделей систем управления является то, что они не только содержатаприорную информацию о ее динамических свойствах, необходимую для изученияповедения системы в целом, но также отражают процессы получения и обработкитекущей информации о цели системы, состоянии объекта и воздействиях среды дляпринятия решения по оказанию на объект надлежащего управляющего воздействия.Поскольку модели элементов и систем являются основным материалом в задачаханализа и синтеза (исходными данными и результатами), то им и алгоритмам ихпреобразования в теории управления отводят важное место.
Понятие модели системыуправления неотделимо от понятия структуры. Под структурой системуправления понимают причинно-следственные взаимосвязи элементов (подсистем)направленного действия. Именно ориентированность элементов и ихвзаимосвязей отличает модели систем управления от структурных моделей физическихсистем.
При построении моделей сраскрытой причинно-следственной структурой объект или систему предварительно расчленяютна элементы направленного действия и рассматривают их как преобразователисигналов. Элементы выделяются, как правило, по функциональному признаку, причемсами эти функции понимаются в контексте операций управления: объект управления;измерительные, преобразовательные и усилительные элементы; управляющее устройство;исполнительный механизм; управляющий орган. Далее для каждой части строитсясвоя модель, а затем модели частей связывают между собой таким же образом, каксоединялись сами части.
Есличасти системы образуют контуры, то моделирование по частям встречается спринципиальной проблемой: не зная свойств частей, нельзя описать сигналы на ихвходах; не зная сигналов, нельзя правильно идентифицировать отдельные части. Достоинствомоделирования по частям заключается в наглядности механизма преобразования входовв выходы.
2.Линейные модели и характеристики систем управления
2.1 Модели вход-выход
Основными формамипредставления конечномерных линейных непрерывных стационарных детерминированныхоператоров преобразования входных переменных f(t) в переменные выходаy(t) являются: дифференциальные уравнения, передаточные функции,временные и частотные характеристики. Для одномерных систем переменные f(t)и y(t) являются скалярами. Эти и некоторые другие представленияоператоров рассматриваемого класса моделей могут быть приняты за основу заданиядинамических свойств в терминах вход-выход. Если для конкретных исследований таили иная форма оказывается более предпочтительной, ставится и решается задачаперехода от одной формы к другой, например задача построения временных ичастотных характеристик по дифференциальному уравнению или передаточнойфункции.
Обыкновенное линейноедифференциальное уравнение n-порядка с постоянными коэффициентами обычнозаписывается так:
/> (1)
Если ввести оператордифференцирования по времени />, то уравнение (1) запишется вкомпактном виде:
A(p)y(t) = B(p)f(t), (2)
где A(p)= anpn + …… + a1p + a0;B(p)= bmpm + …… + b1p + b0– операторные полиномы. Дифференциальное уравнение дополняется начальнымиусловиями />.
Передаточная функция равна отношениюизображений по Лапласу переменных выхода и входа при нулевых начальных условияхW(s)=Y(s)/F(s), где интегральноепреобразование Лапласа определяется так:
/>
/>
Преобразуядифференциальное уравнение (1) при нулевых начальных условиях, получаемалгебраическое уравнение для изображений:
A(s)Y(s) = B(s)F(s).
Отсюдаследует, что передаточная функция легко записывается по дифференциальному уравнению
W(s)= B(s)/A(s) (3)
и, наоборот, попередаточной функции сразу записывается дифференциальное уравнение.
Знаяпередаточную функцию и изображение переменной входа, легко найти изображениевыхода
Y(s) = W(s)F(s).
Пример. Пусть системаописывается дифференциальным уравнением второго порядка:
/>
Преобразуем это уравнениепо Лапласу, для чего воспользуемся свойством линейности операторапреобразования L, а также теоремой о дифференцировании оригинала:
/>a2(s2Y(s)– sy(0) – y¢(0)) + a1(sY(s) –y(0)) + a0Y(s) = b0F(s).
Последнееуравнение перепишем в следующем виде:
(a2s2 + a1s+ a0)Y(s) = b0F(s)+ a2sy(0) + a2y'(0) + a1y(0).
При нулевых начальныхусловиях y(0) = y'(0) = 0 отношение изображений,т.е. передаточная функция
/>
Оператор, связывающийвход и выход, можно задать коэффициентом и множествами нулей (корней полинома)zj;j = 1, …, m и полюсов (корней полиномазнаменателя) pi; i = 1, …, n. Передаточнаяфункция будет равна:
/> (4)
В отличие от полиномиальнойформы (3) форму задания передаточных функций (4) иногда называют факторизованной.
Вводится понятиеструктуры оператора преобразования. Для дифференциального уравнения n-гопорядка (1) и передаточной функции (3) задание структуры означает задание целыхчисел – степеней n = degA и m = degB – полиномов Аи В.
Параметрамиоператораявляются коэффициенты полиномов.
Временные характеристики являются одной из формпредставления операторов преобразования переменной f(t) впеременную y(t). Импульсная переходная функция, или функция веса w(t)– реакция системы на единичный идеальный импульс (рис.4, а) />при нулевыхначальных условиях. переменная выхода определяется как интеграл свертки:
/> (5)
т.е. в этом случаеоператор преобразования имеет форму интегрального уравнения.
Другая частоупотребляемая временная характеристика – переходная (рис.4, б)характеристика h(t) – реакция системы на единичную ступенчатуюфункцию1(t) при нулевых начальных условиях. На рис.4 приведен примерныйвид временных характеристик для системы второго порядка.
/>
Частотные характеристики элементов и систем представляютсобой зависимость параметров установившихся реакций на гармонические сигналывсех частот и единичных амплитуд. В линейных системах форма и частотаустановившейся реакции совпадают с входом. Комплексная частотная характеристикаW(/>)дает возможность определить амплитуду /> и фазу /> гармонического сигнала на выходесистемы по значению частоты:
/>
/> (6)
где /> и j(w) = = argW(jw) – амплитудная и фазоваячастотные характеристики; />, и /> – вещественная и мнимая частотныехарактеристики.
/>
На рис.5. изображенпример годографаW/>, называемого амплитудно-фазовойхарактеристикой (АФХ). Реальные объекты с повышением частоты хужепропускают сигналы – ослабляют амплитуду и вносят отрицательный фазовый сдвиг.
Амплитудно-частотные характеристикиудобно представлять в логарифмическом масштабе: /> Если частота изменяется влогарифмическом масштабе, то логарифмические амплитудно-частотные характеристики(ЛАЧХ) во многих практически важных случаях мало отличаются от прямолинейныхасимптот с наклонами, кратными 20 дБ/дек. На рис.6 приведен примерный видасимптотической ЛАЧХ; штриховая кривая – точная ЛАЧХ. Там же указаны наклоныасимптот в децибелах на декаду.
Хотя за основу заданиядинамических свойств систем может быть принята любая из форм представленияоператоров, для конкретных исследований та или иная форма оказывается более рациональнойи возникает необходимость перехода от одной формы к другой. Многие задачианализа связаны с преобразованием формы представления оператора. В ряде случаевэта процедура составляет наиболее трудоемкий этап анализа – построение частноймодели, т.е. приведение к форме, позволяющей непосредственно вычислить показателикачества и вывести суждение о соответствии поведения системы заданнымтребованиям (например, построение временных или частотных характеристик системыуправления).
/>
Наиболее прост формальныйпереход путем замены оператора дифференцирования /> на комплексный аргумент sот дифференциального уравнения (2) к передаточной функции (3) и обратно. Осуществляяпереход к передаточным функциям, следует избегать сокращения общих делителейполиномов числителей и знаменателей, т.е. диполей рациональных функций. Такоесокращение при водит к потере части собственных составляющих движения приненулевых предначальных условиях (составляющих свободных движений).
По временным и/иличастотным характеристикам, полученным экспериментально, оценивают параметрыпередаточных функций или ординаты характеристик иного типа. Такие переходы оказываютсянеоднозначными, а их результаты зависят от выбора структуры оператора иалгоритма обработки данных.
2.2 Построение временныххарактеристик
Временные характеристики– импульсная переходная функция w(t) и переходная характеристика h(t)могут быть получены экспериментально, если удается подать на вход объекта воздействиев виде достаточно узкого импульса с необходимой амплитудой или ступенчатойфункцией времени. Последнее более реально – функцию веса w(t)впоследствии можно получать дифференцированием функции h(t).
Статистические методынепараметрической идентификации позволяют оценить ординаты функции веса w(t)путем обработки данных вход-выход объекта в виде случайных сигналов, возможныхв режиме нормальной эксплуатации (корреляционный анализ).
Существуют методыпостроения временных характеристик по частотным, базирующиеся на обратномпреобразовании Фурье. В случае, когда исходная информация об объекте представленав форме дифференциального уравнения (1), временные характеристики получают егорешением.
Вклассической теории автоматического управления для решения дифференциальныхуравнений часто привлекают так называемый операторный метод, связанный с преобразованиемЛапласа. Метод особенно удобен в случае типовых воздействий в виде обобщенныхфункций и позволяет легко учесть ненулевые начальные условия.
Пусть данодифференциальное уравнение n-порядка звена или системы автоматическогоуправления (2). Необходимо получить выражения для импульсной переходной функции(функции веса) w(t), переходной характеристики h(t),а также для реакции в случае воздействия общего вида. Пусть изображение поЛапласу воздействия на входе системы или звена представляет собой дробно-рациональнуюфункцию от s:
/>.
Если преобразовать поЛапласу дифференциальное уравнение n-го порядка при ненулевых предначальныхусловиях, то после разрешения полученного алгебраического уравнения относительноизображения переменной выхода имеем
/>. (7)
Здесь полином AH(s)определяется предначальными условиями. Если все предначальные условия нулевые,то изображение выхода
/>
где W(s)– передаточная функция.
Искомое решение –переменная на выходе системы (оригинал) получается обратным преобразованиемЛапласа:
/> (8)
где с – абсциссасходимости.
Формула обращения Римана– Меллина устанавливает однозначное соответствие между оригиналом иизображением в точках непрерывности оригинала. Имеются алгоритмы и программы, позволяющиевычислять интеграл (8) при произвольных функциях Y(s).Практическое вычисление оригинала у(t) удобно производить,основываясь на теореме о вычетах, согласно которой значение интеграла (8) можетбыть представлено суммой вычетов подынтегральной функции,
/>,
где ResY(s)– вычет функции Y(s) в полюсе si; i = 1,...,nY;nY – число полюсов изображения Y(s); при t у(t) = 0.
Для обыкновенных линейныхдифференциальных уравнений и типовых воздействий изображение Y(s)является дробно-рациональной функцией, которую можно представить в виде суммыпростейших дробей:
/>, (9)
где /> – производная полинома AYпо s; si – простые полюсы;
/>
Оригинал y(t)в соответствии с разложением (9) имеет вид:
/>.
Импульсная переходнаяфункция (функция веса) w(t) представляет собой реакцию системы на/>-функциюпри нулевых начальных условиях. Поскольку изображение />-функции />, то функция веса представляетсобой обращение по Лапласу передаточной функции и/>.
Разложение передаточнойфункции на сумму простейших дробей в случае простых полюсов si; i= 1, …, n имеет вид:
/>, (10)
где Ci – коэффициентразложения (вычета),
/>. (11)
Пример. Рассмотрим определениефункции веса с помощью формул (10) и (11) для передаточной функции
/>. (12)
Полюсы передаточнойфункции s1= -1; s2= -2.Разложение (12) на сумму простейших дробей имеет вид:
/>.
Обратное преобразованиеЛапласа дает
/>.
Переходная характеристикаh(t) представляет собой реакцию системы на единичную ступенчатуюфункцию I(t) при нулевых начальных условиях. Поскольку />, то /> />.
Полюсами изображенияявляются полюс воздействия s1= 0 и полюсыпередаточной функции. Легко убедится, что
/>, />.
Пример. Рассмотрим получениепереходной характеристики системы с передаточной функцией (12). Разложениеизображения H(s) на сумму простейших дробей:
/>,
где
/>;
/>;
/>.
Следовательно, переходнаяхарактеристика описывается функцией
/>.
Вобщем случае произвольного воздействия разложение изображения переменной выхода(7) запишется так:
/>, (13)
где si,i = 1, …, n – полюсы передаточной функции W(s);sk, k = 1, …, nF – полюсы изображениявоздействия F(s); принято, что />, т. е. полюсы воздействия неравны полюсам передаточной функции (нет обобщенного резонанса).
В выражении (13) перваягруппа слагаемых определяет переходную составляющую вынужденного движения yпер(t);вторая группа – установившаяся составляющая вынужденного движения yуст(t),третья – свободные движения yсв(t):
/>.
Установившеесявынужденное движение yуст(t) обусловлено полюсамиизображения воздействия sk; переходная составляющаявынужденного движения yпер(t) образуется из-заненулевых посленачальных условий (изменение начальных условий приложением вмомент времени t = 0 конкретного воздействия) и определяется полюсамипередаточной функции; свободные движения yсв(t) имеютместо при ненулевых предначальных условиях и также определяются полюсами передаточнойфункции.
Если анализируетсяавтономная система автоматического управления Ms,представленная в форме однородного дифференциального уравнения
/>; y(0),
то его решение имеет вид:
/>. (14)
Если изображение Y(s)имеет кратные полюсы, то вместо формул (13), (14) записываются более сложныевыражения.
2.3 Построение частотныххарактеристик
Частотные характеристики(6) – амплитудную R(/>) и фазовую /> можно получатьэкспериментальным путем, если удается подавать на вход устойчивого объектагармонические воздействия различных частот из диапазона существенного длявыявления требуемых свойств объекта. Статистические методы непараметрическойидентификации (спектральный анализ) позволяют оценить значения частотныххарактеристик путем обработки временных последовательностей на входе и выходеобъекта.
Частотные характеристикиможно получить по временным характеристикам с помощью преобразования Фурье.
В томслучае, когда исходная информация об объекте представлена в формедифференциального уравнения (1), частотные характеристики строят расчетнымпутем.
Рассмотрим переходы отдифференциального уравнения n-порядка (1) и передаточной функции (3) кчастотным характеристикам.
Установившиеся реакциилинейной системы на гармоническое воздействие единичной амплитуды/>/>/>соответствуют частному решениюнеоднородного дифференциального уравнения (2). Будем искать частное решение:
/>,
где R(w), j(w) – амплитуда и фаза, в общемслучае зависящие от частоты.
Учтем, что
/>, />;
/>, />.
Подставим эти соотношенияв неоднородное дифференциальное уравнение (2), записанное в операторной форме,
/>.
После деления обеихчастей на ехр{jwt} можно записать:
/>.
Таким образом,амплитудно-частотная характеристика находится как модуль
/>,
а фазовая частотнаяхарактеристика – как аргумент
j(w) = argW(jw)
комплексной частотнойхарактеристики W(jw).
Одновременно получаемпереход от передаточной функции к частотным характеристикам. Комплекснаячастотная характеристика получается заменой аргумента передаточной функции sна jw:
/>.
В общем случае sможет принимать значения на любом контуре комплексной плоскости.
Вычисление значенийчастотных характеристик для конкретного s = jw (а в общем случае s= a+ jw) сводится к вычислению значений полиномов В(s)и А(s) с последующим делением полученных комплексных чисел. Приэтом получаются значения вещественной P(w) и мнимой Q(w) частотных характеристик.Значение амплитудной частотной характеристики вычисляется как
/>.
Трудностивозникают при расчете значений фазочастотной характеристики по формуле
/>; k = 0, /> … (15)
Значения j(w) получаются на интервале(- p,p),поэтому в случае систем высокого порядка для определения истинных значенийфазовых сдвигов принимается предположение о том, что в пределах выбранного шагачастот j(w) не изменяется на ± p, т.е. корни полиномов B(s)и A(s) располагаются достаточно далеко от мнимой оси.
Соотношение (15) неопределяет аргумент j(w) комплексного числа W(jw), так как ему вместе сjудовлетворяет и j+ p. Однако из-занепрерывности фазовой характеристики j(w), принимающей отличные отнуля значения, она однозначно характеризуется текущим tgj(w)= Q(w)/P(w), wminwwmax и начальным j(w0);wminwwmaxзначениями. На этомсвойстве непрерывности фазовой характеристики можно получить алгоритмпостроения частотных характеристик, если истинное значение j(w0) лежит в пределах (- p, p).
2.4 Построение моделей посистеме дифференциальных уравнений
Системы дифференциальныхуравнений обычно получаются в результате построения аналитическим методомматематических моделей физических систем с сосредоточенными компонентами.
Пустьисходные знания об объекте управления имеют вид некоторой физической системы ссосредоточенными компонентами; это может быть, например, многоконтурнаяэлектрическая или механическая схема. На основе соответствующих законов по определеннымправилам записываются компонентные уравнения и уравнения связей. Далее этиуравнения можно привести к следующему виду:
/> i = 1, …, N;(16)
/> q = 1, …, K.
Уравнения (16) можнозаписать в матричном виде:
A(p)x(t) = B(p)f(t);
y(t) = C(p)x(t),
где х – векторвнутренних переменных размерности N; f и y – векторыпеременных входа и выхода размерностей Р и K соответственно; А(р),В(р), С(p) – полиномиальные матрицы; обычно матрицаС – числовая, т. е. состоит из нулей и единиц, указывающих, какие изпеременных х принимаются за выходные.
Уравнения (16), (17)называют непричинно-следственными, между внутренними переменными xi(t)нет объективных причинно-следственных отношений.
При определенных условияхсистему (16) можно записать в форме системы дифференциальных уравнений первогопорядка, разрешенных относительно производных,
/> i = 1, …, n,
дополненной уравнениямивыходов
yq(t) = /> q = 1, …, K.
Модели в терминахвход-состояние-выход используют понятие состояния. Состояниединамического объекта (с памятью) – необходимая и достаточная информация дляопределения будущего поведения по дифференциальным уравнениям при заданных входныхвоздействиях независимо от того, каким путем система пришла в это состояние.Для конечномерных систем состояние представляется как n-мерный вектор n(t); при t = 0 векторn(0)– начальное состояние. Система дифференциальных уравнений первого порядка в такназываемой нормальной форме пространства состояний (стандартизованнойвекторно-матричной форме) записывается следующим образом:
/>An + Bf, n(0);
(18)
y = Cn + Df,
где f – Р-мерныйвектор входа;у – K-мерный вектор выхода; A –матрица состояний; B – матрица входа; C – матрица выхода; D– матрица обхода соответствующих размеров. Первую векторно-матричную строку всистеме уравнений (18) называют уравнениями состояний, а вторую – уравнениямивыхода.
Пример. При n = 2дифференциальные уравнения (18) системы с одним входом и одним выходом враскрытой форме запишутся так:
/>
/>
/>
Матрицыбудут иметь следующий вид:
A = />; B = />;
C = (c1c2); D =d.
Если первое уравнение всистеме (18) записать с использованием оператора дифференцирования р, тоимеем: (pI – A)n= Bf, где I – единичная матрица. Такимобразом, уравнения в форме пространства состояний являются частным случаемсистемы дифференциальных уравнений (17) с матрицей
A(p) = pI – A. (19)
Автономная система описывается однороднымдифференциальным уравнением
/>; />,
причем начальные условияявляются математическим отражением предыстории. Если они ненулевые, то системасовершает так называемые свободные движения. В конечномерных системах свободныедвижения определяются полностью оператором А(р) и конечным числомначальных условий независимо от того, каким путем система пришла в этосостояние к моменту начала наблюдения.
Автономнаясистема может описываться системой дифференциальных уравнений различных порядков:
A(p)x(t) = 0, x(0);
y(t) = Cx(t),
а также дифференциальнымиуравнениями в форме пространства состояний
/> = An, n(0);
y = Cn.
Рассмотрим построениемоделей вход-выход по системе дифференциальных уравнений. Пусть дана системадифференциальных уравнений (17). Построение модели в терминах «вход-выход»означает исключение внутренних переменных, что проще выполнить, если отдифференциальных уравнений перейти к системе алгебраических уравнений дляизображений, приняв нулевые начальные условия:
A(s)X(s) = B(s)F(s);(20)
Y(s) = CX(s).
При небольшом числеуравнений применяют метод последовательных исключений. Пусть, например, объектс одним входом f и одним выходом у имеет две внутренниепеременные x1 и х2:
/> (21)
Решая систему (21)относительно Y(s), получим:
/>
Теперь по выражению
/>
легко получить полиномычислителя и знаменателя передаточной функции и записать выражение для одногодифференциального уравнения. Используем операции перемножения и вычитания полиномов.
В случае, когда требуетсявычислить передаточную функцию, связывающую одну из выходных переменных у= xq с одним из воздействий fr, применяютправило Крамера:
/>, (22)
где полиномиальнаяматрица Aqr получена из матрицы А заменой q-гостолбца r-м столбцом матрицы В. Знаменатель передаточной функции Wqr(s)независимо от номеров входа r и выхода q равен характеристическомуполиному системы
A(s) = det A(s) (23)
Этот способ построениямоделей вход-выход по системе уравнений (20) сводится к вычислениюопределителей полиномиальных матриц.
Для примера (21) запишемсистему в матричной форме (20); матрицы имеют вид:
A(s) = />; B(s) = />. (24)
Всоответствии с правилом Крамера по формуле (23) определяем характеристический полином:
/>
числитель передаточнойфункции W21(s) (здесь r =1, q = 2)равен
detA21 = />/>
Имеемсистему алгебраических уравнений многомерной системы, записанную дляизображений переменных (20). В общем случае передаточная матрица системы, т.е.модель вход-выход через полиномиальные матрицы выражается следующим образом:
W(s)= CA-1(s)B(s). (25)
Здесь вычисления связаныс обращением и перемножением полиномиальных матриц. Ясно, что полиномиальнаяматрица системы А(s) должна быть не особенной, иными словами, ееопределитель не равен тождественно нулю. Известно, что
/>,
где А*(s)– присоединенная матрица.
Следовательно, выражениедля передаточной матрицы (25) примет вид:
W(s) = CA*(s)B(s)/A(s).(26)
Пример. Модель вход-выход в виделинейного дифференциального уравнения
y(n) + a1y(n-1)+ … + an-1y(1) + any= b0u(n) + b1u(n-1)+ … + bnu
может быть приведена кмодели в переменных состояния следующим образом:
x(1) = xi+ 1 + ki*u,где i = 1, n-1;
x(1)n = – anx1 – an-1x2–…– a1xn + knu;
y = x1 + k0u;
коэффициенты kрассчитываются по рекуррентным формулам:
k0= b0;
k1= b1– a1k0;
…
/>;
/>,
где n = 3; a1= 0; a2 = 2; a3 = 4; b0=2; b1 = b2 = 0; b3 = –1.
Определим значениеki:
k0= b0= 2;
k1 = b1 – a1*k0= 0;
k2 = b2 – a1k1– a2k0= – 4;
k3 = b3 – a1k2– a2*k1 – a3k0= – 9.
Тогда исходное уравнениев переменных состояниях (нормальная форма):
x1(1) = x2;
x2(1) = x3 – 4u;
x3(1) = – 4x1 – 2x2– 9u;
y = x1 + 2u,
или в векторной форме
/>;
/>,
где матрицы объекта,управления, наблюдения и обхода, соответственно,
/>; />; />; />.
2.5 Построение моделейвход-выход по уравнениям в форме пространства состояний
Пусть дифференциальныеуравнения объекта или системы управления записаны в форме пространствасостояний:
/> An + Bf, n(0);
(27)
y = Cn + df.
Для простоты примемодномерный случай: переменные входа и выхода f иy являютсяскалярами; матрица входа В – столбец; матрица выхода С – строка; d– скаляр обхода.
Преобразуем уравнения(27) по Лапласу при нулевых начальных условиях:
sn(s) = AV(s)+ BF(s);
(28)
Y(s) = Cn(s) + dF(s).
Выразим решение системыалгебраических уравнений – изображение вектора состояний – в следующей форме:
n(s) = (sI – A)-1BF(s),(29)
где (sI – A)-1– матрица, обратная характеристической матрице (sI – A) матрицы А;I – единичная матрица. Подставим (28) в (29) и получим
Y(s) = W(s)F(s)= [C(sI – A)-1B + d]F(s).
Передаточная функция Wможет быть записана и иначе, если учесть, что
(sI – A)-1 = (sI – A)*/ A(s), (30)
где (sI – A)*– присоединенная матрица;
A(s) = det(sI – A), (31)
A(s) – определительхарактеристической матрицы – характеристический полином системыдифференциальных уравнений (17).
С учетом (30)передаточная функция запишется как
/> (32)
Элементами присоединеннойматрицы (sI – A)* являются алгебраические дополненияэлементов характеристической матрицы (sI – A), т.е. полиномы. Их степенине могут превосходить n – 1. Таким образом, как видно из формулы (32),степень m = degB полинома числителя передаточной функции Wне может быть выше степени n = degA характеристического полиномаи равна ей только при />. Это ограничивает возможностиописания динамических систем в нормальной форме пространства состояний />.
Имея полиномыпередаточной функции (32), легко записать дифференциальное уравнение n-гопорядка.
Преобразуем по Лапласууравнения (27)
sn(s) – n(0) = An(s) + BF(s)
и получим выражение дляизображения вектора состояния
n(s) = (sI – A)-1n(0) + (sI – A)-1BF(s). (33)
В этой сумме первоеслагаемое – свободное, а второе – вынужденное движения системы. Для полученияоригинала – функции времени n(t) выполняется операция обратного преобразования Лапласа. Вданном случае выражение для изображения представляет собой матрицу, однакосправедлива аналогия со скалярным случаем. Оригинал скалярной функции
/>/>
имеет вид экспоненты.Оказывается, что аналогичное выражение имеет место и в матричном случае, т.е.
L-1 {(sI – A)-1} = eAt= Ф(t),
что является матричнойэкспонентой, называемой матрицей перехода. Произведению изображений отвечаетсвертка оригиналов, это справедливо и для матриц. Поэтому вектор состояния какфункция времени получается из выражения (33) и имеет следующий вид:
/> (34)
Изображение переменнойвыхода при нулевых начальных условиях n(0) = 0 получится подстановкойвторого слагаемого выражения (33) во второе уравнение системы (27):
/>
Если на вход системыподается единичный импульс, т.е. F(s)= 1, то реакциясистемы (импульсная переходная функция) определяется из выражения (34):
/> (35)
Сопоставляя полученнуюформулу с выражением для передаточной функции (32), замечаем, что
/>.
Отсюда следует один изспособов получения матрицы перехода путем обращения по Лапласу матрицы (sI –A)-1.
2.6 Модели системуправления с раскрытой причинно-следственной структурой
Под структурой системуправления понимают причинно-следственную связь между элементаминаправленного действия. Понятия «система» и «структура» являются близкими посмыслу. Наиболее общие определения понятий системы и структуры строятся какотношения на множествах, математически это графы. Графы являютсяуниверсальным средством описания структур систем. При небольшом числе элементови связей весьма наглядны диаграммы графов, т.е. их геометрическиеобразы.
В зависимости отэлементов множеств рассматриваются различные типы графов. Приведенная на рис.3,а схема, иллюстрирующая принципы управления, отражает типовые структурыпричинно-следственных отношений основных элементов систем управления и, посуществу, представляет собой ориентированный граф. Электрическая имеханическая схемы, изображенные на рис.2, также являются примерами графов,только неориентированных.
Имея в виду структурусвязей элементов, иногда говорят о топологии (топографии) системы. Даже безконкретизации вершин и дуг, т.е. только по топологии, можно сделать рядважнейших выводов о свойствах системы, которые сохраняются при дальнейшемраскрытии неопределенности – уточнении структур операторов и конкретизациизначений параметров.
В зависимости от подходак моделированию и от конкретного содержания элементов исходного множества иэлементов отношения модели с раскрытой структурой могут быть представлены структурнымисхемами, сигнальными графами, системами дифференциальных уравнений впричинно-следственной форме и некоторыми другими формами.
Структурная схема (C-граф) представляет собойпричинно-следственную связь звеньев. Линейное звено (рис.7, а) в общемслучае имеет любое число входов; оно преобразует сумму входов в единственнуюпеременную выхода по некоторому оператору Wi (рис.7, б):
/>
В частном случаеоператора тождественного преобразования звено выступает как сумматор.
Структурная схемаявляется ориентированным графом и состоит из множества вершин W = {W1,…, WN} и множества дуг Х = {(Wi,Wj)} – упорядоченных пар вершин. Дугам графа соответствуютпеременные xi; i = 1,..., N, а вершинам –звенья. Для того, чтобы отличать рассматриваемый граф от сигнальных графовдругих типов, назовем его С-графом. На языке теории бинарных отношений С-графопределяется как пара множеств:
С = W,X >,
/>
Рис.8. Структурная схема (С-граф)
а структурная схема(геометрический образ) называется также диаграммой графа (рис.8). ВершинаС-графа – звено общего вида, по определению суммирует переменные заходящих дуг.Это позволяет отказаться от специального элемента суммирования, что отличает С-графыот классических структурных схем.
Дуга С-графа – элемент (Wi,Wj) отношения Х задает причинно-следственную связьмежду двумя звеньями, причем выход j-го звена является входом i-го.Дуге (Wi,Wj) соответствуетпеременная xj.
Теоретико-множественное описаниесистем дает естественный способ ввода и редактирования моделей системуправления как последовательного раскрытия неопределенности. Для этого моделиупорядочиваются по рангам неопределенности R = 0, 1, 2, 3.
Множество Wзвеньев задает модель нулевого ранга Ms(0). Дляпримера С-графа, диаграмма которого изображена на рис.8, множествоперечисляется так:
W = {W1,W2,W3,W4}.
В случае однотипныхзвеньев можно ограничиться заданием числа вершин графа (звеньев), т.е. мощностимножества />.
Дополнение модели Ms(0)множеством Х дает модель первого ранга Мs(1) – этотопология (топография) системы. Для С-графа, изображенного на рис.8, множествоперечисляется так: Х = {(1,3), (1,4), (2,1), (3,2), (4,1)}. Вперечислении приведены только индексы (номера) звеньев.
Дальнейшее раскрытиенеопределенности достигается при задании структур операторов вершин. Длярассматриваемого класса систем передаточные функции являются отношениямиполиномов: Wi(s)= Bi(s) / Ai(s).Задание их структур сводится к указанию степеней mi и niполиномов Bi и Ai. Когда для всех звеньев заданыструктуры операторов, образуется модель системы структурного ранга Мs (2).
Пусть длярассматриваемого примера системы передаточные функции звеньев имеют вид W1(s)= k1; W2(s)= k2/(1+ T2s)2; W3(s)= -1; W4(s)= -t4s /(1+ T4s). Информацию о структурахоператоров можно закодировать массивами степеней полиномов числителей изнаменателей передаточных функций: {0,0,0,1} и {0,2,0,1}.
Результатом конкретизациизначений всех коэффициентов полиномов является полностью определенная модельтретьего, параметрического ранга Мs (3).
Ранее изложено описаниесобственно системы (автономной системы). Для описания связей системы со средойследует указать звено, на вход которого подается воздействие, и звено, выходкоторого является выходом системы. На примере С-графа (рис.8) номер входногозвена r =1, а выходного q =2. В результатеоказывается определенной модель системы со связями со средой Mysf (3).При изучении влияния вариаций звеньев на характеристики системы указываетсяварьируемое звено. На рис.8 им является звено W2.
Сигнальный граф (граф Мэзона) является одной изудобных в теории и расчетной практике форм представления моделей систем управления.
Модель системы в формесигнального графа определяется как бинарное отношение W на множествепеременных Х = {x1, …,xN}: G= X,W >
Элементам отношения W= {(xi xj)} ставятся в соответствие операторыпреобразования переменных. На диаграммах сигнальных графов переменным отвечаютвершины, где суммируются сигналы заходящих дуг, а элементам отношения – дуги.Способы задания моделей различных рангов в форме сигнальных графов те же, что идля С-графов.
/>
Рис.9. Диаграмма сигнального графа
На рис.9 изображенадиаграмма сигнального графа – модель топологического ранга, несущая ту жеинформацию о системе, что и структурная схема (рис.8). Необходимо подчеркнуть,что формы представления моделей и способы их отображения могут быть различными– символьными или алгебраическими (уравнения, матрицы), геометрическими илитопологическими (диаграммы графов). Информация о моделях различных рангов Rпоследовательно раскрывается описанием множеств, задающих: состав элементов R=0; топологию причинно-следственных связей между ними R = 1;структуры операторов R = 2; параметры R = 3.
Теоретико-множественноепредставление структур систем в форме графов обеспечивает формализацию описаниямоделей, упрощает кодирование их графических образов, а также разработку алгоритмованализа систем.
2.7 Типовые звеньяавтоматических систем управления
Приисследовании САУ ее разбивают на простые звенья. В результате этогоматематическое описание каждого звена может быть составлено без учета связейего с другими звеньями, а описание всей САУ получено как совокупность уравненийотдельных звеньев.
Уравнение усилительногозвена имеет вид:
y = Kx. (36)
Передаточная функция вэтом случае:
W(p)= K. (37)
Амплитудно-фазоваяхарактеристика:
W(jw)= K. (38)
Примеромусилительного звена является рычаг. Уравнение рычага имеет вид
/>
Уравнение апериодическогозвена имеет вид:
/>. (39)
Передаточная функция:
/> (40)
Амплитудно-фазовая характеристика:
/> (41)
АФЧХ представляет собойполуокружность с радиусом K/2 и центром в точке (K/2,j*0)на действительной оси (рис.10).
Логарифмическаяамплитудная частотная характеристика
/> (42)
При малых значениях w Т
/> (43)
На больших частотах,когда w>> 1/T
/>. (44)
В соответствии свыражениями (43) и (44) на рис.10, б приведена ЛАЧХ апериодическогозвена. Примером апериодического звена является рассмотренная ранее емкость.
Уравнение колебательногозвена:
/> (45)
/>
причем Т1и Т2 связаны условием
/> (46)
Это условие означает, чтокорни характеристического уравнения вида
/> (47)
соответствуютдифференциальному уравнению (45), являются комплексными. Передаточная функция,соответствующая уравнению (45), имеет вид
/> (48)
Переходная функция,являющаяся решением уравнения (45) при х = l(t), приведена нарис.11.
Амплитудно-фазоваяхарактеристика звена (рис.12):
/>. (49)
Примером колебательногозвена являются электрический резонансный контур (рис.13)и двухъемкостная схема(рис.14).
Если в уравнении (45) выполняетсяусловие
/>, (50)
то характеристическоеуравнение (47) имеет отрицательные действительные корни. В этом случае звеноназывается апериодическим звеном второго порядка. Все рассмотренные выше звеньяназываются статическими.
Уравнение интегрирующегозвена:
/> (51)
или в интегральной форме:
/> (52)
/>
Переходная функцияинтегрирующего звена имеет вид (рис.15, а):
/>; (53)
передаточная функция:
/> (54)
/>
амплитудно-фазоваяхарактеристика (рис.15, б):
/> (55)
Иногда применяется другаяформа записи уравнения интегрирующего звена:
/> (56)
Примером интегрирующегозвена является емкость с притоком жидкости сверху, причем расход на стоке независит от уровня в емкости (рис.16). Такая емкость не обладаетсамовыравниванием на притоке. Интегрирующее звено называется астатическим.
Уравнение дифференцирующегозвена:
/> (57)
переходная функция:
/>; (58)
передаточная функция:
/>; (59)
амплитудно-фазоваяхарактеристика:
/>, (60)
/>
т.е. она совпадает с положительноймнимой полуосью.
Характеристикидифференцирующего звена обратны характеристикам интегрирующего звена. Идеальныхдифференцирующих звеньев в природе не существует, но они используются прианализе сложных систем, из которых можно выделить дифференцирующие звенья.
Звено с запаздыванием без искажениявоспроизводит на выходе входную величину, задерживая ее на время запаздывания t.
Уравнение такого звенаимеет вид:
/>; (61)
передаточная функция:
/>; (62)
амплитудно-фазоваяхарактеристика:
/>. (63)
Примерами таких звеньевявляются транспортеры (рис.17), длинные трубопроводы и т.д. Если известнырасстояние l и скорость движения ленты транспортера v, то запаздываниеможно определить по формуле
/>. (64)
2.8 Характеристики системс типовой структурой
Системы с типовойструктурой образуются последовательным (рис.18, a), параллельным(рис.18, б) соединениями звеньев или соединением с обратной связью(рис.18, в). Выявление свойств типовых систем в целом связано спостроением эквивалентных систем со свернутой структурой (рис.18, г).Эквивалентные системы в терминах вход-выход могут быть представлены в формедифференциального уравнения
Aэ(р)у(t) = Вэ(р)f(t),(65)
передаточная функция
/>
временная характеристика:
/>
/>;
частотная характеристика
/>
Дифференциальныеуравнения системы, образованной последовательным соединением звеньев, запишутсятак:
A1(p)x1(t) = B1(p)f(t);
A2(p)x2(t) = B2(p)x1(t);
y(t) = x2(t).
В результате исключенияпеременных х1и х2 получим операторныеполиномы уравнения (65):
Аэ(р) = А1(р)А2(р);Вэ(р)= В1(р)В2(р).
Одновременнополучаем передаточную функцию эквивалентного звена:
Wэ(s) =/>W1(s)W2(s)./> (66)
Временнуюхарактеристику – импульсную переходную функцию получаем обратным преобразованиемЛапласа передаточной функции (66):
wэ(t) =/>.
Амплитуднаячастотная характеристика равна произведению соответствующих характеристикпоследовательно соединенных звеньев:
Rэ(w) = R1(w)R2(w),
фазочастотнаяхарактеристика равна сумме
jэ (w) = j1(w) + j2(w),
ЛАЧХ системы получается ввиде суммы
Lэ(w) = L1(w) + L2(w).
На рис.19 изображенпример графического построения ЛАЧХ системы, образованной последовательнымсоединением интегрирующего звена W1 и апериодического звенапервого порядка W2.
Дифференциальныеуравнения системы, образованной параллельным соединением звеньев (см. рис.18, б),запишутся так:
А1(p)x1(t) = В1(p)f);
А2(p)x2(t) = В2(p)f(t);
y(t) = x1(t) + x2(t).
/>
В результате исключенияпеременных xi получим операторные полиномы эквивалентногоуравнения (65):
Аэ(p) = А1(p)А2(р);
Вэ(p) = В1(p)А2(p)+ А1(р)В2(р).
Передаточная функция эквивалентногозвена получается как сумма передаточных функций звеньев:
Wэ(s) =/>W1(s)+ W2(s). /> (67)
Временная характеристикасистемы является суммой временных характеристик звеньев:
wэ(t) = w1(t)w2(t).
При параллельномсоединении звеньев легко получить вещественную Рэ(w) и мнимую Qэ(w) частотные характеристикиэквивалентного звена:
Рэ(w) = Р1(w) + Р2(w); Qэ(w) = Q1(w) + Q2(w).
Диполь передаточнойфункции Wэ(s) получается:
· если одна изпередаточных функций звеньев имеет диполь;
· звенья имеют одинаковыеполюсы А1(si)= A2(si)= 0.
Дифференциальныеуравнения типового соединения с обратной связью:
А1(p)x1(t) = В1(p)x3(t);
А2(p)x2(t) = В2(p)x1(t);
x3(t) = f(t) /> x2(t);
y(t) = x1(t),
где знак «минус»соответствует отрицательной обратной связи, а знак «плюс» – положительной.
Исключение внутреннихпеременных дает операторные полиномы дифференциального уравнения эквивалентногозвена:
Аэ(p) = А1(p)А2(р)/>B1(p)B2(р);
Вэ(p)= В1(p)А2(p). (68)
Передаточная функцияэквивалентного звена:
Wэ(s) = /> />. />(69)
Еслизвенья образуют контур положительной обратной связи, то в формулах (69), (69)используется знак «минус».
Временная характеристикасистемы с обратной связью wэ(t) сложным образомзависит отw1(t) иwэ(t),поэтому ее удобнее получать обратным преобразованием Лапласа эквивалентнойпередаточной функции:
wэ(t) =/>.
Комплексная частотнаяхарактеристика системы с обратной связью также сложным образом зависит отчастотных характеристик звеньев:
Wэ(jw) = />. /> (70)
Свойства системы собратной связью определяются усилением разомкнутого контура с передаточнойфункцией Wp(s) = W1(s)+ W2(s) на различных частотах. Если усиление контурамало, то можно пренебречь обратной связью. Действительно, по виду выражения(44) можно заключить, что на частотах, где выполняется условие
/> = />
имеет место приближенноесоотношение
Wэ(jw) » W1(jw).
Практически усилениеконтура считается малым, если
Lр(w) = />
С другой стороны, начастотах, где выполняется условие
/> >> 1,
имеет место другоеприближенное соотношение
Wэ(jw) » />.
Система в целом имеетчастотную характеристику, близкую к обратной частотной характеристике звенаобратной связи. Практически усиление велико, если Lр(w)> 16-20дБ. Наостальных частотах, где -16дБLP(w)
Рассмотрим примерсистемы, образованной интегрирующим звеном, охваченным единичной отрицательнойобратной связью (рис.20, а). На рис.20, б изображены ЛАЧХ L1и L2 этих звеньев. На частотах w
Следовательно,амплитудно-частотная характеристика замкнутой системы на этих частотах определяетсятолько свойствами звена обратной связи, т.е. замкнутая система на низкихчастотах с большой степенью приближения ведет себя как безынерционное звено сединичным усилением.
Напротив, на частотах w > 10 с-1усиление контура ниже –20 дБ. Здесь контур практически разомкнут – замкнутаясистема ведет себя как интегрирующее звено,
/> Wэ(s) =/>.
/>
На комплексной частотенуля передаточной
функции Wpусиление контура равно нулю, т.е. контур как бы разомкнут на соответствующей комплекснойчастоте. Если Wp имеет такой полюс, то в разложении Wpна сумму простейших дробей соответствующий коэффициент Сiравеннулю.
На рис.21 изображенаструктурная схема системы с единичной обратной связью, где звено в прямой цепи
W1(s) = Wp(s)/>
представлено какпараллельное соединение простейших звеньев.
2.9 Неопределенностьмоделей систем управления
/>
Математические модели неотражают исчерпывающим образом динамические свойства систем управления в силуидеализации и упрощений, неизбежных при моделировании, неточной реализацииалгоритмов управления и изменений характеристик объектов и других элементов впроцессе эксплуатации. Если изменения характеристик происходят достаточномедленно по сравнению с длительностью процессов управления, то вместонестационарных моделей (например, дифференциальных уравнений с переменнымикоэффициентами) можно рассматривать стационарные модели.
Модели систем управлениястроятся для строго оговоренных условий взаимодействия со средой, и ихадекватность оригиналам определяется и характеристиками воздействий. Значенияпараметров, структура и класс операторов зависят от амплитуд изменения и частотногоспектра сигналов.
Линейные модели обычностроят для малых отклонений переменных от выбранных установившихся режимов.Если амплитуды сигналов превышают некоторое определенное значение А, топриходится строить нелинейные модели, как правило, учитывающие всевозможныеограничения в реальных элементах. Иногда область адекватности линейных моделейограничивается малыми амплитудами а, для которых следует учитывать такиенелинейные явления, как зону нечувствительности, сухое трение и др.
Выбранные структуры операторов(порядки дифференциальных уравнений) обеспечивают адекватность моделей по отношениюк сигналам, частоты которых не превышают заданного предела. Границу областиадекватности W обычно удается несколько расширить путем усложнения структурыоператоров. На рис.22 показана область адекватности моделей на плоскостиамплитуд а и частот wсигналов.
Такимобразом, модели систем управления оказываются не полностью определенными. Приинтерпретации результатов анализа и синтеза необходимо всегда иметь в видунеполную определенность моделей и учитывать ограниченность области их адекватности.Анализ наряду с выявлением основных свойств поведения систем управления долженвключать и исследование чувствительности характеристик к вариациям параметров,структур операторов и топологии систем.
3.Нелинейные элементы систем управления
3.1 Безынерционные нелинейныеэлементы
В теории и практикеуправления элементы и системы рассматривают как преобразователи сигналов –носителей информации о цели, состоянии объекта и воздействиях среды (рис.23).Как известно, линейный безынерционный элемент полностью задается значением егокоэффициента усиления.
/>
/>
Нелинейные зависимостимежду постоянными значениями входных и выходных сигналов у = Р'(х)могут задаваться аналитически, графически или таблично. В том случае, когданелинейный элемент (НЭ) имеет один вход и один выход, особенно наглядны графикистатических характеристик (СХ) (рис.24).
Условияпреобразования сигналов безынерционными НЭ зависят от уровней сигналов и независят от их частоты. Приведем некоторые примеры безынерционных НЭ и их СХ.
Рассмотрим нелинейныеэлементы с кусочно-постоянными СХ. Простейшим представителем нелинейностей этойгруппы является так называемое идеальное реле (рис.25, а):
/>
Более тонкое изучениеможет показать, что релейное устройство имеет гистерезис (рис.25, б).Выражение для двузначной СХ с разрывами первого рода можно записать так:
/>
/>
где b – половиназоны неоднозначности СХ; y0– состояние реле, равноезначению у до входа в зону неоднозначности. Таким образом, этотбезынерционный НЭ обладает памятью: значение его выхода определяется не толькозначением входа в тот же момент, но также и предысторией (состоянием) НЭ поуровню сигнала.
Другим типом НЭ скусочно-постоянной однозначной СХ является квантование сигналов по уровню впреобразователях аналог-код, предназначенных для ввода информации о состоянии непрерывныхпроцессов в цифровые управляющие устройства (рис.25, в). Малаяразрядность ЭВМ может оказаться существенным препятствием к достижению высокойточности и хорошего качества процессов в окрестности положений равновесия.
Теперь обратимся кнелинейным элементам с кусочно-линейными СХ. На рис.26, а показан графикСХ НЭ типа «насыщение»:
/>
Какправило, эта нелинейность вводится в модели для учета ограничений уровнейпеременных при исследовании поведения систем управления в режимах большихотклонений от положения равновесия.
Нелинейный элемент типа«зона нечувствительности» (рис.26, б) учитывает реальные свойствадатчиков, исполнительных механизмов и других устройств при малых входных сигналах.
/>
Нелинейностьтипа «люфт» (рис.26, в) является многозначной – одному значению входасоответствует бесчисленное множество (континуум) значений выхода. Этот НЭмоделирует кинематические сочленения механических приборов и устройств(например, редукторов).
Приведенныекусочно-линейные СХ непрерывны, но имеют разрыв производной dy/dx.Существуют и кусочно-линейные СХ с разрывами первого рода.
Рассмотрим нелинейныеэлементы с гладкими СХ. Гладкие СХ имеют непрерывные производные. Таковымиявляются характеристики термопары (рис.27, а), устройства возведениявходного сигнала в квадрат (рис.27, б), в куб (рис.27, в),индукционных электромеханических преобразователей угла, электромагнитныхявлений с гистерезисом и др.
/>
Нелинейные зависимостимежду значениями входа и выхода можно задавать параметрически – парой функций x(t),y(t); исключая параметр t, получим непосредственную связьмежду переменными входа и выхода. В случае однозначных СХ в качестве входа x(t)особенно удобен периодический сигнал треугольной формы с достаточнойамплитудой, выход НЭ будет периодически повторять форму СХ. Для сложных НЭ снеоднозначными СХ выбор функции x(t) из условия исчерпывающегозадания НЭ парой вход-выход является нетривиальной задачей. По существу, речьидет об экспериментальном исследовании НЭ, успех которого зависит от априорнойинформации.
3.2 Динамическиенелинейные элементы
В общем случаедифференциальные уравнения, описывающие элементы систем или сами системы,являются нелинейными:
/> (71)
Иногда они разрешаютсяотносительно старшей производной переменной выхода:
/> (72)
Примерами служатдифференциальные уравнения математического маятника /> и уравнение Ван дер Поля:
/>
Частодифференциальные уравнения представляются в форме Коши:
/> (73)
где n – вектор переменныхсостояния; j – вектор-функция; y – функция выхода. Вуравнениях (71)-(73) предполагается, что нелинейные функции заданы аналитически.
Временная характеристикадинамического линейного элемента – функция веса w(t) позволяетсвязывать переменные входа и выхода с помощью интеграла свертки. В линейныхдинамических элементах условия преобразования сигналов определялись лишьчастотным спектром сигнала и не зависели от его уровня. Преобразование сигналовдинамическими НЭ в значительной степени зависит как от уровней сигналов, так иот их частотных спектров.
3.3 Нелинейные модели сраскрытой структурой
/> /> /> /> />
/> /> />
Рис.28. Нелинейный интегратор
Рис.28. Нелинейный интегратор
Вомногих случаях нелинейные модели появляются в результате дополнения линейныхмоделей нелинейными элементами, учитывающими такие естественные факторы, какограниченность управляющих воздействий, наличие зоны нечувствительности визмерительных и исполнительных элементах, люфтов в кинематических сочлененияхили искусственное введение нелинейностей в алгоритмы управления для получениясвойств, недостижимых в линейных системах.
Простейший пример такоймодели – нелинейный интегратор dy/dt = F(x) структурноизображается как последовательное соединение безынерционного НЭ и линейногоинтегрирующего звена (рис.28). На рис.29, а изображен другой пример –модель системы с обратной связью в форме структурной схемы, а на рис.29, бта же модель представлена в форме сигнального графа, одна из дуг которойпомечена двумя штрихами, указывающими на нелинейный характер преобразованиясигнала.
/>
В этихпримерах разделены динамическая линейная часть и безынерционная нелинейность:нелинейные эффекты сосредоточены в безынерционном, а динамические – в линейномэлементах.
4.Примеры математических моделей объектов горной электромеханики
Модель асинхронногоэлектропривода резания угледобывающего комбайна
Уравнение моментов:
/>
где
/>
/>
/>
Jэд – момент инерции ротораи приведенных к нему вращающихся частей; w – угловая частота тока всети; s – скольжение двигателя; p – число пар полюсовэлектродвигателя; Qт – теоретическая производительностьгидронасоса; Pо – давление в гидросистеме; wн – угловая скорость насоса(равная угловой скорости электродвигателя); Мо – моментрезания при толщине срезаемой стружки h =0; а¢ – коэффициент, зависящийот крепости разрушаемого угля.
Скольжениедвигателя для устойчивой части механической характеристики приближенно можноопределить по формуле
/>
где sк,Мк – соответственно критическое скольжение и критическиймомент электродвигателя.
Окончательно получим
/>
где
/>; />
Модель системырегулирования нагрузки на электропривод угледобывающего комбайна в зависимостиот скорости подачи
Уравнениеотносительно момента сил сопротивления резанию в направлении подачи имеет вид:
/>
где t – время пробега резцомрасстояния между соседними резцами одной линии резания; /> – скоростьподачи резца.
Модель управленияскоростью вращения вала электродвигателя постоянного тока шахтной подъемнойустановки
Уравнение относительноскорости вращения W:
/>
где Тэд= L/R – электромагнитная постоянная двигателя; Тм= JR/cecм– электромеханическая постоянная двигателя; kд= 1/сe– коэффициент усиления двигателя по управляющему воздействию; /> = R/cecм– коэффициент усиления двигателя по нагрузке; Uвх –напряжение якоря электродвигателя; W – частота вращенияротора; Мс – момент нагрузки на валу электродвигателя.
Передаточная функция понагрузке (возмущению):
/>
Заключение
Достовернуюматематическую модель объекта можно найти аналитическим путем. Для этогонеобходимо располагать всесторонними сведениями об объекте (конструкции,законах, описывающих протекающие в нем процессы, условиях функционирования ивзаимодействия со средой). Однако часто из-за отсутствия достаточных данныхполучить решение задачи таким путем не удается. Трудности примененияаналитических методов возникают и при описании реальных объектов, процессы вкоторых имеют сложный характер. Поэтому в подобных случаях эти методы дополняютсяэкспериментальными исследованиями. Преимуществом моделей, полученныхтеоретическим путем, как правило, является их достаточно общий вид, позволяющийрассматривать поведение объектов в различных возможных режимах.
С практической точкизрения, более привлекательны экспериментальные методы, позволяющие находитьмодели объектов по результатам измерения их входных и выходных переменных. Хотяэти методы также предполагают наличие априорных сведений об изучаемом объекте,но их характер может быть не столь обстоятельным. Как правило, уровеньаприорных сведений должен быть достаточным лишь для выбора структуры модели иусловий проведения эксперимента. Построение моделей объектов на основе такогоподхода обычно называют идентификацией.
Рекомендательныйбиблиографический список
Алексеев А.А. Теория управления:Учебное пособие / А.А.Алексеев, Д.Х.Имаев, Н.Н.Кузьмин, В.Б.Яковлев; СПбГЭТУ,СПб, 1999. 435с.
Борисов Б.М., Математические модели ирасчет систем управления техническими объектами: Учебное пособие / Б.М.Борисов,Н.В.Пальянова, В.И.Экгардт; СПГГИ, СПб, 1999. 45с.
Наладкасредств автоматизации и автоматических систем регулирования: Справочник // Подредакцией А.С.Клюева. М.: Энергоатомиздат, 1989. 368с.
Толпежников Л.И. Автоматическоеуправление процессами шахт и рудников: Учебник для вузов. М.: Недра, 1985.352с.
Содержание
Введение
1. Математическоемоделирование систем управления
1.1 Операторыпреобразования переменных
1.2 Классы моделей
1.3 Способы построениямоделей
1.4 Особенностиструктурных моделей систем управления
2. Линейные модели ихарактеристики систем управления
2.1 Модели вход-выход
2.2 Построение временныххарактеристик
2.3 Построение частотныххарактеристик
2.4 Построение моделей посистеме дифференциальных уравнений
2.5 Построение моделей вход-выход по уравнениям вформе пространства состояний
2.6 Модели системуправления с раскрытой причинно-следственной структурой
2.7 Типовые звеньяавтоматических систем управления
2.8 Характеристики системс типовой структурой
2.9 Неопределенность моделейсистем управления
3. Нелинейные элементысистем управления
3.1 Безынерционныенелинейные элементы
3.2 Динамическиенелинейные элементы
3.3 Нелинейные модели сраскрытой структурой
4. Примеры математическихмоделей объектов горной электромеханики
Заключение