КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
ВАРИАНТ 2.3
№ 1. Записать общее уравнение прямой, переходящей через точку М (-2, 4)перпендикулярно прямой x+2y+5=0. Найти площадь треугольника, образованного данной прямой с осями координат.
Запишем уравнение прямой в виде:
/>.
Коэффициент К найдем из условия перпендикулярности прямых:
/>
Получим уравнение прямой:
/>
Сделаем чертеж
/>
/>
Ответ: />
№ 2. Записать общее уравнение прямой, проходящей точку М (-2, 2) иотсекающей от первого координатного угла треугольник площадью S=4,5 кв.ед.
Сделаем схематический чертеж
Площадь треугольника будет равна />.
Координаты точек А и В найдем из уравнения прямой, которое запишем ввиде
/>
Из уравнения
/>
Получим прямую с угловым коэффициентом />
/>
Значение /> соответствует прямой,которая отсекает треугольник площадью S=4,5 от третьегокоординатного угла..
/>
№ 3. Даны вершины треугольника А (2,1,0), В (3,-1,1) и С (1,2,-4).Записать общее уравнение плоскости, проходящей через сторону АВ перпендикулярноплоскости треугольника АВС.
Общее уравнение имеет вид:
/>
Для нахождения A,B,C и D необходимо составить триуравнения.
Два уравнения получим из условия, что искомая плоскость проходит черезточки А и В. Третье — из условия, что искомая плоскость перпендикулярнаплоскости, проходящей через три точки А, В и С. условие перпендикулярностиплоскостей:
/>
Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки А, В, С по формуле:
/>
Разложим определитель по первой строке, подготовив числовые значения:
/>
Получим уравнение плоскости:
/>
Запишем условие перпендикулярности плоскостей:
/>
Условие, что искомая плоскость:
через точку А: />;
через точку В: />.
Получим систему уравнений:
/>
Складываем 2-е и 3-е уравнения: />, 1-е уравнение умножаем на 2 ивычитаем из полученного:
/>
Из 1-го уравнения: />.
Из 3-го уравнения: />. Принимаем />, получаем
/>.
Уравнение плоскости имеет вид:
/>
№ 4. Найти расстояние от точки /> до прямой />.
Расстояние r найдем по формуле расстояния отточки /> до прямой, заданнойуравнением в канонической форме:
/>
№ 5. Найти длину отрезка, отсекаемого от оси ординат плоскостью, котораяпроходит через точку /> перпендикулярно вектору />, где В — точкапересечения медиан треугольника, вершины которого совпадают с точкамипересечения осей координат с плоскостью
/>
Для нахождения решения найдем уравнение плоскости, которая проходитчерез точку А в заданном направлении и подставим в это уравнение значение />.
Для этого вначале найдем координаты точки В.
Точку пересечения заданной плоскости с осью ОХ найдем из уравнения:
/>
с осью OY:
/>
с осью OZ:
/>
Получим треугольник с вершинами: />.
Найдем координаты середины стороны /> по формуле:
/>.
/> —середина стороны />.
Теперь найдем точку В, используя свойство: медианы треугольника делятсяв точке пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Используем формулу:
/>
Точка пересечения медиан имеет координаты />.
Найдем координаты вектора />.
/>
Уравнение искомой плоскости, проходящей через точку /> перпендикулярно вектору/> имеетвид:
/>
№ 6. Две прямые параллельны плоскости />. Первая прямая проходит черезточку /> ипересекает ось абсцисс, вторая — через точку /> и пересекает ось ординат. Найтикосинус острого угла между направляющими векторами этих прямых.
Для нахождения направляющих векторов прямых используем условиепараллельности прямой и плоскости
/>
и условие, что прямая проходит через ось абсцисс, т.е. выполняетсясоотношение /> вточке (x,0,0).
/>
подставляем из 1-го уравнения во второе, получим
/>
Полагаем /> тогда />.
Получили направляющий вектор первой прямой (6,-2,-3).
Аналогично для второй прямой (она проходит через точку (0,y,0)
/>
Из второго уравнения
/>
Косинус найдем по формуле:
/>
№ 7. Найти координаты центра /> окружности радиусом 5, касающейсяпрямой /> вточке М (2,0), если известно, что точка С расположена в первой четверти.
Переформулируем задачу:
Найти точку, лежащую на прямой, перпендикулярной прямой />, проходящей через точкуМ (2,0) и отстоящую от нее на 5 ед.
Запишем уравнение прямой в виде />, коэффициент kнайдем из условия перпендикулярности прямых
/>
Получаем уравнение прямой
/>
Используем формулу расстояния между двумя точками:
/>
По условию второе решение не походит, т.к. x
/>
№ 8. Дана кривая />
8.1. Доказать, что эта кривая — гипербола.
/>—это каноническое уравнение гиперболы. Приведем исходное уравнение к этому виду
/>
Это каноническое уравнение гиперболы.
8.2 Найти координаты ее центра симметрии.
Сделаем схематический чертеж:
Центр симметрии гиперболы в точке />.
/>.
8.3. Найти действительную и мнимую полуоси.
/>
8.4. Записать уравнение фокальной оси.
Фокальная ось проходит через фокус />, р-фокальный параметр (половинахорды, проведенной через фокус перпендикулярно действительной оси).
Уравнение />, где
/>
8.5. Построить данную гиперболу построение проведено в п.8.2.
№ 9. Дана кривая />.
9.1. Доказать, что данная кривая — парабола.
Каноническое уравнение параболы />, заданное уравнение приведем кэтому виду
/>
следовательно, имеем параболу.
9.2. Найти координаты ее вершины.
Если уравнение параболы записано в виде />, координаты вершины />.
/>
9.3. Найти значение ее параметра р.
Из уравнения—— видно, что />.
/>
9.4. Записать уравнение ее оси симметрии.
Данная ось проходит через вершину параболы перпендикулярно оси ОХ, ееуравнение />.
/>
9.5. Построить данную параболу.
Все параметры известны. Найдем пересечение с осью OY.
/>
№ 10. Дана кривая />.
10.1. Доказать, что эта кривая — эллипс.
Каноническое уравнение эллипса
/>
Общее уравнение кривой второго порядка:
/>.
Перепишем заданное уравнение:
/>
Введем обозначения:
/>
Если /> имеем эллипс. Проводим вычисленияпри a=8, b=6, c=17,d=-14, l=-23, f=-43.
/>
следовательно, исходная кривая — эллипс.
10.2. Найти координаты центра его симметрии.
Применим формулу:
/>
10.3. Найти его большую и малую полуоси.
Для этого приведем уравнение к каноническому виду, вычислим:
/>
Уравнение запишем в виде:
/> где
/>
Получим уравнение эллипса в новых координатах, где осями координатявляются оси, полученные переносом начала координат в центр эллипса /> и поворотомосей на угол α, определяемый уравнением />, при этом угловой коэффициентновой оси />
/>
10.4. Записать общее уравнение фокальной оси.
Фокальная ось проходит через фокус перпендикулярно оси />. В новых координатах />.
Воспользуемся формулой преобразования координат:
/>
Осталось составить уравнение прямой, проходящей через точку скоэффициентом наклона 2. Общий вид такой прямой />, получим:
/>
10.5. Построить данную кривую.
Для этого в старой системе координат строим новую систему. Новые осинаправлены по прямым — y=2x-1 и/>. Далее,определим вершины эллипса.
В новых координатах они равны />.
В старых:
/>