--PAGE_BREAK--A1 = , A2 = ,..., AN = , A0=
состоят соответственно из коэффициентов при неизвестных и свободных членах.
Матричная форма записи. Минимизировать линейную функцию,Z= СХ при ограничениях АХ = А, Х 0, где С = (с1, с2, ..., сN) — матрица-cтрока; А = (аij) — матрица системы;
Х = — матрица-столбец, А0= матрица-столбец
Запись с помощью знаков суммирования.Минимизировать линейную функцию Z = Сjхjпри ограничениях
0пределение 1.Планом или допустимым решением задачи линейного программирования называется Х = (х1, х2, ..., хN), удовлетворяющий условиям (1.2) и (1.3).
0пределение 2.План Х = (х1, х2, ..., хN) называется опорным, если векторы А (i= 1, 2, ..., N), входящие в разложение (1.4) с положительными коэффициентами х, являются линейно независимыми.
Так как векторы А являются N-мерными, то из определения опорного плана следует, что число его положительных компонент не может превышать М.
0пределение 3.Опорный план называется невырожденным, если он содержит М положительных компонент, в противном случае опорный план называется вырожденным.
0пределение 4. Оптимальным планом или оптимальным решением задачи линейного программирования называется план, доставляющий наименьшее (наибольшее) значение линейной функции.
В дальнейшем рассмотрено решение задач линейного программирования, связанных с нахождением минимального значения линейной функции. Там, где необходимо найти максимальное значение линейной функции, достаточно заменить на противоположный знак линейной функции и найти минимальное значение последней функции. Заменяя на противоположный знак полученного минимального значения, определяем максимальное значение исходной линейной функции.
1.2
Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.
Рассмотрим задачу линейного программирования, система ограничений которой задана в виде неравенств.
Найти минимальное значение линейной функции
(1.5) Z=С1х1+С2х2+… +СNxN
при ограничениях
a11x1+ a22x2+ ...+a1NХN b1
a21x1+ a22x2+ ...+a2NХN b2
(1.6) … .
aM1x1+ aM2x2+ ...+aMNХN bM
(1.7) xj 0 (j = 1, 2,… ,n)
Совокупность чисел х1, х2, ..., хN, удовлетворяющих ограничениям (1.6) и (1.7), называется решением. Если система неравенств (1.6) при условии (1.7) имеет хотя бы одно решение, она называется совместной, в противном случае — несовместной.
Рассмотрим на плоскости х1Ох2совместную систему линейных неравенств
a11x1+ a22x2 b1
a21x1+ a22x2 b2
… .
aM1x1+ aM2x2 bM
x1 0, x2 0
Это все равно, что в системе (1.6) — (1.7) положить N=2. Каждое неравенство этой системы геометрическиопределяет полуплоскость с граничной прямой
ai1x1+ ai2x2 = bi ,(i= 1, 2, ..., m). Условия неотрицательности определяют полуплоскости соответственно с граничными прямыми х= 0, х = 0. Система совместна, поэтому полуплоскости, как выпуклые множества, пересекаясь, образуют общую часть, которая является выпуклым множеством и представляет собой совокупность точек, координаты каждой из которых являются решением данной системы (рис. 1.1).
Совокупность этих точек (решений) назовем многоугольником решений. Он может быть точкой, отрезком, лучом, много-угольником, неограничен-ной многоугольной облас-тью.
Если в системе ограничений (1.6) — (1.7) n= 3, то каждое нера-венство геометрически представляет полупространство трехмерного пространства, граничная плоскость которого ai1x1+ ai2x2+ ai3x3 = bi ,(i= 1, 2, ..., n), а условия неотрицательности – полупрост-ранства с граничными плоскостями соответственно хj= 0 (j= 1, 2, 3). Если система ограничений совместна, то эти полупространства, как выпуклые множества, пересекаясь, образуют в трехмерном пространстве общую часть, которая называется многогранником решений. Многогранник решений может быть точкой, отрезком, лучом, многоугольником, многогранником, многогранной неограниченной областью. Пусть в системе ограничений (1.6) — (1.7) n3; тогда каждое неравенство определяет полупространство n-мерного пространствас граничной гиперплоскостью ai1x1+ ai2x2+ aiNxN = bi (i= 1, 2, ..., m), а условия неотрицательности – полупространствас граничными гиперплоскостями хj0 (j= 1, 2, ..., n).
Если система ограничений совместна, то по аналогии с трехмерным пространством она образует общую часть n-мерного пространства, называемую многогранником решений, так как координаты каждой еготочки являются решением.
Таким образом, геометрически задача линейного программированияпредставляет собой отыскание такой точки многогранника решений,координаты которой доставляют линейной функции минимальное значение, причем допустимыми решениями служат все точки многогранника решений.
2. Графический метод решения
задачи линейного программирования.
2.1. Область применения.
Графический метод основан на геометрической интерпретации задачи линейного программирования и применяется в основном при решении задач двумерного пространства и только некоторых задач трехмерного простран6тва, так как довольно трудно построить многогранник решений, который образуется в результате пересечения полупространств. Задачу пространства размерности больше трех изобразить графически вообще невозможно.
Пусть задача линейного программирования задана в двумерном пространстве, т.е. ограничения содержат две переменные.
продолжение
--PAGE_BREAK--