Федеральноеагентство по образованию
Государственное образовательноеучреждение
высшего профессиональногообразования
«ВЛАДИМИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра: Функциональный анализ иего приложения
Самостоятельная работа поматематике
Владимир 2009
Задача 1. />Коллинеарность векторов
а = { 2; -1; 6 } в ={ -1; 3; 8 }
c1=5a – 2b = {5*2 – 2*(-1); 5*(-1) – 2*3; 5*6-2*8} = {12; -11; 14 }
с2=2а – 5в ={2*2 – 5*(-1); 2*(-1) – 5*3; 2*6-5*8 } = {9; -17; -28 }
/> ≠ /> ≠-/>
12/9 ≠ 11/17 ≠-14/28
Ответ: не коллинеарны.
Задача 2. Косинус угламежду векторами АВ и АС
А (3; 3; -1 ) B (5; 1; -2 ) C (4; 1; -3 )
/> = {2; -2; -1 } |/>| =/> = />
/> = {1; -2; -2 } |/>| = /> = />
cos (/>ˆ/>) = />= />
Задача 3. Площадьпараллелограмма построенного на векторах а и в.
а=5p-q b=p+q |p|=5 |q|=3 (pˆq) = 5/>
S=|5p — q|*|p + q|=|5p*p + 5p*q — q*p — q*q|=|5p*q + p*q| =6*|p*q|=6|p|*|q|*sin(pˆq)=
=6*5*3*sin5/>
sin5/>=/> 90*/>=45
Задача 4. Компланарностьвекторов а, в, с.
а = { 1; -1; 4 } в = { 1;0; 3 } с = { 1; -3; 8 }
/>
1*(0*8 — 3*(-3)) — (-1)*(1*8 — 1*3)+4(1*(-3) — 1*0)=9 + 5 — 12=2
2≠0 — некомпланарны.
Задача 5. Объем тетраэдрас вершинами в точках А1 А2 А3 А4 иего высоту, опущенную из вершины А4на грань А1 А2А3.
А1 = { 0; -3;1 } А2 = { -4; 1; 2 } А3 = { 2; -1; 5 } А4 = {3; 1; -4 }
/>= { -4; 4; 1 }
/>= { 2; 2; 4 }
/>= { 3; 4; -5 }
/>
=/>* |(-4)*(2*(-5) — 4*4) — 4*(2*(-5) — 3*4)+ 1*(2*4 — 3*2)=
=/>|40 + 64 + 40 + 48 + 8 — 6|=/>194=32,33
/>
= />|i*(4*4 — 1*2) — j*((-4)*4 — 2*1)+k*((-4)*2 — 2*4)= />|14i + 18j- 16k|=
=/>√142+182-162=/>√264=/>*16,25=8,125
h=/>=11,94
Задача 6. Расстояние от точки М0доплоскости, проходящей через три точки
/>.
М1 (1; 2; 0 ) М2(3; 0; -3 ) М3 (5; 2; 6 ) М0(-13; -8; 16 )
/>
(х-1) * ((-2)*6 — 0*(-3))- (у-2)*(2*6 — 4*(-3)) + (z — 0)*(2*0 — 4*(-2))=0
(-12)*(х — 1) — 24*(у — 2)+ 8*(z — 0) = 0
(-3)*(х — 1) — 6*(у — 2) +2*(z — 0)=0
-3х — 6у + 2Z + 15 = 0
d=/>=/>
Задача 7. Уравнениеплоскости, проходящей через точку А перпендикулярно вектору />.
А (-3; -1; 7 ) B (0; 2; -6 ) C (2; 3; -5 )
/>={2; 1; 1}
2*(х + 3) + 1*(у + 1) + 1*(z — 7)=0
2х + у + z = 0
Задача 8. Угол междуплоскостями
2у + z — 9=0
х — у + 2z — 1=0
п1={0; 2; 1 }
п2={1; -1; 2 }
cosφ=/>=/>=90/>
Задача 9. Координатыточки А, равноудаленной от точек В и С.
А (х; 0; 0 ) B (4; 5; -2 ) C (2; 3; 4 )
АВ=/>=/>=/>
АС=/>=/>=/>
/>=/>
/>=х2 — 4х+29
х2 — х2 — 8х + 4х=29 – 45
-4х=-16
х=4
А (4; 0; 0 )
Задача 10. Каноническиеуравнения прямой
х — 3у + z + 2 = 0
х + 3у + 2z + 14 = 0
/>
= i*((-3)*2 — 3*1)-j*(1*2 — 1*1)+k*(1*3 — 1*(-3) = -9i -j + 6k=
/>= { -9; -1; 6}
/>
/> (-8; 0; 0 ) /> = /> = />
Задача 11. Точкапересечения прямой и плоскости
/> = /> =/>
3х – 2у + 5z – 3 = 0
/> = /> =/> = t
/>
3*(1 + 6t) — 2*(3 + t) + 5*((-5) + 3t) – 3 = 0
3 + 18t – 6 — 2t – 25 + 15t – 3 = 0
31t – 31 = 0
31t = 31
t = 1
х = 1 + 6*1 у = 3 + 1 z = (-5) + 3*1
х = 7 у = 4 z = -2
( 7; 4; -2 )