МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
Математическийфакультет
Кафедраалгебры и геометрии
Курсовая работа
КОНГРУЭНЦИИ ФРАТТИНИ УНИВЕРСАЛЬНЫХ АЛГЕБР
Исполнитель:
студенткагруппы H.01.01.01 М-43
СелюковаН.В.
Научныйруководитель:
докторфизико-математических наук,
профессоркафедры Алгебры и геометрии
МонаховВ. С.
Гомель 2004
Содержание
Введение
1.Основные определения, обозначения и используемые результаты
2.Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр
3.Конгруэнция Фраттини, подалгебра Фраттини и их свойства
Списоклитературы
Введение
Одноиз направлений исследований самых абстрактных алгебраических систем, вчастности, универсальных алгебр, связано с изучением, определенным образомвыделенных подсистем таких систем. Например, в группах — это силовскиеподгруппы, подгруппа Фраттини, подгруппа Фиттинга, в алгебрах Ли — этоподалгебра Картана, Фраттини и т.д. Разработка новых методов исследованиймультиколец, универсальных алгебр, нашедших свое отображение в книге Л. А.Шеметкова и А. Н. Скибы ``Формации алгебраических систем''(1), дает мощныйимпульс в реализации этого направленияи в универсальных алгебрах. В этойкурсовой работе решается задача, связанная с изучением свойств подалгебрФраттини и конгруэнции Фраттини универсальных алгебр, принадлежащих некоторомуфиксированному мальцевскому многообразию. В частности, получены новыерезультаты, указывающие на связь подалгебры Фраттини с фраттиниевойконгруэнцией (теоремы (4)и(5)). Установлено одно свойство подалгебры Фраттининильпотентной алгебры (теорема(2)). Как следствие, из полученных результатовследуют аналогичные результаты теории групп и мультиколец.
Перейдемк подробному изложению результатов курсовой работы, состоящей из введения, трехпараграфов и списка литературы, состоящего из пяти наименований.
/>1 носитвспомагательный характер. Здесь приведены все необходимые определения,обозначения и используемые в дальнейшем результаты.
/>2 носитреферативный характер. Здесь приводятся с доказательствами результаты работ [??],касающееся свойств централизаторов конгруэнций.
/>3 являетсяосновным. На основе введенного здесь понятия — конгруэнции Фраттини,устанавливаются некотоые свойства подалгебры Фраттини универсальной алгебры. Вчастности, доказывается, что подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры /> нормальна в /> (теорема(3)).
1. Основные определения и используемые результаты
Определение1.1[??]Пусть /> --- некоторое непустоемножество и пусть />, отображение />-ой декартовой степени /> в себя, тогда /> называют />-арной алгебраическойоперацией.
Определение1.2[??]Универсальной алгеброй называют систему /> состоящуюиз некоторого множества /> сзаданной на нем некоторой совокупностью операций />.
Определение1.3[??]Пусть /> --- некотораяуниверсальная алгебра и /> (/>), тогда /> называют подалгебройуниверсальной алгебры />, если /> замкнута относительноопераций из />.
•Для любой операции />, где /> и />.
•Для любой операции /> элемент /> фиксируемый этой операциейв /> принадлежит />.
Определение1.4Всякое подмножество /> называется бинарнымотношением на />.
Определение1.5Бинарное отношение называется эквивалентностью, если оно:
•рефлексивно />
•транзитивно /> /> и />
•симметрично /> />
Определение1.6Пусть /> некоторая эквивалентностьна />, тогда через /> обозначают множество />. Такое множество называюткласс разбиения по эквивалентности /> содержащийэлемент />. Множество всех такихклассов разбиения обозначают через /> иназывают фактормножеством множества /> поэквивалентности />.
Определим/>-арную операцию нафактормножестве /> следующимобразом:
/>
/>
Определение1.7Эквивалентность /> на алгебре /> называется ее конгруэнциейна />, если выполняетсяследующее условие:
Длялюбой операции /> для любыхэлементов /> таких, что /> имеет место />.
Определение1.8Если /> и /> --- конгруэнции на алгебре/>, />, то конгруэнцию /> на алгебре /> назовем фактором на/>.
/> тогда и толькотогда, когда />.
/> или /> или 1 — соответственнонаименьший и наибольший элементы решетки конгруэнций алгебры />.
Лемма1.1 (Цорна). Если любая цепь частично упорядоченногомножества /> содержит максимальныеэлементы, то и само множество /> содержитмаксимальные элементы.
Определение1.9Пусть /> --- бинарное отношение намножестве />. Это отношение называют частичнымпорядком на />, если оно рефлексивно,транзитивно, антисимметрично.
Определение1.10Множество с заданным на нем частичным порядком называют частичноупорядоченным множеством.
ТеоремаМальцев А.И. Конгруэнции на универсальной алгебре/> перестановочны тогда итолько тогда, когда существует такой тернарный оператор />, что для любых элементов /> выполняется равенство />. В этом случае оператор /> называется мальцевским.
Определение1.11Алгебра /> называется нильпотентной,если существует такой ряд конгруэнций />,называемый центральным, что /> длялюбого />.
Определение1.12Подалгебра алгебры /> называется собственной,если она отлична от самой алгебры />.
Определение1.13Подалгебра /> универсальной алгебры /> называется нормальнойв />, если /> является смежным классомпо некоторой конгруэнции /> алгебры/>.
Определение1.14Пусть /> и /> --- универсальные алгебрыс одной и той же сигнатурой, отображение /> называетсягомоморфизмом, если
1)/> и /> имеет место />;
2)/>, где /> и /> элементы фиксируемойоперацией /> в алгебрах /> и /> соответственно.
Определение1.15Гомоморфизм /> называется изоморфизмоммежду /> и />, если обратное к немусоответствие /> также являетсягомоморфизмом.
ТеоремаПервая теорема об изоморфизмах Пусть /> - гомоморфизм, /> --- конгруэнция, тогда />.
ТеоремаВторая теорема об изоморфизмах Пусть /> --- есть />-алгебра, /> --- подалгебра алгебры /> и /> --- конгруэнция на />. Тогда /> является подалгебройалгебры />, /> --- конгруэнцией на /> и />.
ТеоремаТретья теорема об изоморфизмах Пусть /> --- есть />-алгебра и /> и /> --- такие конгруэнции на />, что />. Тогда существует такойединственный гомоморфизм />, что />. Если />, то /> является конгруэнцией на /> и /> индуцирует такойизоморфизм />.
2. Свойства централизаторов конгруэнцииуниверсальных алгебр
Определение2.1Пусть /> и /> --- конгруэнции на алгебре/>. Тогда /> централизует /> (записывается: />), если на /> существует такаяконгруэнция />, что:
1)из />
всегдаследует />
2)для любого элемента />
всегдавыполняется />
3)если />
то />
Подтермином «алгебра» в дальнейшем будем понимать универсальную алгебру.Все рассматриваемые алгебры предполагаются входящими в фиксированноемальцевское многообразие />.
Следующиесвойства централизуемости, полученные Смитом [??], сформулируем в виде леммы.
Лемма2.1[??] Пусть />. Тогда:
1)существует единственная конгруэнция />,удовлетворяющая определению 2.1;
2)/>;
3)если />
то />
Излеммы 2.1. и леммы Цорна следует, что для произвольной конгруэнции /> на алгебре /> всегда существуетнаибольшая конгруэнция, централизующая />.Она называется централизатором конгруэнции /> в/> и обозначается />.
Вчастности, если />, тоцентрализатор /> в /> будем обозначать />.
Лемма2.2[??] Пусть />, /> --- конгруэнции на алгебре/>, />, />, />. Тогда справедливыследующие утверждения:
1)/>;
2)/>, где />;
3)если выполняется одно из следующих отношений:
/>
/>
/>
/>
4)из /> всегда следует />
Доказательство:
1)Очевидно, что /> --- конгруэнцияна />, удовлетворяющаяопределению 2.1. В силу пункта 1) леммы 2.1. и />.
2)/> --- конгруэнция на />, удовлетворяющая определению
2.1.Значит />
3)Пусть />.
Тогда />
/>
Применимк последним трем соотношениям мальцевский оператор /> такой,что />
Тогдаполучим />
т.е. />
Аналогичнымобразом показываются остальные случаи из пункта 3).
4)Пусть />
Тогдасправедливы следующие соотношения:
/>
/>
/>
Следовательно, />
где/> --- мальцевский оператор.
Тогда />
тоесть />.
Таккак />
то/>.
Такимобразом />. Лемма доказана.
Следующийрезультат оказывается полезным при доказательстве последующих результатов.
Лемма.2.3[??] Любая подалгебра алгебры />,содержащая диагональ />, являетсяконгруэнцией на алгебре />.
Доказательство:
Пусть /> />
Тогдаиз /> /> />
следует,что />
Аналогичнымобразом из /> /> />
получаем,что />
Итак,/> симметрично и транзитивно.Лемма доказана.
Лемма2.4[??] Пусть />. Тогда /> для любой конгруэнции /> на алгебре />.
Доказательство:
Обозначим/> и определим на алгебре /> бинарное отношение /> следующим образом: />
тогдаи только тогда, когда />
где/> />
Используялемму 2.3, нетрудно показать, что /> ---конгруэнция на алгебре />, причем />
Пусть />
тоесть /> />
Тогда />
и,значит />
Пусть,наконец, имеет место />
Тогдасправедливы следующие соотношения:
/>
/>
/>
применяямальцевчкий оператор /> к этим тремсоотношениям, получаем />
Излеммы 2.2 следует, что />
Таккак /> то />
Значит,/>
Но/>, следовательно, />.
Итак,/>
иудовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана.
Лемма2.5[??] Пусть />, /> --- конгруэнции на алгебре/>, /> и /> --- изоморфизм,определенный на />.
Тогдадля любого элемента /> отображение /> определяет изоморфизмалгебры /> на алгебру />, при котором />.
Вчастности, />.
Доказательство.
Очевидно,что /> --- изоморфизм алгебры /> на алгебру />, при котором конгруэнции />, /> изоморфны соответственноконгруэнциям /> и />.
Таккак />
тоопределена конгруэнция />
удовлетворяющаяопределению 2.1.
Изоморфизм/> алгебры /> на алгебру /> индуцирует в свою очередьизоморфизм /> алгебры /> на алгебру /> такой, что
/>
длялюбых элементов /> и />, принадлежащих />. Но тогда легко проверить,что /> --- конгруэнция на алгебре/>, изоморфная конгруэнции />.
Этои означает, что />
Леммадоказана.
Определение2.2[??] Если /> и /> --- факторы на алгебре /> такие, что /> то конгруэнцию /> обозначим через /> и назовем централизаторомфактора /> в />.
Определение2.3[??] Факторы /> и /> назыавются перспективными,если либо /> либо />
Теорема[??] Пусть />, />, />, /> --- конгруэнции на алгебре/>. Тогда:
1)если />, то />
2)если />, то /> />
3)если />, /> и факторы />, /> перспективны, то />
4)если /> - конгруэнции на /> и />, то />
где/>, />.
Доказательство.
1)Так как конгруэнция /> централизуетлюбую конгруэнцию и />, то />
2)Из первого пункта лемы 2.2 следует, что />
ав силу леммы 2.4 получаем, что />
Пусть/> - изоморфизм />. Обозначим
/>
Полемме 2.5 />, а по определению />
Следовательно, />
3)Очевидно, достаточно показать, что для любых двух конгруэнции /> и /> на алгебре /> имеет место равенство />
Покажемвналале, что />
Обозначим/>. Тогда, согласноопределению 2.1. на алгебре /> существуеттакая конгруэнция />, что выполняютсяследующие свойства:
а)если />, то />
б)для любого элемента />, />
в)если /> />
то/>
Построимбинарное отношение /> на алгебре /> следующим образом: />
тогдаи только тогда, когда />
и/>
Покажем,что /> --- конгруэнция на />.
Пусть/>
для/>. Тогда />
и/>
Таккак /> --- конгруэнция, то длялюбой />-арной операции /> имеем
/>
Очевидно,что />
и/>
Следовательно,/>
Очевидно,что для любой пары /> />
Значит,/>
Итак,по лемме 2.3, /> - конгруэнция на/>. Покажем теперь, что /> удовлетворяет определению2.1, то есть /> централизует />. Пусть /> (??)
Тогда/>
Таккак />,/> и />, то />. Следовательно, /> удовлетворяет определению2.1.
Если/>, то />
значит,/>
Пусть,наконец, имеет место (1) и /> (??)
Тогда/>
Таккак /> и />, то />, следовательно, />. Из (2) следует, что />, а по условию />. Значит, /> и поэтому
/>
Темсамым показано, что конгруэнция /> удовлетворяетопределению 2.1, то есть /> централизует/>.
Докажемобратное включение.
Пусть/>
Тогдана алгебре /> определена конгруэнция /> удовлетворяющаяопределению 2.1. Построим бинарное отношение /> наалгебре /> следующим образом:
/> (??)
тогдаи только тогда, когда
/> (??)
и/>, />.
Аналогично,как и выше, нетрудно показать, что /> ---конгруэнция на алгебре />. Заметим, что издоказанного включения в одну сторону следует, что />.Покажем поэтому, что /> централизует />.
Таккак /> /> /> то />
тоесть /> удовлетворяет условию 1)определения 2.1.
Если/>, то />
следовательно,/>
Пустьимеет место (3) и />.
Таккак />
то/>
Из(4) следует, что />, следовательно, />
тоесть />
Наосновании леммы 2.2 заключаем, что />
Следовательно,/>.
Атак как />, то />, то есть />
4)Обозначим />. Пусть />
иудовлоетворяет определению 2.1.
Определимбинарное отношение /> на /> следующим образом
/>
тогдаи только тогда, когда
/>
Аналогично,как и выше, нетрудно показать, что /> ---конгруэнция, удовлетворяющая определению 2.1.
Этои означает, что />
Теоремадоказана.
Какследствия, из доказанной теоремы получаем аналогичные свойства централизаторовв группах и мультикольцах.
3. Конгруэнция Фраттини, подалгебра Фраттини и ихсвойства
Определение3.1Конгруэнция /> универсальной алгебры /> называется фраттиниевой,если />, для любой собственнойподалгебры /> из />;
Определение3.2Собственная подалгебра /> универсальнойподалгебры /> называется максимальной,если из того, что для некоторой подалгебры /> выполняется/>, всегда следует, что либо />, либо />.
Будемв дальнейшем рассматривать алгебры с условием максимальности и минимальностидля подалгебр.
ТеоремаКонгруэнция /> универсальнойалгебры /> является фраттиниевойтогда и только тогда, когда для любой максимальной подалгебры /> из /> имеет место равенство />.
Доказательство:
Пусть/> --- фраттиниеваконгруэнция алгебры /> и /> --- максимальнаяподалгебра из />.
Таккак /> и />, то />.
Обратно.Пусть /> удовлетворяет свойству /> и пусть /> --- любая собственнаяподалгебра алгебры />.
Таккак выполняется условие максимальности для подалгебр, то найдется такаямаксимальная подалгебра /> алгебры/>, что />, но />.
Темсамым теорема доказана.
Определение3.3Пусть /> --- конгруэнция науниверсальной алгебре />, тогда /> называется конгруэнцией, порожденнойконгруэнцией />, если /> тогда и только тогда,когда существуют /> такие, что />.
Определение3.4Конгруэнцией Фраттини универсальной алгебры /> назовемконгруэнцию, порожденную всеми фраттиниевыми конгруэнциями алгебры /> и будем обозначать />.
ТеоремаКонгруэнция Фраттини является фраттиниевой конгруэнцией.
Доказательство:
Изтеоремы (??) следует, что достаточно показать выполнимость следующего равенства/>, где /> --- произвольнаяподалгебра алгебры />. Напомним, что />
Таккак />, то существует такаяконечная последовательность фраттиниевых конгруэнций />, что />. Это означает, чтосуществует последовательность элементов, что />.
Таккак /> и />, то />. Аналогичным образомполучаем, что />.
Следовательно,/>.
Теоремадоказана.
Напомнимследующее определение из книги.
Определение3.5Пусть /> --- множество всехмаксимальных подалгебр алгебры />, /> --- конгруэнция алгебры />, порожденная всеми такимиконгруэнциями /> на />, что />, />.
Лемма3.1[??] Конгруэнция /> являетсяфраттиниевой конгруэнцией на /> ивсякая фраттиниева конгруэнция на /> входитв />.
Доказательство:
Пусть/> --- произвольнаясобственная подалгебра алгебря />. Тогданайдется такая максимальная в /> подалгебра/>, что />. Значит, /> и тем более />. Следовательно, /> фраттиниева конгруэнция на/>.
Пустьтеперь /> --- произвольнаяфраттиниева алгебры />, /> --- произвольнаямаксимальная подалгебра из />. Тогда />, т.е. />. Следовательно, />. Лемма доказана.
Определение3.6Подалгебра Фраттини универсальной алгебры /> называетсяпересечение всех максимальных подалгебр из />,и обозначается через />.
ТеоремаПусть /> --- алгебра. Тогда />.
Доказательство:
Отпротивного. Предположим, что />. Тогдасуществует элемент /> такой, что /> не принадлежит />. Так как />, то существует /> и, следовательно, /> для любой максимальнойподалгебры /> и /> --- фраттиниева. Значит, /> принадлежит любоймаксимальной подалгебре из />.Следовательно, />. Теоремадоказана.
Лемма3.2Пусть /> --- максимальнаяподалгебра алгебры /> такая, что />, где />, тогда />.
Доказательство:
Определимбинарное отношение /> на алгебре /> следующим образом: /> тогда и только тогда,когда существует элементы /> и />.
Какпоказано в работе [??] /> --- конгруэнцияна алгебре />.
Покажем,что />, т.е. /> является смежным классомпо конгруэнции />.
Пусть/> и пусть />. В силу определения /> найдутся такие элементы /> и />, что />
Примениммальцевский оператор />. Отсюда получаем />
Следовательно,/>.
Леммадоказана.
Лемма3.3Пересечение нормальных подалгебр алгебры /> являетсянормальной подалгеброй алгебры />.
ТеоремаПодалгебра Фраттини нильпотентной алгебры /> нормальнав />.
Доказательство:
Пустьалгебра /> --- нильпотентна, тогдаона обладает таким рядом конгруэнций, />,где />. Очевидно, что для любоймаксимальной подалгебры /> алгебры/> всегда найдется такойномер />, что /> и />.
Полемме 3.2. />. Отсюда следует, что />. Так как пересечениенормальных подалгебр является нормальной подалгеброй, то />.
Теоремадоказана.
Заключение
Вданной курсовой работе приведены с доказательствами результаты работ[2],касающееся свойств централизаторов конгруэнций. А также на основе введенногоздесь понятия — конгруэнции Фраттини, устанавливаются некотоые свойстваподалгебры Фраттини — универсальной алгебры. В частности, доказано, чтоподалгебра Фраттини нильпотентной алгебры /> нормальнав />.
Списокиспользованной литературы
[1]Шеметков Л. А., Скиба А. Н., Формации алгебраических систем. — М.: Наука,1989. — 256с.
[2]Ходалевич А. Д., Универсальные алгебры с />-центральнымирядами конгруэнций// Известия АН Беларуси. Сер.физ.-мат.наук,1994. N1. с.30--34
[3]Smith J. D. Mal'cev Varieties // Lect. Notes Math. 1976. V.554.
[4]Hodalevich A. D., Maximal Subalgebras of universal algebras — Manuscript, 1994.
[5]Кон П. М., Универсальная алгебра. М.: Мир, 1968.--351с.