МетодВинера-Хопфа и его приложения в физических задачах.
Демидов Р.А., ФТФ, 2105
Введение
Указанный метод подходитдля решения интегральных уравнений на полубесконечном промежутке с ядром,зависящим от разности аргументов – речь идет об уравнениях вида
/>.
Этот метод былпредложен в совместной работе Н.Винера и Э.Хопфа в 1931 году, и находитразнообразные применения в теории дифференциальных и интегральных уравнений, атакже в их приложениях в физических задачах.
В своей работе я опишусам метод Винера-Хопфа, а также приведу его применение к решению краевых задачматфизики.
1.Метод
1.1Случай бесконечного промежутка
Метод Винера-Хопфаоснован на специальном виде ядра интегрального уравнения – оно зависит отразности аргументов, а не от самого аргумента. Собственно, для началарассмотрим уравнение вида
/>(1)
— это уравнение сбесконечным промежутком и тем же самым ядром. Решение его существует, есливыполняются 2 условия:
/>,
а также условиесходимости нормы u(x):
/>.
Эти условия работаютпри действительных λ. Мы рассмотрим два способа решения этого уравнения –один, использующий свойство свертки напрямую, другой – с помощью резольвенты.Итак,первый.Заметим, что в случае именно бесконечного промежуткаинтеграл представляет собой свертку ядра и функции u(x).Вспомнив, что Фурье-образы функций u(x),f(x),g(x)выглядят как, воспользуемся свойством образа свертки двух функций – “образсвертки есть свертка образов”.Тогда для функций U(k),V(k),F(k)– образов соответствующих функций, получаем алгебраическое уравнение:
/>(2)
/>
Данное свойство образасвертки доказывается “в лоб”, а именно – домножением равенства (1) на/>и интегрированием по всейдействительной оси:
/>
Делая замену во второминтеграле (x-s)=t,получаем
/>,
что и требовалосьдоказать.
Видим, что мы свелиисходную задачу к алгебраическому уравнению относительно образа исходнойфункции u(x).Выражая его через образы ядра и f(x), производяобратное преобразование Фурье, получаем в качестве искомого решения:
/> =>
=>/>/>(3)
Второйспособ: вычисляем резольвенту уравнения как
/> (4)
В виде Фурье — образовэто равенство выглядит так:
/>,
где G(k)вычисляется как
/> (5)
V(k)– Фурье-образ исходного ядра v(x)уравнения (1).То есть для решения исходного уравнения необходимо найти функцию g(x), применивобратное преобразование Фурье к (5), и подставить его в (4). Этот способ нетребует вычисления каждый раз интегралов для F(k)при смене функции f, она подставляетсяв самом конце один раз, поэтому такой способ быстрее.
На примере этой задачимы поняли, как решать уравнение с бесконечным промежутком интегрирования. Наэтом примере мы будем строить решение уравнения с полубесконечным промежутком –и опишем метод Винера-Хопфа.
1.2 Полубесконечный промежуток
Понятно, что в случае,если интегрирование идет не с -∞, а с 0, переходя к образам, мы не можемвоспринимать наш интеграл как свертку – а значит, и не можем написать нашеуравнение. Запишем некоторые свойства преобразования Фурье, связанные сполубесконечными промежутками, которые нам понадобятся в дальнейшем. Итак, вслучае разбиения функции f(x)на два куска – f+(x)и f-(x),(f(x)=f+(x)+ f-(x))представляющих собой правый и левый концы следующим образом:
/>
выражения для прямых иобратных преобразований Фурье для них будет выглядеть так:
f+:/>,
при />причемздесь /> — комплексная переменная, ивыполняется неравенство Im(k)=τ> τ —. Причем
/>
Обратное преобразованиевыглядит так:
/>,
и здесь мы интегрируемпо любой прямой Im(k)=τ> τ — .
f-:При/>
для прямогопреобразования Фурье имеем
/>,
к здесь та же к.п., этоверно в области с Im(k)=τ
/>
Интегрирование идет потой же прямой с Im(k)=τ
При τ-
/>
как раз в полосе τ- 0 функция полоса Im(τ)=0попадает в границы интегрирования, и интеграл можно взять вещественным, выбравмнимую часть τ нулем.
Применим этисоображения к решению искомого уравнения. (6)
/>(6)
Разложим неизвестнуюфункцию u(x)на составляющие u+, u-:
/>
/>
При подстановке этихфункций в уравнение (6) мы получаем два уравнения на каждую часть u(x).Фактсуществование решения мы примем без доказательств. Мы ищем решения,удовлетворяющие следующим условиям:
/>,
/>µ
При их выполнении вполосе µ
Переходя по формулампреобразования Фурье к уравнению для образов, аналогично проделанному в §1, мыимеем право пользоваться теми же свойствами, по причине именно такого выборафункций u+ ,u-.Итак,получаем:
/> ,
что видно изпредставления u(x)=u+(x)+u-(x),U(k)=U+(k)+U-(k)и уравнения (6).Перенося все в левую часть, видим, что
/>,
если так задать функциюL(k).
/>
Мы подошли к сутиметода Винера-Хопфа: путем преобразования Фурье свели наше уравнение калгебраическому, но уже относительно образов функции. Однако в нашем случае, вотличие от §1, неизвестныхфункций в нем две, и обе нам нужны. Грубо говоря, нампозволено найти решение, но оно не будет однозначным, и данный метод работаетлишь для определенного вида функций.Пусть мы нашу функцию L(k)можем представить как частное функций L+(k),L-(k), уравнениепринимает при этом вид
/>,
и известно следующее –“плюсовая” часть есть аналитическая функция к.п. в области />,“минусовая” часть аналитическая функция в области />,µ (которая непуста )существуетединственная общая функция U(k),совпадающая с U+ ,U-в соответствующих областях. Если дополнительно задать, что функции L+,L-растут не быстрее степенной функции kn,то функции можем считать определенными, и приравнять правую и левую часть вобщем случае многочлену Pn(k)(это получается, если учесть стремление U+,U-кнулю по |к|-> ∞.Теперь у нас неопределенности нет, и в общем виде этовыглядит так:
Если степень ростафункций Lестьединица(растут не быстрее линейной функции), то мы имеем для кусков функции L(k)следующее:
/>,
и в итоговом решениибудет присутствовать произвольная константа C.Приведупример последнего случая с n=0.Пример.
/>
— интегральноеуравнение с полубесконечным промежутком и нулевой fдля простоты. Решим его м.В.-Х.
Как видим, мы имеемдело с ядром вида exp(-|x|).Найдемего Фурье-образ, и далее, функцию L(k):
/>
/>
— являетсяаналитической в области -1
/>
При 0 0.5 условия выполняются в полосе 0
/>,
и, применяя обратноепреобразование Фурье, находим u+(x):
/>,
что верно для />Решение в квадратурах найдено, этотинтеграл подлежит простому подсчету. На выходе получим:
/>
Как видим, решениеполучено с точностью до константы.
1.3В общем виде
Изложим методВинера-Хопфа в общем виде. Возьмем обобщенное уравнение
/>
и поставим задачу:найти функции Ψ1, Ψ2, удовлетворяющие нашемууравнению в полосе />, стремящихся к нулю при />.A,B,C– аналитические в нашей полосе функции, для ограничения вырожденного случая A,Bне равны в полосе нулю. Идею решения такого уравнения мы в основном ужеизлагали, здесь она немного расширена. Итак, представляем A/Bкак частное функций L+,L-,
/>,
причем L+аналитическая в области Im(k)> τ-, L-аналитическая в области Im(k)
/>
Теперь, если удаетсяразбить слагаемое, не содержащее Ψ, на два, как
/>,
что будет верно внекоторой подполосе нашей полосы, и сгруппировать идентичные слагаемые, то получаем:
/>
— это чуть более общееравенство, чем то, что мы получали ранее для частного случая. Как и ранее – изсходимости обоих пси к нулю при стремлении kпо модулю к бесконечности, сходимости L+L-не быстрее многочлена степени n,а также учитывая, что существует единственная пси в нашей полосе, составленнаяиз Ψ1, Ψ2, мы получаем следующие соотношения:
/>
Рn(k)– многочлен, коэффициенты которого определяются из доп.условий. Далее – решениебудет равно обратному преобразованию Фурье от суммы Ψ1, Ψ2.
Что осталось выяснить,так это саму возможность так раскладывать функции. Приведем нескольку лемм,обосновывающих возможность такой работы с нашими функциями.
Лемма1:Пусть образ F(k)аналитический в полосе />,F(k)равномерно стремится к 0 при |k|->∞ Тогда в этой полосе возможно разбиение функции Fкак />,F+(k)аналитическая в Im(k)>τ-, F-(k)аналитическая в Im(k)
/>
Доказательство: Рассмотримсистему отсчета так, как это изображено на картинке. Посчитаем значение F(k0)– в точке, лежащей внутри прямоугольного контура abcd.Поформуле Коши расписали в интеграл по контуру.Перейдем к пределу A->∞, и устремим контур к полосе.
/>
Тогда в пределе получаем
/>,
где эти части есть
/>
Каждая функция задана всвоей области, а на их пересечении в нашей полосе мы имеем равенство. Что итребовалось доказать, в общем то. Очевидно, что из их сходимости следует иограниченность F+(k),F-(k)в рассматриваемой полосе.
Лемма2:Пустьфункция Ф(k) являетсяаналитической и не равной нулю в полосе />, причем Ф(k)равномерно стремится к 1 при |k|->∞.Тогда/>, где функции Ф+, Ф-соответственно аналитические в
/> и/>
Доказательство:
Заметим, что дляфункции />выполнены условия леммы1, значит, мыимеем право ее представить суммой F+,F-, а Ф – произведением:
/>, Ф=Ф+*Ф-.
Условия на границы помнимой оси для функций Ф+, Ф- сохранятся => леммадоказана.
Теперь сделаем еще однообобщение – покажем, как в общих чертах работает этот метод для неоднородногоуравнения
/> (7)
Проводя аналогичныерассуждения, разбивая u(x)на две вспомогательные функции, замечаем, что при выполнении условий для модуля
/>
в полосе /> мы можем переходить к образамфункций и мы получим
/>
предварительно разбив Fна две. Принимая за функцию L(x)ф-ю
/>,
аналитическую встандартной полосе /> и равномерно стремящуюся к 1 при />наше алгебраическое уравнениеперепишется как
/>
Далее, точно такжеразделяем L на две части как
/>,
И L+ — аналитическая в />, L- — аналитическая в />. По аналогии приводя к общемузнаменателю, получаем уравнение на U+,U-:
/>
При успешном разложениипоследнего члена как
/>,
где по все той жеаналогии D+ иD-аналитические в областях /> соответственно, мы записываемрешения в виде
/>.
При этом мывоспользовались той же сходимостью – L+,L-растут не быстрее чем kn,а значит, для выполнения условий необходим полином в числителе.
Как видим, и эта,неоднородная задача, успешно решилась методом Винера-Хопфа. Как таковой, методоснован на некой аналогии разделения переменных – мы разделяем одну функцию насумму двух, каждая из которых закрывает свою зону комплексной плоскости, и скаждой половиной работаем отдельно.
Метод мы рассмотрели,поняли, как он работает, теперь рассмотрим его конкретное применение – вкраевых задачах математической физики.
2.Применение метода Винера-Хопфа
До этого мырассматривали наш метод для решения интегральных уравнений, однородных инеоднородных, с специальным ядром. Сейчас же рассмотрим уравнение Лапласа икраевую задачу на нем, тем самым обобщив м. В.-Х. и на дифференциальныеуравнения в частных производных.
Итак, задача: в верхнейполуплоскости найти гармоническую функцию, удовлетворяющую следующим условиям:
/>
Для этого решим к.задачу на уравнении />, />, и перейдем уже врешении к пределу в нуле по каппа.
Разделяя переменные, иприменяя метод Фурье, в общем виде находим решение:
/>,
где f(k)- произвольная функция комплексного параметра k,
/>
Для удовлетворенияфункции u граничным условиямдолжны выполняться 2 условия на f(очевидноиз представления u):
/>
Решение строится, если L(k)аналитическая в полосе τ- 0. Тогда
/>,
где L+аналитическаяв верхней полуплоскости τ-
/>,
где константаопределяется как
/>
Эти результаты мыполучаем, замыкая контур интегрирования и пользуясь леммами Жордана обинтегрировании по верхней/нижней полуплоскости. Убеждаемся, что вид функции L
/>
нам подходит.Подставляя его в предыдущие равенства, получаем
/>и
/>,
что решает задачу.Теперь, как мы в самом начале говорили, перейдем к пределу по каппа к нулю и впределе получаем гармоническую функцию:
/>
вычисляя интеграл,получаем
/>
Дальнейшие вычисленияприводят нас к следующему результату:
/>-
если вводимвспомогательную функцию так, то
/>,z=x+iy.
Получили ответ задачи.
Вывод
В работе мы рассмотрелиметод на примере интегральных уравнений, и обосновали его правильность. После мыприменили его к решению краевой задачи матфизики, используя представления ометоде Винера-Хопфа из области специальных интегральных уравнений.
В общем то, мыприменили небанальный переход, когда устремляли каппа к 0, и получалигармоническое уравнение.
В общем и целом, методВинера-Хопфа, хоть и является достаточно узким методом, направленным на решениеконкретного И.У. с определенным ядром, позволяет решать многие математическиезадачи помимо своего прямого предназначения.
Списокиспользованной литературы
1.Б.Нобл. “Применение Метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравненийв частных производных.”
2.Свешников, Тихонов, “Теория функций комплексного переменного.”