ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
Определение. Вектором называется направленный отрезокпрямой. Точка /> называется началом вектора />, а точка /> – егоконцом (рис. 1).
Обозначения: />, />.
/>
Определение. Длина вектора называется его модулеми обозначается />, />.
Определение. Координатами вектора /> называютсякоординаты его конечной точки. На плоскости Oxy/>; в пространстве Oxyz/>.
Определение. Суммой и разностью векторов /> и /> являются соответственно векторы
/>;
/>;
произведение вектора /> на число l есть вектор
/>.
Определение. Длина вектора равна корню квадратному из суммыквадратов его координат:
/> (наплоскости);
/> (впространстве).
Определение.Расстояние dмежду двумя точками Aи Bможно рассматривать как длину вектора />, т.е.
/> (на плоскости);
/> (в пространстве).
Определение. Если два вектора /> и />перпендикулярны,то
/> (наплоскости);
/> (впространстве).
Определение Вектор Xназывается собственным вектором линейногооператора A(матрицы A), если найдется такое число l, что AX=lX.
Число l называется собственным значением оператораA, заданного матрицей A, т.е. собственные значения находятсяиз характеристического уравнения />.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ОпределениеОбыкновенное дифференциальноеуравнение –уравнение, связывающее искомую функцию одной переменной и производные различныхпорядков данной функции.
Определение Порядок старшей производной – порядокдифференциального уравнения.
Определение Решение дифференциального уравнения – такая функция y=y(x), которая при подстановке ее в это уравнение обращаетего в тождество.
Определение Задача нахождения решениядифференциального уравнения называется задачей интегрирования данного дифференциальногоуравнения.
Определение Общее решение дифференциальногоуравнения n— го порядка называется такое егорешение />, которое является функцией переменной x и n постоянных. Частное решение при конкретныхзначениях />.
Определение Дифференциальное уравнение первогопорядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если ономожет быть представлено в виде
/>.
Определение Д.у. первого порядка называется однородным,если оно может быть представлено в виде
/>.
(Для решения используетсязамена t=y/x)/
Определение Дифференциальное уравнение первогопорядка называется линейным, если оно имеет вид
/> (линейноенеоднородное).
(Сначала решаем уравнение/> - линейное однородное, находим y и подставляем в исходное).
Определение Уравнение вида
/>
называется уравнениемБернулли.
(Для решения используетсязамена />).Линейные однородное д.у. второго порядкас постоянными коэффициентамиОпределениеЛинейные однородные д.у. второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
/>=0
(Для решения этогоуравнения составляем характеристическое уравнение />).
Теорема 1) Пусть характеристическое уравнениеимеет действительные корни l1 и l2, причем />. Тогда общее решениеуравнения имеет вид
/> (С1,С2 – некоторые числа).
2) Если характеристическое уравнение имеетодин корень l (кратности 2), то общее решение имеет вид
/> (С1,С2 – некоторые числа).
3) Если характеристическое уравнение неимеет действительных корней, то общее решение имеет вид
/>, где
/>, С1, С2– некоторые числа.
НЕОБХОДИМЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О КАСАТЕЛЬНОЙ
Общее уравнениепрямой:Ax+By+C=0
Уравнение прямой сугловым коэффициентом:
y=kx+b
(k=tgjкоэффициент прямой равен тангенсуугла наклона этой прямой)
Если две прямые y=k1x+b1и y=k2+b2 параллельны, то k1=k2.
Если две прямые y=k1x+b1и y=k2+b2 перпендикулярны, то k1*k2=-1.
Уравнение прямой,проходящей через данную точку в данном направлении(известен коэффициент k):
Пусть прямая проходитчерез точку M1(x1;y1) и образует с осью Ox угол />
y-y1=k(x-x1)
Уравнение прямой,проходящей через две данные точки M1(x1;y1) и M2(x2;y2):
/>
Уравнение касательнойк кривой y=f(x) в точке xпримет вид
y-f(x)=f¢(x)(x-x)
Геометрический смыслпроизводной:
f¢(x)=k=tga
(производная f¢(x) есть угловой коэффициент(тангенсугла наклона) касательной, проведенной к кривой y=f(x) в точке x)
МАТРИЦЫ
Определение: Матрицей размера m/>n называется прямоугольная таблицачисел, содержащая mстрок и n столбцов. Числа, составляющиематрицу, называются элементами матрицы.
Матрица размера m/>n:
/>.
Виды матриц
Определение: Матрица, состоящая из одной строки,называется матрицей (вектором)-строкой, а из одного столбца – матрицей(вектором)- столбцом.
Пример:
/>; />.
Определение: Матрица называетсяквадратной n-го порядка, если число еестрок равно числу столбцов и равно n.
Пример:
/>-квадратная матрица третьего порядка.
Определение: Элементы матрицы aij, у которых номер столбца равенномеру строки (i=j), называются диагональными иобразуют главную диагональ матрицы.
Определение: Если все недиагональные элементыквадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.
Пример:
/>-диагональная матрица третьего порядка.
Определение: Если у диагональной матрицы n-го порядка все диагональные элементыравны единице, то матрица называется единичной матрицей n-го порядка, она обозначается буквой E.
Пример:
/> -единичная матрица второго порядка;
/>-единичная матрица третьего порядка.
Определение: Матрица любого размера называется нулевой,если все элементы равны нулю.Операциинад матрицами
1. Умножениематрицы на число
Каждый элемент матрицыумножается на это число.
Пример:
/>, 0,5/>.
2. Сложениематриц
!!! Можно складыватьматрицы только одинаковых размеров.
Матрицы складываютсяпоэлементно.
Пример:
/>.
3. Вычитаниематриц
!!! Можно вычитатьматрицы только одинаковых размеров.
Матрицы вычитаютсяпоэлементно.
Пример:
/>.
4. Умножениематриц
!!! Матрицу Аможно умножить на матрицу В, если число столбцов матрицы А равночислу строк матрицы В.
Произведением матрицы /> называется такая матрица />, каждый элемент которой cijравен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементыj-го столбца матрицы В.
5. Возведениев степень
Целой положительнойстепенью Аm(m>1)квадратной матрицы А называется произведение m матриц равных А, т.е.
/>.
Пример:
/>,найти А2.
/>
6. Транспонированиематрицы
Транспонированная матрица – матрица, в которой строки истолбцы поменялись местами с сохранением порядка. Обозначается />.
Пример:
/>.
Обратная матрица
Определение: Матрица />называетсяобратной по отношению к квадратной матрице А, если при умноженииэтой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица,т.е.
/>.
!!! Обратная матрица существует иединственна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная (т.е.определитель матрицы отличен от нуля).
Алгоритм вычисленияобратной матрицы:
1. Находимопределитель матрицы, т.е./>.
2. Находимтранспонированную матрицу, т.е./>.
3. Находимприсоединенную матрицу, т.е /> (матрица, состоящая изалгебраических дополнений к элементам транспонированной матрицы).
4. Вычисляемобратную матрицу по формуле />.
5. Проверяемправильность вычисления, исходя из определения обратной матрицы.Ранг матрицы
Определение: Ранг матрицы – это наивысший порядок,отличных от 0, миноров матрицы.
!!! Чтобы найти рангматрицы нужно сначала привести матрицу с помощью элементарных преобразований к ступенчатомувиду (все элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны 0).
Элементарными называются следующие преобразованияматриц:
1) умножение всехэлементов какой-либо строки (столбца) матрицы на одно и то же число, отличноеот нуля;
2) прибавление кэлементам какой-либо строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другойстроки (столбца), умноженных на одно и то же число;
3) перемена местамистрок (столбцов) матрицы;
4) отбрасываниестрок (столбцов) матрицы, все элементы которых равны нулю.
МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
На практике частосталкиваемся с задачей о сглаживании экспериментальных зависимостей.
Пусть зависимость междудвумя переменными xиy выражается в виде таблицы,полученной опытным путем. Это могут быть результаты опыта или наблюдений,статистической обработки материала и т.п.
xi
x1
x2
…
xn
yi
y1
y2
…
yn
Требуется наилучшимобразом сгладить экспериментальную зависимость между переменными xи y, т.е. по возможности точно отразить общую тенденциюзависимости yот x, исключив при этом случайные отклонения, связанные снеизбежными погрешностями измерений или статистических наблюдений. Такуюсглаженную зависимость стремятся представить в виде формулы y=f(x) – эмпирическая формула.
Задача нахожденияэмпирической формулы разбивается на два этапа:
- устанавливаетсявид зависимости y=f(x), т.е. решить, является ли она линейной, квадратичной,логарифмической или какой-либо другой (в нашей задаче зависимость линейная- y=ax+b);
- определениенеизвестных параметров этой функции по методу наименьших квадратов, согласнокоторому, в качестве неизвестных параметров функции f(x) выбирают такие значения, чтобы сумма квадратовотклонений «теоретических» значений f(xi), найденных по эмпирической формулеy=f(x), от соответствующихопытных значений быламинимальной, т.е.
/>
(в нашей задаче />).
В результате решения такой экстремальной задачи с помощьючастных производных:
/>,
получаем систему нормальныхуравнений, из которой находим параметры aиbлинейнойзависимости:
/>.
НЕОБХОДИМЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯИНТЕГРАЛОВ
Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке Х, если в каждой точке этогопромежутка F¢(x)=f(x).
Определение: Совокупность всех первообразных дляфункции f(x) на промежутке Х называется неопределенныминтегралом от функции f(x) и обозначается />, т.е.
/>.
Формула Ньютона-Лейбница (для вычисления определенных интегралов):
/>
Формула для вычислениядифференциала функции y=f(x):
dy=f¢(x)dx.
Некоторые свойстванеопределенного и определенного интегралов:
Н.и. />, где с – некоторое число,
О.и./>, где с – некоторое число;
Н.и./>,
О.и./>.
!!! Неопределенныйинтеграл находится приведением интеграла к табличному (сумме табличных) спомощью этих двух свойств или с помощью таких приемов, как методыинтегрирования заменой переменных и по частям.
Формула заменыпеременной внеопределенном интеграле:
/>, где /> -функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.
Формула заменыпеременной вопределенном интеграле:
/>,где /> - функция имеет непрерывную производную наотрезке [a,b].
Формула интегрированияпо частям внеопределенном интеграле:
/>,
где u=u(x), v=v(x) – дифференцируемые функции переменной х.
При этом />
Постоянную С ввыражении для v в формулеинтегрирования по частям полагают равной 0.
Формула интегрированияпо частям вопределенном интеграле:
/>,
где u=u(x), v=v(x) – функции, имеющие непрерывныепроизводные на отрезке [a,b].Табличные интегралы
/>;
/>;
/>;
/>;
/>;
/>;
/>;
/>;
/>;
/>.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Определение. Пусть дана квадратная матрица второгопорядка
/>.
Определителем (илидетерминантом) второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число,получаемое по правилу:
/>.
Определение. Пусть дана квадратная матрицатретьего порядка
/>.
Определителем (или детерминантом)третьего порядка,соответствующим данной матрице, называют число, получаемое по правилу:
/> />
/>.
Для того, чтобы запомнить, какиепроизведения в правой части соотношения следует брать со знаком “+”, какие – сознаком “–”, полезно следующее графическое правило, называемое правиломтреугольников:/> /> /> /> />
–со знаком “+”; – со знаком “–”.
ПРЕДЕЛЫ
Основные понятия и определения
Определение: Функция />называетсябесконечно малой величиной (БМВ) при /> или при />, если ее предел равен нулю:
/>.
Свойства бесконечно малых величин:
- алгебраическаясумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая;
- произведение БМВна ограниченную функцию есть БМВ;
- частное от деленияБМВ на функцию, предел которой отличен от 0, есть БМВ.
Определение: Функция />называетсябесконечно большой величиной (ББВ) при /> или при />, если ее предел равен бесконечности.
!!! Если /> - БМВ при /> или при />, то функция /> являетсяББВ при /> или при />. Верно иобратное утверждение.
Свойства бесконечно больших величин:
- сумма ББВ иограниченной функции, есть ББВ;
- произведение ББВна функцию, предел которой отличен от 0 есть ББВ;
- частное отделения ББВ на функцию, имеющую предел, есть ББВ.Основные теоремы о пределах
1. Функция не можетиметь более одного предела.
2. Пределалгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этихфункций.
3. Пределпроизведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций.
4. Предел постояннойвеличины равен этой постоянной.
5. Предел частногодвух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что пределделителя не равен 0).
6. Если />. Виды неопределенностей
/>.
!!! Основной задачей привычислении пределов является устранение неопределенностей с помощьюалгебраических преобразований.
1) для неопределенностивида />:
- Если в числителеи знаменателе сложные степенные или показательные функции и />. Вычисление пределов в случае отношениястепенных функций производится путем вынесения за скобку в числителе изнаменателе дроби переменной xвнаибольшей степени среди всех слагаемых дроби (неопределенность устраняетсяпосле сокращения дроби и применения основных теорем о пределах); в случаепоказательных функций за скобку выносится наибольшее слагаемое.
- Правило Лопиталя:Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равенпределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последнийсуществует в указанном смысле, т.е.
/>.
2) длянеопределенности вида />:
- Если возможно, точислитель и знаменатель разложить на множители. Неопределенность устраняетсяпосле сокращения дроби.
- Числитель изнаменатель дроби домножить на одно и то же выражение, приводящее к формуламсокращенного умножения. Неопределенность устраняется после сокращения дроби.
Формулы сокращенногоумножения:
(a-b)(a+b)=a2-b2
(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3
- Правило Лопиталя.
3) длянеопределенности вида [0/>]:
- Выражение,представляющее собой произведение функций, нужно преобразовать в частное (неменяя смысла). После чего неопределенность преобразуется к виду /> или />.
4) длянеопределенности вида [/>]:
- Если функция,стоящая под знаком предела, представляет собой сумму или разность дробей, тонеопределенность или устраняется, или приводится к типу /> послеприведения к общему знаменателю.
- Если функция,стоящая под знаком предела, представляет собой разность или суммуиррациональных выражений, то неопределенность или устраняется, или приводится ктипу /> путем домножения и деления функции на одно ито же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения.
5) длянеопределенности вида [/>]:
- Выражение,стоящее под знаком предела представляет собой степенно-показательную функцию (восновании которой необходимо выделить целую часть дроби). Неопределенностьустраняется при помощи выделения второго замечательного предела.
Формула второгозамечательного предела:
/>; />.
ПРОИЗВОДНАЯ
Определение: Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции кприращению независимой переменной при стремлении последнего к 0 (если этотпредел существует):
/>
Если функции u(x) и v(x) дифференцируемые, то справедливы следующие правиладифференцирования:
(u+v)¢=u¢+v¢
(u-v)¢=u¢-v¢
(uv)¢=u¢v+uv¢
(cu)¢=cu¢
/>
Производные основныхэлементарных функций:
(c)¢=0; (x)¢=1
простые
сложные
степенная
/>
степенная
(un)¢=nun-1u¢
показательная
(ex)¢= ex
(ax)¢=axlna
показательная
(eu)¢= euu¢
(au)¢=aulna*u¢
логарифмическая
(lnx)¢=/>
(logax)¢=/>
логарифмическая
(lnu)¢=/>
(logau)¢=/>
тригонометричекая
(sinx)¢=cosx
(cosx)¢=-sinx
(tg x)¢=/>
(ctg x)¢=/>
тригонометричекая
(sinu)¢=cosu*u¢
(cos u)¢=-sin u*u¢
(tg u)¢=/>
(ctg u)¢=/>
СУММЫ ПРОГРЕССИЙ,
ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Арифметическая прогрессия
/>, гдеd– разность;
/>.
Геометрическая прогрессия
/>;
/>.
Бесконечно убывающая геометрическаяпрогрессия
/>;
/>
Значениятригонометрических функцийa
p/6
(30°)
p/4
(45°)
p/3
(60°)
p/2
(90°)
2p/3
(120°)
3p/4
(135°)
5p/6
(150°)
p
(180°) sina 1/2
/>/2
/>/2 1
/>/2
/>/2 1/2 cosa 1
/>/2
/>/2 1/2 -1/2
-/>/2
-/>/2 -1 tga
/>/3 1
/> -
-/> -1
-/>/3 ctga -
/> 1
/>/3
-/>/3 -1
-/> - a
7p/6
(210°)
5p/4
(225°)
4p/3
(240°)
3p/2
(270°)
5p/3
(300°)
7p/4
(315°)
11p/6
(330°)
2p
(360°) sina -1/2
/>/2
/>/2 -1
-/>/2
-/>/2 -1/2 cosa
-/>/2
/>/2 1/2 1/2
/>/2
/>/2 1 tga
/>/3 1
/> -
-/> -1
-/>/3 ctga
/> 1
/>/3
-/>/3 -1
-/> -
ИССЛЕДОВАНИЕФУНКЦИИ y=f(x)И ПОСТРОЕНИЕ ЕЕ ГРАФИКА
Схема исследования:
1. Найти областьопределения функции (ООФ – значения переменной х, при которых функциясуществует).
2. Исследоватьфункцию на четность – нечетность:
Если f(-x)=f(x), то функция четная (графиксимметричен относительно оси Оy).
Если f(-x)=-f(x), то функция нечетная (графиксимметричен относительно начала координат).
3. Найтивертикальные асимптоты.
!!! Вертикальныеасимптоты х=х0 следует искать в точках разрыва функции y=f(x) или на концах ее области определения (a,b), если aиb— конечные числа.Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х0(исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции при х®х0-0(слева) или х®х0+0 (справа) – равен бесконечности, т.е. limf(x)=/>или limf(x)=/>.Тогда прямая х=х0 является вертикальной х®х0-0 х®х0+0асимптотой графика функции y=f(x).
4. Найти горизонтальныеасимптоты (исследовать поведение функции в бесконечности).
Пусть функция y=f(x) определена при достаточно больших х исуществует конечный предел функции limf(x)=b.
Тогда прямая y=b есть Х/>
горизонтальная асимптота графика функции y=f(x).
Замечание. Если конечен только один из пределов limf(x)=bл
или Х/>
limf(x)=bп, то функция имеет левостороннююy=b л
или правостороннюю Х/>
y=bп горизонтальную асимптоту.
5. Найти наклоннуюасимптоту.Пусть функция y=f(x) определена при достаточно больших х и существуютконечные пределы функции lim/>и lim[f(x)-kx]=b Х/> Х/>Тогда прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функцииy=f(x).
!!! Наклонная асимптота, так же, как и горизонтальная, можетбыть правосторонней или левосторонней.
6. Найти экстремумы(максимум, минимум) и интервалы монотонности (возрастание, убывание) функции.
- найти производнуюфункции (разложить ее на множители) и приравнять ее к 0, т.е. />;
- найти корни этогоуравнения и точки, в которых производная не существует (критические точки);
- исследовать знак производнойслева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличииэкстремумов функции (найти ординаты точек экстремума!);
- на промежутке,где /> - функция возрастает; на промежутке, где /> - функция убывает.
7. Найти точкипересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки,уточняющие график.
!!! Уравнение оси Ох: y=0.
Уравнение оси Oy:х=0.
8. Используя результаты исследования, построить графикфункции.