Контрольная работа натему:
«Матрицы, действия сними»
1. Историческаясправка
Понятие Матрица(в математике) было введено в работах У. Гамильтона и А. Кэли всередине 19 века. Основы теории созданы К. Вейерштрассом и Ф. Фробениусом(2-я половина 19 века и начало 20 века). И.А. Лаппо-Данилевский разработалтеорию аналитических функций от многих матричных аргументов и применил этутеорию к исследованию систем дифференциальных уравнений с аналитическимикоэффициентами. Матричные обозначения получили распространение в современнойматематике и её приложениях. Исчисление Матрица (в математике) развивается внаправлении построения эффективных алгоритмов для численного решения основныхзадач.
2. Раскрытиетемы
Понятие оматрице
Матрица –множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m-строк и n-столбцов. Дляобозначения матрицы используется надпись:
/>
aij, I – номер строки, j – номер столбца.
Элементыматрицы, стоящие на диагонали, идущие из верхнего левого угла называют главнойдиагональю, другую диагональ называют побочной.
/> пример 1.
Элементыглавной диагонали: 1,6,5. Побочной диагонали: 3,6,3. (пример 1)
/> пример 2.
Есликоличество строк m матрицы не равно количеству столбцов n, то матрица называетсяпрямоугольной (пример 2).
Есликоличество столбцов матрицы совпадают с количеством строк, то матрица называетсяквадратной (пример 1).
Количествострок или столбцов в квадратной матрице называются ее порядком.
Если всеэлементы квадратной матрицы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, томатрица называется диагональной (пример 3).
/>пример3
Если все числаглавной диагонали равны единице, то матрица называется единичной (пример 4).
/>пример 4
Если впрямоугольной матрице m*n m=1, то получается матрица-строка (пример 5).
xT = (2 3 5).пример 5.
Если n=1, то получаетсяматрица-столбец (пример 6).
/>пример 6.
Матрицы-строкиматрицы-столбцы называются векторами.
Свойстваматриц:
§ A + (B + C) = (A + B) + C
§ A + B = B + A
§ A(BC) = (AB) C
§ A (B + C) = AB + AC
§ (B + C) A = BA + CA
§ (AT) T= A
§ (A *B) T = BT * AT
Действия сматрицами
1. Сложениематриц
Матрицыодинакового размера можно складывать.
Суммой двухтаких матриц А и В называется матрица С, элементы которой равны суммесоответствующих элементов матриц А и В. Символически будем записывать так:А+В=С.
Пример.
/>
Легко видеть,что сложение матриц подчиняется переместительному и сочетательному законам:
А+В=В+А
(А+В)+С=А+(В+С).
Нулеваяматрица при сложении матриц выполняет роль обычного нуля при сложении чисел:А+0=А.
2. Вычитаниематриц.
Разностьюдвух матриц А и В одинакового размера называется матрица С, такая, что
С+В=А
Из этогоопределения следует, что элементы матрицы С равны разности соответствующихэлементов матриц А и В.
Обозначаетсяразность матриц А и В так: С=А – В.
Пример.
/>
3.Умножение матриц
Рассмотримправило умножения двух квадратных матриц второго порядка.
/>
Произведениемматрицы А на матрицу В называется матрица С=АВ.
Правилаумножения прямоугольных матриц:
- Умножениематрицы А на матрицу В имеет смысл в том случае, когда число столбцов матрицы Асовпадает с числом строк в матрице В.
- Врезультате умножения двух прямоугольных матриц получается матрица, содержащая столькострок, сколько строк было в первой матрице и столько столбцов, сколько столбцовбыло во второй матрице.
/>
4. Умножениематрицы на число
При умноженииматрицы A на число a все числа, составляющиематрицу A, умножаются на числоa.Например, умножим матрицу /> начисло 2. Получим />, т.е. приумножении матрицы на число множитель «вносится» под знак матрицы.
5. Транспонированиематрицы
Транспонированнаяматрица – матрица AТ, полученная из исходной матрицы A заменой строкна столбцы.
Формально,транспонированная матрица для матрицы A размеров m*n – матрица AT размеров n*m, определённая как AT[i,j] = A [j, i].
Например,
/>
Свойстватранспонированных матриц
1. (AT)T = A
2.(A + B)T = AT + BT
3.(AB)T = BTAT
4.detA = detAT
Списоклитературы
1. Баврин, Матросов В.Л. Высшаяматематика: Учебник для студентов ВУЗов – М.: 2002.
2. Беллман Р. Введение втеорию матриц. – М.: Мир, 1969
3. Дж. Голуб, Ч. ВанЛоун Матричные вычисления. – М.: Мир, 1999.