МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
Математический факультет
Кафедра дифференциальных уравнений
Качественное исследование в целом двумерной квадратичнойстационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго порядка
Дипломная работа
Исполнитель:
студентка группы М-51 БРАВАЯ Е.Н.
Научный руководитель:
доцент, к. ф-м. н. ФИЛИПЦОВ В.Ф.
Рецензент:
профессор, д. ф-м. н. СТАРОВОЙТОВЭ.И.
Гомель 2003
Реферат
Дипломная работа 38 страниц,11 источников.
Ключевые слова исловосочетания: квадратичная двумерная стационарная система, частный интеграл,парабола, гипербола, окружность, точка, характеристическое уравнение,характеристическое число, узел, седло, фокус.
Данная работа содержитрезультаты исследований автора, относящиеся к качественному исследованию вцелом двумерной квадратичной стационарной системы.
Основным инструментомисследований является понятие частного интеграла.
Работа состоит из двух глав.
В первой главе проводитсяпостроение квадратичных двумерных стационарных систем с заданными интегралами,при этом коэффициенты интегралов выражаются через коэффициенты системы, акоэффициенты системы связаны между собой тремя соотношениями.
Во второй главе проводитсякачественное исследование в целом выделенных в первой главе классов систем прификсированных значениях некоторых параметров.
Содержание
Реферат
Введение
1. Построение квадратичных двумерных стационарных систем
1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системыс частным интегралом в виде параболы
1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системыс частным интегралом в виде окружности либо гиперболы
1.3 Необходимые и достаточные условия существования усистемы (1.1) двух частных интегралов (1.3), (1.13)
2. Качественное исследование построенных классов систем
2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданнымиформулами (1.28) — (1.31)
2.2 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданнымиформулами (1.41) — (1.42)
2.3 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданнымиформулами (1.52) — (1.53)
Заключение
Список использованных источников
Приложение А
Приложение Б
Приложение В
Введение
Известно, что в элементарныхфункциях и даже в квадратурах интегрируются очень немногие классыдифференциальных уравнений. В связи с этим появилась необходимость в созданиитакой теории, с помощью которой можно было бы изучать свойства решенийдифференциальных уравнений по виду самих уравнений. Такой теорией, наряду саналитической, и является качественная теория дифференциальных уравнений.
Впервые задача качественногоисследования для простейшего случая системы двух дифференциальных уравнений сполной отчетливостью была поставлена А. Пуанкаре [7] в конце прошлого столетия.Позднее исследования А. Пуанкаре были дополнены И. Бендиксоном [3, с. 191-211]и уточнены Дж.Д. Биркгофом [4, с.175-179].
/> (0.1)
Одной из задач качественнойтеории дифференциальных уравнений является изучение поведения траекторийдинамической системы (0.1) на фазовой плоскости в целом в случае, когда P (x,y) и Q (x,y) — аналитические функции. Интерес к изучению этой системы или соответствующего ейуравнения объясняется их непосредственным практическим применением в различныхобластях физики и техники.
/> (0.2)
Имеется много работ, вкоторых динамические системы изучались в предположении, что их частнымиинтегралами являются алгебраические кривые. Толчком к большинству из нихпослужила работа Н.П. Еругина [6, с.659 — 670], в которой он дал способпостроения систем дифференциальных уравнений, имеющих в качестве своегочастного интеграла кривую заданного вида.
Знание одного частногоалгебраического интеграла системы (0.1) во многих случаях помогает построитьполную качественную картину поведения интегральных кривых в целом. Отметим рядработ этого характера для систем (0.1), в которых P (x,y) и Q (x,y) — полиномы второй степени.
Н.Н. Баутиным [1, с.181 — 196]и Н.Н. Серебряковой [8, с.160 — 166] полностью исследован характер поведениятраекторий системы (0.1), имеющей два алгебраических интеграла в виде прямых. В[10, с.732 — 735] Л.А. Черкасом такое исследование проведено для уравнения (0.2)при наличии частного интеграла в виде кривой третьего порядка. Яблонский А.И. [11,с.1752 — 1760] и Филипцов В.Ф. [9, с.469-476] изучали квадратичные системы спредположением, что частным интегралом являлись алгебраические кривыечетвертого порядка.
В данной работерассматривается система
/> (0.3)
и проводится качественноеисследование в целом системы (0.3) при условии, что частным интегралом являетсякривая четвертого порядка, которая распадается на две кривые второго порядка,одна из которых парабола, вторая окружность или гипербола.
Работа состоит из двух глав.
В первой главе проводитсяпостроение квадратичных двумерных стационарных систем с заданными интегралами,при этом коэффициенты интегралов выражаются через коэффициенты системы, акоэффициенты системы связаны между собой тремя соотношениями.
Во второй главе проводитсякачественное исследование в целом выделенных в первой главе классов систем прификсированных значениях некоторых параметров.
/>/>/>/>/>1. Построение квадратичных двумерных стационарных систем
/>/>/>/> 1.1 Построение квадратичной двумерной стационарнойсистемы с частным интегралом в виде параболы
Рассмотрим системудифференциальных уравнений
/> (1.1)
Пусть система (1.1) имеетчастный интеграл вида:
/>, (1.2)
где Fk (x,y) — однородные полиномы от x и y степени k.
В качестве частного интеграла(1.2) возьмем параболу вида:
F (x,y) º y+a1 x2 +a2 x+a3 = 0 (1.3)
Будем предполагать, что a3 ¹ 0, то есть парабола не проходит через началокоординат.
Согласно [10, с.1752-1760] дляинтеграла (1.3) системы (1.1) имеет место соотношение:
/>/>/>, (1.4)
где L (x,y) = px+my+n, p, m, n — постоянные.
Тогда следуя формуле (1.4) получимравенство:
(2a1x+a2) (ax+by+a1x2+2b1xy+c1y2)+ (cx+dy+a2x2+2b2xy+c2y2)= = (y+a1x2+a2x+a3) (px+my+n).
Приравнивая коэффициенты приодинаковых степенях xm yn слева и справа, получим равенства:
(2a1-p)a1= 0 (1.51)
(4b1-m)a1= 0 (1.52)
2a1c1= 0 (1.53)
(2a-n) a1+ (a1-p) a2+a2= 0 (1.61)
2a1b+ (2b1-m) a2+2b2+p= 0 (1.62)
a2c1+c2-m= 0 (1.63)
(a-n) a2-pa3n+c= 0 (1.71)
a2b-a3m+d-n= 0(1.72)
a3n= 0 (1.73)
Пусть a1¹ 0, тогдаиз равенств (1.51), (1.52), (1.53), (1.63)и (1.73) получаем, что
P=2a1, m=4b1, c1=0, c2=4b1, n=0(1.8)
Из соотношений (1.61),(1.62) и (1.71) найдем выражения коэффициентов кривой(1.3) через коэффициенты системы (1.1) в следующем виде:
a1/>, (1.9)
a2/>, (1.10)
a3/>. (1.11)
Равенство (1.72) сучетом полученных выражений (1.9) — (1.11), даст условие, связывающеекоэффициенты a, b, c, d, a1, a2, b1, b2:
/> (1.12)
Итак, установлена следующаятеорема:
Теорема 1.1 Система (1.1) имеетчастный интеграл (1.3), коэффициенты которого выражаются формулами (1.9) — (1.11),при условии, что коэффициенты системы связаны соотношением (1.12) и c1= 0, c2= 4b1, a1¹0, 2b1a-a1b¹0.
/>/>/>/> 1.2 Построение квадратичной двумерной стационарнойсистемы с частным интегралом в виде окружности либо гиперболы
Пусть теперь система (1.1) нарядус интегралом (1.3) имеет интеграл в виде:
y2+sx2+bx+gy+d=0 (1.13)
Будем рассматривать теперьсистему:
/> (1.14)
Согласно формуле (1.4), где L
(x,y) = m1x+n1y+p1,
m1, n1, p1 — постоянныедля системы (1.1), имеем:
(2a1-m1)s2= 0 (1.151)
(4b1-n1)s+2a1= 0 (1.152)
m1= 4b2(1.153)
n1=8b1(1.154)
(2a-p1)s+ (a1-m1) b+a2g=0 (1.161)
2bs+ (2b1-n1) b+ (2b2-m1) g+2c= 0 (1.162)
(4b1-n1)g+2d-p1= 0 (1.163)
(a-p1) b+cg+m1d= 0 (1.171)
bb+ (d-p1) g-n1d= 0 (1.172)
p1d= 0 (1.173)
Предположим, что кривая непроходит через начало координат, то есть d¹0.
Пусть s¹0, тогдаиз равенств (1.151), (1.153), (1.154) и (1.173)получаем, что
m1=4b2, n1=8b1, a1=2b2, p1=0 (1.18)
А из соотношений (1.161),(1.163) и (1.171) найдем выражения коэффициентов кривой(1.13) через коэффициенты системы (1.1) в следующем виде:
/> (1.19)
/> (1.20)
/> (1.21)
/> (1.22)
Подставляя коэффициенты s, b, g и d в равенства (1.162) и (1.172), получим дваусловия, связывающие коэффициенты a, b, c, d, a2, b1, b2:
/> (1.23)
/> (1.24)
Итак, установлена следующаятеорема:
Теорема 1.2 Система (1.14)имеет частный интеграл (1.13), коэффициенты которого выражаются формулами (1.19)- (1.22), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями (1.23),(1.24) и b1¹0, b2¹0, a1=2b2.
/>/>/>/> 1.3 Необходимые и достаточные условия существованияу системы (1.1) двух частных интегралов (1.3), (1.13)
В разделах 1.1-1.2 мыполучили, что система (1.1) будет иметь два частных интеграла в виде кривыхвторого порядка при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями:
/>
/> (1.25)
/>
Причем b1¹0, b2¹0, a1¹0, b1a-b2b¹0.
Выражая c изпервого уравнения системы (1.25), получим
/> (1.26)
Подставим (1.26) во второе итретье уравнения системы (1.25). Получим два соотношения, связывающие параметрыa, b, d, a2, b1, b2:
/>
Пусть />и
/> (1.27)
Из первого уравнения системы(1.27) получим
/>
Подставляя />во второе уравнение системы (1.27), найдем
/>.
Из соотношений (1.25) приусловиях (1.27) получаем, что коэффициенты системы (1.1) определяютсяследующими формулами:
/> (1.28)
/> (1.29)
/> (1.30)
/>, />, />, />, /> (1.31)
Равенства (1.9) — (1.11),(1.19) — (1.22) при условии, что имеют место формулы (1.28) — (1.31), дадутследующие выражения для коэффициентов интегралов (1.3) и (1.13):
a1/> (1.32)
a2/> (1.33)
a3/> (1.34)
s/> (1.35)
b/> (1.36)
g/> (1.37)
d/> (1.38)
Теорема 1.3 Система (1.1) имеетчастные интегралы вида (1.3) и (1.13) с коэффициентами, определенными формулами(1.32) — (1.38), при условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются черезпараметры по формулам (1.28) — (1.31).
Пусть
/> (1.39)
Из первого уравнения системы(1.39) найдем
/>, />.
Подставляя /> во второе уравнениесистемы (1.39), получим равенство:
/> (1.40)
Поскольку />, то рассмотрим два случая:
/>, тогда />.
Из соотношений (1.25) приусловиях (1.39) и (1.40) получаем, что коэффициенты системы (1.1) определяютсяследующими формулами:
/>, />, /> (1.41)
/>, />, />, />, /> (1.42)
Равенства (1.9) — (1.11),(1.19) — (1.22) при условии, что имеют место формулы (1.41) — (1.42), дадутследующие выражения для коэффициентов интегралов (1.3) и (1.13):
a1/> (1.43)
a2/> (1.44)
a3/> (1.45)
s/> (1.46)
b=0 (1.47)
g/> (1.48)
d/> (1.49)
Теорема 1.4 Система (1.1) имеетчастные интегралы вида (1.3) и (1.13) с коэффициентами, определенными формулами(1.43) — (1.49), при условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются черезпараметры по формулам (1.41) — (1.42).
б) /> (1.50)
/> (1.51)
Из (1.50) найдем />:
/>
Из соотношений (1.25) приусловиях (1.39) и (1.50) — (1.51) получаем, что коэффициенты системы (1.1) определяютсяследующими формулами:
/>, /> - любое число, /> (1.52)
/>, />, />, />/>, /> (1.53)
Равенства (1.9) — (1.11) и(1.19) — (1.22) при условии, что имеют место формулы (1.52) — (1.53), дадутследующие выражения для коэффициентов интегралов (1.3) и (1.13):
a1=0 (1.54)
a2/> (1.55)
a/>/> (1.56)
s/> (1.57)
b/> (1.58)
g/> (1.59)
d/> (1.60)
Теорема 1.5 Система (1.1) имеетчастные интегралы вида (1.3) и (1.13) с коэффициентами, определенными формулами(1.54) — (1.60), при условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются черезпараметры по формулам (1.52) — (1.53).
/>/>/>/>/>2. Качественное исследование построенных классов систем
/>/>/>/> 2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами,заданными формулами (1.28) — (1.31)
Будем проводить нашеисследование в предположении, что />, />, />.
Пусть мы имеем систему (1.1),коэффициенты которой определяются согласно формулам (1.28) — (1.31), тогдасистема (1.1) запишется в виде:
/> (2.1)
Интегральные кривые в этомслучае имеют вид:
/> (2.2)
/> (2.3)
Найдем состояния равновесиясистемы (2.1). Приравняв правые части системы нулю и исключив переменную y,получим следующее уравнение для определения абсцисс состояний равновесия:
/> (2.4)
Из (2.4) получаем, что
/>, />, />, />.
Ординаты точек покоя имеютвид:
/>, />, />, />.
Итак, имеем точки
/>, />, />, />.
Исследуем поведениетраекторий в окрестностях состояний равновесия />,/>, />, />.
Исследуем точку />.
Составим характеристическоеуравнение в точке />.
/>
Отсюда
/>
/> (2.5)
/>
/>
Следовательно,характеристическое уравнение примет вид:
/>=/>=0.
/>,
Или
/>.
Характеристическими числамидля точки/> системы (2.1) будут
/>.
Корни /> - действительные,различных знаков не зависимо от параметра d. Следовательно,точка /> - седло.
Исследуем точку
/>.
Составим характеристическоеуравнение в точке
/>.
Согласно
равенствам(2.5) характеристическое уравнение примет вид:
/>
/>,
Или
/>.
Характеристическими числамидля точки /> системы (2.1) будут
/>,
то есть
/>, />.
Корни /> - действительные и одногознака, зависящие от параметра d. Если d
/> -
неустойчивый узел, если d>0, то точка
/> -
устойчивый узел.
Исследуем точку />.
Применяя равенства (2.5),составим характеристическое уравнение в точке
/>:
/>
/>
Характеристическими числамидля точки
/>
системы (2.1) будут
/>,
то есть
/>, />.
Корни /> - действительные и одногознака, зависящие от параметра d. Если d - устойчивый узел, если d>0, то точка /> - неустойчивый узел.
Исследуем точку
/>.
Составим характеристическоеуравнение в точке
/>.
Применяя равенства (2.5),получим:
/>
/>,
Или
/>
Характеристическими числамидля точки
/>
системы (2.1) будут
/>,
то есть
/>, />.
Корни /> - действительные иразличных знаков не зависимо от параметра d. Значит, точка
/> -
седло.
Исследуем бесконечно — удаленнуючасть плоскости в конце оси oy. Преобразование
/> [7]
переводит систему (2.1) всистему:
/> (2.6)
где />.
Для исследования состоянийравновесий на концах оси y, нам необходимо исследовать только точку />. Составимхарактеристическое уравнение в точке/>.
/>
Получим, что
/> />
Корни /> - действительные и одногознака. Следовательно, точка /> - устойчивыйузел.
Исследуем бесконечно — удаленнуючасть плоскости вне концов оси oy преобразованием [7] /> Этопреобразование систему (2.1) переводит в систему:
/> (2.7)
где />.
Изучим бесконечно — удаленныеточки на оси U, то есть при z=0. Имеем:
/>
/>
Получаем, что />. Следовательно, состоянийравновесия вне концов оси oy нету.
Теперь дадим распределениесостояний равновесия системы (2.1) в виде таблицы 1.
Таблица 1. d
/>
/>
/>
/> ∞ x=0 (-∞; 0) седло неуст. узел уст. узел седло уст. узел (0; +∞) седло уст. узел неуст. узел седло уст. узел
Положение кривых (2.2), (2.3)и расположение относительно их состояний равновесия при d0 даетсясоответственно рис.1 (а, б).
Поведение траекторий системыв целом при d0 дается рис.4 (а, б) приложения А: Поведениетраекторий системы (2.1).
Исследуя вид кривых (2), (2.3)и расположение относительно их состояний равновесия, убеждаемся, что система(2.1) не имеет предельных циклов, так как Воробьев А.П. [5] доказал, что длясистем, правые части которых есть полиномы второй степени, предельный циклможет окружать только точку типа фокуса. Учитывая расположение состоянийравновесия относительно кривых (1.3) и (1.13), являющиеся интегралами системы(2.1), характер состояния, заключаем, что для системы (2.1) не может существоватьпредельных циклов, окружающих несколько состояний равновесия.
/>
а (d
/>
б(d>0)
Рис. 1
/>/>/>/> 2.2 Исследование системы (1.1) с коэффициентами,заданными формулами (1.41) — (1.42)
Будем проводить нашеисследование в предположении, что
/> /> />
Пусть мы имеем систему (1.1),коэффициенты которой определяются формулами (1.41) — (1.42). Тогда система (1.1)будет иметь вид:
/> (2.8)
Интегральные кривые в этомслучае имеют вид:
/> (2.9)
/> (2.10)
Частный интеграл (1.13) вэтом случае преобразовывается в две прямые (2.10)
1. Найдем состоянияравновесия системы (2.8). Для этого приравняем правые части системы нулю
/>
Рассмотрим два случая:
/>
Получаем:
/>
/>
/>
Из первого уравнения найдем y:
/>
и подставляя y вовторое уравнение получим:
/>
Решая это уравнение, находим:
/>.
Итак, получаем
/>, />
/>, />
Итак, получаем точки
/>, />, />, />
и прямую x=0,которая является траекторией системы (2.8).
2. Исследуем поведениетраекторий в окрестностях состояний равновесия />
Исследуем точку />.
Составим характеристическоеуравнение в точке />.
/>
Отсюда
/>
/> (2.11)
/>
/>
Следовательно,характеристическое уравнение примет вид:
/>
Характеристическими числамидля точки /> системы (2.8) будут
/>, />.
Корни /> - действительные иразличных знаков не зависимо от параметра d, значит точка /> - седло.
Исследуем точку />.
Согласно (2.11) составимхарактеристическое уравнение в точке />:
/>
Характеристическими числамидля точки /> системы (2.8) будут
/>, />.
Корни /> - действительные и одногознака, зависящие от параметра d. Если d - неустойчивый узел, а если d>0, то точка /> - устойчивый узел.
3. Исследуем поведениетраекторий в окрестности точки />.
Составим характеристическое уравнениесогласно (2.11)
/>.
Характеристическими числамидля точки /> системы (2.8) будут
/>, />
Корни /> - действительные и одногознака, зависящие от параметра d. Если d - устойчивый узел, если d>0, то точка /> - неустойчивый узел.
4. Исследуем поведениетраекторий в окрестности точки />.
Согласно (2.11) составим характеристическоеуравнение:
/>
/>
Характеристическими числамидля точки /> системы (2.8) будут
/>, />
Корни /> - действительные и разныхзнаков не зависимо от параметра d, следовательно /> - седло.
Исследуем бесконечно — удаленнуючасть плоскости системы (2.8) вне концов оси oy. Преобразование[7] /> переводит систему (2.8) всистему:
/> (2.12)
где />.
Изучим бесконечно — удаленныеточки на оси U, то есть при z=0. Получаем:
/>
/>
Следовательно />.
Таким образом, получаем дветочки N1 (0,-1) иN2 (0,1),которые являются состоянием равновесия. Исследуем характер этих точек обычнымспособом.
Составим характеристическоеуравнение в точке N1 (0,-1).
/>
/>
/> (2.13)
/>
Имеем:
/>
/>, />.
Корни />-действительные и различныепо знаку, следовательно точка N1 (0,-1) — седло.
Исследуем точку N2 (0,1).
Согласно (2.13) составимхарактеристическое уравнение:
/>
/>, />.
Корни />-действительные и одногознака, значит точка N2 (0,1) — устойчивыйузел.
Исследуем концы оси y спомощью преобразования [7] />. Этопреобразование переводит систему (2.8) в систему:
/> (2.14)
где />.
Для исследования состоянийравновесия на концах оси y, нам необходимо исследовать только точку N3 (0,0). Составим характеристическое уравнение в точке N3 (0,0):
/>
/>
Корни /> - действительные и одногознака, значит точка N3 (0,0) — неустойчивыйузел.
Теперь дадим распределениесостояний равновесия системы (2.1) в виде таблицы 2.
Таблица 2. d
/>
/>
/>
/> ∞
N1
N2
N3 (-∞; 0) седло неуст. узел уст. узел седло седло уст. узел неуст. узел (0; +∞) седло уст. узел неуст. узел седло седло уст. узел неуст. узел
Положение кривых (2.9), (2.10)и расположение относительно их состояний равновесия при d0 даетсясоответственно рис.2 (а, б).
Поведение траекторий системыв целом при d0 дается рис.5 (а, б) приложения Б: Поведениетраекторий системы (2.8).
Вопрос о существованиипредельных циклов не возникает, так как Воробьев А.П. [5] доказал, дляквадратичной системы предельный цикл не может окружать узел.
/>
а(d0)
Рис. 2
/>/>/>/>/>2.3 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданнымиформулами (1.52) — (1.53)
Будем проводить нашеисследование в предположении, что
/>, /> /> />.
Пусть мы имеем систему (1.1),коэффициенты которой определяются формулами (1.52) — (1.53). Тогда система (1.1)будет иметь вид:
/> (2.15)
Интегральные кривые в этомслучае имеют вид:
/> (2.16)
/> (2.17)
То есть частные интегралы(1.3) и (1.13) преобразовываются в прямые таким образом, что интегральнаякривая (2.16) совпадает с одной из прямых интегральной кривой (2.17).
Найдем состояния равновесиясистемы (2.15). Приравняв правые части системы нулю, и исключив переменную y,получим следующее уравнение для определения абсцисс состояний равновесия:
/> (2.18)
Из (2.18) получаем, что
/>, />, />.
Ординаты точек покоя имеютвид:
/>, />, />.
Итак, имеем точки
/>, />, />.
Исследуем поведениятраекторий в окрестностях состояний равновесия />.
Исследуем состояниеравновесия в точке />.
Составим характеристическоеуравнение.
/>
Отсюда
/>
/> (2.19)
/>
/>
Следовательно,характеристическое уравнение примет вид
/>
Имеем
/>,
Или
/>.
Характеристическими числамидля точки /> для системы (2.15) будут
/>.
Корни /> - комплексные и зависят отпараметра d. Значит, если d - устойчивый фокус, если d>0, то точка /> - неустойчивый фокус.
Исследуем точку
/>.
Согласно (2.19) составимхарактеристическое уравнение в точке
/>.
Имеем
/>.
/>
Характеристическими числамидля точки /> системы (2.15) будут
/>, />
Корни /> - действительные иразличных знаков не зависимо от параметра d. Следовательно,точка /> - седло.
3. Исследуем точку />.
По (2.19) составимхарактеристическое уравнение в точке />.
Получим
/>
/>.
Решая уравнение, получим
/>,
то есть
/>, />
Корни /> - действительные и одногознака, зависящие от параметра d. Если d - неустойчивый узел, если d>0, то точка /> - устойчивый узел.
Исследуем бесконечно — удаленнуючасть плоскости вне концов оси oy преобразованием [7] /> Этопреобразование систему (2.15) переводит в систему:
/> (2.20)
где />.
Изучим бесконечно — удаленныеточки на оси u, то есть при z=0. Получаем
/>
/>
/>
Следовательно />
Итак, имеем две точки N1 (0,2) и N2 (0,-2).
Исследуем характер этих точекобычным способом. Составим характеристическое уравнение в точке N1 (0,2).
/>
/>
/> (2.21)
/>.
Следовательно
/>
/>, />
Воспользуемся параллельнымпереносом
/> />
и подставим z, u всистему (2.20). Получим новую систему:
/> (2.22)
Составим характеристическоеуравнение в точке N2 (0,-2)
/>
Характеристическими числамидля точки N2 (0,-2),будут
/>, /> -
сложное состояние равновесия.
Для определения характерасостояния равновесия воспользуемся теоремой [2, с. 196-198].
Теорема 2.1. Пусть точка (0,0)- изолированное состояние равновесия системы:
/> (2.23)
где />,/> есть полиномы от x,y начиная со второй степени, /> - решение уравнения />, а разложение функции /> имеет вид:
/>
Тогда
1) при m — нечетноми />m>0 точка (0,0) — есть топологическийузел;
при m — нечетном и />m
при m — четном точка(0,0) есть седло — узел, то есть такое состояние равновесия, каноническаяокрестность которого состоит из параболистического и двух гиперболическихсекторов. При этом
если />m
если />m>0, то отрезок отрицательнойполуоси OX.
Чтобы воспользоватьсятеоремой, необходимо систему (2.22) привести к виду:
/>
Это можно сделать,воспользовавшись одним из следующих преобразований [2, с. 199-201]:
если />, />
если />, />, />
если />, />, />
где a, b, c, d — коэффициенты системы (2.23).
Тогда для системы (2.22) возьмемследующее преобразование:
/>
Получим
/> />
Тогда
/> (2.24)
Найдем решение уравнения:
/>
в виде ряда по степеням Z1:
/>
/>/>
/> />
/> />
Следовательно
/>
Тогда
/>
Подставляя U1 в систему (2.24) получим:
/>
Отсюда
/>, />>0.
Следовательно, по теореме 2.1получаем, что точка N2 (0,-2) — седло — узел.
Исследуем концы оси y спомощью преобразования [7] />. Этопреобразование переводит систему (2.15) в систему:
/> (2.25)
где />.
Для исследования состоянийравновесий на концах оси y, нам необходимо исследовать только точку N3 (0,0). Составим характеристическое уравнение в точке N3 (0,0)
/>
Соответственнохарактеристическими числами будут
/>
Корни /> - действительные и одногознака. Следовательно, точка N3 (0,0) — устойчивыйузел.
Теперь дадим распределениесостояний равновесия системы (2.1) в виде таблицы 3.
Таблица 3.d
/>
/>
/> ∞
N1
N2
N3 (-∞; 0) уст. фокус седло неуст. узел седло седло-узел уст. узел (0; +∞) неуст. фокус седло уст. узел седло седло-узел уст. узел
Положение кривых (2.16), (2.17)и расположение относительно их состояний равновесия при d0 даетсясоответственно рис.3 (а, б).
Поведение траекторий системыв целом при d0 дается Рис.6 (а, б) приложения В: Поведениетраекторий системы (2.15).
Вопрос существованияпредельных циклов остается открытым.
/>
а(d
/>
б(d>0)
Рис. 3
/>/>/>/>Заключение
В данной дипломной работепостроена квадратичная двумерная стационарная система при условии, что частныминтегралом является кривая четвертого порядка, которая распадается на двекривые второго порядка, одна из которых парабола, вторая окружность илигипербола. При этом коэффициенты кривых выражаются через произвольный параметрсистемы.
Проведено качественноеисследование системы. Найдены необходимые и достаточные условия существования усистемы двух частных интегралов. В зависимости от коэффициентов былирассмотрены 3 случая. Найдены состояния равновесия трех полученных систем,которые принадлежат интегральным кривым. Исследована бесконечно-удаленная частьплоскости систем, в двух из которых доказано отсутствие предельных циклов. Выясненоповедение сепаратрис седел и построена качественная картина поведениятраекторий систем в круге Пуанкаре.
Список использованных источников
1. Баутин Н.Н. О числе предельных циклов, появляющихся при изменениикоэффициентов из состояния равновесия типа фокуса или центра // Матем. сб. — 1952.- Т.30,№1. — 458 с.
2. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследованиядинамических систем на плоскости. — М.: Наука, 1976. — 274 с.
3. Бендиксон И. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. — УМН,1941. — Вып.9. — 643 с.
4. Биркгоф Дж.Д. Динамические системы. М. — Л.: Гостехиздат, 1941. — 340 с.
5. Воробьев А.П. К вопросу о циклах вокруг особой точки типа “узел" //ДАН БССР. — 1960. — Т.4,№9. — 720 с.
6. Еругин Н.П. Построение всего множества систем дифференциальныхуравнений, имеющих заданную интегральную кривую. — ПММ. — 1952. — Т.16, Вып.6.- с.659-670.
7. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. — М. — Л.: ГИТТЛ, 1947. — 839 с.
8. Серебрякова Н.Н. Качественное исследование одной системы дифференциальныхуравнений теории колебаний. — ПММ. — 1963 Т.27, Вып.1. — 230 с.
9. Филипцов В.Ф. К вопросу алгебраических интегралов одной системыдифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. — 1973. — Т.9,№3. — 256 с.
10. Черкас Л.А. Об алгебраических решениях уравнения />, где Pи Q — многочлены второй степени// ДАН БССР. — 1963. — Т.7,№11. — 950 с.
11. Яблонский А.И. Алгебраические интегралы одной системы дифференциальныхуравнений // Дифференц. уравнения. — 1970. — Т.6,№10. — с.1752-1760.
/>Приложение А
Поведение траекторий системы(2.1)
/>
а)(d
/>
б)(d>0)
Рис. 4
/>Приложение Б
Поведение траекторий системы(2.8)
/>
а)(d
/>
б)(d>0)
Рис. 5
/>Приложение В
Поведение траекторий системы(2.15)
/>
а)(d
/>
б)(d>0)
Рис. 6