МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯРЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
«Гомельскийгосударственный университет имени Франциска Скорины»
Математический факультет
Кафедра дифференциальныхуравнений
Курсовая работа
«Качественноеисследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частнымиинтегралами в виде кривых второго и первого порядков»
Гомель 2003
Содержание
Введение
1. Построение двумернойстационарной системы
1.1 Построение двумернойстационарной системы с частным интегралом в виде кривой второго порядка
1.2 Построение двумернойстационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка
1.3 Необходимые и достаточныеусловия существования у двумерной стационарной системы двух частных интеграловв видекривых первого и второго порядков
2. Качественное исследованиепостроенных классов систем
2.1 Исследование однойсистемы первого класса построенных двумерных стационарных систем
2.2 Исследование однойсистемы второго класса построенных двумерных стационарных систем
Заключение
Список использованныхисточников
Приложение
Введение
Как известно,многие задачи механики и физики при естественных упрощающих предположенияхприводят к рассмотрению одного дифференциального уравнения второго порядка, тоесть:
/>
Но вэлементарных функциях и даже в квадратурах интегрируются очень немногие классыдифференциальных уравнений. В связи с этим появилась необходимость в созданиитакой теории, с помощью которой можно было бы изучать свойства решенийдифференциальных уравнений по виду самих уравнений. Такой теорией, наряду саналитической, и является качественная теория дифференциальных уравнений.
Большинство дифференциальныхуравнений второго порядка возможно привести к системе дифференциальныхуравнений вида:
/> (1)
положив />, и следовательно, />.
Рассмотрение такойсистемы в ряде аспектов удобнее, чем непосредственное рассмотрение уравнений.
Часторассматривается тот частный случай системы, когда независимая переменная t в правые части невходит, то есть система имеет вид:
/> (2)
Интерес кизучению этой системы или соответствующего ей уравнения
/> (3)
объясняетсяих непосредственным практическим применением в различных областях физики итехники.
Впервыезадача качественного исследования для простейшего случая систем двухдифференциальных уравнений (2) с полной отчётливостью была поставлена А. Пуанкаре[1] в конце прошлого столетия. Позднее исследования А. Пуанкаре былидополнены И. Бендиксоном [2, с. 191–211] и уточнены Дж.Д. Бирксоном[3].
Имеется многоработ, в которых динамические системы изучались в предположении, что ихчастными интегралами являются алгебраические кривые. Толчком к большинству изних послужила работа Н.П. Еругина [4, c. 659], в которой он далспособ построения систем дифференциальных уравнений, имеющих в качестве своегочастного интеграла кривую заданного вида.
Знание одногочастного интеграла системы (0.2) во многих случаях помогает построить полнуюкачественную картину поведения интегральных кривых в целом. Отметим ряд работэтого характера для систем (0.2), в которых Р (х, у) и Q (x, y) – полиномы второйстепени.
Н.Н. Баутиным[5, c.181–196] и Н.Н. Серебряковой [6, c. 160–166] полностью исследован характер поведениятраекторий системы (2), имеющей два алгебраических интеграла в виде прямых. Вработе Л.А. Черкаса [7, c. 732] такое исследование проведено для уравнения (3) приналичии частного интеграла в виде кривой третьего порядка.
А.И. Яблонский[8, c.1752] и В.Ф. Филипцов [9, c. 469] изучали квадратичные системы с предположением, чточастными интегралом являлись алгебраические кривые четвёртого порядка.
В даннойработе рассматривается система:
/>
и проводитсякачественное исследование в целом этой системы при условии, что её частнымиинтегралами являются две кривые–первого и второго порядков. Качественноеисследование включает в себя нахождение и исследование состояний равновесия, атакже определение направлений траекторий в состоянии равновесия, исследованиебесконечно-удалённой части плоскости и качественная картина для построенныхсистем.
Приопределённых ограничениях на коэффициенты системы и интегралов строятся классыдифференциальных систем с заданными интегралами, при этом коэффициентыинтегралов выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системысвязаны между собой соотношениями.
Работасостоит из двух разделов.
В первомразделе проводится построение квадратичных двумерных стационарных систем сзаданными интегралами.
Во второмразделе проводится качественное исследование в целом выделенных в первомразделе классов систем при фиксированных значениях некоторых параметров.
1. Построение квадратичнойдвумерной стационарной системы
1.1 Построениеквадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривойвторого порядка
Рассмотримсистему дифференциальных уравнений:
/>
/>/>
/>
В даннойработе будем рассматривать систему, в случае когда с1=а2=0,то есть систему:
/> /> (1.1)
Пусть система(1.1) в качестве частного интеграла имеет интеграл вида:
/>/> /> (1.2)
/>
где Fk(x, y) – однородныйполином от xи y степени k.
В качестве частногоинтеграла (1.2) возьмём кривую второго порядка вида:
F(x, y)=y2+αxy+βx2+γy+δx+σ=0. (1.3)
Согласно [8, c. 1752–1760] дляинтеграла (1.3) системы (1.1) имеет место соотношение:
/> (1.4)
где L(x, y)=mx+ny+p, m, n, p-постоянные.
Тогда длячастного интеграла (1.3) получим равенство:
(αy+2βx+δ)(ax+by+a1 x2+2b1xy)+(2y+αx+γ) (cx+dy+2xy+c2y2)=
(y2+αxy+βx2+γy+δx+σ)(mx+ny+k).
Будемпредполагать, что коэффициенты системы (1.1) b1=b2=c2=1, тогда для интеграла(1.3) получим равенство:
(αy+2βx+δ) (ax+by+а1x2+2xy)+(2y+αx+γ) (cx+dy+2xy+y2)=
(y2+αxy+βx2+γy+δx+σ) (mx+ny+k).
Приравниваякоэффициенты при одинаковых степенях xmynслева и справа, получимравенства:
2βа1–mβ=0, (1.51)
(4-n)+(2+a1–m)α=0, (1.52)
(3-n)+4-m=0, (1.53)
n=2,(1.54)
(2a–k)β+(a1–m)δ+cα=0, (1.55)
2bβ+(2-n)δ+(a–k)α+2c+dα+(2-m)γ=0, (1.56)
bα+2d+(1-n)γ–k=0, (1.57)
aδ–kδ+cγ–mσ=0, (1.58)
bδ–kγ+dγ–nσ=0, (1.59)
kσ=0,
σ≠0, так как кривая непроходит через начало координат, значит k=0.
Из равенств(1.51) – (1.54) получим, что
n=2, m=2a1,
α=2(a1–2), β=(a1–2)2 (1.6)
Длянахождения коэффициентов γ и δ рассматриваемого интеграла используемравенства (1.55) и (1.57):
γ=(a1–2) b+2d,/>(1.7)
δ=/>≠0.
Коэффициенты α,β, γ, δ, m, n подставляем в равенство(1.56), получим условие на коэффициенты системы:
(a1–2) a–a1(a1–2) b+c–a1d=0. (1.8)
Длянахождения коэффициента σ используем уравнение (1.58). Получим:
σ=/>. (1.9)
Подставимкоэффициенты γ, δ,σ и к=0 в равенство (1.59),получим второе условие, связывающее коэффициенты системы:
2(a1–2)2a2–2a1(a1–2)2ab+2(a1–2) ac-2a12(a1 –2) bd+2a1cd-2a12d2=0,
которое можнозаписать в виде:
2((a1–2) a–a1(a1–2) b–a1d+c) ((a1–2)a+a1d)=0 (1.10)
Итак, имеетместо следующая теорема:
Теорема 1.1Система
/>/>
/>
Имеет частныйинтеграл y2+αxy+βx2+γy+δx+σ=0, коэффициенты которого выражаются формулами:
α=2(a1–2),
β=(a1–2)2,
γ=(a1–2)b+2d,/>
δ=/>≠0,
σ=/>,
При условиях,что коэффициенты системы связаны соотношениями:
(a1–2)a–a1(a-2) b+c–a1d =0,
2((a1–2) a – a1 (a1–2) b–a1d+c) ((a1–2)a+a1d)=0,
иа1≠0,а1≠2, с1=а2=0, a1=b1=c2=1.
1.2 Построениеквадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривойпервого порядка
Пусть система(1) наряду с интегралом (1.3) имеет интеграл вида:
mx+ny+p=0. (1.11)
Будемрассматривать теперь систему:
/>
/> (1.12)
Согласноформуле (1.4), где L(x, y)=Mx+Ny+P, M, N, P-постоянные, получаемравенство:
m (ax+by+a1x2+2xy)+n (cx+dy+2xy+y2)=(mx+ny+p)(Mx+Ny+P).
Приравниваякоэффициенты при одинаковых степенях xmyn слева и справа, получимравенства:
(a1–M)m=0
(2-N)m+(2-M) n=0 (1.13)
(N-1)n=0
(a–P)m+cn–Mp=0
bm+(d–P) n–Np=0 (1.14)
Pp=0
Предполагаем,что кривая не проходит через начало координат, тогда p≠0, значит Р=0.
Из равенств(1.13) получаем, что М=а1, N=1,
n=/>m, (1.15)
p= (/>) m, m≠0.
Подставим этикоэффициенты в уравнение (1.14) и получим ещё одно условие на коэффициентысистемы, которое совпадает с условием (1.8), то есть:
(a1–2) a–a1(a1–2) b+c–a1d=0.
Итак, имеетместо следующая теорема:
Теорема1.2 Система
/>
Имеет частныйинтеграл mx+ny+p=0,коэффициенты которого выражаются формулами
n=/>m, p= (/>) m, m≠0,
При условии,что коэффициенты системы связаны соотношением:
(a1–2)a–a1(a1–2) b+c–a1d =0 и а1≠0, а1≠2.
1.3 Необходимые и достаточные условия существования у двумернойстационарной системы двух частных интегралов в виде кривых первого и второгопорядков
В подразделах1.1–1.2 мы получили что система (1.1) будет иметь два частных интеграла в видекривой первого порядка и кривой второго порядка, при условии, что коэффициентысистемы связаны соотношениями:
(a1–2)a–a1(a1–2) b+c–a1d =0, (1.16)
2((a1–2) a – a1 (a1–2) b–a1d+c) ((a1–2)a+a1d)=0.
Причём а1≠0,а1≠2, в1=в2=с2=1.
1. Рассмотрим случай (a1–2)a–a1(a1–2) b+c–a1d =, (a1–2)a+a1d=0.
Из этихравенств получили:
а= -/>d, d≠0
c=a1(a1–2) b+2a1d.
Так как коэффициентd можно взять любым,неравным нулю, тогда предположим, что b=2d. Из следующихпредположений, получаем:
b=2d,
a= -/>d, (1.17)
c=2a1(a1–1) d, d≠0, а1≠2.
Получили, чтокоэффициенты системы (1.1) определяются формулами (1.17), при условиях (1.16),в которых параметры b1=b2=с2=1, а1≠0.
Выражения(1.6), (1.9), (1.15) при условии, что имеют место (1.17), дадут следующиевыражения для коэффициентов интегралов (1.3) и (1.11):
α=2(a1–2),
β=(a1–2)2,
γ=2(2а1–3) d,
δ=2(а1–2) (2а1–3) d, (1.18)
σ=(2а1–1) d2,
n=/>m,
p=/>md,m≠0, d≠0, a1≠2, a1≠0.
Имеет местоследующая теорема:
Теорема1.3 Система
/> />
Имеет частныеинтегралы вида:
y2+2 (a1–2) xy+(a1–2)2x2+2 (2a1–3) d+
+2(a1–2) (2a1–3) dx+(2a1–1) d2=0
и(a1–2)x+y+(2a1–3) d=0,
При условии,что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры а1 и dпо формулам (1.17) и в1=в2=с2=1.
2. Рассмотрим случай:
(a1–2) a–a1(a1–2) b+c–a1d=0.
Выразим изэтого условия коэффициент с, получим
с= a1(a1–2) b+ a1d – (a1–2) a.
Воспользуемсяпредположением из первого случая, что в=2d, d≠0, тогда коэффициент с=а1(2а1–3)d– (а1–2) а.
Так как d-любое число, неравноенулю, предположим, что а=2а1d.
Изсоотношения (a1–2) a–a1(a1–2) b+c–a1d=0, при условиях, что b=2d, a=2a1d, d-любое число, d≠0, получимформулы, выражающие коэффициенты системы (1.1) через параметр а1и коэффициент d, то есть: a=2a1d,
b=2d, (1.19)
c=a1d.
Равенства (1.6) – (1.9) и (1.14) при условии, что имеютместо формулы (1.19), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.3)и (1.11):
α=2(a1–2),
β=(a1–2)2,
γ=2(а1–1) d,
δ=2(a1–/>) (a1–2)d, (1.20)
σ=(a1–/>)2d2,
n=/>m,
p=m/>d, a1≠2,d≠0, m≠0.
Теорема1.4 Система
/>/>2a1dx+2dy+a1x2+2xy,
/>=a1dx+dy+2xy+y2
Имеет частныеинтегралы вида:
y2+2(a1–2) xy+(a1–2)2x2+2 (a1–1)dy+2 (a1–/>) (a1–2)dx+(a1–/>)2d2=0
и
(a1–2) x+y+(2a1–3) d=0,
При условиях,что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры а1 и d по формулам (1.19) и в1=в2=с2=1, а1≠2, а1≠0, d-любое число.
2 Качественноеисследование построенных классов систем
2.1 Исследованиеодной системы из первого класса построенных двумерных стационарных систем
Будем проводитьисследование системы в предположении, что коэффициенты её определяются согласноформулам (1.17):
a=-/>d, (1.17)
b=2d,
c=2a1(a1–1)d, d≠0, а1≠2,
с учётом в1=в2=с2=1и предполагая, что параметр а1=1.
Тогда система(1.1) запишется в виде:
/>/>dx+2dy+x2+2xy, (2.1)
/>dy+2xy+y2
Интегральныекривые в этом случаи имеют вид:
y2–2xy+x2–2dy+2dx+d2=0, (2.2)
x–y+d=0.
Прирассмотрении этого случая заметим, что интегральная кривая второго порядка y2–2xy+x2–2dy+2dx+d2=0 представляет собой двесовпадающие прямые вида x–y+d=0, то есть:
(y–x)2–2d(y–x)+d2=0,
(y–x) –d)2=0,
y–x–d=0,
x–y+d=0.
Значит, если а1=в1=в2=с2=1и если выполняются условия (1.17) система (1.1) имеет только один частныйинтеграл вида:
x–y+d=0. (2.3)
Найдёмсостояния равновесия системы (2.1). Приравняв правые части системы к нулю и,решив полученную систему, найдём точки покоя системы.
Система имеетчетыре состояния равновесия:
О (0,0), А (-d, 0), B (-d, d), C(-/>).
Исследуемповедение траекторий в окрестностях состояний равновесия.
1. Исследуем точку О (0,0).
Составимхарактеристическое уравнение для точки имеет вид О (0,0):
/>=0,
/>2=0.
Характеристическимичислами для точки О (0,0) системы (2.1) будут />
Корнихарактеристического уравнения действительные, одного знака, но в зависимости отпараметра dточка О (0,0) – устойчивый узел, если d0.
Из Главы 1.случай d=0 не рассматривается.
2. Исследуем точку А (-d, 0).
Составимхарактеристическое уравнение в точке А (-d, 0).
P(x, y)=dx+2dy+x2+2xy,
Q(x, y)=dy+2xy+y2.
Отсюда,получим:
Px=d+2x+2y, Py=2d+2x, (2.4)
Qx=2y,
Qy=d+2x+2y.
Следовательно,характеристическое уравнение примет вид:
/> =0.
Итак,получаем:
/>=0.
/>
(–d–λ)2=0.
Характеристическиечисла для точки А (-d, 0) системы (2.1) будут />
Корни λ1,λ2– действительные, одного знака. В зависимости от параметра d.
Точка А (-d, 0) являетсянеустойчивым узлом, если d0.
3. Исследуем точкуВ (-d, d).
Составимхарактеристическое уравнение в точке В (-d, d).
Согласноравенствам (2.4) характеристическое уравнение примет вид:
/>=0,
/>2=0,
λ1=λ2=d.
λ1,λ2– характеристические числа для точки В (-d, d) системы (2.4).
Корни λ1,λ2–действительные,одного знака зависящие от параметра d.
Если d(-d, d) – устойчивый узел;если d>0,то точка В (-d, d) – неустойчивыйузел.
4. Исследуем точку С(-/>).
Составимхарактеристическое уравнение в точке С(-/>).Применяяравенства (2.4), получим:
/> =0,
/>.
Характеристическиечисла для точки С(-/>) системы (2.1)будут λ1=d,λ2=/>.
Корни λ1,λ2–действительные,различных знаков, независимо от параметра d.
Значит, точкаС(-/>) – седло.
Исследуембесконечно-удалённую часть плоскости на концах оси ОY. Преобразование x=/>, y=/> [1] переводит систему(2.1) в систему:
/> (2.5)
где t=zτ, dt=zdτ.
Дляисследования состояний равновесий на концах оси ОУ, нам необходимо исследоватьтолько точку No(0,0).Составим характеристическое уравнение в точке No (0,0):
/>=0.
Получаем, что
/>
Корни λ1,λ2–действительныеи различных знаков не зависимо от параметра d. Значит, точка No(0,0) – седло.
Исследуембесконечно-удалённую часть плоскости вне концов оси ОУ преобразованием [1] />. Это преобразование систему(2.1) переводит в систему:
/> (2.6)
где t=zτ, dt=zdτ.
Изучимбесконечно-удалённые точки на оси U, то есть при z=0, получаем:
/>
Следовательно,u1=0, u2=1.
Такимобразом, получаем две точки N1(0,0), N2(0,1), которые являются состоянием равновесия.Исследуем характер этих точек обычным способом.
1. Исследуемточку N1(0,0).
Составляемхарактеристическое уравнение в точке N1(0,0):
/>=0,
λ1=-1,λ2=1.
Корни λ1,λ2–действительные и различных знаков. Следовательно, точка N1(0,0) – седло.
2. Исследуемточку N2(0,1).
Составимхарактеристическое уравнение в точке N2(0,1):
Pz=–1–2u-2dz-4duz,
Pu=–2dz2–2z,
Qz=–2du2,
Qu=1–2u-4dzu.
Имеем:
/>=0,
(-3–λ) (-1–λ)=0,
λ1=–3,λ2=–1,
Корни λ1,λ2–действительныеи одного знака (–). Следовательно, точка N2(0,1) – устойчивыйузел.
Дадимраспределение состояний равновесия системы (2.1) в виде таблицы 1.
Таблица 1d O (0,0) A (-d, 0) B (-d, d)
C(/>) ∞
N0
N1
N2
(-∞; 0)/> Уст.у. Неуст.у. Уст.у Седло Седло Уст.у. Седло (0;∞) Неуст.у. Уст.у. Неуст.у. Седло Седло Уст.у. Седло
Положениекривой (2.3) и расположение относительно их состояний равновесия при d0 представлено нарис. 1 (а, б).
Поведениетраекторий системы (2.1) в целом при d0 представлено на рис. 3 (а, б)приложения А.
Исследуя видкривых (2.2) и расположение относительно их состояний равновесия, убеждаемся,что система (2.1) не имеет предельных циклов, так как Воробьёв А.П. [10]доказал, что для систем, правые части которых есть полиномы второй степени,предельный цикл может окружать только точку типа фокуса. Учитывая расположениесостояний равновесия относительно кривых (2.2), являющиеся интегралами системы(2.1) не может существовать предельных циклов, окружающих несколько состоянийравновесия.
/>
a) d
/>
б) d>0
Рис. 1
2.2 Исследованиеодной системы из второго класса построенных двумерных стационарных систем
Рассмотрим систему(1.1) в предположении, что в1=в2=с2=1, а1=/>
и коэффициентыопределяются формулами (1.19). Тогда система (1.1) будет иметь вид:
/> (2.7)
Интегральныекривые в этом случае имеют вид:
4y2–4xy+x2+dy=0, (2.8)
-/>x+y=0. (2.9)
Найдёмсостояния равновесия системы (2.7). Для этого приравняем правые части системынулю:
/>
Решая этусистему, получим две пары точек, которые являются точками покоя системы (2.7): О(0,0), А(/>).
Исследуемповедение траекторий решений системы (2.7) в окрестностях состояний равновесия О(0,0), А(/>).
1. Исследуем точку О (0,0).
Составимхарактеристическое уравнение системы в точке О (0,0):
/>=0,
/>.
Характеристическимичислами для точки О (0,0), будут />/>
Так как одинкорень нулевой, тогда точка О (0,0) является сложным состоянием равновесия(изолированное состояние равновесия), для которого требуется дополнительноеисследование. Для определения характера состояния равновесия О (0,0)воспользуемся теоремой [5].
Теорема 2.1Пустьточка (0,0) – изолированное состояние равновесия системы:
/>
/>
где φ(x, y), ψ(x, y) – полиномы от x, yначиная со второй степени,y=φ(x) – решение уравнения y+Q2(x, y)=0, а разложение функцииψ(x)=P2(x, φ(x)) имеет вид:
/>
Тогда:
1) приm-нечётном и ∆m>0 точка (0,0) – естьтопологический узел;
2) приm-нечётном и ∆m
3) приm-чётном точка (0,0) есть седло-узел, то есть такое состояниеравновесия, каноническая окрестность которого состоит из параболического и двухгиперболических секторов; При этом:
а) если ∆m
секторовзаключён отрезок положительной
полуоси ОХ,примыкающий к точке (0,0);
б) если ∆m
полуосиОХ.
Чтобывоспользоваться теоремой, необходимо систему (2.7) привести к виду:
/> (2.10)
Это возможносделать, воспользовавшись одним из следующих преобразований:
1. если в≠0,/>
2. если в=0,а=0, />
3. если в=0,d=0, />
где а, в,с, d – коэффициенты системы (2.7).
Для системы(2.7) воспользуемся следующим преобразованием:
/>
Получим:
/>
Откуда:
/>
Следовательно,можем найти:
/>
Тогда:
/>
Чтобы даннуюсистему привести к системе вида (2.10), сделаем замену /> тогда dt=/>dh и получим систему:
/>
Найдёмрешение уравнения:
y1+/> (2.11)
в виде рядапо степеням y1:
y1=φ(x1)=c1x1+c2x12+….
Подставим y1=c1x1+c2x12+… в уравнение (2.11), получим:
c1x1+c2x12+ … +/>(c1x1+c2x12+…)2+/>x1(c1x1+c2x12+…)–/>x12=0.
x11: />с1=0,
x12: с2+/>с1+/>с1/>=0,
Следовательнос1=0, с2=/>, ….
Тогда y1=φ(x1)= />х12+….
Находим ψ(х1)=Р2(х1,φ(х1))=/>(/>/>+……)=/> +……..=∆mxm.
Получили m=3-нечётное, ∆m>0.
Следовательно,по теореме 2.1 получаем, что точка О (0,0) – топологический узел.
2. Исследуем точку А(/>).
Составимхарактеристическое уравнение в точке А(/>).
/>
Отсюда
Px(x, y)=3d+3x+2y,
Py(x,y)=2d+2x,
Qx(x,y)=/>d+2y,
Qy(x, y)=d+2x+2y.
Следовательно,характеристическое уравнение имеет вид:
/>=0.
Характеристическимичислами для точки А(/>) системы (2.7)будут λ1=–4d, λ2=/>d.
Корни λ1, λ2–действительные и одногознака, зависящие от параметра d. Если d) –неустойчивый узел; если d>0, тогда точка А(/>) –устойчивый узел.
Исследуембесконечно-удалённую часть плоскости системы (2.7) вне концов оси ОУ.Преобразование [1] /> переводитсистему (2.7) в систему:
/> (2.12)
где t=zτ, dt=zdτ.
Изучимбесконечно-удалённые точки на оси U, то есть z=0. Получаем:
/>
Следовательно,/>u1=0, u2=/>.
Таким образом,получили две точки N1(0,0), N2(0,/>), которыеявляются состояниями равновесия. Исследуем характер этих точек обычнымспособом.
1. Исследуемточку N1(0,0).
Составимхарактеристическое уравнение в точке N1(0,0):
/>=0,
λ1=/>, λ2=/>.
Корни λ1,λ2–действительныеи различных знаков, следовательно, точка N1(0,0) – седло.
2. Исследуемточку N2(0,/>).
Составимхарактеристическое уравнение в точке N2(0,/>):
Pz=/>–2u-6dz-4duz,
Pu=–2z-2dz2,
Qz=/>d-2du-2du2,
Qu=/>–2u-2dz-4duz.
Характеристическоеуравнение имеет вид:
/>=0.
Следовательно,характеристические числа:
λ1=/>, λ2=/>.
Корни λ1,λ2–действительные,различных знаков, значит точка N2(0,/>) являетсяседлом.
Исследуембесконечно-удалённые концы оси ОУ с помощью преобразования [1] x=/>, y=/>.Это преобразованиепереводит (2.7) в систему:
/>
где t=zτ, dt=zdτ.
Дляисследования состояний равновесия на концах оси ОУ, нам необходимо исследоватьтолько точку (0,0), которая является состоянием равновесия данной системы.Составим характеристическое уравнение в точке (0,0):
/>=0.
/>
Корни λ1,λ2–действительныеи различных знаков, значит точка (0,0) – седло.
Теперь дадимраспределение состояний равновесия системы (2.7) в виде таблицы 2.
Таблица 2d O (0,0)
A(/>/>) ∞
N0
N1
N2 (-∞; 0)
Топологическое
Узел
Неустойчивый
Узел Седло
Устойчивый
Узел Седло (0;∞)
Топологическое
Узел
Устойчивый
Узел Седло
Устойчивый
Узел Седло
Положениекривых (2.8), (2.9) и расположение относительно их состояний равновесия при d0 даётсясоответственно рис. 2 (а, б).
Поведениетраекторий системы (2.7) в целом при d0 представлено на рис. 4 (а, б)приложения Б.
Так как Воробьёв А.П.[10] доказал, что для систем, правые части которых есть полиномы второйстепени, предельный цикл может окружать только точку типа фокуса, тогдаисследуя вид кривых (2.8), (2.9) и расположение относительно их состоянийравновесия, убеждаемся, что система (2.7) не имеет предельных циклов.
/>
a)d
/>
б) d>0
Рис. 2
Заключение
В даннойдипломной работе построены два класса квадратичных двумерных стационарныхсистем при условии, что частными интегралами являются кривые второго и первогопорядков. При этом коэффициенты кривых выражаются через произвольные параметрысистем.
Проведенокачественное исследование построенных классов систем при фиксированном значенииодного из параметров системы. Выведены необходимые и достаточные условиясуществования у системы двух частных интегралов. В зависимости от условий накоэффициенты были рассмотрены два случая. Найдены состояния равновесияполученных систем, которые принадлежат интегральным кривым. Исследованабесконечно-удалённая часть плоскости систем и доказано отсутствие предельныхциклов. Построена качественная картина поведения траекторий систем в кругеПуанкаре.
Списокисточников
1 Пуанкаре А.О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.-М.-Л.: ГИТТЛ, 1947. –839 с.
2 Бендиксон И.О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. – УМН, 1941. – Вып.9. – 643 с.
3 Биркгоф Дж.Д. Динамическиесистемы. М.-Л.: Гостехиздат,1941. – 340 с.
4 Еругин Н.П. Построениевсего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданнуюинтегральную кривую. – ПММ. – 1952. – Т.16, Вып. 6. – с. 659–670.
5 Баутин Н.Н.,Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамическихсистем на плоскости. — М.: Наука, 1976. – 274 с.
6 Серебрякова Н.Н. Качественноеисследование одной системы дифференциальных уравнений теории колебаний. – ПММ. –1963 Т.27, Вып. 1. – 230 с.
7 Черкас Л.А. Обалгебраических решениях уравнения />, где P и Q – многочлены второйстепени // ДАН БССР. – 1963. – Т.7, №11. – 950 с.
8 Яблонский А.И. Алгебраическиеинтегралы одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц.уравнения. – 1970. – Т.6, №10. – с. 1752–1760.
9 Филипцов В.Ф.К вопросу алгебраических интегралов одной системы дифференциальных уравнений //Дифференц. уравнения. – 1973. – Т.9, №3. – 256 с.
10 Воробьев А.П. Квопросу о циклах вокруг особой точки типа «узел» // ДАН БССР. –1960. – Т.4, №9. – 720 с.