--PAGE_BREAK--§5.2. Конечные разности. Обобщенная степень.
Пусть задана функция . Обозначим через фиксированную величину приращения аргумента (шаг). Тогда выражение
(5.3)
называется первой конечной разностью функции . Аналогично определяются конечные разности высших порядков
Например:
(5.4)
Символ (дельта) можно рассматривать как оператор, ставящий в соответствие функции функцию .
Легко проверить основные свойства оператора :
1) ;
2) ;
3) , где (целые неотрицательные числа), причем .
Из формулы (5.3) имеем:
.
Отсюда, рассматривая как символический множитель, получим:
. (5.5)
Из формулы (5.4):
; (5.6)
и т.д. Окончательно получим:
. (5.7)
В дальнейшем нам понадобится понятие обобщенной степени.
Определение.
Обобщенной -степенью числа называется произведение сомножителей, первый из которых равен , а каждый следующий на меньше предыдущего:
, (5.8)
где .
Полагают, что . При обобщенная степень совпадает с обычной: .
Вычислим конечные разности для обобщенной степени, полагая . Для первой конечной разности имеем:
то есть
. (5.9)
Для второй конечной разности:
,
то есть
. (5.10)
Аналогично,
,
и так далее.
Окончательно будем иметь:
, (5.11)
, если . (5.12)
§5.3. Первая интерполяционная формула Ньютона.
Пусть для функции заданы значения для равноотстоящих значений независимой переменной , где — шаг интерполяции. Требуется подобрать полином степени не выше , принимающий в точках значения
. (5.13)
Условия (5.13) эквивалентны тому, что
. (5.14)
Будем искать полином в виде
. (5.15)
Используя понятие обобщенной степени, запишем выражение (5.15) в виде:
. (5.16)
Чтобы полином был определен, нужно найти коэффициенты . Полагая в выражении (5.16), получим
. (5.17)
Чтобы найти коэффициент , составим первую конечную разность:
.
Полагая , получим:
,
откуда
. (5.18)
Для определения коэффициента составим вторую конечную разность:
.
Положив , получим:
,
откуда
. (5.19)
Продолжая процесс, получим:
, (5.20)
причем .
Подставляя найденные значения коэффициентов в выражение (5.16), получим интерполяционный полином Ньютона:
. (5.21)
Этот полином полностью удовлетворяет требованиям поставленной задачи. Действительно, степень полинома не выше ; ;
Для практического использования первую интерполяционную формулу Ньютона записывают в несколько преобразованном виде. Для этого введем новую переменную
. (5.22)
Тогда
(5.23)
Подставляя (5.23) в (5.21), получим окончательный вид первой интерполяционной формулы Ньютона:
. (5.24)
Если в формуле (5.24) положить , то получим формулу линейного интерполирования:
. (5.25)
При получим формулу параболического или квадратичного интерполирования:
. (5.26)
Первую интерполяционную формулу Ньютона используют для интерполирования функции в окрестности начальной точки , где мало по абсолютной величине и представляет собой число шагов, необходимых для достижения точки , исходя из точки .
Остаточный член первой интерполяционной формулы Ньютона:
, (5.27)
где — некоторое промежуточное значение между узлами интерполирования и рассматриваемой точкой .
Учитывая, что , приближенно можно положить:
.
В этом случае соотношение (5.27) примет вид:
. (5.28)
§5.4. Вторая интерполяционная формула Ньютона.
Вторая интерполяционная формула Ньютона применяется для интерполирования в окрестности конечного значения .
Пусть для функции заданы значения для равноотстоящих значений независимой переменной . Построим полином следующего вида:
(5.29)
Используя обобщенную степень, получим:
. (5.30)
Найдем коэффициенты из условий . Эти условия равносильны
. (5.31)
Полагая в выражении (5.30), получим
. (5.32)
Чтобы найти коэффициент , составим первую конечную разность:
.
Полагая , получим:
.
Отсюда
. (5.33)
Из второй конечной разности
при находим:
.
Следовательно,
. (5.34)
Продолжая дальнейшее вычисление конечных разностей, получим:
. (5.35)
Подставляя найденные значения коэффициентов в выражение (5.29), получим вторую интерполяционную формулу Ньютона:
(5.36)
Введем новую переменную
, (5.37)
тогда
(5.38)
С учетом (5.38) вторая интерполяционная формула Ньютона примет вид:
. (5.39)
Остаточный член второй интерполяционной формулы Ньютона:
, (5.40)
где — промежуточное значение между узлами интерполирования и точкой .
продолжение
--PAGE_BREAK--§5.5. Интерполяционная формула Лагранжа.
Пусть на отрезке задана произвольная система точек , в которых известны значения функции . То есть, задана следующая таблица
Таблица 5.1.
…
…
Установим зависимость одного ряда чисел от другого и построим новую функцию, которая с определенной степенью точности будет приближена к заданной.
Построим многочлен таким образом, чтобы его значения совпали со значениями функции, заданными в таблице, для тех же аргументов, то есть
. (5.41)
Лагранж предложил строить многочлен -й степени в виде:
(5.42)
Здесь в каждом слагаемом отсутствует скобка , которой соответствует коэффициент .
Найдем неизвестные коэффициенты , называемые коэффициентами Лагранжа, используя условие (5.41).
При : .
.
Следовательно, коэффициент вычисляется по следующей формуле:
.
При : .
.
Следовательно, коэффициент вычисляется по следующей формуле:
.
Таким образом, коэффициенты вычисляются по формулам:
.
С учетом найденных коэффициентов интерполяционный полином Лагранжа запишется в виде
. (5.43)
Для интерполяционной формулы Лагранжа справедлива оценка погрешности:
, (5.44)
где .
Пример 5.1. По заданной системе точек
Таблица 5.2.
построить интерполяционный многочлен Лагранжа второго порядка вида:
.
Коэффициенты этого многочлена будут вычислены по следующим формулам:
,
,
.
Тогда многочлен Лагранжа второго порядка будет иметь вид:
Учитывая, что таблица приведена для функции , вычисленной в узловых точках , сравним погрешность вычислений данной функции и построенного многочлена в контрольной точке :
и .
Погрешность вычислений равна
.
Ниже приведены графики функции и построенного полинома Лагранжа на заданном интервале. Из рисунка 5.1 видно, что многочлен второго порядка обеспечивает достаточно высокую точность построения синусоиды на заданном отрезке .
Рис.5.1.
Если таблица 5.1, для которой построена формула Лагранжа, задана для равноотстоящих узлов , то формула Лагранжа упрощается. Обозначим через . Тогда
,
,…,
.
С учетом введенных обозначений формула Лагранжа запишется так:
Запишем формулу Лагранжа в случае, если :
Получили формулу линейной интерполяции (5.25):
.
Здесь — табличные разности первого порядка.
При получаем формулу квадратичной интерполяции (5.26):
.
Здесь — табличные разности второго порядка, и так далее. Продолжая этот процесс, окончательно получим:
.
Эта формула называется первой интерполяционной формулой Ньютона (сравните с формулой (5.24)). Для нее справедлива оценка остаточного члена (5.27) и (5.28).
Если обозначить через , то с учетом введенного обозначения, получим:
, …,
.
Тогда формула (5.43) примет вид:
.
Эта формула называется второй интерполяционной формулой Ньютона (сравните с формулой (5.39)). Для нее справедлива оценка остаточного члена (5.40).
продолжение
--PAGE_BREAK--