АНО ВПО «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИЕКАТЕРИНЫ ВЕЛИКОЙ»
Контрольное задание
По дисциплине: «Математика»
Москва 2010 г.
Контрольноезадание:
Упражнения
1.Дана последовательность аn=(3n-5)/(4n+1). Установитьномер n0, начиная с которого выполняетсянеравенство │аn-А │ 1/500.
Отв. n0=719.
Найти:
2. lim (3-√х)/(х2-81).Отв.–1/108.
х→9
3. lim (5х2-8)/(х3-3х2+11).Отв.0.
х→∞
Проверитьнепрерывность следующих функций:
4.у=5х/(х3+8).Отв. При всех х≠–2 функция непрерывна.
5.у=(х2+4)/ √(х2-36). Отв. Функция непрерывнапри всех значениях
│х│>6.
6.Определить точки разрыва функции у=(8х+2)/(16х2-1).
Отв. Точки х1=–1/4и х2=1/4.
Задача 1
Найти общий интегралдифференциального уравнения:
/>
Решение
/>
Выполним разделениепеременных, для этого разделим обе части уравнения на />:
/>
Проинтегрируем обе частиуравнения и выполним преобразования:
/>
Ответ
/>
Задача 2
Проинтегрироватьоднородное дифференциальное уравнение:
/>
Решение
Решение однородныхдифференциальных уравнений осуществляется при помощи подстановки:
/>,
С учетом этого, исходноеуравнение примет вид:
/>
Выполним разделениепеременных, для этого умножим обе части уравнения на />, получим,
/>
Проинтегрируем обе частиуравнения и выполним преобразования:
/>
Возвращаясь к переменной y, получим общий интеграл исходногоуравнения:
/>
Ответ
/>
Задача 3
Найти общий интегралдифференциального уравнения:
/>
Решение
Покажем, что данноеуравнение является однородным, т.е. может быть представлено в виде, />. Преобразуемправую часть уравнения:
/>
Следовательно, данноеуравнение является однородным и для его решения будем использовать подстановку,
/>
С учетом этого, уравнениепримет вид:
/>
Выполним разделениепеременных, для этого умножим обе части уравнения на />,
/>
Проинтегрируем обе частиуравнения,
/>
Возвращаясь к переменной y, получим,
/>
Ответ
/>
Задача 4
Решить линейноедифференциальное уравнение:
/>
Решение
Составимхарактеристическое уравнение и найдем его корни:
/>
Так как корни характеристическогоуравнения действительные и различны, то решение дифференциального уравнениябудет иметь вид:
/>
Ответ
/>
Задача 5
Найти общее решениедифференциального уравнения:
/>
Решение
Общее решениенеоднородного уравнения будем искать в виде:
/>,
где /> – частное решениеисходного неоднородного ДУ, /> – общее решение соответствующегооднородного уравнения: />
Составимхарактеристическое уравнение и найдем его корни:
/>
Так как корнихарактеристического уравнения действительные и совпадают, то общее решениеоднородного ДУ будет иметь вид:
/>
Учитывая, что праваячасть имеет специальный вид, то частное решение неоднородного уравнения будемискать в виде,
/>,
где A, B, C– неопределенные коэффициенты. Найдем первую и вторую производные по x от /> и подставим полученные результатыв исходное уравнение:
/>
Приравняем коэффициентыпри соответствующих степенях xи определим их:
/>
Следовательно, частноерешение неоднородного ДУ примет вид:
/>
Окончательно, общеерешение исходного ДУ:
/>
Ответ
/>
Задача 6
Решить уравнение:
/>
Решение
Общее решениенеоднородного уравнения будем искать в виде:
/>,
где /> – частное решениеисходного неоднородного ДУ, /> – общее решение соответствующегооднородного уравнения: />
Составимхарактеристическое уравнение и найдем его корни:
/>
Так как корнихарактеристического уравнения действительные и различны, то общее решениеоднородного ДУ будет иметь вид:
/>
Учитывая, что праваячасть имеет специальный вид, то частное решение неоднородного уравнения будемискать в виде,
/>,
где A, B, C– неопределенные коэффициенты. Найдем первую и вторую производные по x от /> и подставим полученные результатыв исходное уравнение:
/>
Приравняем коэффициентыпри соответствующих степенях xи определим их:
/>
Следовательно, частноерешение неоднородного ДУ примет вид:
/>
Окончательно, общеерешение исходного ДУ:
/>
Ответ
/>
Комментарии к решению
В задаче №1, опечатка впредполагаемом ответе, упущен показатель степени при x.
В задаче №3, ответследует оставить в виде, содержащем модуль />, т.к. нет достаточных основанийего снять.