Вариант 2
Вычислить интегралы
/>
Преобразуем подынтегральное выражения с целью его непосредственного интегрирования:
/>
Найдем А и В:
/>
Отсюда видно что А и В являются решением системы:
/>
Решим эту систему и найдем А и В:
/>
Итак, A=3/5, B=7/5, зная эти коэффициенты, вычисляем интеграл.
/>
/> с помощью замены переменных
/>
Введем />и возьмем соответствующий неопределенный интеграл:
/>
Возвращаемся к x:
/>
Теперь вычисляем определенный интеграл:
/>
Итак,
/>
3./>методом интегрирования по частям
/>
Итак,
/>
II. Функции многих переменных
1. Найти частные производные 1-го порядка
/>
/>
/>
2. Исследовать на экстремум функцию
/>
Найдем частные производные
/>
/>
Найдем все стационарные точки функции, точки в которых должны выполняться условия: />,/>
/>
/>
Это равносильно следующему:
/>
/>
/>
/>
Вторая система не имеет вещественного корня
/>
/>
/>
/>
/>
t= 0 t=1
y=1 y=-1
x=1
M0(0;0) и M1(1;1) – стационарные точки данной функции.
Теперь определим характер этих стационарных точек.
Найдем частные производные второго порядка этой функции.
/>--PAGE_BREAK--
В точке M0(0;0):
/>
Так как />
В точке M1(1;1):
/>
Так как />>0,A>0,C>0 то точка M1(1;1) это точка экстремума,
Причем этот экстремум-минимум.
III. Решить дифференциальные уравнения.
1. Решить уравнение с разделяющимися переменными
/>
/>
Интегрируем правую и левую части уравнения:
/>
/>
После некоторых преобразований выражаем решение уравнения:
/>
2. Решить линейное уравнение 1-го порядка
/>
Ищем решение уравнения в виде произведения двух функций: />
При этом:
/>
После подстановки в исходное уравнение имеем:
/>
/>
Чтобы коэффициент при uобратился в 0, в качестве vвыбираем функцию удовлетворяющую уравнению:
/>
Найдем функцию u, которая должна удовлетворять уравнению:
/>:
Решение запишется в виде:
/>
3 />
Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение ищем в виде:
/>, где />— общее решение соответствующего однородного уравнения, />— частное решение.
Найдем />
Решим однородное дифференциальное уравнение
/>
Характеристическое уравнение для него:
/>
Это квадратное уравнение
d=36-100=-64 – дискриминант отрицательный, корни комплексные:
k1=3-4i; k2=3+4i
Общее решение, следовательно, имеет вид:
/>,
где />— константы.
Ищем частное решение. Функция свободного члена имеет вид:
/>, где a=2,b=3,k=1,p=-6,q=25
При этом />, следовательно, частное решение ищем в виде:
/>
Находим его производные первого и второго порядка и подставляем в уравнение:
/>
Для нахождения коэффициентов А и В решим систему: продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
A=0,07, B=0,16
Таким образом, окончательное решение уравнения имеет вид:
/>
IV. Ряды
Исследовать на сходимость ряд с положительными членами
/>
Рассмотрим ряд:
/>
Это степенной ряд с основанием меньшим 1, а он заведомо сходится.
Теперь сравним члены ряда />с членами ряда />
/>при n>4, значит ряд />также сходится.
Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд:
/>
Исследуем на абсолютную сходимость (сходимость ряда, состоящего из модулей членов знакопеременного ряда) значит необходимый признак сходимости выполняется.
/>,
Сравним член этого ряда с членом заведомо расходящегося гармонического ряда:
/>, следовательно наш ряд расходится абсолютно.
Исследуем ряд на условную сходимость:
Так как условия признака Лейбница выполнены
/>
данный ряд сходится условно.
3. Найти область сходимости функционального ряда
/>, перепишем его в виде:
/>
Член данного ряда представляет собой член степенного ряда, помноженный на член гармонического ряда.
Для расходящегося гармонического ряда выполняется однако основной признак сходимости (его член стремится к нулю), так что сходимость функционального ряда />определяется сходимостью степенного ряда: />, причем при любом xэто будет знакопостоянный ряд.
Cтепенной же ряд сходится когда его член по модулю
/>
Решаем это модульное неравенство и находим область сходимости функционального ряда />:
/>
/>
Итак, область сходимости функционального ряда />:
/>