1. Дайте определение алгебраического дополнения элементаопределителя. Приведите пример вычисления алгебраического дополнения элемента а12определителя 3-го порядка
Алгебраическимдополнением Аij элемента аij определителя n‑го порядканазывается минор этого элемента, взятый со знаком (-1)i+j, где i+j – сумма номеров строки истолбца, которым принадлежит элемент аij. Т.е. по определению Аij=(-1)i+j Мij.
Для определителя /> найти алгебраическиедополнения элементова12.
Для элемента а12 i=1, j=2 и i+j=3 число нечетное, отсюда/>
2. Разложите по теореме Лапласа определитель третьегопорядка, записанный в общем виде по элементам второй строки
Вычисляем определительпутем разложения его по 2-ей строке
/>
/>/>
3. Какая система линейных алгебраических уравнений называетсянеоднородной? Какое решение имеет система неоднородных линейных уравнений, еслиглавный определитель не равен нулю?
Система уравнений называется неоднородной, если хотя бы одинсвободный член уравнения не равен нулю.
Если главный определительсистемы n уравнений с n неизвестными не равен нулю, то системаимеет единственное решение, корни которого определяются по формулам:
/>, />,…, />
4. Дайте определение матрицы и ее размера. Приведите примерматриц размеров: 1х3, 3х4,1х1.
Матрицей называетсятаблица чисел или каких-либо других элементов, содержащая m строк и n столбцов.
Общий вид матрицы
/>
Матрица имеет размер, который определяется ее количествомстрок и столбцов, что записывается так – Аm´n.
Например, числоваяматрица размером 1´1 имеет вид />,размером 1´3 имеет вид />,размером 3´4 имеет вид />.
5. Что такое союзная илиприсоединенная матрица? Приведите пример вычисления союзной матрицы длязаданной.
Если для заданнойквадратной матрицы А определить алгебраические дополнения всех ееэлементов и затем транспонировать их, то полученная таким образом матрица будетназываться союзной или присоединенной по отношению к матрице А иобозначаться символом Ã
Для матрицы /> найти Ã.
Составляем определительматрицы А
/>
Определяем алгебраическиедополнения всех элементов определителя по формуле />
/>; />;
/>.
/>; />;
/>.
/>; />;
/>.
Транспонируя полученныеалгебраические дополнения, получаем союзную или присоединенную матрицу Ãпо отношению заданной матрицы А.
6. Вычислить определитель 3‑го порядка, разложив его по1‑й строке
/>
/>
/>/>
7. Определить алгебраические дополнения элементов 2‑йстроки определителя 3-го порядка
/>
Для элемента а21i=2, j=1 и i+j=3 число нечетное, отсюда/>
Для элемента а22i=2, j=2 и i+j=4 число четное, отсюда />
Для элемента а23i=2, j=3 и i+j=5 число нечетное, отсюда/>
8. Найти решение системы уравнений методом Крамера
/>
Данная система уравнений будет иметьединственное решение только тогда, когда определитель составленный изкоэффициентов при X1 — n не будет равен нулю. Обозначим этотопределитель знаком – Δ. Если этот определитель не равен нулю, то решаемдальше. Тогда каждый Xi = Δi / Δ, где Δi– это определитель составленный из коэффициентов при X1 — n, толькозначения коэффициентов в i – ом стольбце заменены на значения за знакомравенства в сисетеме уравнений, а Δ – это главный определитель
Решение
Запишем систему в виде:
Главный определить
9. Выполните операцию произведения двух матриц АхВ
/>
Решение
Найти матрицу |C| = |A| x|B|/>
Вычислим элементы матрицы |C|:
c1,1 = a1,1b1,1+a1,2b2,1
c1,2 = a1,1b1,2+a1,2b2,2
c2,1 = a2,1b1,1+a2,2b2,1
c2,2 = a2,1b1,2+a2,2b2,2
c1,1 = 2 * 1 + 1 * 4 = 2 + 4 = 6
c1,2 = 2 * -2 + 1 * = -4 + = -4
c2,1 = -3 * 1 + 4 * 4 = -3 + 16 = 13
c2,2 = -3 * -2 + 4 * = 6 + = 6 /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
Результирующая матрица|С|:6 -4 13 6
10. Какие величины называются скалярными и векторными?Приведите примеры скалярных и векторных величин? Каково условие равенствавекторов? Приведите пример сложения двух векторов по правилу параллелограмма итреугольника
Скалярной величиной илипросто скаляром называется величина, которая при определённом выборе единицыизмерения определяется числом (удельный вес, плотность, работа, мощность,температура и т.д.)
Вектор – направленныйотрезок, имеющий определённую величину (скорость, ускорение, сила,напряженность магнитного и электрического поля и т.д.).
Скалярная величина – 10 минут, векторная – 100 км/ч.
Два вектора /> и /> равны, если ониравнонаправлены и имеют один и тот же модуль.
Правилотреугольника
Для того чтобы сложить два вектора />и />нужнопереместить вектор />параллельно самомусебе (рис. 1, б) так, чтобы его начало (точка B на рис. 1, а)совпадало с концом вектора />(точка A нарис. 1, а). Тогда их суммой будет вектор />(рис. 1, г),начало которого совпадает с началом вектора />(точка D нарис. 1, в), а конец – с концом вектора />(точка C нарис. 1, в).
/> />
а б
/> />
в г
Рис. 1.
/>
Правилопараллелограмма
Для того чтобы сложить два вектора />и />нужнопереместить их параллельно самим себе так, чтобы начала векторов />и />находилисьв одной точке (рис. 2, а). Затем построить параллелограмм, сторонамикоторого будут эти вектора (рис. 2, б). Тогда их суммой будет вектор />(рис. 2,в), начало которого совпадает с общим началом векторов (точка A на рис. 2,б), а конец – с противоположной вершиной параллелограмма (точка В нарис. 2, б).
/>
а
/> />
б в
Рис. 2.
11. Напишите формулу разложения вектора по трем взаимно перпендикулярнымосям координат
/>
12. Как определяется вектор через координаты его начала иконца?
Пусть известны координатыначала вектора А(x1, y1, z1) и его конца В(x2, y2, z2). Точки А и В определяют радиус вектора
z /> и />.
/>
0
Рис. 3
Из треугольника ОАВследует, что />, отсюда />.
Если обозначить через X, Y, Z – координаты вектора />, т.е. />=(X, Y, Z), то следует, что
X=х2-х1
Y=у2-у1
Z=z2-z1
Чтобы найти абсциссувектора Х, необходимо из абсциссы конца вектора вычесть абсциссу началавектора.
12. Какой вид имеетуравнение прямой в плоскости, проходящей через две точки?
/>
13. Какой вид имеет уравнение прямой с угловым коэффициентом?
/>
14. Напишите разложение вектора по трем взаимно перпендикулярнымосям координат
Координаты вектора X -2
Y 4
Z 7
A (-2, 4, 7) означает, что абсцисса точки A x=-2, ордината у=4,аппликата z=7.
15. Чему равно скалярное произведение векторов />/>и/>? Данные для варианта взятьиз таблицы 2.3
Координаты вектора /> X -2
Y 4
Z 7
Координаты вектора /> X 3
Y 6
Z 4
Т.к. векторы заданы вкоординатной форме, то по формуле /> имеем:
/>
16. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересеченияпрямых l1 и l2 и отсекающей на оси абсцисс отрезок,равный d
Уравнение прямой l1
Уравнение прямой l2 d Координаты точки Р x y 3x‑2y‑7=0 x+3y‑6=0 3 2 5
/>
Отсюда находим х = 6 – 3у
/>
x = 3
Значит точка пересечения двух прямых A (3; 1)
По условия отрезок равен 3, значит координата точки B (3; 0).
Найдем уравнение прямой, проходящей через точки А и В.
/>
/>
Здесь знаменатель равеннулю. Полагаем числитель левой части равным нулю.
Получаем />
17. Найти уравнение прямой, отсекающей на оси ординатотрезок, равный dи проходящей параллельно прямой l1
Уравнение прямой l1
Уравнение прямой l2 d Координаты точки Р x y 3x‑2y‑7=0 x+3y‑6=0 3 2 5
Найдем две точки прямой 3x‑2y‑7=0
Подставим в уравнение х=1 и х=3 и получим значения усоответственно -2 и 1.
A (1; – 2) и B (3; 1).
Координаты направляющеговектора /> найдём по координатамконца и начала вектора /> /> />
Подставляя в формулу /> координаты точки O (0; 3) и координатывектора /> получим искомое уравнениепрямой
/> или />.
18. Как определяются горизонтальные асимптоты функции?
Вслучае если наклонная асимптота расположена горизонтально, то есть при />,она называется горизонтальной асимптотой. Такимобразом, горизонтальная асимптота – частный случай наклонной асимптоты; прямая y= с = const является горизонтальнойасимптотой графика y = f(x)при /> или />, если
/>
или
/>
соответственно.
19. Что такое частное приращение функции несколькихпеременных?
Частной производной функции несколькихпеременных по какой-нибудь переменной в рассматриваемой точке называетсяобычная производная по этой переменной, считая другие переменные фиксированными(постоянными). Например, для функции двух переменных /> в точке /> частные производныеопределяются так:
/>,
/>,
если эти пределысуществуют.
Из определения следуетгеометрический смысл частной производной функции двух переменных: частнаяпроизводная /> – угловойкоэффициент касательной к линии пересечения поверхности /> и плоскости /> /> в соответствующей точке.
20. Каковы выражения для частных дифференциалов функции z=f(x, y)?
Частной производной по x функции z = f(x, y) в точке M0(x0, y0) называется предел />,
еслиэтот предел существует. Обозначается эта частная производнаялюбым из следующих символов:
/>;/>;/>.
Частнаяпроизводная по x есть обычная производная от функции z = f (x,y), рассматриваемой как функция только от переменной x прификсированном значении переменной y.
Совершенно аналогично можноопределить частную производную по y функции z = f(x, y) в точке M0(x0,y0):
/>=/>.
Приведем примеры вычисления частных производных
/>
/>
21. Каково выражение для полного дифференциала функции u=u(x, y, z)?
Полный дифференциал du функции u = f (x, y, z) (если он существует)равен сумме всех ее частных дифференциалов:
/>
22. Напишите частные производные третьего порядка для функцииz=f(x, y, z)
/>
/>
/>
23. Найти частную производную и частный дифференциал функции./>
/>
/>
24. Вычислить значения частных производных f’x(M), f’y(M), f’z(M) для данной функции f(x, y, z) в точке M(x, y, z) с точностью до двухзнаков после запятой
/>
/>
/>
/>
25. Вычислить значения частных производных функции z(x, y), заданной неявно, вданной точке M(x, y, z) с точностью до двухзнаков после запятой
lnZ=x+2y-z+ln3 M0(1,1,3)
/>
/>
/>
/>
26. Найти уравнение касательной плоскости и нормали кзаданной поверхности Sв точке M(x, y, z). S: z=x2+y2-4xy+3x‑15, M(-1,3,4)
/>
/>
/>
/>
Следовательно, уравнение касательной плоскости будет таким:
/>
/>
а уравнение нормали таким:
/>