ВАРИАНТ 1.
.
Определить число лет. Необходимых для увеличения первоначального капитала в 5 раз, применяя простые и сложные проценты по ставке 15 % годовых.
Сначала определим число лет при начислении простых процентов.
Формула простых процентов:
Pn= P(1+ni), где
Pn– наращенная сумма,
i— ставка процента,
P– изначальная сумма,
n— число периодов начисления.
Составим уравнение.
Первоначальный капитал увеличится в 5 раз, следовательно Pn= 5P
5P= P(1 + n*0,15)
1 + n*0,15 = 5
0,15n= 4
n= 26,6 т.е. примерно через 26,5 лет капитал увеличится в 5 раз при простых процентах.
Формула сложных процентов:
Pt= P(1 + i)t, где
t— количество периодов наращения,
i— ставка процента,
P– изначальная сумма,
Pt– наращенная сумма.
Первоначальный капитал увеличится в 5 раз, следовательно Pn= 5P
5P = P(1 + 0,15)t
(1,15)t= 5
t= 11,5 т.е. через 11,5 лет капитал увеличится в 5 раз при сложных процентах
Вексель с обязательством 15 тыс. руб. учитывается банком за 3 месяца до погашения с дисконтом 3 тыс. руб. в пользу банка. Определить величину ставки процента.
Формула расчета дисконта банка:
D = d*S*n, где
d– годовая учетная ставка,
n– срок до даты учета,
S– наращенная сумма.
d= D/ S*n
d= 3 000 / 15 000 * 3/12 = 0,8т.е. 80 %
Другой способ:
P= S(1 — dt), где
d– банковский дисконт,
t– временная база,
12 = 15 (1 – d*0,25)
d*0,25 = 0,2
d = 0,8
Вексель погашается через 3 года за 5 тыс. руб. Определить дисконтную цену векселя по простым и сложным процентам.
По-видимому, в условии пропущена ставка процентов. Примем ставку процентов за 10% годовых.
Тогда:
P = S(1 — dt)
P= 5 000 (1 – 0,1*5) = 2500 – при простых процентах
P= S(1 — d)n
P= 5000 (1 – 0,1)5= 2952 – при сложных процентах
Допустим, что отцу Федору из романа И.Ильфа и Е. Петрова “ двенадцать стульев” срочно надо выкупить стулья у инженера Бруна. Хотя любезная попадья Катерина Александровна и выслала ему телеграфом в Батум необходимую сумму денег, но, увы, наличных денег для совершения покупки у отца Федора в данный момент нет. А стулья, как он прозорливо считает, в любой момент могут достаться конкурентам – Остапу Бендеру и кисе Воробьянинову. Поэтому он решается взять в местном коммерческом банке кредит на один день в сумме 100000 руб. при трехмесячной ставке 9 %, в надежде на то, что на следующий день он непременно получит высланные попадьей деньги. Какую величину процента должен заплатить отец Федор банку?
Ставка i = 9%*4 = 36% годовых
1 день — срок кредита, т. к., согласно банковской практике, дата выдачи кредита и дата его возврата считаются за один день;
Тогда:
Pn= P(1+ni)
Pn= 100 000 (1 + 0,36*1/360) = 100100 руб. – должен будет вернуть
Размер процентов за операцию:
I = 100100 – 100 000= 100 руб.
Пусть во вклад с капитализацией процентов помещены 10 млн. руб. определить наращение суммы вклада через 2 года, если проценты начисляют ежеквартально из расчета 80 % годовых.
Простые проценты:
Pn= P(1+ni) для простых процентов неважно, сколько раз в год начисляют проценты, поэтому ежеквартальное начисление не учитываем (итоговая сумма будет та же)
Pn= 10 000 000 ( 1 + 2*0,8) = 26000000 руб.
Сложные проценты:
Pt= P(1 + i)t, процентная ставка за квартал t = 80/4 = 20%
Pt= 10 000 000 (1 + 0,2)2*4= 42 998 169,6 руб.
По муниципальной облигации номиналом 10 тыс. руб., выпущенной на 2,5 года, предусмотрен следующий порядок начисления процентов: первый год- 60 %, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 5 %.
Требуется:
определить наращенную стоимость облигации по простой процентной и учетной ставкам;
Наращенная стоимость по простой процентной ставке:
Pn= P(1+ni)
Pn= 10 000 (1+1*0,6 + 0,5*0,65 + 0,5*0,7 + 0,5*0,75) = 26500 руб.
Наращенная стоимость по простой учетной ставке:
S= P/(1-dT)
S1год= 10 000/(1 -0,6*1) = 25000 руб.
Проценты I 1год = 25 000 – 10 000 = 15 000 руб.
S3полугод = 10 000/(1 — 0,65*0,5) = 14 815 руб. (сумма за 3 полугодие)
I 3полугод = 14 815 – 10 000 = 4 815
S4полугод = 10 000/(1 — 0,7*0,5) = 15385 руб.
I 4полугод = 15385 – 10000 = 5385
S5полугод = 10 000/(1 — 0,75*0,5) = 16 000
I 5полугод = 16 000 – 10 000 = 6000 руб.
Суммарная наращенная стоимость по учетной ставке:
S = 15 000 + 4815 + 5385 + 6000 = 31200 руб.
составить план наращения первоначальной стоимости по простым процентам;
Период начисления
Метод: простые проценты
Метод: учетная ставка
1 год
10 000(1 + 1*0,6) = 16000
15 000
1,5 года
10 000(0,5*0,65) + 16000 = 19250
19815
2 года
10 000(0,5*0,7) + 19250 = 22750
25200
2,5 года
10 000(0,5*0,75) + 22750 = 26500
31200
рассчитать наращенную стоимость облигации по сложной процентной и учетной ставкам;
При начислении сложных процентов применяется формула
S = P(1+i1t1)·(1+ i2t2)·(1+ i3t3)·(1+ intn)
S = 10 000 * (1 + 0,6*1)*(1 + 0,65*0,5)*(1 + 0,7*0,5)*(1 + 0,75*0,5) = 39 352 руб.
Сложная учетная ставка:
/>
S =
S1год = 10 000 / (1 – 0,6)1 = 25000 руб.
S3полугод = 25 000 / (1 – 0,65)0,5 = 42258 руб.
S4полугод = 42258/ (1 – 0,7)0,5 = 77152 руб.
S5полугод = 77152 / (1 – 0,75)0,5 = 154304 руб.
составить план наращения первоначальной стоимости по сложным процентам;
Период начисления
Метод: сложные проценты
Метод: сложная учетная ставка
1 год
16 000
25000
1,5 года
21200
42258
2 года
28620
77152
2,5 года
39352
154304
построить график наращения стоимости по простым и сложным процентам;
/>
проанализировать доходность вариантов наращения стоимости с позиций кредитора и заемщика.
После первого года простая учетная ставка и сложные учетная ставка и проценты дают примерно одинаковый результат, поэтому на этом этапе разницы между этими методами начисления процентов для кредитора и заемщика почти нет. Уже на это этапе резко выделается сложная учетная ставка, которая выгода кредитору и невыгодна заемщику. Разница между методами начисления процентов начинается и усиливается после 1,5 года.
Из графика ясно, что наиболее выгодным для кредитора является вариант сложной учетной ставки. Затем идут сложные проценты, простая учетная ставка и наименее выгодными являются простые проценты.
Для заемщика ситуация противоположна – наиболее выгодным вариантом являются простые проценты, наименее выгодна сложная учетная ставка.
Кредитору выгоднее выдавать ссуду под простой дисконт, а не под простой процент. Простой дисконт (d) представляет собой процентный доход, который вычитается из ссуды в момент ее выдачи. Чтобы убедиться в этом, достаточно сравнить наращенную сумму, которую надо вернуть кредитору при условии выдачи кредита в одинаковой сумме, но под простой процент — в одном случае и под простой дисконт — в другом.