Вариант 3.
1. Решите уравнение />
Решение
По определению
/>.
Тогда />и уравнение принимает вид />или />откуда получаем />и />
Так как mможет быть только натуральным числом, то значение />отбрасываем.
Ответ:/>.
2. В урне находится 12 белых и 8 черных шаров. Найти вероятность того, что два одновременно изъятых наудачу шара будут черными
Решение
При выборе двух шаров из 20 существует />различных вариантов, где />, тогда
/>
Определим благоприятных исходов, т.е. извлечены два черных шара. Два черных шара из 8 можно выбрать />способами следовательно, число благоприятных исходов
/>.
Искомая вероятность, согласно классическому определению вероятности, равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов:
/>.
Ответ:/>.
3. Найдите вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 4, либо 5, либо тому и другому
Решение
Воспользуемся классическим определением вероятности. Двузначные числа начинаются с 10 и заканчиваются 99 и всего их 90, т.е. N= 90. Теперь посчитаем, сколько у нас чисел кратных либо 4, либо 5, либо тому и другому.
Число кратное 4-м имеет вид />, кратное 5 />, кратное 4 и 5 />.
В интервале от 10 до 99 всего />числа кратных четырем (2 кратных до десяти), />чисел кратных пяти (1 кратное до 10) и />числа кратных и четырем и пяти.
Так как множество чисел кратных 4 и множество чисел кратных 5 не пересекаются, то всего получается 22 + 18 = 40 чисел удовлетворяющих необходимому нам условию, причем числа кратные и четырем и пяти уже входят в эти 40 чисел. В итоге получаем, что вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 4, либо 5, либо тому и другому равна />.
Ответ: />.
4. В партии 10 деталей, из которых 8 стандартные. Из этой коробки наудачу извлекается 2 детали. Х – число стандартных деталей. Найти закон распределения, функцию распределения дискретной случайной величины Х, а также основные числовые характеристики
Решение
Среди 2-х извлеченных деталей может быть 0, 1 или 2 стандартные.
Найдем вероятность каждого исхода.
0 стандартных: />
1 стандартная: />
2 стандартных: />
Закон распределения принимает вид:
Х
1
2
р
/>
/>
/>
Запишем функцию распределения полученной случайной величины Х:
/>
Математическое ожидание М(Х) дискретной случайной величины находится по формуле:
/>, и подставляя данные, получим:
/>
Дисперсию дискретной случайной величины можно вычислить по формуле:
/>, и, подставляя данные, получим:
/>
Среднеквадратичное отклонение:
s(Х)=/>
Ответ:/>; />; />.
5. По данной выборке постройте полигон. Найти эмпирическую функцию.
Хi
2
5
7
8
Ni
1
3
2
4
Решение
Построим полигон частот – ломаную, соединяющую точки с координатами (Хi; Ni).
/>
Объем выборки равен N= 1 + 3 + 2 + 4 = 10.
Найдем относительные частоты и составим эмпирическую функцию распределения:
Хi
2
5
7
8
wi
0,1
0,3
0,2
0,4
/>
Ответ: решение выше.