МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯРЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
«Гомельскийгосударственный университет имени Франциска Скорины»
Математический факультет
Кафедра дифференциальныхуравнений
Курсовая работа
«Краевые задачи дляалгоритмов приближённого построения заданного режима термообработки проволок навстречных курсах»
Гомель 2003
/>Реферат
Курсоваяработа 24 страницы, 1 рисунок, 6 источников.
Ключевые слова:термообработка проволок, законы распределения температур проволок, муфельныйтермоаппарат.
Цель курсовойработы: разработка алгоритма расчёта параметров термопроцесса на встречныхкурсах с заданным режимом термообработки.
Объектисследования: режим термообработки проволок на встречных курсах.
Предметисследования: разработка алгоритма расчёта параметров термопроцесса на встречныхкурсах с заданным режимом термообработки
Задача:создание алгоритма.
Вывод:доказана осуществимость форсированного режима термообработки с платообразнымнагревом и произвольным монотонным режимом охлаждения.
Предложения:методика расчёта изученных режимов может быть использована для практическойцели.
Экономическаяэффективность: возможное улучшение технико-экономических показателейсоответствующих технических процессов
/>/>Содержание
Введение----------------------------------------------------------------------------------------- 4
1.Физические и математические модели изучаемых термопроцессов и методика ихисследования----------------------------------------------------------------------------------- 8
2. Простойотжиг проволок на встречных курсах в муфельном термоаппарате 14
3. Сложныйотжиг проволок на встречных курсах в муфельном термоаппарате 18
4. Примертермообработки проволок на встречных курсах------------------ 25
Заключение----------------------------------------------------------------------------------- 27
Списокисточников------------------------------------------------------------------------- 28
/>/>/>Введение
Припроизводстве нитевидных материалов ответственного назначения широкоиспользуется их непрерывная термообработка, обычно сопровождаемая операциямитакими как травление, промывка, шлифовка, нанесение покрытий и т.п. Этоткомплекс операций обработки осуществляется при равномерной перемотке множестванитей-проволок и их последовательном прохождении через термоаппарат ипоследующий ряд устройств соответствующей финальной обработки. Непрерывностьпроцесса обеспечивается своевременным наращиванием нитей с резервных исходных катушек,по мере их исчерпания их запаса на данных, и периодическим съёмом мотков сфинальных моталок, по мере накопления на них определенного количества продукта.Общая длина ветвей проволок, стягивающих исходные катушки с финальными моталкамиможет измеряться многими десятками метров, а количество параллельнообрабатываемых проволок может исчисляться многими десятками единиц Постоянствоформы проволок по траектории их движения через весь агрегат поддерживаетсяторможением сбегающих с исходных катушек ветвей обрабатываемых проволок, аскорость их движения задаётся скоростью их смотки моталками.
В изделиях изтермообработанных нитевидных материалов одновременно реализуются два известныхэффекта повышения уровня использования полезных свойств материалов: масштабныйэффект, обусловленный малыми размерами сечений нитей, и теплофизический эффект,достигаемый операцией термообработки. Улучшаемыми термообработкой свойствамиматериалов могут быть прочность, пластичность, упругость, твёрдость,износостойкость, циклическая прочность, коррозийная стойкость,светопроводимость, электропроводность. Улучшение комплекса таких свойствобрабатываемого материала достигается в результате определённых изменений егоструктурно-фазового строения при помощи нагрева и охлаждения. Характер икинетика каждого из параллельных или последовательных термопревращений данногоматериала подчиняется законам теплофизики и теплохимии этого материала и характеризуетсясвоими кинетическими постоянными. [2]
Дляравновесных термопревращений материала основным параметром, управляющимхарактером и кинетикой его трансформаций, принято считать удельную внутренююэнергию данного материала, включающую его удельную тепловую энергию иопределяемую с точностью до постоянной. Каждое изменение внутреннего строенияматериала происходит при определённом уровне его внутренней энергии исопровождается тепловым эффектом с выделением или поглощением определённогоколичества тепла. Эти количества в сравнении с общими количествами тепла,поглощаемого материалом при нагреве и охлаждении являются небольшими. Приохлаждении до своей начальной температуры, материал обычно отдаёт тепла почтистолько, сколько он его поглощает. [3]
Промышленноеприменение получают только такие виды непрерывной термообработки, эффекткоторых проявляется в достаточно значительном улучшении комплекса определённыхполезных свойств продукта и длительность цикла термообработки которыхоказывается достаточно малой. Поэтому обсуждаемые термопроцессы можно считатьинтенсивными, их режимы – форсированными, а структурные состоянияобрабатываемых и обработанных материалов – неравновесными или метастабильными.
Приинтенсивных процессах термообработки существенно зависящими от скоростиизменения температуры становятся многие параметры состояния и эволюцииматериала, включая пороговые температуры, периоды инкубационных состояний,кинетические постоянные термопревращений, их характер, спектр,последовательность и т.п. Пороговые температуры большинства термопревращенийтвёрдого вещества с увеличением скорости его нагрева возрастают, а сувеличением скорости его охлаждения, наоборот – снижается.
Нагревательнымиустройствами проволочных термоаппаратов преимущественно служат многоканальныемуфельные печи с внешним пламенным или электрическим обогревом муфелей. Средойнагрева служит либо воздух, либо специальный газ, непрерывно подаваемый вканалы муфеля. Режим нагрева проволок контролируется по значениям температурымуфеля в его отдельных точках, а управление этим режимом осуществляется регулированиемплотности теплового потока внешнего источника тепла.
Основныекачественные отличия различных видов термообработки разных материаловпроявляется в соответствующих им режимах охлаждения. При таких видахтермообработки, как нормализация, отпуск вполне допустимыми оказываются режимыестественного охлаждения нагретых проволок на воздухе. В этом случаетермоаппарат включает только нагревательную печь, а роль охлаждающегоустройства выполняет атмосфера и элементы агрегата, с которыми взаимодействуютперематываемые проволоки после прохождения их через печь.
При видахтермообработки, именуемых закалкой, применяются ускоренные режимы охлаждения. Вэтом случае термоаппарат исполняется со специальным охлаждающим устройством,которое призвано обеспечить непрерывный стационарный отвод тепла от множествадвижущихся проволок в соответствии с закономерностями искомых термопревращенийданного охлаждаемого материала. На практике такой ускоренный режим охлаждениядостигается в жидких средах, в качестве которых используется вода, растворысолей, щелочей, жидкие углеводороды, эмульсии, расплавы солей и металлов.Состав закалочных жидкостей подбирается экспериментально и адресно для каждогоматериала и вида его термообработки. Управление режимом охлаждения проволоксводится к поддержанию определенной температуры охлаждающей жидкости и к ее перемешиванию.[4]
Систему,включающую термоаппарат, заполняющую его рабочее пространство рабочую среду ипоток обрабатываемых проволок можно отнести к известному классу неравновесныхтермодинамических систем с непрерывным обменом энергии и массы. Подобнойсистеме даже при строго постоянных однородных граничных условиях, принуждающихее к осуществлению переносов энергии и массы при определенном прессинге этихграничных условий в подвижных средах могут самопроизвольно возбуждаться волновыеявления, возникать динамические структурные образования типа ячеек Бернара,происходить иные аномальные события, скажем, типа торнадо, существенно изменяющиеполя температур и скоростей подвижной среды.
/>/>/>1. Физические иматематические модели изучаемых термопроцессов и методика их исследования
Основным,базовым термоаппаратом принимаем традиционную многоканальную муфельную печь сгазовой средой нагрева и с равномерным внешним обогревом муфеля. Пусть 2L – его длина, Н – среднеемежосевое расстояние проволок, r – их радиус, О – центральная точка некоторого канала, Ох – егоось, х/>[-l; l] – зона обогрева муфелявнешним источником тепла, х/>[-L; L] – рабочая зона термоаппарата, l – модуль скорости проволок, />=2L/v – длительность ихпрохождения через термоаппарат, />– среднийуровень кинематических возмущений длительности />.
Сдвигом шкалытемператур начальную температуру проволок примем за нуль и пусть [о, T*] – интервал температуррассматриваемой термообработки, />– среднийуровень возмущений начальной температуры проволок.
Простымотжигом проволок назовём физически упрощённую модель обсуждаемых термопроцессов,основанную на следующих гипотезах:
1. Искомыйэффект этой термообработки достигается нагревом проволок до данной максимальнойтемпературы />, а качествотермообработки определяется уровнем возмущений /> температуры/>, ограниченныхопределённой предельной величиной [/>].
2. Винтервале температур термообработки материал проволок сохраняет неизменнымисвои плотность /> и удельнуютеплоёмкость />.
3.Теплоизоляция термоаппарата, столь совершенна, что всё тепло, поступающее извнешних источников, поглощается обрабатываемыми проволоками.
4. Тепловаяинерция муфеля намного превосходит тепловую инерцию содержащихся в нёмпроволок.
5. Тепловыепотоки между проволоками и муфелем нормальны к его оси Ох и подчиняется законутеплопроводности Фурье, т.е. пропорциональны соответствующим разностямтемператур.
6. Плотностьтеплового потока от внешнего источника тепла /> постоянна по длине иширине муфеля.
Математическоймоделью данного вида термообработки служат уравнения теплового баланса научастке рабочей зоны [x, x+∆x] за интервал времени ∆t при стационарномтермопроцессе.
Пусть ТА=ТА(х), TB=TB(x), TC=TC(x) – стационарныераспределения температур проволок и муфеля в рабочей зоне х/>[-L; L]
/> (1.1)
— ихприращения на участке рабочей зоны [х; х+∆x],
/> (1.2)
— количествамассы этих проволок, проходящих за время ∆tчерез данный участокканала,
/> (1.3)
/> (1.4)
– количества тепловойэнергии, поглощаемой здесь за это время проволоками А и В,
/> (1.5)
– среднееколичество тепла, поглощаемой одной проволокой на участке рабочей зоны [х;х+∆х] за время ∆t.
Приравномерном обогреве муфеля за время ∆t на данном участке каналав расчёте на одну проволоку поступит количества тепла
/> (1.6)
Из (1.5) и(1.6) находим, что при муфельном нагреве
/> (1.7)
В то жевремя, скорости изменения температур проволок равны
/> (1.8)
а скоростьизменения их средней температуры ровна
/> (1.9)
следовательно,
/> (1.10)
/> (1.11)
при чём i=const, если i=const.
Согласногипотезе 4°, при стационарном муфельном нагреве проволок количество теплапоглощаемого проволоками А и В за время ∆t на участке рабочей зоны [х;х+∆х], пропорциональны этому времени, боковой поверхности проволок исоответствующим разностям температур:
/> (1.12)
/> (1.13)
где />>0 и />0 – условные коэффициентытеплообмена каждой из проволок, соответственно, с муфелем и с соседнейпроволокой.
Прираздельном движении проволок А и В в соседних каналах теплообмен между нимивозможен только косвенный, через тело муфеля, чему соответствуют значения/>>0 и />= 0. Если же эти проволокидвижутся в общем канале, то их косвенный теплообмен будет дополнятся прямымтеплообменом, интенсивность которого характеризуется коэффициентом />> 0 и пусть
/> (1.14)
– параметр,определяющий соотношение интенсивностей прямого и косвенного теплообменапроволок для условий данного термопроцесса.
Интенсивностьпрямого теплообмена проволок можно регулировать различными известнымиспособами, в частности, изменением расстояния между ними. Возможный диапазонтакого регулирования, согласно нашим расчётам можно оценить значением g/>[0; l]. В данном исследованиидля соответствующих ориентировочных расчётов будет приниматься значение g=0,5.
Исходныйпроцесс термообработки проволок на параллельных курсах с нагревом в газовойсреде считаем определённым с полнотой, достаточной для вычислениясоответствующего значения коэффициента />.Пусть /> – аналогичныйкоэффициент для иного варианта процесса той же термообработки тех же проволок стой скоростью,
/> (1.15)
– его относительнаявеличина. Значением /> будутмоделироваться такие же условия теплообмена проволок и муфеля, которые имеютместо при исходном термопроцессе. При заполнении каналов муфеля жидкой рабочейсредой интенсивность теплообмена проволок увеличивается, по крайней мере, напорядок. В ориентировочных расчётах такой вариант термопроцесса будеммоделировать значением f=10.
И так, вданном исследовании качественные оценки основных показателей различныхвариантов обсуждаемых термопроцессов будем моделировать при следующих значенияхпараметров:
_
/> (1.16)
/> (1.17)
Уравнениябаланса тепла для рассматриваемых элементов проволок А и В можно получитьпопарно приравнивая величины (1.3), (1.12) и (1.4), (1.13).
/> (1.18)
Условияданной термообработки проволок на параллельных курсах выражаются соотношениями:
/>, (1.19)
/> (1.20)
а навстречных курсах – соотношениями
/> (1.21)
/> (1.22)
Кроме того, общим является условие, что
/> (1.23)
Таким образом, для нахождения трёх неизвестных функций ТА=ТА(х), TB=TB(x), TC=TC(x) получена система трехуравнений (1.10), (1.18), решения которых, удовлетворяющие соответствующейкомбинации условий (1.19) – (1.23), позволяют единообразно описать и оценитьпоказатели кинетики различных вариантов простого отжига, используя в качествебазовых данных известные параметры некоторого исходного процесса даннойтермообработки. Сравнение показателей кинетики двух вариантов даннойтермообработки, отличающихся только направленностью движения соседних проволокА и В, позволяет выявить неизвестные особенности режимов термообработкипроволок на встречных курсах./>/> 2. Простой отжиг проволок на встречных курсах вмуфельном термоаппарате
Этот процессописывается зависимостями (1.10), (1.11), (1.18), (1.21) – (1.23). Условия егоосуществления сохраняем идентичными условиям процесса термообработки проволокна параллельных курсах.
В этом случаев рабочей зоне x/>[-L; L] распределения температур ТА=ТА(х), TB=TB(x), TC=TC(x) проволок А, В и муфеля Судовлетворяют соответствующим условиям симметрии:
/> (2.1)
Эти условияявляются необходимыми условиями обеспечения одинаковых режимов термообработкидля всех проволок, независимо от направления их движения и названные зависимостиудовлетворяют этим условиям. Проволоки А и В с начальной температурой, условнопринятой равной нулю, вступают в рабочую зону с противоположных сторон:
/> (2.2)
Исходя изфизического смысла задачи, можно предположить, что свою заданную температуру /> они достигают вобогреваемой зоне муфеля /> внекоторых точках x= ±h:
/> (2.3)
Пусть
/> (2.4)
Итак, каждаяиз проволок, вступая в термоаппарат с нулевой температурой, его покидает стемпературой Т4. Следовательно, удельное количество тепла,поглощаемого проволокой в термоаппарате – удельная энергоёмкость данногопроцесса равна
/>, (2.5)
а показательотносительной энергоёмкости
/> (2.6)
равен
/> (2.7)
Необходимаядля этого энергия поступает из внешнего источника, действующего в зоне />, и следовательно,
/> (2.8)
В этой зонесредняя скорость нагрева проволок
/> (2.9)
а плотностьвнешнего теплового потока здесь постоянна и, согласно (1.11) ровна
/> (2.10)
Впериферийных необогреваемых зонах муфеля /> j=0 и i=0.
При названныхусловиях и соглашениях систему (1.10), (1.18) преобразуем к виду:
/> (2.11)
где
/> (2.12)
Если
К
то решениесистемы (2.12), удовлетворяющее всей совокупности названных условий иограничений, можно выразить следующими зависимостями:
/> (2.14)
/> (2.15)
При этом
/> (2.16)
В зонеобогрева /> графиками температур ТА=ТА(х), TB=TB(x), TC=TC(x) и средней температурыпроволок
/> (2.17)
являютсяодинаковые, обращённые выпуклостью вверх параболы с вершинами, соответственно /> где
/> (2.18)
/> (2.19)
/>. (2.20)/>/>/>3. Сложный отжигпроволок на встречных курсах в муфельном термоаппарате
Рассмотрим отжигпроволок на встречных курсах и рассмотрим уравнения баланса тепла:
/> (3.1)
Условимся что
/> (3.2)
Согласно § 2температура проволок А и В, при постоянной плотности потока />, нарастает по параболическомузакону на отрезке [-h, h]. На этом отрезке проволока А достигает своей максимальнойтемпературы (см. рис.)
/>/>/>/>/>/> Y/> /> /> /> /> /> />
/>/>/>/>/>/>/>/>Т* Aconst
/>T*
/>/>F(t)
/>B\/> /> /> /> /> /> /> /> />
X
/> /> /> /> /> /> />
Рис. 1
Постановказадачи. Пологая,что допустим любой форсированный режим нагрева с условием изотермичности вокрестности максимальной температуры и что задан строго определённый режимохлаждения в ограниченном интервале температур, разработать алгоритм расчетапараметров нагрева проволок при их движении встречными потоками.
Пусть TA(x), TB(x), TС(x) – распределениетемператур проволок A и B, движущихся навстречу друг другу, и муфеля С. Весь путьтермообработки проволок A и B разбит на интервалы: [-h, h], [h,/>], [/>. Известно, что наинтервале [-h,h] при постояннойплотности потока j0проволоки нагреваются по параболическому закону, на интервале [h,/>] проволока A достигает максимальнойтемпературы T* и сохраняет ее на всем интервале. На интервале [/> закон распределениятемпературы проволоки A: TA(x)=F(t)=F(/>). Требуется определитьзаконы распределения температур проволоки B, муфеля С и плотностипотока jна интервалах [h,/>], [/>. При этом процесссчитаем симметричным.
Так как на [h,/>] проволока A достигает максимальнойтемпературы Т* то из (3.1) находим закон распределения температурыпроволоки В
/>
/>/>/> (3.3)
/> (3.4)
Учитывая, чтоTA=T*, получаемдифференциальное уравнение, решая которое закон находим изменения температурыпроволоки В.
/> (3.5)/>
Здесь намнадо определить С=соnst. Для этого отрезок [A, B] обозначим через />. Тогда получаем точку /> и откуда находим начальноеусловие для проволоки В:
/> (3.6)
тогда
/> (3.7)
следовательно
/> (3.8)
Из этой жесистемы находим закон распределения температуры муфеля:
/> (3.9)
откудаполучим
/> (3.10)
Находим плотностьпотока j(x) из системы (3.1)учитывая ТА=Т*, (3.8), (3.10).
/>/> (3.11)
Пусть теперьна />известен законраспределения температуры проволоки А (см. рис1):
/> (3.12)
И пусть дляпроволоки В известно начальное условие:
/> (3.13)
Тогдасогласно этому закону и начальному условию находим законы распределениятемператур проволоки В, муфеля и плотности j.
Учитываяуравнение (3.4) находим ТB(х)
/> (3.14)
(3.14)является линейным неоднородным уравнением вида [4]
/> (3.15)
Его решениемявляется
/> (3.16)
Откуданаходим
/>. (3.17)
Учитываяначальное условие (3.13) находим С=const
/> (3.18)
Подставляя Св (3.17) находим закон распределения температуры проволоки B:
/>
Из (3.9)определим закон распределения температуры муфеля
/>(3.20)
Плотностьтеплового потока j находим из третьего уравнения системы (3.1), учитывая формулы(3.12), (3.19), (3.20).
Согласновторому параграфу на I=[-h; h] плотность потока j0постоянная величина. Найдём её.
/> (3.21)
тогда
/> (3.22)
Учитывая(3.7) получаем
/>.
Определимнеизвестный параметр />.Определитьего можно исходя из условия (3/>)
/> (3.23)
Перепишем этоуравнение это уравнение в виде:
/> (3.24)
Решается этоуравнение методом итераций. [1] Опишем схему решения: если каким-либо способомполучено приближённое значение />(вкачестве /> можно взять произвольноезначение из интервала, содержащего корень; такой интервал можно сделатьдостаточно малым) корня (3.24), то уточнение корня можно осуществить методомпоследовательных приближений. Для этого уравнение представляют в виде
/>, (3.25)
Что всегдаможно сделать, и притом многими способами, например
/>, (3.26)
где c – произвольнаяпостоянная.
Пусть число /> есть результат подстановки/> в правую часть уравнения(3.25):
/> (3.27)
Итерационныйпроцесс сходится (/>), если наотрезке [a;b], содержащем корень /> и его последовательныеприближения, выполнено условие
/>. (3.28)/>/>/>4. Примертермообработки проволок на встречных курсах
Рассмотримпроцесс термообработки проволок на встречных курсах аналогичный рассмотренномув предыдущем параграфе только в качестве закона распределения температурыпроволоки А возьмём закон:
/> (4.1)
Тогда изсистемы (3.1) находим, ТВ(х), ТС(х) и плотность потока j, учитывая начальноеусловие (3.13).
Из (3.14)получаем
/> (4.2)
Решая егополучаем:
/> (4.3)
Тогда
/>(4.4)
/>/> (4.5)
/>/>/>Заключение
В курсовойработе было рассмотрено: физические и математические модели термопроцессов навстречных курсах, простой и сложный отжиг проволок на встречных курсах вмуфельном термоаппарате.
Приведены:методика исследования физических и математических моделей.
Рассмотренпример термообработки проволок/>.
/>/>/>Список источников
1 Бахвалов Н.С., Жидков Н.П.,Кобельков Г.М. Численные методы.– М. Издательство «Наука»,1987. – 600 с.
2 Гольдштейн М.И. Специальныестали – М. Издательство «Наука», 1968. – 500 с.3 Островский О.И. Свойство металлических расплавов – М. Издательство«Наука», 1978. – 660 с.4. Зиновьев В.Е. Теплофизические свойства металлов при высокихтемпературах стали – М. Издательство «Наука», 1986. – 350 с.5 Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальныхуравнений. – М: Издательство «Вышэйшая школа», 1974. – 250 с.
6 Михалин С.Г. Курсматематической физики – М. Издательство «Наука», 1968. – 575 с.