Содержание
Введение. 3
Глава 1. Теоретико-методологические основы формированияматематического понятия дроби на уроках математики. 6
1.1. Процесс формирования математических понятий на урокахматематики 6
1.2. Методика введения математических понятий на уроках математики 16
1.3. Понятие дроби. 24
1.4. Введение и формирования математического понятия дробина уроках математики. 27
Выводы по 1 главе. 36
Глава 2. Практическое исследование введения и формированияматематического понятия дроби на уроках математики. 37
2.1. Содержание и ход эксперимента. 37
2.2. Анализ полученных результатов. 44
Выводы по 2 главе. 47
Заключение. 48
Список литературы… 49
Приложения. 50
/>/>Введение
Большинствоприменений математики связано с измерением величин. Однако для этих целейнатуральных чисел недостаточно; не всегда единица величины укладывается целоечисло раз в измеряемой величине. Чтобы в такой ситуации точно выразитьрезультат измерения, необходимо расширить запас чисел, введя числа, отличные отнатуральных. К этому выводу люди пришли еще в глубокой древности: измерениедлин, площадей, масс и других величин привело сначала к возникновению дробныхчисел – получили рациональные числа, а в V в. до н.э. математикамишколы Пифагора было установлено, что существуют отрезки, длину которых привыбранной единице длины нельзя выразить рациональным числом. Позже, в связи срешением этой проблемы, появились числа иррациональные. Рациональные и иррациональныечисла назвали действительными.
Действительныечисла – не последние в ряду различных чисел. Процесс, начавшийся с расширениямножества натуральных чисел, продолжается и сегодня – этого требует развитиеразличных наук и самой математики.
Знакомствоучащихся с дробными числами происходит, как правило, в начальных классах. Затемпонятие дроби уточняется и расширяется в средней школе. В связи с этим учителюнеобходимо владеть понятием дроби и рационального числа, знать правилавыполнения действий над рациональными числами, свойства этих действий. Все этонужно не только для того чтобы математически грамотно ввести понятие дроби иобучать младших школьников выполнять с ними действия, но и, что не менее важно,видеть взаимосвязи множеств рациональных и действительных чисел с множествомнатуральных чисел. Без их понимания нельзя решить проблему преемственности вобучении математике в начальных и последующих классах школы.
Исходяиз актуальности данной проблемы мы выбрали темой нашего исследования«Формирование математических понятий» (Дроби.5 класс).
Объектисследования – процесс формирования понятия дроби.
Предметисследования – приемы введения и формирования математических понятий на урокахматематики.
Цельисследования – разработать приемы введения и формирования математическихпонятий на уроках математики.
Всоответствии с целью в основу исследования была положена гипотеза, что понятиедроби будет сформировано у учащихся 5 классов при систематической ицеленаправленной работе, направленной на формирование понятия дроби какрационального числа.
Всоответствии с целью и гипотезой были поставлены следующие задачи:
— проанализировать методико-математическую и психолого-педагогическую литературуи выявить теоретические положения, связанные с понятием дроби;
— проанализировать методико-математическую литературу и выявить приемы введения иформирования понятия дроби на уроках математики, рассмотреть различные подходык введению понятия дроби;
— отобрать и апробировать упражнения, направленные на формирование дроби какрационального числа;
— разработать методические рекомендации по приемам введения и формирования дробикак рационального числа.
Длярешения поставленных задач использованы методы исследования: наблюдение,педагогический эксперимент, анализ продуктов деятельности учащихся,тестирование.
Исследованияпроводились в три этапа:
1этап – поисково-теоретический. В процессе анализа психолого-педагогической иметодической литературы были обеспечены методология, методика исследования, егопонятийный аппарат, проблема, объект, предмет, задачи, методы и гипотезаисследования.
2этап – опытно-экспериментальный. На этом этапе разработаны и проведены урокиматематики с использованием заданий творческого характера, осуществляласьпроверка рабочей гипотезы; проводилась обработка полученных результатов.
3этап – заключительно-обобщающий. Этот этап включал обработку и систематизациюматериала, апробацию и внедрение результатов в практику.
Все3 этапа носили отражение в нашей работе.
Структураработы: выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав,заключения, списка литературы, включающего 20 наименований, приложений.
Базаисследования: Исследование осуществлялось на базе Семибугровской СОШ с. СемибугрыКамызякского района.
Испытуемые– ученики 5 «А» класса в количестве 14 учащихся и ученики параллельного 5 «Б»класса в количестве 14 учащихся.
Практическаязначимость исследования состоит в формировании математического понятия дробикак рационального числа, подборе заданий, направленных на формирование дробикак рационального числа.
/>/>Глава 1. Теоретико-методологические основы формированияматематического понятия дроби на уроках математики
/> 1.1. Процесс формирования математических понятий науроках математики
Мыотличаем один объект (явление) от другого, пользуясь различными качествами,признаками или особенностями объектов (и явлений). Среди различных свойствизучаемых объектов можно выделить: 1) единичные (индивидуальные) свойства; 2) общиесвойства.
Дляединичных свойств некоторого объекта характерно то, что они являются егоотличительными свойствами. Например: а) Самая большая река в Европе — Волга; б)уравнение второй степени с одной переменной — квадратное уравнение.
Общиесвойства некоторого объекта могут быть как отличительными, так инеотличительными его свойствами. Например, люди — позвоночные существа(неотличительное свойство). Общее свойство объекта может быть его отличительнымсвойством, если оно выражает так называемые существенные свойства этогообъекта, свойства, которые являются его признаками, выделяющими его измножества других объектов. Например, люди — существа с членораздельной речью. Впроцессе отражения в мозгу человека этих свойств объектов возникает особаяформа мышления называемая понятием.
Чтоже является характерным для такой формы мышления, как понятие?
Во-первых,то, что понятие есть продукт высокоорганизованной материи; во-вторых, то, чтопонятие отражает материальный мир; в-третьих, то, что понятие предстает в познаниикак средство обобщения; в-четвертых, то, что понятие означает специфическичеловеческую деятельность; в-пятых, то, что формирование понятия в сознаниичеловека неотделимо от его выражения посредством речи, записи или символа.
Процессформирования некоторого понятия — постепенный процесс, в котором можноусмотреть несколько последовательных стадий. Попытаемся проиллюстрировать этотпроцесс на простейшем примере — формировании у детей понятия о числе 3.
1)На первой ступени познания дети знакомятся с различными конкретнымимножествами, такими, например, какие изображены на рисунке 1. Они не тольковидят каждое из этих множеств, но и могут осязать (потрогать) те предметы, изкоторых эти множества состоят. На этой стадии процесса познания они могут обращатьвнимание (усматривать) самые разнообразные конкретные свойства как самихпредметов, так и множеств, для которых эти предметы являются элементами.
Этотпроцесс «видения» создает в сознании ребенка особую форму отражения реальнойдействительности, которая называется восприятием (ощущением). Чувственноевосприятие объекта есть начальная, простейшая ступень в его познании — перваяступень в формировании соответствующего ему понятия. Восприятие существует всознании человека только в то время, когда какие-либо объекты или явлениявоздействуют на его органы чувств; в то же время оно не исчезает бесследно.
2)Уберем объекты, составляющие каждое множество, и предложим детям забыть о том,каковы были эти объекты. Было ли нечто общее, характеризующее каждое из этихмножеств? В сознании детей должно было запечатлеться число предметов в каждоммножестве, то, что всюду было по «три». Если это так, то в сознании детей создаласьновая форма представление о числе «три».
3)До сих пор дети имели дело с множествами предметов, в каждом из которых было по3 предмета. На основе мысленного эксперимента на следующей ступени познаниядети должны усмотреть, что свойство, выраженное в слове «три», характеризуетлюбое множество любых элементов вида (а,b, с). Тем самымвыделена существенная общая особенность таких множеств — «иметь три элемента». Теперьможно сказать, что в сознании детей сформировано понятие о числе 3.
Понятно,что приведенная нами иллюстративная схема является лишь грубым приближением креальному процессу мышления. Вместе с тем даже из этого простейшегоиллюстративного примера видно, что понятия образуются путем операции обобщения,которая неразрывно связана с абстрагированием.
Отметим,что известно несколько видов обобщения. Один из них строится на основе выделенияобщих признаков объектов, отбрасывании тех, которыми они отличаются. Так,например, рассматривая такие понятия, как «треугольник АВС», «треугольник» и«многоугольник», нетрудно установить, что основное различие между ними состоитименно в степени обобщенности: понятие «треугольник» шире, чем понятие«треугольник АВС», а понятие «многоугольник» шире, чем «треугольник». Возрастаниеобобщенности понятий происходит по мере того, как отбрасываются тесвойства-признаки, которые отличают одни объекты от других. Так, в понятии «многоугольник»выделены лишь общие признаки, присущие всем многоугольникам, те же, которыеотличают один вид многоугольника от другого, отброшены.
Внаучном познании такого рода понятия, называемые абстрактными, имеютсущественное значение, позволяя классифицировать объекты, сравнивать их междусобой, отождествлять или различать и т.д.
Обобщениеобъектов и явлений посредством понятия увеличивает познавательную ценностьмышления, во-первых, потому, что более общие понятия дают возможность мысленнообозреть и изучить более обширное множество объектов, а во-вторых, потому, что,отбрасывая индивидуальные признаки объекта, мы тем самым выявляем общие, болееустойчивые признаки, которые ранее в рамках более узких понятий оставалисьнераскрытыми.
Другойспособ обобщения позволяет образовывать так называемые конкретные понятия. Особенностьего состоит в том, что обобщение здесь происходит не только путем выделенияобщих свойств объектов, но и путем сохранения в понятии его особенных иединичных признаков.
Так,например, в математическом понятии «производная» обычно выступает необходимостьнаряду с выделением общих свойств, присущих всем видам производной, указать испецифические свойства этого понятия: производная непрерывной функции,производная трансцендентной функции и т.п.
Такимобразом, в отличие от восприятия и представления, понятие фиксирует в нашемсознании только существенные для этого случая признаки и свойства (являющиесяпризнаками этого понятия).
Итак,понятие — это форма мышления, в которой отражены существенные (отличительные) свойстваобъектов изучения.
Понятиесчитается правильным, если оно верно отражает реально существующие объекты.
Каждоепонятие может быть рассмотрено по содержанию и по объему. Содержание понятия — этомножество всех существенных признаков данного понятия. Объем понятия — множествообъектов, к которым применимо данное понятие.
Так,для понятия «параллелограмм» содержание будет представлено такими, например,свойствами: 1) противоположные стороны конгруэнтны; 2) противоположные углыконгруэнтны, 3) диагонали в точке пересечения делятся пополам и т.д.
Объемпонятия «параллелограмм» представлен множеством таких четырехугольников, как: 1)собственно параллелограммы; 2) ромбы; 3) прямоугольники; 4) квадраты
Приведенныйпример показывает, что содержание понятия — это множество признаков понятия, изкоторых каждый необходим, а все вместе достаточны для установления понятия.
Содержаниепонятия жестко определяет его объем, и, наоборот, объем понятия вполне определяетего содержание. Таким образом, изменение в содержании понятия влечет за собойизменение в его объеме, и наоборот. Между содержанием и объемом понятиясуществует в некотором смысле обратная зависимость. Так, например, еслиувеличить содержание понятия параллелограмм (диагонали взаимно перпендикулярны),то сразу уменьшится его объем (остаются лишь ромб и квадрат); если уменьшитьсодержание этого понятия (потребовать параллельности только двухпротивоположных сторон), увеличится его объем (к названным четырехугольникамдобавится трапеция).
Если,например, увеличить объем понятия «сокращение дроби», включив его в понятие«тождественные преобразования» (разложение на множители или слагаемые,сокращение дроби и т.д.), то содержание этого понятия уменьшится (возможностьделения компонентов выражения на одно и то же число исчезает для большинстватождественных преобразований).
Впроцессе обобщения объем понятия становится шире, а его содержание — болееузким.
Впроцессе специализации понятия — наоборот: сужается объем понятия, норасширяется его содержание. Следует заметить, что рассмотренная зависимостьмежду содержанием и объемом некоторого понятия имеет место лишь тогда, когда впроцессе изменения содержания объем одного понятия является подмножеством объемадругого понятия.
Большаяроль в процессе формирования понятий принадлежит речевому и символическому ихвыражению. Слово называют носителем понятия. Слово, обозначающее строгоопределенное понятие какой-либо области науки или техники, называется научным термином.Например, слово «ромб» — математический термин. При этом необходимо, чтобысимволика и речь (и в частности, термин) выражали данное понятие однозначно. Вкачестве контрпримера можно привести слова, называемые омонимами. Одно из них — известный школьный термин «корень», который можно понимать в различных смыслах(корень уравнения, корень растения, корень квадратный из числа, «корень зла»). Вданном случае слово играет отрицательную роль: понятие не выражается имоднозначно.
Сдругой стороны, существуют различные термины, выражающие одно и то же понятие,причем совершенно однозначно (слова-синонимы). Например, термин «квадрат» можнозаменить терминами «правильный четырехугольник», «ромб с прямым углом» и т.д. Вданном случае роль слова положительна: оно уточняет понятие.
Процессраскрытия содержания понятия состоит в перечислении его признаков. Перечислениенеобходимых и достаточных признаков понятия, сведенных в связное предложение(речевое 7 или символическое), есть определение понятия (математическогообъекта). Каждый из признаков, входящих в определение, должен быть необходим, авсе вместе — достаточны для установления данного понятия. В определении должнораскрываться основное содержание понятия. В нем не должно содержаться лишнихслов; не должно быть и пропусков. Вот пример правильного определения понятияпараллелограмма: «Параллелограмм — четырехугольник, у которого две противоположныестороны попарно равны и параллельны»; а вот контрпримеры определений понятия«квадрат»: 1) квадрат — параллелограмм, у которого все углы прямые(недостаточное); 2) квадрат — ромб с прямым углом (правильное); 3) квадрат — параллелограммс равными сторонами и с четырьмя прямыми углами (избыточное).
Необходимо,чтобы учащиеся понимали, что никакие определения не доказываются. Вместе с темв процессе обучения математике можно (и полезно) мотивировать то или иноеопределение понятия. Хотя определение понятия — суть условное соглашение, нооно выбирается разумно, исходя из реальных свойств того или иного понятия или всоответствии с теми или иными требованиями (при введении нового понятия). Длянекоторых понятий их определения и выражающие их термины выглядят вполнеестественными (треугольник — многоугольник с тремя внутренними углами); для другихнеобходимы мотивировка или — пояснение.
Некоторыепервоначальные математические понятия не определяются (или косвенноопределяются через аксиомы). Например, понятие множество — неопределяемоепонятие.
Определениекаждого понятия можно было бы рассматривать в динамике, т.е. в виде процессасведения одного понятия к другому. Последовательность шагов здесь конечна, таккак, продолжая этот процесс, мы неизбежно придем к понятиям, считающимсяпервоначальными.
Впоследовательности понятий, полученной в результате процесса определениянекоторого понятия, каждое понятие (начиная со второго) является родовымпонятием для предыдущего понятия, т.е. объемы этих понятий находятся междусобой в последовательном отношении включения: vl v2 v3…vn.
Например(рис.1): квадрат есть особый ромб; ромб — особый параллелограмм; параллелограмм- особый четырехугольник; четырехугольник — особый многоугольник; многоугольник- особая геометрическая фигура; геометрическая фигура — точечное множество.
Такимобразом, мы дошли до первоначальных понятий: точка и множество.
Впроцессе обучения такие понятия должны быть особо выделены, а принятие их вкачестве основных мотивировано.
Понятиеможет быть правильно определено различными способами.
1.Через ближайший род и видовое отличие. Например: квадрат — прямоугольник с равнымисторонами; ромб-параллелограмм, у которого диагонали взаимно перпендикулярны.
Наязыке теории множеств и математической логики сущность этого способаопределения понятия заключается в следующем:
Есливо множестве А имеются элементы х, обладающие некоторым свойством Р(х), иэлементы, не обладающие этим свойством, то данное свойство Р(х) разбиваетмножество А на два подмножества:
/>
причемэти два множества таковы: />
/>
Здесьмножество А есть множество объектов, принадлежащих родовому понятию, а свойствоР есть видовой признак (видовое отличие) данного понятия. В определении«квадрат — прямоугольник с равными сторонами» множеством А является множествовсех прямоугольников, а свойством Р (видовым отличием понятия «квадрат») являетсясвойство «иметь «не стороны».
2.Генетически (способом, указывающим на происхождение понятия). Например,окружность — множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянииот данной точки, лежащей в этой плоскости.
3.Индуктивно. Например, рекуррентное равенство an = a n-1 + d определяетарифметическую прогрессию.
4.Через абстракцию. Например, натуральное число — характеристика классаэквивалентных конечных множеств.
Процессвыяснения объема понятия называется классификацией понятия. Таким образом, подклассификацией понимается разделение множества объектов, составляющих объемродового понятия, на виды. Это разделение основано на сходстве объектов одноговида и отличии их от объектов других видов в существенных признаках.
Например,классификацию понятия натурального числа можно провести так, как показано наследующей схеме (рис.2). /> />
Рис.2.
Правильнаяклассификация предполагает соблюдение определенных условий, которые могут бытьпроиллюстрированы вышеприведенной схемой классификации натуральных чисел:
1.Классификация должна проводиться по определенному признаку, остающемуся неизменнымв процессе классификации. В приведенном примере таким признаком является числопростых делителей данного натурального числа.
2.Понятия, получающиеся в результате классификации, должны быть взаимнонезависимыми. В приведенном примере это выражается тем, что пересечениемножеств простых, составных чисел и единицы пусто.
3.Сумма объемов понятий, получающаяся при классификации, должна равняться объемуисходного понятия. В приведенном примере числа простые, составные и единицаисчерпывают все множество натуральных чисел.
4.В процессе классификации необходимо переходить к ближайшему в данном родовомпонятии виду.
Вприведенном примере, проводя классификацию натуральных чисел, было бы невернымподразделить множество натуральных чисел на простые числа, числа, имеющие триразличных делителя, и единицу. В этом случае произошел бы так называемый«скачок в классификации», так как прежде следовало бы выделить составные числа,а лишь потом подразделить составные числа на числа, имеющие три различныхделителя, четыре различных делителя и т.д.
Всамом деле, на первом этапе классификации некоторого понятия выделяетсянекоторое свойство — признак Pi (x). В результате исследования некоторого множестваобъектов А мы выделяем из этого множества два подмножества А1 и А2:
/>
Темсамым мы получили разбиение множества А на два класса, удовлетворяющихвышеприведенным условиям классификации.
Желаяпродолжить процесс классификации данного понятия, мы выделяем новое свойство Р2(х) и получаем разбиение множества Ai на два подмножества В) и В2 и т.д.
Врезультате последовательно проведенных разбиений множества объектов,составляющих объем некоторого понятия, и возникает определенная классификацияданного понятия. Так, например, одна из возможных классификационных схемпонятия «выпуклый многоугольник» будет выглядеть так (рис.3).
Заметим,что в современном школьном курсе геометрии принята классификациячетырехугольников, отличающаяся от данной.
Впроцессе определения и классификации понятий данной науки образуется системапонятий этой науки.
/> 1.2. Методика введения математических понятий науроках математики
Известныйфранцузский математик Фреше справедливо замечает: «Если что-нибудьдействительно необходимо, так это уничтожение догматического метода; не даватьникаких определений, не указав, как они возникли, для чего они нужны, как ониприменяются». При введении математических понятий в школьном обучении полезноруководствоваться следующей схемой, которая, однако, должна быть динамичной,сокращаться или дополняться в зависимости от объективно меняющихся условийобучения (состава класса, характера математических понятий и т.п.).
Привведении понятий органически связанных с уже известными учащимся понятиямиможно применить другой путь, называемый абстрактно-дедуктивным.
Так,например, понятие квадратного уравнения можно ввести следующим образом:
1.Дать определение нового понятия (уравнение вида ах2 + bх + с = 0, где a≠0называется квадратным), мотивируя обозначающий его термин (наибольшийпоказатель степени неизвестного равен двум; уравнение содержит квадратнеизвестного).
2.Рассмотреть частные (и особые) случаи выражения этого понятия (х2+ рх + с = 0,ах2 + с = 0, ах2 + bх = 0, ах = 0), проведя своеобразную классификациюэтого понятия.
Привестинекоторые контрпримеры этого понятия (спросить, например, учащихся, будет лиуравнение вида bх + с = 0 неполным квадратным уравнением).
3.Иллюстрировать введенное понятие конкретными примерами (х2 — 5х + 6 = 0, Зх2 — 27= 0 и т.д.), всякий раз проверяя, удовлетворяет ли каждое из конкретныхпроявлений этого понятия его определению.
4.Привести конкретные примеры приложения этого понятия (например, известнуюформулу S=qt2 / 2 можно рассматривать как квадратное уравнение qt2 — 2S = 0; использовать квадратное уравнение при решениитекстовых задач).
Конкретно-индуктивныйметод находит большее применение в младших классах; в старших классах чащеприменяют абстрактно-дедуктивный метод.
Усвоениеучащимися некоторого математического понятия предполагает, наряду с четкимпредставлением об его объеме и содержании, умение применять это понятие впроцессе своей математической деятельности, а также способность к актуализацииосновных факторов, относящихся к данному понятию.
Применяято или иное математическое понятие при доказательстве каких-либо теорем ирешении задач, важно уметь обнаруживать данное понятие в тех случаях, где оновыступает в более или менее скрытой форме.
Вчастности, при усвоении многих геометрических понятий большое значение имеетумение «узнавать» это понятие в более сложном или непривычно расположенномчертеже.
Всвязи с этим весьма полезны упражнения «по готовым чертежам». Так, например,после ознакомления с понятием «равнобедренный треугольник» учащимся можнопредложить следующую серию упражнений:
1.При помощи глазомерной оценки (а затем, подтвердив эту оценку измерением) установить,какие из треугольников, изображенных на рисунке 5.
2.Назовите и покажите в каждом равнобедренном треугольнике основание и боковыестороны.
3.Назовите и покажите в каждом из них углы при основании и угол при вершине.
Наэтапе актуализации знаний при изучении некоторого понятия целесообразновыделить серию ситуаций, наличие которых достаточно для возникновения данногопонятия.
Так,например, изучив в курсе математики 5 – 6 классов понятие о равенстве величинуглов, следует обратить внимание учащихся на то, что величины углов равны, если:
а)углы симметричны относительно прямой;
б)углы получаются один из другого параллельным переносом на данный отрезок;
в)данные углы являются углами при основании равнобедренного треугольника илиуглами равностороннего треугольника;
г)углы получаются один из другого поворотом вокруг данной точки на данный угол и т.д.
Этуработу следует проводить планомерно в течение всего года (а может быть, инескольких лет) обучения; список таких ситуаций, связанных с основнымипонятиями, может и должен быть продолжен.
Приовладении понятиями у учащихся нередко возникают различные затруднения и ошибки.
Начнемс рассмотрения ошибок, которые могут появиться при определении понятий, иукажем некоторые причины их возникновения.
Преждевсего, следует четко показать учащимся различие, связанное с использованием техили иных понятий в определении некоторого нового понятия. Понятие,соответствующее определяемому объекту, называется определяемым; понятие, спомощью которого раскрывается содержание определяемого объекта, называетсяопределяющим. Так, например, в определении «Множество, состоящее из двухразличных точек и всех точек, лежащих между ними, называется отрезком», понятие«отрезок» — определяемое понятие, а понятие «множество точек» — одно изопределяющих понятий.
Еслиэто различие не осознается учащимися, то определение понятий часто дается имистилистически неправильно.
Основныеошибки учащихся при формулировке определений вызваны несоблюдениемустановившихся в логике «правил определения», при выполнении которых эторазличие также играет большую роль. Перечислим важнейшие из этих «правил».
1)Всякое определение должно быть соразмерным, т.е. объем определяемого понятиядолжен быть равен объему определяющего понятия.
Например,определение «Ромб есть параллелограмм, у которого две смежные стороны равны междусобой» соразмерно, так как объем понятия «ромб» равен объему понятия«параллелограмм с двумя равными смежными сторонами» (множества, определяющиеобъемы этих понятий, совпадают).
Нарушениеэтого правила ведет к ошибкам двоякого рода:
а)Объем определяющего понятия шире объема определяемого понятия. В этом случаеопределяемое понятие относится к определяющему, как вид к роду. Например: «Диаметрокружности есть отрезок прямой, соединяющей две точки окружности». Здесь посуществу определена хорда — более широкое понятие, чем диаметр (в объемопределяющего понятия входят все хорды окружности).
Этаошибка в определении данного понятия возникает потому, что признак видовогоотличия («соединять две точки окружности») принадлежит не только диаметрам, нои всем хордам вообще, а поэтому при помощи него нельзя отличить диаметры отдругих отрезков прямых, соединяющих точки окружности.
Такоеопределение в логике называется слишком широким.
Чтобыученики поняли эту ошибку, желательно рассмотреть с ними динамичный рисунок илидиафильм «Окружность и круг»
б)Объем определяющего понятия уже объема определяемого понятия. Последнееотносится к первому как род к виду.
Вкачестве примера рассмотрим следующее определение: «Ромбом называетсяпрямоугольнике двумя конгруэнтными смежными сторонами». Здесь по существуопределен квадрат (более узкое понятие, чем ромб). Эта ошибка в определенииданного понятия возникает потому, что указанный видовой признак (прямоугольник- параллелограмме двумя конгруэнтными смежными сторонами) принадлежит лишьподмножеству множества ромбов, квадратам, т.е. является отличительным лишь длячасти множества ромбов. Такое определение в логике называется слишком узким.
2)Определение не должно заключать в себе «порочного круга», т.е. нельзя строитьопределение так, чтобы определяемое понятие определялось (скрытым или явнымобразом) посредством того же самого определяемого понятия.
Нарушениеэтого правила также ведет к ошибкам двоякого рода:
а)Определяемое понятие характеризуется таким определяющим понятием, содержаниекоторого становится ясным лишь при помощи самого определяемого понятия.
Так,например, определения «сложение есть действие нахождения суммы» и «суммойназывается результат сложения» содержат в себе такой «порочный круг». Определяющеепонятие суммы в этом случае не может быть определено независимо отопределяемого понятия — понятия сложения.
б)Определяемое и определяющее понятия по содержанию тождественны, хотя могут бытьвыражены в различных словах.
Такоеопределение носит название тавтологии.
Например,«прямой угол — это угол в 90°», или «Прямым углом называется угол, стороныкоторого перпендикулярны».
Итак,в этих ошибочных определениях сущность определяемого объекта не раскрывается; вопределяющем понятии повторяется то, что уже известно об определяемом понятии.
3)Определение по возможности не должно быть отрицательным. Это означает, чтоследует избегать таких определений, которых видовое отличие выступает вкачестве отрицательного понятия.
Иногдав математике все же используют «отрицательные» определения, в частности, если вних указываются признаки, не принадлежащие определенному понятию.
Однаков процессе обучения математике такие определения нежелательны, поскольку онипочти не раскрывают содержания понятия, его существенных свойств, а указываютлишь на те свойства, которые не должны иметь определяемые понятия.
Еслипри введении нового понятия ограничиться только формулировкой его определения ииллюстрацией этого понятия только одним примером, взятым из учебника, не показываяего наглядные модели, то учащиеся нередко усваивают такие понятия неправильно. Уучащихся это чаще всего проявляется в попытке незаконных обобщений понятия(обобщений по несущественным признакам) и смешении существенных признаков снесущественными. Типичной ошибкой такого рода является, например, неузнаваниеучащимися знакомой геометрической фигуры, если та имеет непривычную форму илиположение на плоскости.
Вчастности, учащиеся не «узнают» равнобедренный треугольник, данный в положении,указанном на рисунке 6, а испытывают большие затруднения в установлении парподобных треугольников в ситуации, изображенной на рисунке 6, б и т.п.
Большоезначение для сознательного усвоения учащимися важнейших математических понятийимеет система целенаправленных устных вопросов и упражнений, например, таких:
1.Найдите ошибку в следующих определениях (уточните каждое из этих определений):
а)равносильными уравнениями называются такие два уравнения, когда корни первогоуравнения являются корнями второго;
б)прямая, делящая сторону треугольника пополам, называется медианой;
в)отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника и равный половинетретьей стороны, называется средней линией треугольника.
2.Приведите примеры, указывающие на недостаточность следующих определений:
а)касательной к кривой называется прямая, имеющая с кривой только одну общуюточку (см. рис.7);
Рис.7
б)если расстояние от любой точки одной линии L1 до другой L2всюду одинаково, то такие линии называются параллельными (см. рис.8) и т.д.
Итак,в процессе введения и изучения в школе математических понятий полезно:
1)не вводить новых понятий формально; детально конкретизировать новые абстрактныепонятия; по возможности применять конкретно-индуктивный метод;
2)вводить понятия наиболее естественным для учащихся путем; по возможности,следует чаще привлекать учащихся к самостоятельному изучению и определениюрассматриваемого понятия;
3)мотивировать вводимые понятия, термины, определения; не допускать у учащихсяпредставления о произвольности введения новых понятий;
4)в процессе изучения новых понятий полезно выявить связи нового понятия с ужеизвестными понятиями; указывать на аналогию в характеристике новых понятий ипонятий известных;
5)на каждом уроке полезно повторять определения известных учащимся важнейшихматематических понятий, связанных с понятиями, рассматриваемыми на данномуроке, требуя в то же время не столько запоминания определений понятий наизусть,сколько правильной передачи сущности определения данного понятия;
6)при овладении учащимися теми или иными математическими понятиями строго следитьза речью учащихся, требовать четкости, краткости и строгости в формулировкахопределений. Следует иметь в виду, что «профилактика» ошибок эффективнее ихисправления. Заниматься такой профилактикой учителю нужно постоянно.
/> 1.3. Понятие дроби
Пустьтребуется измерить длину отрезка х с помощью единичного отрезка е (рис). Приизмерении оказалось, что отрезок х состоит из трех отрезков, е, и отрезка,который короче отрезка е. В этом случае длина отрезка х не может быть выраженанатуральным числом. Однако, если отрезок е разбить на 4 части, то отрезок хокажется состоящим из 14 отрезков, равных четвертой части отрезка е. И тогда,говоря о дине отрезка х, мы должны указать два числа 4 и 14: четвертая частьотрезка е укладывается в отрезке точно 14 раз. Поэтому условились длину отрезках записывать в виде/>Е, где Е – длина единичногоотрезка е, а символ /> называют дробью.
Вобщем виде понятие дроби определяют так. Пусть даны отрезок х и единичныйотрезок е, длина которого Е. Если отрезок х состоит из m отрезков,равных n-ой части отрезка е, то длина отрезка х может бытьпредставлена в виде />, где символ /> называют дробью.
Кзаписи дроби /> числа m и n –натуральные, m – называется числителем, n – знаменателемдроби.
Дробь/> называетсяправильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если еечислитель больше знаменателя или равен ему.
Вернемсяк рис., где показано, что четвертая часть отрезка е уложилась в отрезке х точно14 раз. Очевидно, это не единственный вариант выбора такой части отрезка е,которая укладывается в отрезке х целое число раз. Можно взять восьмую частьотрезка е, тогда отрезок х будет состоять из 28 таких частей и длина его будетвыражаться дробью />. Можно взять шестнадцатую частьотрезка е, тогда отрезок х будет состоять из 56 таких частей и его длина будетвыражаться дробью />.
Вообщедлина одного и того же отрезка х при заданном единичном отрезке е можетвыражаться различными дробями, причем, если длина выражена дробью />, то она можетбыть выражена и любой дробью вида />, где к – натуральное число.
Теорема.Для того чтобы дроби /> и />выражали длину одного и того же отрезка,необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство mg = np
Определение:Две дроби /> и/> называютсяравными, если mg = np. Если дроби равны, то пишут />=/>.
Например/>=/>, так как 17 х21 = 119 х 3 = 357, а />≠/>, потому что 17 х 27 = 459,19 х 23= 437 и 459 ≠ 437.
Изсформулированных выше теоремы и определения следует, что две дроби равны тогдаи только тогда, когда они выражают длину и того же отрезка.
Намизвестно, что отношение равенства дробей рефлексивно, симметрично итранзитивно, т.е. является отношением эквивалентности. Теперь, используяопределение равных дробей, это можно доказать.
Теорема.Равенство дробей является отношением эквивалентности.
Доказательство:Действительно, равенство дробей рефлексивно: />= />, так как равенство mn = mnсправедливо для любых натуральных числе m и n.
Равенстводробей симметрично: />=/>, то />=/>, так как из mg = npследует, что pn = mg (m,n,p,g εN).
Онотранзитивно: если /> = /> и />=/>, то /> = />.
Всамом деле, так как /> = />, то mg = np,так как /> =/>, то ps = gr. Умноживобе части равенства mg = np на s, а равенство ps = gr наn, получим mgs = nps и nps =grs. Откуда mgs = grs или ms = nr. Последнееравенство означает, что /> = />. Итак, равенство дробейрефлексивно, симметрично и транзитивно, следовательно оно является отношениемэквивалентности.
Изопределения равных дробей вытекает основное свойство дроби:
Есличислитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то женатуральное число, то получится дробь, равная данной.
Наэтом свойстве основанного сокращение дробей и приведение дробей к общемузнаменателю.
Сокращениедробей – это замена данной дроби другой, равной данной, но с лишим числителем изнаменателем.
Есличислитель и знаменатель дроби одновременно делятся только на единицу, то дробьназывают несократимой. Например, /> - несократимая дробь, так как еечислитель и знаменатель делятся одновременно только на единицу, т.е. В (5; 17) =1.
Приведениедробей к общему знаменателю – это замена данных дробей, равными им дробями,имеющими одинаковые знаменатели. Общим знаменателем двух дробей /> = /> является общее кратноечисел n и g, а наименьшим общим знаменателем – их наименьшее.
/> 1.4. Введение и формирования математическогопонятия дроби на уроках математики
Всякоепонятие, в том числе математическое, является абстракцией от множестваконкретных объектов, которые описываются им. В понятии отражаются устойчивыесвойства изучаемых объектов, явлений. Эти свойства повторяются у всех объектов,которые объединяются понятием. Но каждый реальный объект имеет некоторые другиесвойства, присущие только ему. Различие в несущественных свойствах толькооттеняет, подчеркивает существенные.
Формированиематематических абстракций может привести к формализму в знаниях учащихся, еслиоперирование ими будет бессодержательно, если за каждой абстракцией ученик неувидит наглядной мысленной картины, т.е. образа. Игнорирование практическойдеятельности учеников с материальными или материализованными объектами, которыенесут наглядное знание и формируют образы, приводит к появлению поверхностныхзнаний, а иногда и к отсутствию их.
Обыкновеннаядробь является, по существу, первой глубокой математической абстракцией,которая встречается в школьном курсе. Пренебрежение учителем содержательнойстороной изучаемых понятий, быстрый переход к формальному оперированию дробямибез достаточно надежной опоры на наглядность приводят к тому, что слабые, а тои средние ученики не понимают изучаемого материала. Порой за обозначением 3/5ученик не видит никакого образа. Для такого ученика и операции над дробямипревращаются в серию непонятных процедур, последовательность которых емуприходится просто запоминать.
Формированиюверного представления о понятии «обыкновенная дробь» и умению пользоваться имспособствуют практические работы с материализованными объектами. Ниже приведенынекоторые из материалов, по которым целесообразно проводить такую работу.
Осваиваяпонятие «обыкновенная дробь», ученик должен поупражняться в подсчетечисла равных долей, на которые разделено целое, и числа взятых долей. Дробиесть числа, поэтому уже на первом этапе нужно дать ученику возможностьсравнивать, пользуясь только наглядностью, полученные дроби с целыми числами,например с 1, и дробь с дробью.
Наэтом этапе обучения весьма полезны карточки, образцы которых показаны ниже. Карточка№ 1 — это только вариант индивидуального задания (рис.9).
Рис.9
Именноиндивидуального. Каждый ученик получает свою карточку, которая отличается откарточек у других ребят. Это побуждает ученика действовать самостоятельно, а непросто наблюдать манипуляции учителя с моделями, к которым чаще всего сводится «наглядность»при изучении дробей.
Вкарточке 1 нужно заполнить таблицу, указывая каждую часть, если этоподсказывается рисунком, в виде «разных» дробей (1/2 = 3/6). Своеобразнойподсказкой являются жирные линии, делящие фигуры. Выполняя предложенныеупражнения, ученик осваивает понятие дроби, подмечает основное свойство,подсчитывает дополнение дроби до единицы. Уже на этом этапе он встречается внеявном виде со сложением дробей, с приведением дроби к новому знаменателю.
Покарточке учащимся приходится отвечать на следующие вопросы:
Какаячасть фигуры (всего в каждой карточке по 8 фигур самых разнообразных очертаний)закрашена штриховкой определенного вида?
Какаячасть фигуры закрашена штриховками обоих видов? (Этот вопрос подводит учащихсяк сложению дробей, например требуется сложить 6/18 и 3/18 долей фигуры Е)
Какаячасть фигуры осталась без штриховки? (Здесь фактически требуется вычестьправильную дробь из 1, например найти, какая часть фигуры С. осталась безштриховки, если заштриховано ее 5/10 частей)
Косойштриховкой закрашены 4/12 доли фигуры О, а прямой штриховкой — 2/12 доли той жефигуры. Какая штриховка занимает больше долей фигуры G? На сколько долей больше занимает в фигуре Gкосая штриховка, чем прямая? Уравнение дробей друг с другом и вычитание дробей.На сколько частей жирные линии делят фигуру В? Сколько в каждой из этих частейсодержится 12-х долей данной фигуры?
Рассмотритефигуру F, выделите в ней1/4 долю. Выразите дробь 1/4 другими дробями, руководствуясь фигурой F.
Основноесвойство дроби закрепляется по карточке № 2. (рис.10). Она разделена на двечасти, в каждой из которых демонстрируются три способа деления одного «отрезка»на равные части: на 4 части, на 8 частей и на 16 частей (на 3 части, на 6частей и на 12 частей). Учащиеся должны записать отсутствующие числители у двухиз трех равных дробей. Для этого им придется проделать следующие действия: выделитьна рисунке первый отрезок, заданный одной из трех дробей (той, у которойизвестны и числитель и знаменатель); найти второй отрезок, равный первому (онразделен на то число частей, которое указано знаменателем другой дроби); подсчитатьчисло частей во втором отрезке и записать его в числителе второй дроби; мысленноразделить один из отрезков на то число частей, которое указано знаменателемтретьей дроби, и сообщить, сколько потребуется набрать таких частей длятретьего отрезка такой же длины, что и первые два. Как видим, такой процесспобуждает учащихся самостоятельно оперировать наглядным материалом и постепеннов ходе этого оперирования вырабатывать формальное правило.
Упражненияпо карточкам № 3 и 4 взаимно обратны (рис.11). Они представляют новый аспектосвоения понятия дроби. Выполнение предложенных упражнений сопровождаетсямоторными действиями, которые лучше запоминаются учениками с кинестетическим(двигательным) типом мышления.
Отметим,что в карточке № 3 исходные фигуры намеренно усложнены. Таким образом,обеспечивается закрепление в сознании учащихся не геометрического образа, апоследовательности арифметических действий над числом, получающимся врезультате подсчета равных элементов фигуры. Аналогично и в карточке №4 вответах не получается «хороший» прямоугольник. Учащимся приходитсяпостепенно переходить от манипуляций с геометрическими объектами карифметическим действиям. Так, если первое задание учащиеся могут выполнитьчисто геометрически (приставив к фигуре, обозначающей дробь 1/2, еще точнотакую же фигуру), то в случае с дробью 2/5 так поступить уже нельзя. Приходитсясначала поделить данную фигуру на 2 части. В следующем задании (дробь 3/4) такоеделение не удается осуществить «безболезненно», т.е. наглядным образом. Приходитсяначинать с подсчета числа равных квадратиков данной фигуры.
Дляусвоения способов нахождения дроби от числа и числа по его дроби ученикам вновьпредлагается задание по наглядному материалу, т.е. по карточкам № 5 и 6. (рис.12)Выполняя эти задания, ребята обращаются к рисункам. При этом они отчетливоосознают суть операций нахождения дроби от числа и числа по его дроби,поскольку с этими операциями связываются наглядные картины — образы. Важно лишьв заданиях предложить ученикам достаточное количество образных вариаций, неодну-две, как часто бывает на уроках, а пять-шесть. На индивидуальной карточкетакие задания предъявить легко, поскольку ученик работает один, не снижал темпизучения материала всем классом. Конечно, практика оперирования дробями недолжна ограничиваться приведенными упражнениями с наглядным материалом. Учительдолжен использовать и обычные задания из учебных пособий. Делать это он можетдифференцированно, задерживал одних на карточках и стимулируя других болеесложными упражнениями.
Приизучении сложения дробей учащимся необходимо предоставить возможностьпоработать с наглядным материалом, отражающим свойства дробей. В данном случаеиспользуются задания, схожие с теми, что приведены в карточке № 7. (рис.13). Здесьтонкие линии помогают понять, каким будет наименьший общий знаменатель и что оннаглядно означает. Подсказывается и то, какой будет дробь, приведенная к новомузнаменателю. Попрактиковавшись в выполнении таких упражнений, ученик сможетнаглядно оценивать результат сложения двух дробей, делая необходимые прикидки. Дляслабого ученика такая работа полна смысла: опираясь на нее, можно вводитьалгоритм сложения дробей с разными знаменателями, который теперь не будетпредставляться ребенку непонятной процедурой. Параллельно со сложением нанаглядном уровне изучается и операция вычитания дробей. По карточке № 7 Целесообразнопредложить школьникам найти разность дробей:
/> и т.д.
Почтитрадиционно правило умножения обыкновенных дробей объясняют на примеренахождения площади прямоугольника, длины сторон которого выражаются даннымидробями. Получив с одного примера «заветное» правило, начинаютэксплуатировать его, находя произведения дробей. Поспешность и формализмпроявляются затем на качестве знаний.
Длятого чтобы ученик осознал правило умножения дробей, связал его с нагляднымобразом, полезно предложить ему следующие упражнения:
Накарточке №8 (рис.14) единичные квадраты разбиты на равные прямоугольники. Найдите,какую часть от единичного составляет маленький прямоугольник. Найдите, какуючасть от единичного квадрата А, В, С, Д, Е,F составляет прямоугольник, выделенный жирной линией.
Найдите,какую часть прямоугольника, выделенного в каждой из фигур А, В, С, Д, E,F составляет маленький прямоугольник.
Порисункам А, В, С, Д Е, F. из карточки №8объясните смысл умножения дробей, записанных под каждой из фигур.
Вниманиеучеников следует обратить на то, что в квадрате Е жирными линиями выделеныпрямоугольники, содержащие по три маленьких прямоугольника. Таких, прямоугольниковв квадрате Е 14, а в заштрихованной Фигуре — 5. Дробь /> которая является значениемпроизведения получилась из дроби после сокращения на 3, о чем говорит целоечисло прямоугольников 3 х 1 выделенных жирными линиями.
Дляслабых и средних учеников окажутся полезными упражнения на запись в виденеправильной дроби числа, имеющего целую и дробную части, упражнения на делениедроби на целое число.
Такимобразом, приведенные карточки позволяют при изучении математики обращаться кприроде вещей, находить возможность включения ребенка в практическуюдеятельность, в процессе которой у него формируются образы, помогающиеосваивать изучаемые абстракции.
/>/>Выводы по 1 главе
1.Понятие – форма мышления, в которой отражены существенные свойства объектов. Каждоепонятие может быть рассмотрено по содержанию и по объему. Содержание понятия –это множество всех существенных признаков данного понятия. Объем понятия –множество объектов, к которым применимо данное понятие.
Большаяроль в процессе формирования понятий принадлежит речевому и символическому ихвыражению.
2.Усвоение учащимися некоторого математического понятия предполагает наряду счетким представлением об его объеме и содержании, умение применять это понятиев процессе своей математической деятельности, а также способность кактуализации основных факторов, относящихся к данному понятию.
3.Осваивая понятие «обыкновенная дробь», ученик должен поупражняться в подсчетечисла равных долей, на которые разделено целое, и числа взятых долей. Дробиесть числа, поэтому уже на первом этапе нужно дать ученику возможностьсравнивать, пользуясь только наглядностью, полученные дроби с целыми числами,например, с 1, и дробь с дробью.
4.При изучении сложения дробей учащимся необходимо предоставить возможностьпоработать с наглядным материалом, отражающим свойства дробей.
Дляслабых и средних учеников окажется полезными упражнениями на запись в виденеправильной дроби числа.
5.Наглядный материал позволяет при изучении математики обращаться к природевещей, находить возможность включения ребенка в практическую деятельность, впроцессе которой у него формируются образы, помогающие осваивать изучаемыеабстракции.
/>/>Глава 2. Практическое исследование введения и формированияматематического понятия дроби на уроках математики
/> 2.1. Содержание и ход эксперимента
Экспериментна уроках математики осуществляется на базе Семибугровской СОШ села СемибугрыКамызякского района Астраханской области.
Вэксперименте принимали участие учащиеся 5 «А» класса в количестве 14 человек иучащиеся параллельного 5 «Б» класса в количестве 14 человек. Учитель математики– Телеуова Бибигуль Капазовна.
Экспериментвключал 3 этапа:
констатирующий;
формирующий;
контрольный.
Наэтапе констатирующего эксперимента нашей целью является выяснение исходногосостояния проведения уроков математики. До начала проведения уроков по проблеменашего исследования на этапе констатирующего эксперимента мы провелисамостоятельную работу на проверку умений вычислительных навыков в обоихклассах. Результаты мы поместили в таблицу.
Наэтапе констатирующего эксперимента мы выявили уровень знаний, с которымиучащиеся подошли к изучению обыкновенной дроби. Для этого эксперимента былипредложены диагностические тесты Т.Д. Гончаровой. Обучение на основе технологииполного усвоения, включающие задания, опирающиеся на знания учащимисяоперирования единицами измерения, выполнение логических заданий, вычислительныеприемы, упражнения на освоение понятие доли числа с помощью штриховки фигур,задачи на нахождение доли числа, числа по доли, задания, выполнение которыхтребует умений учащихся производить действия с числами, используя координатныйлуче, находить место числе на координатном луче, способствующие проведениюсравнительной работы дроби как числа с целыми числами.
Сравнительнаяхарактеристика уровня успешности при выполнении заданий, составленных на этапеконстатирующего эксперимента, отражена на диаграмме.
Полученныерезультаты констатирующего эксперимента свидетельствует о том, что знанияучащихся двух классов находятся на одном уровне.
Наэтапе формирующего эксперимента нашей целью является проведение практическогоисследования введения и формирования математического понятия дроби на урокахматематики.
Входе формирующего эксперимента предлагались разнообразные задания, опирающиесяна формирования дроби как рационального числа. При решении задач на нахождениедроби от числа и числа по его дроби опирались на смысл понятия дроби,проводилась сравнительная работа. Вводили задания на изображение дроби накоординатном луче, предлагались задания, опирающиеся на ориентированиеединицами величины, задания на определение понятия доли числа с помощьюштриховки фигур, подбирались задания творческого характера, задания насравнение дробей, полезными были упражнения на запись в виде неправильной дробичисла.
Предлагалисьзадания на изображение дроби на координатном луче:
— Примите за единичный отрезок 12 клеток тетради и отметьте на координатном лучеточки В (/>),С (/>), Е (/>), Р (/>), R (/>).
— Изобразим на координатном луче единичный отрезок ОЕ и поделим его на 6 равныхчастей. Какую долю отрезка составляет каждая часть? Какую часть отрезкасоставляют 4 доли?
— Единичный отрезок равен длине 6 клеток тетради. Отметьте на координатном лучеточки с координатами />, />, />, />. Какая из этих точек левее всехрасположена на луче, а какая – правее всех?
— Отметьте на координатном луче точки: А (/>), В (/>), С (/>), Д (/>), Е (/>), К (/>). Есть ли среди них совпадающие?
— Длина отрезка АВ равна 8 см. Начертите отрезок, длина которого равна /> длины отрезкаАВ.
Предлагалисьзадания, опирающиеся на оперирование единицами величин:
— Как называется:
а)одна сотая доля метра;
б)одна тысячная доля тонны;
в)одна шестидесятая доля часа;
г)одна двадцать четвертая суток;
д)одна миллионная доля кубического метра;
е)одна миллионная доля квадратного метра.
— Сколько минут: а) в трети часа;
б)в четверти часа;
в)в половине часа;
г)в десятой доли часа;
д)в двенадцатой доле часа;
е)в шестой доле половины часа?
— Сколько секунд:
а)в 5 минутах;
б)в четверти часа;
в)в одном часу;
г)в четверти минуты;
д)в трети минуты;
е)в половине минуты?
— Какую часть 1м3 составляет 1 см3? Какую часть 1 м2 составляет 1 см2?
— Какую долю составляют: а) сутки от года;
б)сутки от недели;
в)дециметр от метра;
г)1 см3 от литра?
— Какую часть недели составляют: а) пять суток;
б)шесть суток?
— Сколько минут в часе? Какую часть составляют 1 мин., 7 мин., 15 мин.
— Сколько минут в /> ч.; в /> ч.; в /> ч.; в/>ч.; в/>ч.?
Быливключены задания на определение понятия доли числа с помощью штриховки фигур, аименно, определение заштрихованной и незаштрихованной части фигуры.
Подбиралисьзадания творческого характера:
— Изобразите квадрат со стороной 4 см и разделите его на 4 доли 3 разнымиспособами.
— Начертите отрезок длиной 8 см. Отметьте цветным карандашом /> отрезка. Какая частьотрезка осталась неотмеченной?
— Придумайте пять дробей, у которых числитель на 3 меньше знаменателя. Запишитепять дробей, у которых числитель на 3 меньше, знаменателя. Запишите пятьдробей, у которых числитель в 3 раза больше знаменателя.
— Назовите 3 правильные дроби, числитель которых больше, чем 100. Назовите 3неправильных дроби, знаменатель которых больше, чем 200.
— Назовите 5 дробей, которые больше, чем />.
Выводилизадания на сравнение дробей:
— Расставьте в порядке возрастания дроби: />. Расставьте эти дроби в порядкеубывания.
— Замените звездочку знаком в записях:
а)/>; б) />, в) />, г) />/>
— Какая из дробей больше:
а)/> или />, б) /> или />, в) /> или />, г) /> или />?
— Какая из точек лежит левее на координатном луче: а) А (/>) или В (/>);
б)М (/>) или N (/>)?
— Верно ли, что: а) /> меньше />;
б)/> больше />.
— Сравните: а) /> и />, б) /> и />, в) 1 и />, г) /> и 1, д) /> и 0, е) /> и 0
Включалисьзадания на знания правил чтения и записи дробей, правил чтения равенств инеравенств, содержащих дробные числа, выражений и уравнений, содержащихобыкновенные дроби:
— Прочитайте дроби: />, />,/>,/>,/>,/>,/>
Назовитечислитель и знаменатель каждой дроби.
— Запишите в виде обыкновенной дроби:
а)три шестых;
б)одна треть;
в)половина;
г)три четверти;
д)семь десятых;
е)одиннадцать сотых;
ж)одиннадцать сорок восьмых.
— Прочитайте дроби />,/>,/>,/>,/>,/>,/>,/>,/>,/>,/>. Назовите числитель и знаменатель.
— Какая из точек лежит левее на координатном луче:
а)А (/>) или В(/>); б) А (/>) или В (/>)?
— Верно ли, что:
а)/> меньше />, б) /> больше />?
— Выполните действия:
а)/> + />; б) /> + />; в) /> + />; г) /> + />; д) /> х — />; е) /> - />;
ж)/> - />; з) />-/>
— Решите уравнение: а) х — /> = />; б) /> - у = />; в) z + /> = />;
г)/> + p = />.
Полезнымибыли упражнения на запись в виде неправильной дроби числа:
— Напишите все неправильные дроби с числителем 5.
— При каких значениях /> будет неправильной дробью?
— Запишите пять дробей, у которых числитель в 3 раза больше знаменателя.
— Найдите все значения х, при которых дробь /> будет неправильной?
— Назовите 3 неправильные дроби, знаменатель которых больше, чем 200.
Длясебя мы вынесли немало полезного в плане организации и проведении практическогоисследования введения и формирования математического понятия дроби на урокахматематики. Таким образом, отмечая эффективность проведенных уроков, мы пришлик следующим результатам: повышение активности и заинтересованности детей науроках математики, улучшение успеваемости и качества работ по математики.
Послепроведения формирующего эксперимента мы провели контрольный эксперимент, цельюкоторого являлось выяснение эффективности использования практическогоисследования введения и формирования математического понятия дроби на урокахматематики в 5 классах. Для этого мы провели аналогичную работу той, котораяпроводилась на этапе констатирующего эксперимента. Результаты мы поместили втаблицу.
Вкачестве контрольного эксперимента мы провели тестирование по предложеннымдиагностическим тестам Т.Д. Гончаровой «Обучение на основе технологии полногоусвоения». Тесты включали задания на определение понятия доли числа с помощьюштриховки, определение понятия обыкновенных дробей, правильных и неправильныхдробей, усвоение способов нахождения дроби от числа и числа по его дроби,знание формул сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.
Сравнительнаяхарактеристика уровня успешности при выполнении заданий, составленных на этапеконтрольного эксперимента, отражена на диаграмме.
/>2.2. Анализ полученныхрезультатов
Поитогам эксперимента было проведено сопоставление данных констатирующего иконтрольного эксперимента, показывающие, что число учащихся, справившихся с заданиеми допустивших 1-2 ошибки, на контрольном этапе увеличилось. На основеполученных данных делаем вывод о том, что задания на формирующем этапе былипосильны основному и продвинутому уровню учащихся, поэтому произошел переход изосновного уровня в продвинутый.
Присопоставлении результатов констатирующего и контрольного эксперимента мыотметили значительный рост числа учащихся в экспериментальном 5 «А» классе,справившихся с заданиями, переход некоторого количество учащихся, несправившихся с заданиями, в число учащихся, допустивших ошибки, Таким образом,переход из числа несправившихся в число учащихся, допустивших ошибки,обуславливает меньшее количество учащихся справившихся с заданиями. Улучшениюуспеваемости и качества работ учащихся в экспериментальном классеспособствовали проведенные разработанные уроки с использованием заданийтворческого характера.
Присопоставлении констатирующего и контрольного эксперимента, проведенного вконтрольном 5 «Б» классе, в котором уроки были разработаны и проведены наоснове обычной методики, мы пришли к такому выводу, что рост числа учащихся,справившихся с заданиями, произошел, но в отличие от экспериментального класса,оказался незначительным.
Сравнительнаяхарактеристика уровня успешности при выполнении заданий, составленных на этапеконстатирующего и контрольного эксперимента, учащимися экспериментального иконтрольного класса отражена на диаграмме.
5«а» класс (экспериментальный)
/>
5«б» класс (контрольный)
/>
Сопоставиврезультаты констатирующего и контрольного эксперимента, мы отметили повышениеактивности и заинтересованности учащихся, улучшение качества работ иуспеваемости детей в 5 классах. Это является практическим подтверждениемвыдвинутой нами гипотезы.
/>Выводы по 2 главе
1.Эксперимент на уроках математики осуществляется на базе Семибугровской СОШ селаСемибугры Камызякского района Астраханской области. В эксперименте принималиучастие учащиеся 5 «А» класса в количестве 14 человек и учащиеся параллельного5 «Б» класса в количестве 14 человек.
2.На этом этапе констатирующего эксперимента нашей целью является выяснениеисходного состояния проведения уроков математики в 5 классах.
3.На этапе формирующего эксперимента нашей целью является проведениепрактического исследования введения и формирования математического понятиядроби на уроках математики в 5 классах.
4.На этапе контрольного эксперимента нашей целью является выяснение эффективностииспользования практического исследования введения информированияматематического понятия дроби на уроках математики в 5 классах.
5.Сопоставив результаты констатирующего и контрольного эксперимента, мы отметимповышение активности и заинтересованности учащихся, улучшение качества работ иуспеваемости детей в 5 классах. Это является практическим подтверждениемвыдвинутой нами гипотезы.
/>Заключение
Учителюнеобходимо владеть понятием дроби и рационального числа, знать правилавыполнения действий над рациональными числами, свойства этих действий не толькодля того, чтобы математически грамотно ввести понятие дроби и обучать младшихшкольников выполнять действия, но и, что не менее важно, видеть взаимосвязимножеств рациональных и действительных числе с множеством натуральных чисел,без понимания которых нельзя решить проблему преемственности в обученииматематики в начальных и последующих классах школы.
Осваиваяпонятие «обыкновенная дробь», ученик должен поупражняться в подсчете числаравных долей, на которые разделено целое, и числа взятых долей.
Дробиесть числа, поэтому уже на перовом этапе нужно дать ученику возможностьсравнивать, пользуясь только наглядностью, полученные дроби с целыми числами,например с 1, и дробь с дробью.
Свведением разнообразных заданий, опирающихся на формирование дроби какрационального числа, сравнительной работы при решении задач на нахождение дробиот числа и числа по его дроби, опираясь на смысл понятия дроби, подборомзаданий творческого характера повысилась активность, заинтересованностьучащихся, качество работ и успеваемость детей в 5 классах улучшилось, чтопозволило достигнуть подтверждения выдвинутой нами гипотезы.
/>Список литературы
1. Беляев Е.А., Перминов В.Я. Философские и методологические проблемы математики.– М.: МГУ, 1981. — 214 с.
2. Гнеденко Б.В. Математика в современном мире. – М.: Просвещение, 1990. –128 с.
3. Жуков Н.И. Философские проблемы математики. — Минск, 1977. — 95 с.
4. Непостижимая эффективность математики в естественных науках // Математика– 1991 — № 10 — с.23.
/>Приложения
Приложение 1
Доли.Обыкновенные дробиЦели: образовательные: познакомить с понятием доли, обыкновенной дроби, научить правильно читать и записывать обыкновенные дроби. развивающие: развить математическое мышление, наглядность воспроизведения, память, внимание, речь, активность. воспитательные: воспитывать любовь к математике (интерес к предмету), самостоятельность мышления, дисциплинированность, аккуратность. Оборудование: конспект, учебник Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд.5 класс, наглядное пособия. I. Организация класса
Ход урока (1 урок):
— Здравствуйте, ребята! Сегодня урок математики проведу у вас я. Зовут меня Камила Кожамберлиевна. Садитесь. II. Сообщение темы и целей урока — Сегодня тема нашего урока «Доли. Обыкновенные дроби» Вы познакомитесь с понятием доли, понятием обыкновенной дроби, научитесь правильно читать и записывать их. III. Устный счет
5дм 3 см + 2 дм 7 см
1кг 300г + 2 кг 200 г
1м 35см – 100 см
1 т – 900 000 г.
IV. Объяснение нового материала
V Работа с учебником.
- Ребята, представьте, что у меня в руках вафельный торт, который разделили на 8 равных частей. Эти равные части называются долями, т.е.1, 2, 3…., 8 – доли. Каждому человеку достанется одна восьмая доля торта, или, короче «одна восьмая торта» и пишут /> торта.
Еще раз части – это доли, торт разрезали на 8 равных частей (долей). Каждая часть составляет /> долю торта.
— Далее, торт разрезали на 8 частей (долей), из которых за обедом съели 2 доли. На блюде осталось 6 долей. Эти доли обозначают /> торта.
Записи вида /> называют обыкновенными дробями. В дроби /> число 6 называют числителем дроби (пишут над чертой), 8 – знаменателем дроби (под чертой). Число 6 (числитель) показывает сколько долей взяли, съели, а число 8 (знаменатель), на сколько долей делят.
— Сегодня в устном счете нам приходилось выражать единицы измерения.
Если 1м = 10дм = 100см, то 1см = />м, 1дм = />м.
Если 1кг = 1 000 г, то 1г = /> кг.1т = 1 000 000 г, 1г = />т.
— Дроби можно изобразить на координатном луче. Вспомним, что луч имеет начало, ноне имеет конца.
Изобразим луч.
(рис)
/>
1 – числитель, т.е. сколько долей взяли
6 – знаменатель (дробная черта, знаменатель под чертой), значит на него делят. Можно этот отрезок поделить на 4 части
(рис)
/>
Доли /> - это половина, треть, четверть.
Итак, доли – равные части
Запись вида /> - обыкновенная дробь, где 6 — числитель, 8 – знаменатель.
— Теперь послушайте:
— Кусок материала резали на 12 равных частей (долей). Какую долю всего куска составляет каждая часть? />
— Какую часть куска составляют 5 долей? />
— Молодцы!
— Теперь полученные знания применим при решении задач.
— Откройте стр.140 учебника.
Найдите и прочитайте задание №884. Выполним устно.
— Какая часть фигуры закрашена?
— Молодцы!
— Выполним уже письменно в тетради следующее задание №885.
— Чертеж какой фигуры необходимо выполнить?
— На сколько долей нужно разделить фигуру?
— Что необходимо изобразить отдельно?
— Молодцы!
— Выполним следующее задание №886.
— О чем говорится?
— Что известно?
— Что требуется выполнить?
— Решите задачу 3 способами?
— Молодцы! VII Работа с правилами.
- Теперь давайте прочитаем с вами правило чтения дробей на стр.141 учебника.
— При чтении дробей нужно помнить: числитель дроби – количественное числительное женского рода (одна, две, восемь и т.д.), а знаменатель – порядковое числительное (седьмая, сотая, двести тридцатая и т.д.). Например, /> - одна пятая, /> - две шестых, /> - семь десятых, /> восемьдесят три сто пятьдесят вторых
— Хорошо. Теперь прочитаем верно записи в №888 (устно).
— Молодцы!
— Как называется одна сотая доля метра?
— Одна тысячная доля тонны?
— Одна двадцать четвертая доля суток?
— Одна шестидесятая доля часа?
— Одна миллионная доля квадратного метра?
— Одна миллионная доля кубического метра?
— Молодцы! VIII. Решение задач
- Прочитайте задачу №889.
— О чем говорится?
— Что известно?
— Что неизвестно?
— Составим краткую запись.
— Решим ее. Запишите ответ.
— Молодцы! Ход урока (2 урок): I. Сообщение целей урока — Сегодня на 2 уроке мы продолжаем с вами изучать тему «Доли. Обыкновенные дроби», закрепим правило чтения и записи обыкновенных дробей. II. Закрепление — Потренируемся в правильном чтении дробей в №894 (устно). III. Работа с учебниками
- Прочитайте дроби: />
Назовите числитель и знаменатель каждой дроби.
— Молодцы!
— Теперь выполним следующее задание уже письменно в тетради №895.
— Молодцы!
— Решим задачи. №890.
— О чем говорится?
— Что известно?
— Что нужно узнать?
— Составим краткую запись и решим ее.
— Молодцы!
— Следующая задача под №891.
— О чем говорится?
— Что известно?
— Что неизвестно?
— Составим краткую запись и решим. Запишите ответ.
— Молодцы!
— Начертите квадрат со стороной 6 клеток. Разделите его на 3 доли и закрасьте /> квадрата. Какая часть квадрата осталась не закрашенной?
— Выполните №893.
— Что известно?
— Что необходимо выполнить?
— Изобразите чертеж
— Какая часть отрезка осталась неотмеченной?
— Молодцы! V. Геометрический материал
- В клумбе квадратной формы расположите 10 кустов роз так, чтобы на каждой стороне клумбы было по 3 куста поровну.
— Молодцы! VI. Итог урока.
- С чем мы сегодня познакомились?
— Что такое доли?
— Что такое обыкновенные дроби?
— Что показывает числитель?
— Что знаменатель?
— Что нужно помнить при чтении дроби?
— Молодцы! VII. Домашнее задание
- Запишите домашнее задание: п.23. №907, №915.
— Урок окончен. До свидания.
Приложение 2
Правильныеи неправильные дробиЦели: образовательные: познакомить с понятием правильных и неправильных дробей, формировать умение решать задачи, использовать полученные знания при решении задач. развивающие: развивать математическое мышление, внимание, речь, активность, наглядность воспроизведения воспитательные: воспитывать любовь к математике, дисциплинированность. Оборудование: учебник, конспект, наглядное пособие Ход урока I. Организация класса.
- Здравствуйте, ребята!
Садитесь. II. Сообщение темы и целей урока.
- Сегодня у нас с вами новая тема «Правильные и неправильные дроби», мы познакомимся с понятием правильной и неправильной дроби, рассмотрим их на координатном луче, полученные знания применим в решении задач.
Но прежде чем перейти к изучению новой темы, нас ожидает устный счет. III. Устный счет.
127+у=357-85
125+у-85=65
30+х=32-х
10+х+2=15+х-3
— Молодцы! IV Объяснение нового материала.
- Если мы разделили торт на 8 частей, то получали, зная, что числитель указывает сколько долей взяли, а знаменатель, на сколько поделили, что убрав 1 кусок, оставалось />…торта. Так вот, взяли 3 куска, оказалось />торта, а /> - 1 торт (8: 8=1). Если добавили еще 3 части таких же, получим 8+3=11 частей, или /> торта.
Сравним /> и />.
Если числитель меньше знаменателя, то дробь называется правильной, т.е. /> - правильная дробь.
Если числитель больше знаменателя, то дробь неправильная, /> - неправильная дробь.
Также, если в дроби числитель равен знаменателю, дробь тоже неправильная, те. /> - неправильная дробь.
— Рассмотрим на координатном луче правильные и неправильные дроби. Помним, что луч имеет начало, но не имеет конца.
(рис)
Правильная дробь меньше единицы, неправильная дробь больше или равна единицы.
Например: /> V. Работа с учебником.
- Итак, откройте стр.152 учебника. Начинаем решать номера. Найдите и прочитайте задание №974.
— Сначала начертите отрезок АВ = 8 см, затем под ним другие 2 отрезка.
/> - какая дробь: правильная или неправильная?
— А />?
— Верно.
— Следующий №975.
— Не забудьте, что за единичный отрезок по условию необходимо принять длину 12 клеток тетради.
— Молодцы!
— Следующий номер №376 выполним по вариантам I вариант – пункт а, II вариант – пункт б.
— Проверим. Назовите записи в тетрадях.
— Молодцы!
— Следующий № 977. В этом номере вам перечислять все эти дроби не следует, а только укажите значения а со знаком сравнения «>» или « IV. Решение задач.
- Прочитайте задачу №978
— Что известно?
— Что неизвестно?
— Решите, запишите правильный ответ
— Прочитайте следующую задачу №979.
— О чем говорится?
— Что известно?
— Что неизвестно?
— Найдите значения. Запишите ответ.
— Молодцы!
— Следующее задание №980
— О чем говорится?
— Что известно?
— Что неизвестно?
— составим краткую запись и решим задачу.
— Запишите ответ.
— Следующая задача под №985. VII. Разминка.
- Сколько минут в одном часе?
— Какую часть составляет 1 минута, 7 минут, 1 минут?
— Молодцы! VIII. Геометрический материал. — Укажите на данном координатном луче координаты точек А, В, С и D, если М(10) IX. Итог урока.
- С чем познакомились на уроке?
— Что запомнилось на уроке?
— Какую дробь называют правильной?
— Неправильной? X. Домашнее задание.
- Запишите домашнее задание: №981, 988
— Урок окончен. До свидания.
Приложение 3
Контрольнаяработа №7Цели: образовательные: проконтролировать знания учащихся, формировать умение отмечать дроби на координатном луче, сравнивать дроби, использовать знания по оперированию единицами величины, при решении задач. развивающие: развивать логическое мышление, память, внимание, умение оперировать обыкновенными дробями. воспитательные: воспитывать любовь к математике, дисциплинированность, самостоятельность, аккуратность.
Ходурока. I. Организация класса — Здравствуйте, ребята! Приготовитесь к уроку. Раздайте тетради для контрольных работ. Садитесь. II. Постановка цели урока — В тетради запишите число, контрольную работу №7. Обратите внимание на доску. Положили все ручки. Работа выполняется в 2-х вариантах. III. Контрольная работа I вариант II. вариант 1. Примите за единичный отрезок длину 8 клеток тетради 12 клеток тетради и отметьте на координатном луче точки:
A/>
/> 2. Сравните числа:
а) /> б) />
в) /> г) />
а) /> б) />
в) /> г) /> 3. Сложите
/>
/> 4. Какую часть составляют:
а) 9 см2 от дм2
б) 17 дм3 от м3
в) 13 кг от 5 ц
а) 7 дм от ь2
б) 19 см3 от ь3
в) 9 ц от 4 т.
5. Ширина прямоугольника 48 см, что составляет /> его периметра. Найдите длину этого прямоугольника
5. Длина прямоугольника составляет />его периметра. Найдите ширину этого прямоугольника, если длина его равна 80 III. Объяснение этапов контрольной работы
- В первом задании предлагается изобразить координатный луч, отметить на нем обыкновенные дроби. Задание несложное, такого характера задания уже предлагались и вы решили его.
— Во втором задании предлагается сравнить числа. Вам понадобится знания на распознавание, какая из дробей больше другой.
— В третьем – надо сложить числа, но сначала в I в. узнать сколько составляет /> от числа 30 и /> от числа 14, а во II варианте узнать, сколько составляет /> от 18 и /> от числа 40.
— В четвертом – вам пригодится знания по оперированию единицами величины. Сколько в квадратном метре квадратных дециметров, в кубическом метре квадратных сантиметров, кубических дециметров, в тонне центнеров, килограммов.
— В пятом задании I в. известна ширина прямоугольника.48 см, периметр /> от 48, нужно найти сначала периметр и, зная, что периметр –сумма длин всех сторон, найти длину.
Во II варианте длина известна как 8 см, а периметр /> от 80, найти периметр, а только потом ширину.
— Итак, эти задачи решаются в два действия. IV. Выполнение заданий — Можете начать приступать к выполнению контрольной работы. V. Итог урока
- Заканчиваем выполнять. Сдаем тетради.
Урок окончен. До свидания.
Приложение 4
Сложениеи вычитание дробей с одинаковыми знаменателямиЦели: образовательные: объяснить учащимся приемы действий сложение и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями, ввести формулу буквенной записи, правил сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. Научить правильно читать и записывать выражения и уравнения, содержащие обыкновенные дроби, формировать умение решать задачи на сложения и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, применять полученные знания при решении задач. развивающие: развивать логическое мышление, умение решать задачи на сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, умение читать выражения и уравнения, содержащие обыкновенные дроби, также, как и выражения и уравнения с натуральными числами, развивать математическое мышление, память, речь, активность. воспитательные: воспитывать любовь к математике, коллективизм, дисциплинированность, самостоятельность мышления, наглядность воспроизведения. Оборудование: учебник, конспект, наглядное пособие.
Ходурока (1 урок): I. Организация класса
- Здравствуйте, ребята!
Приготовьтесь к уроку. Садитесь.
II. Сообщение темы
и целей урока — Сегодня тема нашего урока «Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями» Мы научимся складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями, использовать полученные знания при решении задач. III. Устный счет
- Решите уравнения:
(3х+5х) 18=144
(7у-3у): 8=17
(6а+а): 13=14
4: (9в-в) =2
— Поставьте вместо звездочек знаки «>» или «
/>
— Молодцы! IV. Объяснение нового материала
- Вафельный торт разрезали на 8 равных частей (долей). Сначала на тарелку положили 3 части.
-Эта какая дробь? (/>-правильная).
-Что над дробной чертой? (числитель 3).
— На что он указывает? (сколько долей взяли)
— А под дробной чертой? (знаменатель8).
— На что он указывает? (на сколько делят).
— Верно.
— Затем положили еще 2 куска торта.
— Это какая дробь? (/> — правильная).
— Правильно.
— Сравним /> и /> (/>>/>).
— Обратим внимание: у них какие знаменатели? (одинаковые).
— Верно. Узнаем теперь, если положили />, затем /> торта, то сколько всего оказалось?
— Для этого необходимо произвести действе сложения дробей с одинаковыми знаменателями. При сложение дробей с одинаковыми знаменателями числитель складывают, а знаменатель оставляют тот же.
— В дробях /> и /> что оставим неизменным (знаменатель 8).
— Правильно. Складываем числители. Назовите их (3 и 2).
— Запишем правило сложения дробей с одинаковым знаменателями с помощью букв. Дробь /> представим в виде буквенной записи />, где а =3, с=8. А дробь /> в виде/>, где в=2, с=8.
/>+/>=/>
-Запишем эту формулу в тетради и возьмите в рамочку.
— Предположим, что теперь разрезав этот самый торт на 8 частей, на тарелку положили 3 куска съели. Сколько тогда кусков осталось? Как узнали? (вычтем).
— Правильно. При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого, а знаменатель оставляют тот же:
/>
— С помощью букв запишем правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. Дробь /> в буквенной записи обозначим, как было обозначено в виде />, а дробь /> в виде />.
/>-/>=/>
— Запишите эту формулу и возьмите в рамочку.
— Еще раз при сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями знаменатель оставляют тот же, он остается неизменным, его, не трогают, а числители складывают и вычитают, т.е. производят действия только с числителями, при сложении складывают числители, а знаменатель тот же, при вычитании из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого, а знаменатель не трогают.
— Теперь потренируемся, используя полученные знания при решении задач. V. Работа по учебнику
- Откройте стр.156 учебника. Найдите и прочитайте №1005
— О чем говорится?
— Что известно?
— Что неизвестно?
— составим краткую запись и решим задачу.
— Запишите ответ.
— Выполняем следующие номера № 1006
— О чем говорится?
— Что известно?
— Что требуется найти?
— Составим краткую запись и решим задачу.
— Запишите ответ.
№1007
— О чем говорится?
— Назовите условие.
— Назовите вопрос
— Составим краткую запись.
— Запишите ответ.
— Решите и запишите ответ
№1008
— О чем говорится в задаче?
— Что известно?
— Что нужно узнать?
— Краткая запись, решение и ответ.
— Молодцы! VI Разминка.
- А теперь небольшая разминка по теме «Доли», Веревку поделили поровну 7 раз. Сколько это долей? (8)
— А если бы поделили на 21? (22)
— Верно.
Ход урока (2 урок): I Постановка цели урока.
- Итак, на 2 уроке продолжаем знакомство с действием сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. Обратимся к стр.157, а точнее к правилу.
— Прочитаем правило: II Работа с правилом.
Выражения и уравнения, содержащие обыкновенные дроби, читают по тем же правилам, что и соответствующие выражения и уравнения с натуральными числами.
Например:
/> - сумма семи пятьдесят третьих и двенадцати пятьдесят третьих;
— к семи пятьдесят третьим прибавить двенадцать пятьдесят третьих.
/> - разность двадцати семи сотых и девяти сотых;
— от двадцати семи сотых отнять девять сотых;
— из двадцати семи сотых вычесть девять сотых.
Х+/> — сумма икс и двенадцати девятнадцатых равна пятнадцати девятнадцатым.
— Под ним №1011
Прочитайте задание.
— Решите примеры, правильно читая эти выражения.
— Следующий №1012 III Решение задач.
- О чем говорится?
— Что известно?
— Что неизвестно?
— Составим краткую запись и решим ее.
— Запишите ответ.
— Следующая задача под №1010
— О чем говорится?
— Что известно?
— Что неизвестно?
— Составим краткую запись.
— Запишите решения и ответ.
— И задача № 1013
— О чем говорится?
— Что известно?
— Что нужно найти?
— Составим краткую запись и решим ее.
— Запишите ответ.
— Молодцы!
— Задачи решаете хорошо, а теперь при правильном чтение решим уравнения в №1018
— Молодцы! IV Итог урока.
- С чем познакомились сегодня на уроке?
— Чем занимались на уроке? V Домашнее задание.
- Запишите д/з: №1015, №1017.
— Урок окончен.
До свидания.