--PAGE_BREAK--3. Формаційні властивості нильпотентних алгебр
Як ми вже відзначали, усе алгебри вважаються приналежними деякому фіксованому мальцевскому різноманіттю й використовуються стандартні позначення й визначення з[1].
Нагадаємо, що для й – конгруенції на алгебрі – говорять, що централізує (записується: ), якщо на існує така конгруенція , що:
1) із завжди треба
2) для будь-якого елемента завжди виконується
3) якщо , те
Очевидно, що для будь-якої конгруенції на алгебрі конгруенція централізує . У цьому випадку .
Помітимо, що якщо й – конгруенції на групі й , те для нормальних підгруп і групи й будь-яких елементів , мають місце наступні співвідношення:
Тоді
і в силу транзитивності із цих співвідношень треба, що
По визначенню 2.1 одержуємо, що
Наступне визначення центральності належить Сміту .
Визначення 3.1. , якщо існує така , що для будь-якого ,
Доведемо, що визначення 2.1. еквівалентно визначенню 3.1. означає умову 1) з визначення 2.1. И навпаки, умова 1) означає, що .
Нехай і – конгруенції, що задовольняють визначенню 2.1. З умови 2) треба, що для будь-якого елемента ,
Доведемо зворотне включення.
Нехай . Тому що , те з умови 2) треба, що
У силу транзитивності маємо
і, виходить, у силу умови 3) . Отже
Покажемо, що з визначення 3.1. випливають умови 2) і 3) визначення 2.1. Якщо , те
Це означає .
Для одержуємо, що
звідки .
Відповідно до роботи
Визначення 3.2. Алгебра називається нильпотентною, якщо існує такий ряд конгруенції
називаний центральним, що
Лема 3.1. Будь-яка підалгебра нильпотентної алгебри нильпотентна.
Доказ:
Нехай – підалгебра нильпотентной алгебри . Тому що має центральний ряд
те для кожного на алгебрі існує конгруенція задовольняючому визначенню 2.1. А саме, з
завжди треба
1) для будь-якого елемента
завжди виконується
2) якщо
и
те
Помітимо, що надалі, для скорочення запису, будемо враховувати той факт, що
тоді й тільки тоді, коли
Побудуємо наступний ряд конгруенції на алгебрі :
де
Покажемо, що цей ряд є центральним. Для цього на алгебрі для кожного визначимо бінарне відношення в такий спосіб:
тоді й тільки тоді, коли
Покажемо, що – конгруенція на алгебрі . Нехай
Тоді
і для кожної -арної операції маємо
Отже,
Отже, – підалгебра алгебри .
Очевидно, що для будь-якого елемента має місце
Таким чином, відповідно до леми 2.3, – конгруенція на алгебрі .
Нехай
Тоді й тому що ,
те
Якщо , то й, виходить,
Нехай, нарешті,
Тоді
і тому що
Отже,
Отже, конгруенція задовольняє визначенню 2.1. для кожного . Лема доведена.
Лема 3.2. Нехай і – конгруенції на алгебрі ,
і – ізоморфізм, певний на алгебрі .
Тоді для будь-якого елемента відображення
визначає ізоморфізм алгебри на алгебру , при якому
Доказ:
Очевидно, що – ізоморфізм алгебри на алгебру , при якому конгруенції й ізоморфні відповідно конгруенціям і .
Тому що , те існує конгруенція на алгебрі , що задовольняє визначенню 2.1. Ізоморфізм алебри на алгебру індуцирує у свою чергу ізоморфізм алгебри на алгебру такий, що
для будь-яких елементів , .
Але тоді легко перевірити, що – конгруенція на алгебрі ізоморфна конгруенції . Це й означає, що
Лема доведена.
Лема 3.3. Фактор-Алгебра нильпотентной алгебри нильпотентна.
Доказ:
Нехай
центральний ряд алгебри . Покажемо, що для будь-якої конгруенції на алгебрі ряд
є центральним, тобто
для кожного . У силу відомих теорем про ізоморфизмах для алгебр (див., наприклад, теореми II.3.7, II.3.11 ) і леми 3.2., досить показати, що
Нехай – конгруенція на алгебрі , що задовольняє визначенню 2.1. Визначимо бінарне відношення на алгебрі в такий спосіб
тоді й тільки тоді, коли найдуться такі елементи , що
Безпосередньою перевіркою переконуємося, що – конгруенція на алгебрі .
У такий спосіб залишилося показати, що задовольняє визначенню 2.1.
Нехай
тоді зі співвідношення
треба, що
Тому що
те . Отже,
Нехай . Тоді для деякого елемента , і .
Таким чином,
отже,
Тому що , те це означає, що
Нехай
де
Покажемо, що . У силу визначення найдуться , що
При цьому мають місце наступні співвідношення:
Отже,
Але тоді по визначенню 3.2.
А тому що , те
Тепер з того, що
треба, що
Лема доведена.
Доказ наступного результату здійснюється простою перевіркою.
Лема 3.4. Нехай – конгруенція на алгебрі , . Полога
тоді й тільки тоді, коли для кожного , одержуємо конгруенцію на алгебрі .
Лема 3.5. Прямий добуток кінцевого числа нильпотентних алгебр нильпотентне.
Доказ:
Очевидно, досить показати, що якщо , і – нильпотентне алгебри, те – нильпотентна алгебра.
Нехай
центральні ряди алгебр і відповідно. Якщо , те, ущільнивши перший ряд повторюваними членами, одержимо центральний ряд алгебри довжини . Таким чином, можна вважати, що ці ряди мають однакову довжину, рівну .
Побудуємо тепер ряд конгруенції на алгебрі в такий спосіб:
де тоді й тільки тоді, коли , , .
Покажемо, що останній ряд є центральним, тобто для довільного . Тому що
те на алгебрах і відповідно задані конгруенції й , що задовольняють визначенню 2.1.
Визначимо бінарне відношення на алгебрі в такий спосіб:
і тільки тоді, коли
и
Легко безпосередньою перевіркою переконатися, що – конгруенція на алгебрі . Залишилося показати, що задовольняє визначенню 2.1.
Нехай має місце
Тоді відповідно до уведеного визначення
звідки треба, що
т.е.
Нехай
Це означає
Але тоді
и
Отже,
Нехай має місце
Це означає, що
Виходить, і , тобто . Лема, доведена.
Як відомо, спадкоємною формацією називається клас алгебр, замкнутих відносно фактор-алгебр, підпрямих добутків і відносно підалгебр.
Результати, отримані в лемах 3.1, 3.3, 3.5 можна сформулювати у вигляді наступної теореми.
Теорема 7Клас всіх нильпотентних алгебр мальцевського різноманіття є спадкоємною формацією.
Визначення 3.3. -арна група називається нильпотентной, якщо вона має такий нормальний ряд
що
и
для кожного .
Тому що конгруенції на -арних групах попарно перестановочні (дивися, наприклад, ), те це дає можливість використовувати отримані результати в дослідженні таких груп.
Лема 3.6. Нехай – -арна група. і – нормальні підгрупи групи й .
Тоді , де й конгруенції, індуковані відповідно підгрупами й на групі .
Доказ:
Підгрупи й індуцирують на групі конгруенції й , обумовлені в такий спосіб:
– -арна операція.
Визначимо на бінарне відношення в такий спосіб:
тоді й тільки тоді, коли існують такі послідовності елементів і з і відповідно, що
Покажемо, що – підалгебра алгебри . Для скорочення запису будемо надалі опускати -арний оператор .
Нехай
Тому що , те
Тому що , те
Тому в силу того, що ,
Отже, – підалгебра алгебри .
Нехай – нейтральна послідовність групи , а, отже, і групи . Тоді з визначення бінарного відношення треба, що
Тим самим довело, що – конгруенція на .
Тo, що задовольняє визначенню 2.1, очевидно. Лема доведена.
Лема 3.7. Нехай – нильпотентна -арна група. Тоді задовольняє визначенню 2.1.
Доказ:
Тому що для кожного , те індуцирує конгруенцію на . У такий спосіб володіє поруч конгруенції, що у силу леми 3.6 буде центральним. Лема доведена.
Зокрема, для довільної бінарної групи звідси треба, що нильпотентна тоді й тільки тоді, коли, задовольняє визначенню 3.2. У цьому випадку теорема 3.2 просто констатує той факт, що клас всіх нильпотентних груп утворить спадкоємну формацію.
продолжение
--PAGE_BREAK--