/>/>/>/>/>/>/>/>/>Для изученияпредлагаются понятия кольца, коммутативного кольца и области целосности,гомоморфизма и изоморфизма колец, подкольца, а так же свойства кольца целыхчисел.
п.1. Понятие кольца.
Определение. Алгебра />, где /> — бинарные операции, /> — унарнаяоперация, /> называетсякольцом, если выполнены аксиомы.
I. /> — абелева группа.
1) /> />
2) /> />
3) /> />
4) /> />
II. 1) /> /> — ассоциативность умножения.
2) законы дистрибутивности: /> /> — левый дистрибутивный закон, /> /> — правыйдистрибутивный закон.
/> — называется аддитивной группойкольца.
Определение. Кольцо /> называется кольцом с единицей />, еслисуществует /> /> />
Определение. Кольцо /> называется коммутативным, если /> />
Определение. Элементы /> называются делителями />, если />
Определение. Кольцо /> называется областью целостности,если оно обладает свойствами:
Кольцо /> — коммутативно.
Кольцо /> с единицей />, где />.
Кольцо не имеет делителей нуля.
/>/>/>/>/>/>/>/>/>п.2. Примерыколец.
Рассмотрим />. Операции /> — бинарная операция намножестве />,операция />-унарная операция на множестве />, />, значит /> — алгебра. Аксиомы кольца намножестве /> выполнены,это следует из свойств целых чисел, значит /> — кольцо. Это кольцо с единицей 1,так как /> и/> />. Этокоммутативное кольцо, так как /> />. Это кольцо без делителей нуля.Кольцо целых чисел является областью целостности.
Пусть /> — множество целых чётных чисел, /> — алгебра,кольцо без единицы, коммутативное, без делителей нуля, не является областьюцелостности.
/> — проверим, будет ли на множестве /> — кольцо.
/> />/> /> — бинарная операция на множестве />.
/>/> /> — бинарная операция на множестве />.
/>/> /> — унарная операция на множестве />. />
Значит /> — алгебра.
Аксиомы кольца для данной алгебры выполнены, так как />, а на /> аксиомывыполнены (из свойств действительных чисел), значит /> — это кольцо.
/>. /> />. Кольцо с единицей /> — это коммутативноекольцо без делителей нуля, является областью целостности.
Пусть />. Определим операции /> />, />; />, />.
/>
/>
/> — бинарные операции на множестве />
/> /> значит /> /> /> — унарная операция на множестве />.
/> />, />, значит /> — алгебра. Проверим, является лиэта алгебра кольцом. Для этого проверим аксиомы кольца. Равенство /> — равенствофункции: /> изопределения операций. Рассмотрим произведение />, вычислим значения левой и правойчастей от /> а)/>б)/>/>/>/>. Аналогичнопроверяется, что все аксиомы кольца выполнены, значит /> является кольцом. Это кольцо сединицей /> />.Действительно, /> /> (свойство единицы). Этокоммутативное кольцо, так как /> />. Покажем, что это кольцо сделителями нуля. Пусть />, />, />, /> (нулевая функция). Вычислим /> (равнонулевой функции). Значит />, /> — делители нуля, значит кольцо /> — не являетсяобластью целостности.
/>/>/>/>/>/>/>/>п.3. Простейшие свойства кольца.
Пусть /> — кольцо. Выпишем и проверимаксиомы кольца:
/> />.
Доказательство. /> — абелева группа, имеем /> />
/> />.
Доказательство. /> — абелева группа, имеем /> />.
/>, если />, если />.
Доказательство. По закону сокращения в группе,определенной на множестве />.
/>, если />, если />.
Доказательство. Следует из свойства 4 групп.
/> если />, если />.
Доказательство. Следует из 5 свойства групп.
/> />.
Доказательство. Следует из 6 свойства групп.
/> />.
Доказательство. Докажем, что />./>/>
/> />.
Доказательство. Докажем, что />/> рассмотрим сумму />. Аналогичнодоказывается, что />.
/> />. Обозначение: /> />.
/> /> (правый дистрибутивный закон), /> (левыйдистрибутивный закон).
Доказательство. Правый дистрибутивный закон: леваячасть равна />/> равна правой части. Аналогичнодоказывается левый дистрибутивный закон.
/> />.
Доказательство. Вычислим сумму /> />.
/>/>/>/>/>/>/>/>/>п.4.Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.
Дано два кольца /> и />.
Определение. Гомоморфизмом кольца /> в кольце /> называется функция /> и обладающаясвойствами:
/> />
/> />
/> />
/>
Другими словами, гомоморфизм колец – это отображения,сохраняющие все операции кольца. Если /> — гомоморфизм кольца /> в />, то /> — гомоморфизмабелевых групп /> в группу />.
Теорема. Пусть /> и /> — кольца и />, обладающих свойствами:
/> />
/>
Тогда /> — гомоморфизм колец.
Доказательство. Из свойства /> /> /> является гомоморфизмом групп /> и />, поэтому /> обладаетсвойствами: />, />, значит по определению /> — гомоморфизмколец.
Определение. Отображение /> называется изоморфизмом кольца /> на />, если /> обладаетсвойствами:
/> — гомоморфизм колец.
/> — биекция.
Другими словами: изоморфизм – это гомоморфизм,являющийся биекцией.
/>/>/>/>/>/>/>/>/>п.5. Подкольца.
Пусть /> — кольцо, />, />.
Определение. Множество /> — замкнуто относительно операции />, если /> />.
Множество /> — замкнуто относительно операции />, если /> />. Множество /> — замкнутоотносительно операции />, если /> />.
Теорема. Пусть /> — кольцо, />, />, если /> — замкнуто относительно операции />, то /> — кольцо,которое называется подкольцом, кольца />.
Доказательство. /> — бинарные операции, /> — унарнаяоперация, так как /> — замкнутое множество. Так как />, то существует/>, так как /> — замкнутоотносительно операции />, то /> /> />, значит /> — алгебра, так как аксиомывыполнены на />, то они выполнены и на />, потомуалгебра />-кольцо.
Теорема. Пусть /> — числовое кольцо с единицей 1,тогда оно содержит подкольцо целых чисел.
/>/>/>/>/>/>/>/>/>п.6.Аксиоматическое определение кольца целых чисел.
Алгебраическая система />, где /> бинарные операции, /> — унарная операция, />, />, /> называетсясистемой целых чисел, если выполнены три группы аксиом:
I. /> — кольцо.
Абелева группа />
/> />
/> />
/> />
/> />
Аддитивная группа
/> />
/> />
/> />
II. Множество /> — замкнуто относительно операций /> иалгебраическая система /> является системой натуральныхчисел (системой Пеано).
Для />, />
Для />, />
Для />, />
Для />, />
Для />, />
Для />, />
Аксиома индукции: пусть />. Если множество /> удовлетворяет условиям:
а) />
б) />, />, то />
III. Аксиома минимальности.
Если /> и обладает свойствами:
а) />
б) /> />, то />.
/>/>/>Свойства целых чисел.
Теорема 1. О делении с остатком.
/> /> /> | />, где />. Число /> называется делимым, /> — делителем, /> — частным, /> — остатком приделении /> на/>.
Доказательство. Докажем существование хотя бы однойпары чисел />,/>. Дляэтого рассмотрим множество />. Множество /> содержит какотрицательные, так и неотрицательные числа, пусть /> — наименьшее неотрицательное числов />, тогда />. Докажем, что/>,предположим противное />. Рассмотрим число />. />/> противоречие с выбором />. Доказано, что/>, />. Докажемединственность чисел /> и />, пусть /> />. />, />. Докажем, что />, предположим противное />. Пусть />. Имеем /> /> противоречие,так как между числами /> нет чисел, делящихся на />. Доказано, что/>, если />, то />, а отсюдаследует, что />. Доказана единственность чисел /> и />.
Список литературы
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики.Учебно-методическое пособие. 2002
В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теориигрупп.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры.– М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры.– М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основныеструктуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье –М.: Физмат лит-ра, 2001
Для подготовки данной работы были использованыматериалы с сайта referat.ru/