Реферат по предмету "Математика"


Дослідження локальних формацій із заданими властивостями

Курсова робота
 
Дослідження локальнихформацій із заданими властивостями

Введення
Формації, тобто класи груп, замкнуті відносно фактор — груп і підпрямих добутків, завжди перебували в поле діяльності дослідників по теоріїкінцевих груп. Однак аж до 1963 р. формаційний розвиток теорії кінцевихгруп ішло лише по шляху нагромадження фактів, що ставляться до різнихконкретних формацій, з яких найбільш популярними були формація розв'язних групі її подформації, складені з абелевих, нильпотентних груп.
У курсовій роботі розглядається добуток формацій, операції на класахгруп, що приводять до формацій. Розглядаються локальні формації й екрани.Розглядаються найпростіші властивості локальної формації всіх груп знильпотентним компонентом.

Визначення 1.1 Класом груп називають усяка множина груп, що міститьразом з кожною своєю групою /> й всі групи, ізоморфні />.
Якщо група (підгрупа) належать класу />, то вона називається />групою (/> -  підгрупою).
Визначення 1.2. Клас груп /> називається формацією, якщо виконуютьсянаступні умови:
1) кожна фактор — група будь — якої групи з /> також належить />;
2) із /> завжди треба />.
Якщо формації /> й /> такі, що />, то /> називається підформацією формації/>.
По визначенню, порожня множина є формацією (порожня формація).Множина /> всіхгруп є, звичайно, формацією. Одинична формація /> – це непустий клас груп, щоскладає лише з одиничних груп. Формаціями є: клас /> усіх /> -  груп, клас /> всіх абелевих груп,клас /> всіхнильпотентних груп, клас /> усіх /> -  груп (/>– фіксоване простої число), клас /> всіх нильпотентних/> -  груп,клас /> всіхрозв'язних груп, клас /> всіх розв'язних /> - груп. Ми привели покилише приклади тих формацій, за яких закріплені відповідні позначення.
Лема 1.1. Справедливі наступні твердження:
1) перетинання будь — якої множини формацій також є формацією;
2) якщо /> – деяка множина формацій, лінійновпорядковане щодо включення />, то об'єднання /> є формацією.
Доказ здійснюється перевіркою.
Визначення 1.3. Нехай /> – непуста формація. Позначимочерез /> і /> -  корадикаломгрупи /> перетинаннявсіх тих нормальних підгруп /> з />, для яких />.
Очевидно, /> - корадикал будь — якої групи єхарактеристичною підгрупою. /> - корадикал групи /> позначають інакше через/> іназивають /> -корадикалом. /> - корадикал будемо називати нильпотентнимрадикалом; зрозумілі також терміни розв'язний корадикал, /> -  розв'язнийкорадикал, /> - корадикал і т.д. /> - корадикал (або абелевкорадикал) – це комутант групи. Так само як і комутант, /> -  корадикалзберігається при гомоморфізмах.
Лема 1.2. Нехай /> – непуста формація, />. Тодісправедливі наступні твердження:
1) />
2) якщо /> те />
3) якщо /> й />, те />
Доказ. Нехай />. Тоді
/>
Звідси треба, що />. З іншого боку,
/>
звідки одержуємо />. З /> і /> треба рівність />. Твердження 1)доведено.
Нехай /> – природний гомоморфізм групи /> на /> Очевидно,
/>
звідки треба рівність />. Зокрема, якщо />, те />. Лема доведена.
Визначення 1.4. Нехай /> і /> – деякі формації. Якщо />, то покладемо /> Якщо />, те позначимочерез /> класвсіх тих груп />, для яких /> Клас /> називається добуткомформацій /> і/>.
З визначення 1.4 треба, що добуток формацій /> є порожньою формацією тоді йтільки тоді, коли принаймні одна з формацій /> є порожньою. Можна визначитидобуток декількох формацій як результат послідовного множення. Якщо задановпорядкований набір формацій /> причому добуток /> уже визначений, то /> Зокрема, якщо/> для будь- якого /> теми приходимо до поняття ступеня />
Поняття добутку формацій становить інтерес із погляду побудовиформацій.
Теорема 1.1. Добуток будь — яких двох формацій також є формацією.
Лема 1.3. Нехай /> і /> – нормальні підгрупи групи />. Тоді кожнийголовний фактор групи /> /> -  ізоморфний або деякомуголовному фактору групи />, або деякому головному факторугрупи />
Доказ випливає з розгляду /> -  ізоморфізму />
Теорема 1.2. Нехай /> – деяка формація, /> – клас всіх тих груп,всі головні фактори яких належать /> Нехай /> – об'єднання формацій /> Тоді /> – підформаціяформації />
Доказ. З леми 1.3 виводимо, що /> – формація. З теореми 1.1 і леми1.1 випливає, що клас /> є формацією. Якщо /> – мінімальна нормальнапідгрупа групи />, то по індукції /> для деякогонатурального />. Але тоді або />, або /> – /> -  корадикал групи />. Тому що />, те звідсивипливає, що />, і теорема доведена.
Операції на класах груп
Визначення 2.1. Усяке відображення множини всіх класів груп у себеназивається операцією на класах груп.
Операції ми будемо позначати, як правило, прямими більшимилатинськими буквами. Результат операції />, застосованої до класу /> позначаєтьсячерез /> Ступіньоперації /> визначаєтьсятак: /> Добутокоперацій визначається рівностями:
/>
Уведемо операції /> в такий спосіб:
/> тодій тільки тоді, коли /> вкладається як підгрупа в якусь /> -  групу;
/> тодій тільки тоді, коли /> вкладається як нормальна підгрупав якусь /> - групу;
/> тодій тільки тоді, коли /> є гомоморфним образом якоїсь /> - групи;
/> тодій тільки тоді, коли /> співпадає з добутком деякогокінцевого числа своїх нормальних /> - підгруп;
/> тодій тільки тоді, коли /> має нормальні підгрупи /> такі, що
/>
/> тодій тільки тоді, коли /> є розширенням /> - групи за допомогою /> -  групи;
/> тодій тільки тоді, коли /> має нормальну підгрупу /> таку, що />
Якщо />, то замість /> пишуть /> Оборотний увага на тойфакт, що якщо /> – нормальні підгрупи групи />, причому /> для кожного />, то /> Помітимо ще,що операцію /> можнавизначити за допомогою поняття підпрямого добутку. Нагадаємо (див. Каргаполов іМерзляков [1]), що підгрупа /> прямого добутку /> називається підпрямимдобутком груп /> якщо проекція /> на /> збігається з /> Легко бачити,що /> тоді йтільки тоді, коли /> є добуток деякого кінцевого числа/> - груп.
Визначення 2.2. Клас /> називається замкнутим щодооперації /> або,більш коротко, /> -  замкнутим, якщо />
Формацію можна визначити тепер як клас груп, що одночасно /> -  замкнуть і /> - замкнуть. /> - замкнутийклас згідно Гашюцу [3] називається насиченим. /> -  замкнутий клас групназивається гомоморфом. Клас груп називається замкнутим щодо підгруп(нормальних підгруп), якщо він /> -  замкнутий (відповідно /> -  замкнуть).
Лема 2.1. />. Якщо клас груп /> містить одиничну групуй /> -  замкнуть,то />
Доказ. Щодо операцій /> і /> твердження очевидно. Нехай /> – довільнийклас груп. Ясно, що /> Якщо />, те в /> найдеться нормальна підгрупа /> така, що />. Група /> має нормальнупідгрупу /> таку,що /> й /> Але тоді /> Тому що />, те/>, а виходить, /> Таким чином, />, що йпотрібно.
Нехай />. Якщо />, то /> має нормальну /> - підгрупу /> таку, що /> Група /> має нормальну /> - підгрупу /> таку, що />. Тому що /> й />, те з /> - замкнутостікласу /> треба,що />.Виходить, />,тобто />.Зворотне включення очевидно.
Лема 2.2. Для будь — якого класу /> справедливо наступне твердження: />
Доказ. Якщо />, то /> Нехай /> Якщо />, те/>, а виходить, />. Таким чином, />. Нехай />. Тоді /> має такінормальні підгрупи />, що /> Група /> має такі нормальні підгрупи />, що /> Тому що />, те/>, що й доводитьрівність />
Лема 2.3. Для будь — якого класу /> має місце включення />
Доказ. Якщо />, то />. Нехай /> і група /> є підпрямим добутком груп />, де />. Розглянемофункцію /> />. Функція /> єгомоморфізмом групи /> в групу />. Ясно, що
/>
є добуток груп />, причому />. Отже, />, і лема доведена.
Лема 2.4. />
У роботі Фишера, Гашюца й Хартли [1] уведене наступне поняття, удеякому змісті двоїсте визначенню формації.
Визначення 2.3. Клас груп /> називається класом Фиттинга, якщовін одночасно /> - замкнутий і /> - замкнуть.
Клас Фиттинга ми будемо надалі називати інакше радикальним класом. Черезподвійність (нормальна підгрупа – фактор — група) формацію можна було б назватикорадикальним класом.
Визначення 2.4. Нехай /> непустий /> - замкнутий клас, що містить 1.Позначимо через /> і назвемо /> -  радикалом групи /> добуток всіхїї нормальних /> - підгруп.
Класи /> є радикальними. /> - радикал групи /> – це їїпідгрупа Фиттинга /> /> - радикал позначають інакше через/> іназивають /> -радикалом. /> -радикал називають розв'язним радикалом; зрозумілі також терміни /> - нильпотентнийрадикал, /> -замкнутий радикал і т.д. Клас усіх /> - нильпотентних груп є одночаснорадикальним і корадикальним; /> – це /> - нильпотентний радикал групи />.
Надалі ми будемо вивчати формації, замкнуті щодо тих або іншихоперацій; зокрема, будуть розглядатися радикальні формації, тобто формації, щоє одночасно й класами Фиттинга. Зараз ми звернемося до задачі побудова формаційза допомогою операцій />
Теорема 2.1. Нехай /> і /> – формації, причому або />, або /> замкнута щодонормальних підгруп. Тоді /> – формація, що збігається здобутком />
Визначення 2.5. Нехай /> – деяка множина груп. Нехай /> – перетинаннявсіх тих формацій, які містять /> клас /> називається формацією, породженоїмножиною груп />
Помітимо, що операцію /> часто позначають інакше через /> Якщо /> те пишуть /> замість />, причому вцьому випадку /> називають формацією, породженоюгрупою />.
Теорема 2.2. Для будь — якого класу /> має місце рівність: />
Доказ. Якщо />, те/>, і твердження вірно. Нехай />. Тому що />, те клас /> є /> - замкнутим. /> є клас і /> по лемі 2.2.Використовуючи це й леми 2.3 і 2.4, одержуємо

/>
Останнє означає /> - замкнутість класу />. Отже, /> – формація,що містить />,тому що />.Виходить, />.Зворотне включення очевидно.
Лема 2.5. Для будь — яких елементів /> групи /> виконуються рівності /> Якщо /> – підгрупигрупи />, товиконуються наступні твердження:
1) />
2) /> для будь — якого гомоморфізму /> групи />; зокрема, якщогрупа /> з /> нормалізує /> й />, те /> нормалізує й />
Лема 2.6 Нехай /> – підгрупа нильпотентної групи />, причому />. Тоді />
Доказ. Для того щоб довести лему, досить установити, що при будь — якомунатуральному /> виконуєтьсявключення:
/>
При /> це вірно, тому що />, а виходить, />. Припустимо,що включення (*) справедливо при якімсь />. Тоді, використовуючи лему 2.5,одержуємо
/>
/>
/>
Тим самим (*) доведено.
Теорема 2.3 (Брайант, Брайс, Хартли [1]). Якщо /> – така підгрупа групи />, що />, то />
Доказ. Нехай /> – нильпотентна нормальна підгрупагрупи />, а /> – такапідгрупа з />,що />.Доведемо індукцією по />, що />. Це вірно, якщо />. Тому будемо вважати,що />.Розглянемо наступні підгрупи прямого добутку />
/>
Очевидно, підгрупа /> нормалізує /> й />. Позначимо через /> підгрупу групи/>,породжену підгрупами />. Оскільки проекції /> на множники прямогодобутку /> рівні/>, те />. Помітимо ще,що />, де /> нормально в /> і нильпотентнаяк добуток з />.
Нехай /> – центр підгрупи />, />. Легко бачити, що />, причому /> й />; аналогічно, /> і />. Але тоді />, абелева йнормальна в. /> Якщо />, те/>, де />, і якщо />, те/>, що тягне />. Отже, />. Якщо /> абелева, те/>, і ми маємо
/>
Припустимо тепер, що />. Ясно, що />. Тому що
/>

те /> нильпотентна щабля />. Тому що />, те /> ізоморфна /> й має щабель />, а томувідповідно до леми 2.6 її нормальне замикання /> в /> має щабель />. Тому що /> нормалізує /> й />, те /> нормальна в. /> Отже, />, причому />. По індукції
/>
Для групи /> і її нильпотентної нормальноїпідгрупи /> щабля/> теорематакож вірна по індукції. Тому
/>
Теорема доведена.
Теорема 2.4. (Нейман [1]) Формація, породжена розв'язною групою,містить лише кінцеве число підформацій.
Доказ. Нехай /> – підформація формації />. Якщо />, то по теоремі2.3 має місце />, що й потрібно.
Екрани
Недоліком поняття групової функції /> є те, що не завжди ущільнення /> - центральногоряду нормальними підгрупами є /> - центральним рядом.
Визначення 3.1. Відображення /> класу /> всіх груп у множину класів групназвемо екраном, якщо для будь — якої групи /> виконуються наступні умови:
1) /> – формація;
2) /> для будь — якого гомоморфізму /> групи />;
3) />.
З умови 2) випливає, що екран /> приймає однакове значення наізоморфних групах, тобто є груповою функцією в змісті визначення 3.1. Крімтого, видно, що якщо /> – екран, те кожний f — центральнийряд після видалення повторень може бути ущільнений до f — центральногоголовного ряду, а виходить, клас груп, що володіють f — центральними рядами, співпадаєз формацією />.
Лема 3.1. Нехай /> – екран, /> – група операторів групи />, /> – деяканормальна /> -припустима підгрупа з />. Якщо /> володіє нормальним /> - припустимим рядом,фактори якого /> - центральні відносно />, то один зтаких рядів проходить через />.
Доказ. Нехай даний ряд, що задовольняє умові леми:
/>
Нехай />. Тоді ряд
/>
буде шуканим. У цьому неважко переконатися, використовуючивизначення екрана й /> - ізоморфизми:
/>
Лема 3.2. Справедливі наступні твердження:
1) перетинання будь — якої непустої множини екранів також є екраном;
2) об'єднання будь — якого непустого ланцюга екранів також єекраном.
Доказ. Перше твердження очевидно. Нехай непуста множина екранів /> є ланцюгом,тобто лінійно впорядковано (з відношенням часткової впорядкованості />, уведеним у визначенні3.5). Тоді для будь — якої групи /> множина формацій /> лінійно впорядкованощодо включення, а отже, через лему 1.1 об'єднання /> є формацією. Тим самим лемадоведена.
Визначення 3.2. Екран /> назвемо:
1) p — однорідним, якщо він p — постійний і для будь — якої групи /> і її силовськоїp – підгрупи /> має місце />;
2) однорідним, якщо він p — однорідний для будь — якого простого p;
3) локальним, якщо він є локальною груповою функцією;
4) композиційним, якщо для будь — якої групи /> має місце />, де /> пробігає всіфактори групи />
5) порожнім, якщо /> для будь — якої неодиничної групи/>;
6) /> - екраном, якщо /> для будь — якої групи />.
/> -екран при /> будемоназивати одиничним екраном.
Легко бачити, що кожний локальний екран є однорідним, а кожнийкомпозиційний екран є примарно постійним.
Приклад 3.1. Нехай /> і /> – непусті формації, причому />, а груповафункція /> така,що /> длякожної групи /> й /> для будь — який групи />. Тоді /> – одноріднийекран, що не є ні локальним, ні композиційним.
Приклад 3.2. Нехай /> – непуста формація, а груповафункція /> така,що для будь — який групи /> виконуються умови:
1) />, якщо /> не має абелевих композиційнихфакторів;
2) />, якщо /> має хоча б один абелевкомпозиційний фактор.
Тоді /> – композиційний екран, що не єоднорідним.
Зауваження 1. Локальний екран повністю визначається своїмизначеннями на підгрупах. Щоб побудувати локальний екран />, досить кожномупростому числу /> поставити у відповідність деякуформацію />,а потім для будь — якої групи /> покласти />, де /> пробігає />.
Зауваження 2. Щоб побудувати композиційний екран />, потрібно кожнійпростій групі /> поставити у відповідність деякуформацію />,а потім для будь — якої групи /> покласти />, де /> пробігає всі композиційніфактори групи />.
Лема 3.3. Справедливі наступні твердження: 1) перетинання будь — якоїнепустої множини однорідних екранів знову є однорідним екраном;
2) перетинання будь — якої непустої множини локальних екранів зновує локальним екраном;
3) перетинання будь — якої непустої множини композиційних екранівзнову є композиційним екраном.
Доказ. Нехай екран /> є перетинанням множини екранів />. Припустимо,що всі екрани /> є локальними, тобто для будь — яких/> і /> має місцерівність:
/>
де /> пробігає всі підгрупи групи />. Тоді
/>
а виходить, /> – локальний екран.
Лема 3.4. Об'єднання будь — якого непустого ланцюга примарнопостійних екранів є примарно постійним екраном.
Доказ. Нехай /> – деякий ланцюг екранів, /> – її об'єднання,/>. По лемі3.3 функція /> єекраном, причому ясно, що постійність /> тягне постійність екрана />. Припустимо,що все /> єоднорідними екранами. Тоді, якщо /> – будь — яка група й />, те />. Отже,

/>
що й доводить однорідність екрана />.
Екрани формацій
Кожної групової функції /> відповідає формація />.
Лема 3.5. /> є непустою формацією для будь — якоїгрупової функції />.
Визначення 3.3. Нехай /> – деяка формація. Якщо /> – такий екран,що />, тоформація /> називаєтьсясхідчастою формацією, причому в цьому випадку будемо говорити, що
/> –екран формації />,
/> маєекран />,
екран /> визначає формацію />,
/> визначаєтьсяекраном />.
Формація /> має одиничний екран. Одиничнаформація /> маєпорожній екран.
Визначення 3.4. Екран /> назвемо внутрішнім, якщо /> – внутрішнягрупова функція, тобто /> для будь — якої неодиничної групи/>.
Лема 3.6. Кожна східчаста формація має принаймні один екран.
Доказ. Нехай /> – екран формації />. Визначимо функцію /> в такийспосіб: /> длябудь — якої групи />. Легко бачити, що /> – екран, причому />. Якщо /> й /> – головнийфактор групи />, то />. Тому що клас /> /> - замкнуть, те/>, а виходить, /> /> - центральний  /> Таким чином, />. Отже, />, тобто /> – шуканийвнутрішній екран.
Лема 3.7. Нехай /> – екран формації />. Тоді /> є екраном формації />.
Доказ. Нехай /> – довільний головний фактор групи/>. Нехай />. Тому що />, те />. Виходить, />, тобто /> /> - в. /> Звідси треба, що />.
Обернено, якщо />, те головний ряд групи /> буде /> - центральнимдля будь — якого />, тобто />. Отже, />.
Лема 3.8. Перетинання /> будь — якої непустої множини /> екранівформації /> зновує екраном формації />. Крім того, якщо в /> є хоча б один внутрішнійекран, те /> –внутрішній екран.
Доказ. Те, що /> – екран формації />, безпосередньо треба злеми 3.7. Нехай у /> є внутрішній екран />. Тоді /> для будь — якої групи />. Виходить, /> – внутрішнійекран.
Формація з однорідним екраном
Теорема 3.1. (Шеметков) Усяка формація, що має принаймні одиноднорідний екран, є локальною формацією.
Доказ. Нехай формація /> має однорідний екран. Через лему3.6 формація /> має внутрішній однорідний екран />. Побудуємолокальний екран />, що задовольняє наступній умові: /> для будь — якогопростого />.Тоді /> й,отже, />.Припустимо, що формація /> має групи, що не входять в />, і виберемосеред всіх таких груп групу />, що має найменший порядок. Тоді /> є єдиноюмінімальною нормальною підгрупою групи />. Тому що />, те для кожного /> має місце
/>
Якщо /> неабелева, то /> й />. Якщо ж /> – /> - група, то виходить,що /> /> - центральнав. /> А цесуперечить тому, що />. Теорема доведена.
Локальна формація
Неодинична формація, що має локальний екран, містить деякінеодиничні групи.
Визначення 4.1. Формація /> називається локальної, якщо вонамає хоча б один локальний екран.
Визначення 4.2. Нехай /> – внутрішній локальний екранформації />,що є максимальним елементом множини всіх внутрішніх локальних екранів формації />. Тоді /> називаєтьсямаксимальним внутрішнім локальним екраном формації />.
Теорема 4.1. (Картер і Хоукс [1], Шмид [5]). Локальна формація /> має єдиниймаксимальний внутрішній локальний екран />, причому /> задовольняє наступній умові: /> для будь — якогопростого числа p.
Визначення 4.3. Нехай /> – локальна формація. Мінімальнийелемент множини всіх локальних екранів формації /> назвемо мінімальним локальнимекраном формації />.
Теорема 4.2. Локальна формація має єдиний мінімальний локальнийекран, що є до того ж внутрішнім екраном.
Доказ. Нехай /> – множина всіх локальних екранівформації />,причому />.Позначимо через /> перетинання множини екранів />. У множині /> є внутрішнійекран, тому /> –внутрішній екран формації />. По лемі 3.4 екран /> є локальним. Через лему3.8 /> –шуканий екран.
Побудова локальних формацій
1. Формація всіх груп. Формація /> має локальний екран /> таким, що /> для будь — якогопростого />.
2. Формація одиничних груп. Формація /> має порожній екран, що, мабуть,локальний.
3. Формація нильпотентних /> - груп. Нехай /> – формація всіх нильпотентних/> - груп, /> – такийлокальний екран, що /> для кожного /> для кожного />. Очевидно, /> – мінімальнийлокальний екран формації />.
4. Формація /> - груп. Нехай /> – формація всіх /> - груп, /> – такийлокальний екран, що /> для кожного /> для кожного />. Очевидно, /> –локальнийекран формації />.
5. Формація /> - нильпотентних груп. Нехай /> – формаціявсіх /> -нильпотентних груп (/>– фіксоване простої число), /> – такийлокальний екран, що /> для будь — якого простого числа />, відмінноговід />.Покажемо, що /> – екран формації />. Головний ряд /> - нильпотентноїгрупи /> - центральний.Нехай />.Потрібно встановити, що /> /> - нильпотентна. Нехай /> – мінімальнанормальна підгрупа групи />. По індукції /> /> - нильпотентна. Якщо /> – /> - група, тозвідси треба, що й /> /> - нильпотентна. Якщо ж /> - група, те/>, тобто />. Якщо тепер /> – /> - підгрупа з />, то через /> підгрупа /> /> - нильпотентна, авиходить, і /> /> - нильпотентна.Тим самим показано, що />.
Теорема 5.1. У кожній /> - групі /> підгрупа /> збігається з перетинанням у /> всіх головних /> - факторівгрупи />.
Наслідок 5.1.1. У будь — якій групі /> підгрупа Фиттинга /> збігається зперетинанням у /> всіх головних факторів групи />.
Наслідок 5.1.2. Для кожної /> - розв'язної групи /> має місце включення />.
Наслідок 5.1.3. (Фиттинг). /> для будь — якої розв'язної групи />.
Наслідок 5.1.4. (Чунихин [3]). Комутант /> - групи /> - нильпотентний.
6. Формація /> - замкнутих груп. Нехай /> – формаціявсіх /> - замкнутихгруп (/>–деяка фіксована множина простих чисел), /> – такий локальний екран, що /> для кожного /> для кожного />. Покажемо, що /> – екранформації />.
Очевидно, />. Припустимо, що клас /> не порожній, івиберемо в ньому групу /> найменшого порядку. Тоді /> має єдинумінімальну нормальну підгрупу />, причому /> не є /> - групою. Нехай />. Тому що />, те/>, а виходить, />. Тому /> – абелева /> - група. Томущо /> /> - замкнута, тей /> /> - замкнута,тобто /> маєнормальну /> -підгрупу />.Ясно, що />.Тому що />,те />. Легкобачити, що />,а виходить, і група /> /> - замкнута. Тим самим показано,що />.
7. Формація /> - дисперсивних груп. Нехай /> – деякелінійне впорядкування множини всіх простих чисел, /> – формація всіх /> - дисперсивних груп.Покажемо, що /> локально.
Розглянемо всілякі множини /> простих чисел, що володіютьнаступною властивістю: /> для всіх />. Нехай /> – формація всіх /> - замкнутих груп.Очевидно, />.Тому що формації /> локальні, то по лемі 3.4 формація/> також єлокальною.
8. Формація /> - розв'язних груп. Нехай /> – формаціявсіх /> - розв'язнихгруп, /> –такий локальний екран, що /> для будь — якого простого />. Неважкопомітити, що /> – максимальний внутрішнійлокальний екран формації />. Зокрема, формація /> є локальною.
9. Формація /> - груп. Нехай /> – формація всіх /> - груп.Позначимо через /> формацію всіх абелевих групекспоненти, що ділить />. Побудуємо локальний екран /> такий, що /> для кожного /> для кожного />. Покажемо, що />. Ясно, що />. Нехай />, /> – мінімальнанормальна підгрупа групи />. По індукції />. Якщо /> – /> - група, то /> /> - понад розв'язна.Нехай порядок /> ділиться на деяке число />. Тоді, якщо />, те
/>
Звідси треба, що /> – /> - група.
Лема 5.1. Нехай /> – деяка що не приводиться абелевагрупа автоморфизмів /> - групи /> й />. Тоді /> – циклічна група порядку, щоділить />.Крім того, /> –найменше натуральне число, що задовольняє порівнянню />.
Доказ. Будемо вважати, що /> – аддитивна абелева група. Тоді /> можнарозглядати як правий векторний простір розмірності /> над полем /> з /> елементів. Нехай /> – комутативнепідкольцо кільця />, породжене елементами /> й />. Через умову /> є правим /> - модулем(визначення, пов'язані з /> - модулями, див. у Кертиса йРайнера [1]). По лемі Шура, /> – тіло. Тому що /> комутативне, те />. Легкобачити, що множина всіх ненульових елементів із /> замкнуто щодо операції множенняй, отже, є групою. Тому /> – поле. Тому що /> - модуль не /> приводимо, те /> для будь — якогоненульового />;але тоді відображення />, є /> - гомоморфізмом /> - модуля /> на />. Тому що ядро /> є ідеал поля />, те /> – ізоморфізм.Отже, />.Відомо, що мультиплікативна група кінцевого поля циклічна. Тому /> циклічна й /> ділить />.
Нехай /> – найменше натуральне число, щозадовольняє порівнянню />. Тоді /> ділить />. Добре відомо, що поле /> порядку /> містить /> порядку />. Тому щоциклічна група містить точно одну підгрупу кожного можливого порядку й /> ділить/>, то />. Але тоді /> й />. Лемадоведена.
10. Формація />. Нехай /> – непуста формація, /> – такийлокальний екран, що /> для будь — якого простого />. Застосовуючинаслідок 7.1.1 можна побачити, що /> – екран формації />. Зокрема, формації /> і /> є локальнимиформаціями.
Нехай /> – локальний екран деякої підформації/> з />. Застосовуючилеми 3.3 і 4.3, бачимо, що /> є локальним /> - екраном формації />. Таким чином,кожна локальна підформація формації /> має внутрішній локальний /> - екран.Зокрема, будь — яка локальна підформація формації /> має внутрішній локальний /> - екран.
Локальні формації із заданими властивостями
Нехай /> – деяка операція, /> – локальний екранформації />.Природно виникають два питання:
1) чи Буде /> /> - замкнутої, якщо /> /> - замкнута для будь — якогопростого />?
2) чи Буде /> /> - замкнутої для будь — якогопростого />,якщо /> /> - замкнута?
Ми дамо позитивну відповідь на ці питання в деяких конкретнихвипадках.
Теорема Слепова 1 Нехай /> – деякий клас груп, /> – максимальнийвнутрішній локальний екран формації />, /> – фіксоване простої число. Тодісправедливі наступні твердження:
1) якщо />, те />;
2) якщо />, те />.
Доказ. Будемо доводити обоє твердження одночасно. Нехай /> – одна зоперацій />,/>.Припустимо, що />. Нехай /> – (нормальна) підгрупа групи /> й />. Розглянеморегулярне сплетення />, де />, /> – елементарна абелева /> - група. Полемі 3.11. /> Томущо />, те />. Розглянемоголовний ряд групи />:
/>
Нехай />. Тому що /> й />, те
/>
для кожного />. Отже, />, де />. По властивості регулярногосплетення />.Отже, />, іпо лемі 3.10 підгрупа /> є /> - групою. Тому що /> й формація /> є по теоремі3.3  /> - замкнутої,то ми одержуємо, що />. Теорема доведена.
Теорема Подуфалова, Слепова 2 Нехай /> – максимальнийвнутрішній локальний екран формації />. Формація /> /> - замкнута (/> - замкнута)тоді й тільки тоді, коли для будь — якого простого /> формація /> /> - замкнута (відповідно /> - замкнута).
Доказ. Необхідність. Припустимо, що /> /> - замкнуто (/> - замкнута). Думаючи /> й застосовуючитеорему 1, ми одержуємо, що /> /> - замкнуто (/> - замкнута) для будь — якого простого />.
Достатність. Нехай для будь — якого простого /> формація /> є /> - замкнутою (/> - замкнутої).Нехай /> –підгрупа (нормальна підгрупа) неодиничної групи />. Покажемо, що />. Тому що />, те /> володіє /> - центральним головнимрядом
/>
Нехай />. Тому що
/>
те/>, де />. Нехай />. За умовою /> й />. Звідси, через />, випливає, що />. Тим самимустановлено, що ряд
/>
є /> - центральним рядом групи />. Теоремадоведена.
Для будь — якого натурального числа /> /> - замкнутий клас /> містить, по визначенню,кожну групу />,у вигляді добутку /> нормальних /> - підгруп. Послабляючицю вимогу, ми приходимо до наступного визначення.
Визначення. Клас груп /> назвемо слабко /> - замкнутим, />, якщо /> містить усякугрупу />, щомає /> нормальних/> - підгрупз попарно взаємно простими індексами.
Легко помітити, що якщо /> й /> – підгрупи групи /> причому /> й /> взаємно прості, те />.
Теорема Слепова 3 Нехай /> – локальний екран формації /> й нехай длядеякого натурального числа /> виконується наступна умова: длябудь — якого простого /> формація /> або збігається з />, або входить в /> і є слабко /> - замкнутою.Тоді /> слабко/> - замкнута.
Доказ. Припустимо, що теорема невірна. Тоді існують групи, що невходять в />,але /> нормальних/> - підгрупз попарно взаємно простими індексами. Виберемо серед всіх таких груп групу /> найменшогопорядку. Таким чином, /> не належить />, але має нормальні /> - підгрупи /> з попарновзаємно простими індексами. Ясно, що всі підгрупи /> неодиничні.
Нехай /> – мінімальна нормальна підгрупагрупи />. У /> підгрупи /> мають попарновзаємно прості індекси й належать />. Тому що для /> теорема вірна, те />. Ясно, що /> – єдинамінімальна нормальна підгрупа групи />, причому /> й /> для кожного />. Через теорему 4.3. /> Тому що />, те найдетьсятаке />, що />. Розглянемо />, де /> пробігає все /> - головніфактори групи />. Тому що />, те/>, />. Можливі два випадки.
Випадок 1. Нехай />. Тоді /> неабелева й />. Звідси й з одиничності/> випливає,що />. Алетоді /> й,отже, /> можнарозглядати як деяку групу групи />, що діє тотожно на всіх /> - головнихфакторах групи />. По добре відомій теореміФ. Холу /> нильпотентна. Тому що /> до того жнормальна в />,те />. Алетоді /> длябудь — якого />, а тому що формація /> слабко /> - замкнута заумовою, те />.Але тоді />,тому що /> йза умовою />.Одержали протиріччя.
Випадок 2. Нехай />. Тоді /> входить в /> і є /> - групою. Тому що />, те /> абелева. Нехай/> –максимальна підгрупа групи />, не утримуюча />. Тоді />, />, />, />. Звідси, черезодиничність />,містимо, що />,a виходить, />.По лемі 3.10 /> є /> - групою. Але тоді і /> є /> - групою,причому />.Ми одержуємо, таким чином, що /> для кожного />. Але тоді />, тому що /> слабко /> - замкнута.Останнє означає, що /> /> - центральна в />, що суперечить рівності/>. Зновуодержали протиріччя.
Теорема доведена.
Наслідок 4 Нехай група /> має дві нормальні /> - понад розв'язніпідгрупи, індекси яких взаємно прості. Тоді /> /> - понадрозв'язна.
Для того щоб одержати цей наслідок, досить помітити, що побудованийекран задовольняє умові теореми 3 при />.
Наслідок 5 Нехай група /> має дві нормальні підгрупи,індекси яких взаємно прості. Тоді /> понад розв'язна .
Теорема Слепова 6 Нехай формація /> має такий локальнийекран />, щодля будь — якого простого /> формація /> або збігається з />, або входить в /> і є /> - замкнутою.Тоді /> /> - замкнута.
Доказ. Повторюємо з очевидними змінами доказ теореми 3.
Теорема Слепова 7 Нехай /> – максимальний внутрішнійлокальний екран формації />. Формація /> /> - замкнута (слабко /> - замкнута, />) тоді й тількитоді, коли для будь — якого простого /> формація /> /> - замкнута (відповідно слабко /> - замкнута).
Доказ. Достатність випливає з теорем 3 і 6. Нехай /> /> - замкнута (слабко /> - замкнута, />). Нехай />, де /> – нормальні /> - підгрупи(нормальні /> -підгрупи з попарно взаємно простими індексами). Тому що />, те />. Покажемо, що />.
Нехай />, де />, /> – елементарна абелева /> - група. /> для кожного />. Тому що /> /> - замкнута (слабко /> - замкнута),те звідси випливає, що />. Якщо /> – перетинання в /> усіх /> - головних факторівгрупи />, то

/>
Тому що />, те по лемі 3.10  підгрупа /> є /> - групою. Алетоді />,тому що по теоремі 3.3  має місце рівність />.
Теорема доведена.
Лема Чунихина 8 Нехай />, />, />. Тоді />. Зокрема, якщо /> й />, те /> непроста.
Доказ. З рівності /> треба, що
/>
Отже, />. Звідси, через /> для кожного />, одержуємо />. Лемадоведена.
Теорема Виландт 9 Група /> розв'язна, якщо вона має трирозв'язні підгрупи, індекси яких у /> попарно взаємно прості.
Доказ. Нехай група /> має розв'язні підгрупи />, /> і /> з попарновзаємно простими індексами. Тоді />. Нехай /> – мінімальна нормальна підгрупа з/>. Тому що /> розв'язно, те/>, /> – простоїчисло. Через умову теореми, /> не ділить одночасно /> й />. Нехай, длявизначеності, /> не ділить />. Це значить, що силовська/> - підгрупаз /> єсиловською /> -підгрупою групи />. Через теорему Силова />, де />. Тому що /> й />, те по лемі 8 />. Таким чином, /> – неодиничнарозв'язна нормальна підгрупа групи />. У фактор — групі /> індекси підгруп />, /> і /> попарновзаємно прості. По індукції /> розв'язна, але тоді й /> розв'язна.Теорема доведена.
Випливаючи Крамеру, уведемо наступне визначення.
Визначення. Клас груп /> називається /> - замкнутим (/>– натуральнечисло), якщо /> містить усяку групу />, що має /> /> - підгруп, індекси якиху /> при /> попарновзаємно прості.
По визначенню, порожня формація /> - замкнута для кожного />. Єдиної /> - замкнутоюнепустою формацією, відмінної від />, умовимося вважати />.
Лема 10 Нехай /> і /> – /> - замкнуті класи груп. Тоді /> також /> - замкнуть.
Доказ очевидно.
Наступна лема доведена Крамером.
Лема 11 Нехай формація /> втримується в /> і /> - замкнута, />. Тоді формація/> є /> - замкнутою.
Доказ. Нехай група /> має /> - підгрупи />, />,…,/>,індекси яких у /> попарновзаємно прості. Тому що />, те по теоремі 9 група /> розв'язна. Прибудь — якому гомоморфізмі групи /> образи підгрупи /> належать /> і мають попарно взаємнопрості індекси. Тому можна вважати, що /> - корадикал /> групи /> є її єдиною мінімальноюнормальною підгрупою. Ясно, що /> є /> - групою для якогось />. ПідгрупаФиттинга /> групи/> також є /> - групою.Індекс будь — якої підгрупи, що не містить />, ділиться на />. Тому /> втримується принаймні в/> підгрупахнашої системи підгруп />. Будемо вважати, що />, />. Тому що /> є /> - групою, те /> й />, />. Звідси й знаслідку випливає, що />, />. Тому що />, те ми одержуємо, що />, />. Скориставшись/> - замкнутістюформації />,ми приходимо до того, що />.
Лема доведена.
Теорема Крамер 12 Нехай /> – такий локальний /> - екран формації />, що для будь — якого простого /> формація /> /> - замкнута, />. Тоді /> /> - замкнута.
Доказ. Тому що /> – /> - екран, то /> для будь — якогопростого />,а виходить, />.Нехай />.Через лему 4.5. /> Якщо />, те /> й /> /> - замкнута; якщо ж />, те по лемі  формація /> /> - замкнута. У кожномуразі /> /> - замкнута. Полемі  /> /> - замкнута.Застосовуючи лему 10, ми бачимо, що й формація /> /> - замкнута. Теорема доведена.
Тому що формація /> має одиничний екран, щозадовольняє умові теореми 12 при />, те ми одержуємо
Наслідок Кегель 13 Група /> нилъпотентна, якщо вона має три нильпотентніпідгрупи, індекси яких у /> попарно взаємно прості.
Цей факт випливає також і з наступного результату Кегля.
Лема 14 Клас усіх /> - замкнутих груп /> - замкнуть.
Доказ таке ж, як і в теореми 9.
Лема 15 Кожна формація нильпотентних груп є /> - замкнутою.
Доказ. Нехай /> – деяка формація нильпотентнихгруп. Нехай група /> має /> - підгрупи />, /> і /> з попарно взаємнопростими індексами. Тоді по наслідку 13 група /> нильпотентна. Якщо /> – найвищий ступіньпростого числа />, що ділить />, то /> ділить /> для деякого />, тому що /> не може ділитиодночасно індекси всіх підгруп />, /> і />. Якщо /> ділить/>, то силовська /> - підгрупа /> із /> входить в /> і є силовскою /> - підгрупоюгрупи />.Тим самим показано, що всі силовські підгрупи нильпотентної групи /> є /> - групами.Тому що /> –формація, те звідси треба, що />.
Лема доведена.
Лема 16 Нехай /> – якийсь /> - замкнутий гомоморф /> - замкнутихгруп. Тоді клас /> /> - замкнуть.
Доказ. Нехай група /> має /> - підгрупи />, /> і /> з попарно взаємнопростими індексами. По лемі 14 /> має нормальну силовску /> - підгрупу />. Оскільки /> є силовскої /> - підгрупою в /> і /> – гомоморф, те/>. У групі/> індексипідгруп />, /> і /> попарновзаємно прості. Тому через /> - замкнутість /> маємо />. Лема доведена.
Лема 17 Для будь — якого простого /> й будь — якої формації нильпотентнихгруп /> клас/> є /> - замкнутоюформацією.
Доказ. По лемі 15 клас /> /> - замкнуть. По лемі 16 клас /> /> - замкнуть і по теоремі1.1 Ошибка! є формацією.
Теорема 18 Нехай /> – локальна підформація формації />, /> – максимальнийвнутрішній локальний екран формації />. Якщо для будь — якого простого /> формація /> /> - замкнута, />, то /> /> - замкнута.
Доказ. Нехай />. Через теорему 3.3  і леми 4.5, />. Формація /> /> - замкнута. По лемі 10формація /> /> - замкнута.Теорема доведена.
Теорема Крамер 19 Будь — яка локальна підформаціяформації /> є/> - замкнутою.
Доказ. Нехай /> – локальна підформація формації />. /> має внутрішнійлокальний /> -екран />.Нехай /> –максимальний внутрішній локальний екран формації />. Тоді по теоремі 3.3  для будь — якогопростого /> маємісце рівність />. Тому що />, те по лемі 17 формація /> /> - замкнута. Тоді потеоремі 18 формація /> /> - замкнута. Теорема доведена.
Наслідок Д/>рк 20 Нехайгрупа /> маєчотири підгрупи, індекси яких у /> попарно взаємно прості.

Висновок
У даній курсовій роботі ми дали визначення формації, добуткуформацій, а також операцій на класах груп. Познайомилися з поняттям екрана,радикального й корадикального класів. У роботі розглянули ситуацію: кінцевірозв'язні групи з нормальною максимальною підгрупою, що належить локальноїформації /> формації/> всіх групз нильпотентним комутантом. Розглядали тільки кінцеві й розв'язні групи.
Теорія кінцевих груп ніколи не випробовувала недоліку в загальнихметодах, ідеях і невирішених проблемах, все — таки достаток отриманихрезультатів з неминучістю привело до необхідності розробки нових загальнихметодів і крапок, що систематизують, зору. Поштовх, зроблений роботою Гашюца,викликав цілу лавину досліджень і привів до виникнення нового напрямку — теоріїформацій.

Література
1Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.І. Основи теорії груп. – К., 2003
2 Кертис Ч.,Райнер И. Теорія подань кінцевих груп і асоціативних алгебр. – К., 2006
3Чунихин С.А. О /> - властивості кінцевих груп. –К.,2001
4Шеметков Л.А. Формація кінцевих груп. – К., 2002


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.

Сейчас смотрят :

Реферат Правоотношение понятие признаки категории
Реферат Анализ методики проведения аудиторской проверки кассовых операций
Реферат Odyssey Essay Research Paper The most admired
Реферат Оценка отечественной научной школы (национальные особенности российской политической экономии и российская школа экономической мысли)
Реферат Организация оперативной финансовой работы на предприятии
Реферат Государственное регулирование финансового рынка
Реферат Маркетинговых исследований рынка телекоммуникационных услуг г. Оренбург
Реферат Охеда, Алонсо
Реферат Imperalism Essay Research Paper imperialism Colonialism is
Реферат Тема судьбы в "Старшей Эдде"
Реферат Cloning Essay Research Paper Today there are
Реферат Вызов современной эпохи - в каком образовании мы нуждаемся
Реферат Разбой - как вид преступления против собственности
Реферат Аппаратное обеспечение персональных компьютеров
Реферат Cекції за фаховим напрямом 21 «Літературознавство, мовознавство, мистецтвознавство, соціальні комунікації» Наукової ради мон