ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ
§ 1. Основні принципи комбінаторики
Досить поширеними є задачі, в яких треба знайти або числоможливих розміщень предметів, або число способів, якими можна здійснити деякийвибір, тощо. Такі задачі називають комбінаторними, а галузь математики, якавивчає теорію скінченних множин, комбінаторикою. Найпростіші задачікомбінаторики вимагають підрахунку числа підмножин заданої множини. Основнимипринципами (правилами) комбінаторики є принцип суми і принцип добутку.
Принцип суми. Якщо множина A містить п елементів, а множина В — т елементів і А ∩ В = Ø, то множина A U В містить п + т елементів.
Справді, елементи множини А занумеруємо від 1 до п. Серед нихнемає елементів з множини В, оскільки А ∩ В = 0. Отже, коли ми переходимодо підрахунку елементів, що належать множині В, то починаємо з номера п +1.Далі буде номер п + 2, п + 3, ..., п + т, оскільки в множині В за умовою т елементів.Цим усі елементи множини A U В буде вичерпано, вони дістануть номеривід 1 до п + т.
Правило суми можна сформулювати ще й так: якщо якийсь вибір Аможна здійснити п способами, а другий вибір В можна здійснити т способами, товибір А або В можна здійснити п + т способами.
Принцип суми за індукцією поширюється на к множин.
Принцип добутку. Нехай маємо дві множини:
А={a1, а2, ..., an}, В={b1 b2, ..., bn}.
Тоді множина всіх можливих пар
С={(аi, bi)ا i=1, 2, ..., п; j = 1, 2, ..., m} містить п-т елементів.
Розіб'ємо множину С на множини
С={(а1, b1), (а1, b2), …, (а1, bm) }
С={(а2, b1), (а2, b2), …, (а2, bm) }
…………………………………
С={(аn, b1), (аn, b2), …, (аn, bm) }
Неважко помітити, що множини С1, С2, ..., Сn, попарно не перетинаються і C = Cl UC2 U … UCn. Оскільки кожна з підмножин С1, С2, ..., Сn, містить т елементів, то за принципомсуми число елементів в об'єднанні їх дорівнює п • т.
Правило добутку можна сформулювати ще й так: якщо якийсьвибір А можна здійснити п різними способами, а для кожного з цих способівдеякий другий вибір В можна здійснити т способами, то вибір А і В у вказаномупорядку можна здійснити п • т способами.
Приклад 1. З міста А у місто Б веде 6 шляхів, а з міста Б у містоВ 4 шляхи (рис. 298). Скількома шляхами можна проїхати з містам у місто В1 Вибравшиодин із шести шляхів з міста А у місто Б, далі можемо вибрати шлях від Б до В чотирмаспособами. Тому на підставі правила добутку дістанемо 6 • 4 = 24.
/>/>
Приклад 2. До міста А, Б і В додамо ще одне місто Г і кільканових шляхів (рис. 299). Скількома маршрутами тепер можна дістатися з міста А умісто В?
Розглянемо два випадки: шлях проходить через місто Б абочерез місто Г. Для кожного з цих випадків за правилом добутку неважко під-|рахувати кількість маршрутів (для першого — 24, для другого — 6). За правиломсуми маємо остаточно: 24 + 6 = 30. Отже,загальна кількість маршрутів 30.
Приклад 3. У крамниці продають 5 склянок, 3 блюдця і 4 ложки.Скількома способами можна купити два предмети з різними назвами?
Можливими є три випадки: перший — купують склянку з блюдцем,другий — склянку з ложкою, третій — блюдце і ложку. У кожному з цих випадків заправилом добутку неважко підрахувати кількість можливих варіантів: 15, 20 і 12.За правилом суми маємо остаточно: 15 + 20 + 12 = 47.
Сформулюємо тепер принцип (правило) добутку у загальномувигляді.
Нехай треба виконати одну за одною k дій. Якщо першу дію можна виконати n, способами, другу — п2 способами,..., k-ту- пkспособами, то всі k дій разом можуть бути виконані n способами, де п = п2•п2 •… • пk.
§ 2. Перестановки
Нехай треба підрахувати число способів, за якими можнарозмістити в ряд n предметів. Якщо дані предметирозглядати як елементи множини то кожне розміщення є скінченною множиною,елементи якої записано у певному порядку.
Скінченні множини, для яких істотним є порядок елементів,називаються впорядкованими. Вказати порядок розміщення елементів у скінченніймножині з п елементів означає поставити у відповідність кожному елементу даноїмножини певне натуральне число від 1 до п .
Дві впорядковані множини називаються рівними, якщо вонискладаються з тих самих елементів і однаково впорядковані. З цього випливає, щомножини (а, b, с) і (b, с, а) — це різні впорядкованімножини.
Означення. Будь-яка впорядкована множина, що складається з п елементів,називається перестановкою з п елементів.
Перестановки з п елементів складаються з одних і тих самихелементів, а відрізняються одна від одної лише порядком.
Наприклад, з елементів множини А = {1, 2, 3} можна утворитишість перестановок: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3,2, 1).
Число перестановок у множині з п елементів позначають Рп.
Доведемо, що
Рп=n!, (1)
де п! = 1•2•… •п .
Для доведення застосуємо метод математичної індукції.
1. Якщо п = 1, маємо Рп =1 = 1!; тобто формула (1)виконується.
2. Припустимо, що для n = 1 рівність Рк = k! виконується (п і k — натуральні числа).
Доведемо, що для п = k +1 виконуватиметься рівність
Рk+1=(к+ 1)!
На перше місце можемо поставити будь-який з k + 1 елементів множини. Тоді k місць, які залишилися, можна задаватибудь-якою перестановкою з k елементів.Число таких перестановок Рk. Такимчином, перестановку з k + 1елемента даної множини можна розглядати як пару: на першому місці — елементмножини, на другому — перестановка з k елементів, що залишились (таких перестановок Рk). На підставі принципу добутку числовсіх перестановок (всіх таких пар)
Рk+1=(к+ 1) Рk, (1)
З формули (2) дістаємо
Рk+1=(к+ 1) Рk = Рk • (к + 1) =k! • (k+1)=1•2•…•k• (k+1)=(k+1)!
Приклад 1. Скількома способами можна розмістити в один рядчервону, синю, чорну та зелену фішки?
Р4 = 4! = 1•2•3•4 = 24.
Приклад 2. Скількома способами можна розмістити за столом 10чоловік?
Р10=10! = 1•2•3•4•5•6•7•8•9•10 = 3628800.
§ 3. Розміщення
Нехай деяка множина складається з п різних елементів.
Означення. Розміщеннями з п елементів по k називаються підмножини, що мають k елементів, вибраних з даних п елементіві розміщених у певному порядку (k
Розміщення можуть відрізнятися одне від одного або самимиелементами, або порядком їх розміщення.
Наприклад, нехай маємо три елементи: 1, 2, 3. Тоді розміщенняз трьох елементів по два мають вигляд: (1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1), (2, 3),(З, 2). Розміщення (1, 2) і (2, 1) відрізняються лише порядком. Вони утворюютьдва різних числа 12 та 21. Розміщення (1, 2) і (1, 3) відрізняються самимиелементами. Вони утворюють два різних числа 12 і 13.
Кількість розміщень з даних п елементів по k позначають через Аkn, = k
Доведемо, що
Аkn = n(n-1)(n-2)...(n-(k-1)). (1)
Якщо множина містить п елементів, то при утворенні розміщеньпо одному елементу таких розміщень буде п (стільки, скільки елементів умножині). Отже, Аkn = п.
Утворимо теперрозміщення з п елементів по два. Для цього візьмемо п розміщень по одномуелементу і до кожного розміщення допишемо кожний з решти п -1 елементів даноїмножини. Таким чином, Аkn = n(n-1).
Застосуємо метод математичної індукції. Припустимо, що для А2n правильною є формула (1). Розміщенняз п елементів по k + і можна розглядати як пару: напершому місці будь-яке розміщення з п елементів по k (їх кількість Аkn ), на другому — будь-якийелемент з решти п — k елементів. За правиломдобутку дістанемо
Аnk+1= Аnk(n-k). (2)
Користуючись формулою (1), маємо
Аnk+1=п(п-1)(п-2)...(п-(k-і))(п-k) = = n(n — 1)(n — 2)...(n- (k -1))(n-(k +1-1)).
Оскільки
/>
то формулу (1) можна записати ще так:
/>. (3)
Приклад 1. Скількома способами можна вибрати з 10 кандидатівтри особи на три різні посади?
Для розв'язування задачі треба знайти число розміщень з 10елементів по три. Отже, за формулою (1) маємо
A310=10•9•8 = 720.
Приклад 2. Скільки трицифрових чисел з різними цифрами можнаутворити з цифр 0, 1, 2, 3, 4?
Загальна кількість трицифрових чисел з різними цифрами єкількістю
розміщень з 5 елементів по три, тобто А35 = 5 • 4 • 3 = 60. Проте із загальної кількості чисел требавідкинути числа, що починаються з нуля. Таких чисел стільки, скільки можнаутворити розміщень з чотирьох цифр по два без нуля, тобто А24 =4•3 = 12. Отже, шукана кількість трицифрових чисел дорівнює60 — 12 = 48 .
§ 4. Комбінації
Означення. Будь-яка підмножина з k елементів даної множини, яка містіть пелементів, називається комбінацією з п елементів по k.
З одного елемента можна утворити тільки одну комбінацію. Здвох елементів а і b можна утворити дві комбінаціїпо одному елементу і тільки одну комбінацію з двох елементів.
З трьох елементів a, b, c можна утворити такі комбінації:
{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}.
Комбінації з п елементів даної множини по k можна також розглядати як розміщенняз п елементів по k, які відрізняються принаймніодним елементом. Виникає запитання, як визначити кількість комбінацій з n елементів по k. Число комбінацій з п по k позначається Сkn. Доведемо, що
/>. (1)
Розглянемо множину, яка складається з п елементів, ікомбінації, які складаються з k елементів.Всього комбінацій Сkn. Якщо з кожної такої комбінації утворити всі можливіперестановки (їх буде Рk = k!), то дістанемо всі можливірозміщення з п елементів по к, тобто число Аkn. Отже,
Аkn= Рk •Сkn, (2)
звідки
/>
Зауважимо, що за означенням покладають 0! = 1. Тому неважкопомітити, що С11=1 і Сnn = 1.
Приклад. Збори з 30 осіб вибирають трьох делегатів на конференцію. Скількома способами цеможна зробити?
Із множини у 30 осіб треба вибрати підмножину з трьох осіб.Це можна зробити /> способами .
§ 5. Властивості комбінацій
/>
Числа /> /> /> /> /> /> і т.д. зручно записати у виглядітакої трикутної таблиці:
/>
Обчисливши значення кожного символу, дістанемо
/>
Таку таблицю називають трикутником Паскаля. На «бічнихсторонах» цього трикутника стоять одиниці, а «всередині», завластивістю 2, кожне число дорівнює сумі двох чисел, що стоять над ним: 2=1+1;3=1+2; 4=1+3; 6=3+3 і т.д. Ця властивість дає можливість виписувати послідовнорядки трикутника Паскаля, не обчислюючи перед цим значення символів />.
§ 6. Біном Ньютона
З алгебри відомо формули скороченого множення:
(a + b)2 =a2 +2ab + b2,
(а + b)3= а3 + 3a2b + 3ab2 + b2.
Коефіцієнти в правих частинах цих формул збігаютьсявідповідно з другим і третім рядками трикутника Паскаля. Чи буде зберігатись цязакономірність для 4-го, 5-го і т.д. степеня суми?
Щоб відповісти на це запитання, розглянемо вираз (1 + х)п, де п -натуральне число. Запишемо цей вираз як добуток співмножників:
/>
Розкривши у правій частині дужки, дістанемо многочлен, якийможна розмістити за степенями букви х. До цього многочлена ввійдуть усі степеніх з показниками від 0 (вільний член) до п. Щоб записати цей многочлен, требазнайти його коефіцієнти. Нехай ціле число k задовольняє нерівності 0
/>
або, використовуючи символ суми,
/>
Нарешті, розглянемо вираз (а + b)п. Подамо його у вигляді
/>
Якщо позначити /> = х, то за формулою (2) дістанемо
/>
або
/>
Формула (3) називається формулою бінома Ньютона.
Розгорнутий вигляд формули (3):
/>
З формули (4) видно, що її коефіцієнти — це рядки трикутникаПаскаля.
Поклавши у формулі (4) а = b = 1, дістанемо
/>
Нехай маємо скінченну множину, яка містить п елементів. Тодікількість підмножин цієї множини дорівнює 2n. Наприклад, для множини {a,b,c} маємо Ø, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}.
ПОЧАТКИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ
§ 1. Про предмет теорії ймовірностей
До цього часу розглядалися задачі, в яких результат дії буводнозначно визначеним. Проте в житті, у тому числі й в економічній діяльності,виникає потреба розглядати задачі, в яких результат дії не визначаєтьсяоднозначно. Якщо, наприклад, підкинути один раз кубик, не можна передбачити, яксаме він упаде. Проте при багаторазовому підкиданні може встановитися певназакономірність. Те саме стосується і процесу обробки якої-небудь деталі.Розміри різних деталей будуть відхилятися від деякої певної величини. Цівідхилення мають випадковий характер, адже розміри щойно виготовленої деталі недають змоги точно визначити розміри наступної деталі. Проте якщо розглядатипартії з великої кількості деталей, то середнє арифметичне розмірів виготовленихдеталей у різних партіях є приблизно однаковим.
Подібного роду закономірності і вивчає теорія ймовірностей.
Принципових змін зазнає і сама постановка задачі. Нас вжецікавить не результат конкретного досліду, а те, що саме дістаємо післябагаторазового повторення цього досліду.
Теорія ймовірностей вивчає закономірності масових випадковихподій. Вона є основою для вивчення статистичних даних, своєрідним містком міжматематичним і статистичним аналізами. Нарешті, теорія ймовірностей знаходитьшироке застосування у задачах економічного характеру. Наведемо приклади.
1. Скільки треба прокласти телефонних ліній до обласного(районного) центру при організації телефонного зв'язку в області (районі)?
Це чисто імовірнісна задача. Адже завчасно не можна передбачити,скільки викликів і в який проміжок часу надійде до центру. Якщо телефоннихліній прокласти замало, то до центру дуже важко буде зателефонувати. Якщо ж їхпрокласти забагато, то витрати на організацію телефонного зв'язку будутьнадмірними, що є економічно невигідним.
2. Фірма виготовляє телевізори на трьох заводах А, В, С. їйвідомо, який процент продукції на кожному заводі становить брак. Фірма хочевизначити ймовірність того, що бракований телевізор виготовлено, скажімо, назаводі Л.
3. Підприємство, якевиробляє продукти споживання, знає, який процент мешканців міста складаютьжінки і який — мешканці, чий річний заробіток перевищує 6 тис. грн.Підприємство на розвиток своєї ринкової стратегії хоче знати, який процентмешканців міста складають жінки. чий річний заробіток перевищує 6 тис. грн.
§ 2. Основні поняття теорії ймовірностей
Випробуванням (або дослідом) називається експеримент, якийможна проводити в однакових умовах будь-яку кількість разів. Результатвипробування називається подією або наслідком.
Наприклад, підкидання монети — випробування, поява на ній«герба» -подія. Виготовлення деталей — випробування, поява бракованоїдеталі -подія.
Події позначають великими буквами латинського алфавіту А, В, С,....
Означення 1. Випадковою подією називається подія, яка можевідбутися або не відбутися під час здійснення певного випробування.
Наприклад, виграш у суперника при грі у шахи, появабракованого виробу при серійному їх випуску — випадкові події.
Означення 2. Масовими називаються однорідні події,що спостерігаються за певних умов і можуть бути відтворені необмежену кількістьразів.
Масовими вважають і ті події, для яких відповіднівипробування не можна відтворити, але є можливість спостерігати аналогічнівипробування у великій кількості. Наприклад, виклик телефонної станції, прихідсуден далекого плавання в порт призначення.
Подія, яка при кожному випробуванні обов'язково відбувається,називається вірогідною. Наприклад, якщо в урні лише білі кулі, то при кожномувипробуванні обов'язково вийматиметься тільки біла куля.
Подія, що не може відбутися при жодному випробуванні,називається неможливою. Наприклад, поява чорної кулі, якщо в урні лише білі, єнеможливою подією.
Означення 3. Сукупність подій утворює повну групуподій, якщо внаслідок випробування хоч одна з цих подій напевно відбудеться(наприклад, поява 1, 2, 3, 4, 5, 6 очок під час кидання грального кубика).
Якщо повна група складається з двох подій, то такі подіїназиваються протилежними і позначаються А і Ặ.
Означення 4. Події А1, А2,…, Ап називаються попарно несумісними у даному випробуванні, якщоніякі дві з них не можуть відбутися разом.
Поява 1, 2, 3, 4, 5, 6 очок під час одного кидання гральногокубика — приклад множини з шести несумісних подій.
Події А1, А2,…, Ап можутьбути рівноможливими. Під рівноможливими розуміють такі події, кожна з яких немає ніяких переваг у появі частіше за іншу під час багаторазових випробувань,що проводяться за однакових умов.
Найважливішим поняттям теорії ймовірностей як галузіматематики є поняття ймовірності випадкової події.
Ймовірність — числова характеристика появи випадкової події за певноїумови, яка може бути відтворена необмежену кількість разів. Розглянемо поняттяймовірності грунтовніше.
§ 3. Класична ймовірність
Нехай маємо 100 деталей, з яких 97 стандартних і 3 браковані.Дослід полягає в тому, що навмання беруть одну деталь. Не можна напередсказати, якою буде взята деталь — стандартною чи бракованою. Оскільки ми можемовибирати лише одну яку-небудь деталь, то поява стандартної чи бракованої деталі- випадкові події, які утворюють повну групу з 100 несумісних і рівноможливихподій. З цих 100 випробувань появі стандартної деталі сприяють 97 наслідків, апояві бракованої- 3 наслідки. Нехай А -подія, яка полягає у виборі стандартноїдеталі, а В — бракованої. Тоді числа 97/100 і 3/100 характеризують можливістьздійснення відповідно події А чи В. Ці числа називають ймовірностями подій А і Ві позначають
/>
Означення. Ймовірністю випадкової події називають відношеннякількості наслідків випробувань, які сприяють появі цієї події, до загальноїкількості всіх рівноможливих несумісних наслідків, які утворюють повну групуподій.
Позначають
/> (1)
де п — загальна кількість всіх рівноможливих результатівексперименту;
т — кількість результатів експерименту, сприятливих для події А.
Розглянуте означення ймовірності називають класичним. Ізкласичного означення ймовірності випливають такі властивості:
1. Ймовірність кожної події А є невід'ємним числом, що неперевищує одиниці. Справді, число т випробувань, сприятливих для події А, справджуєнерівності 0 тобто />
2. Ймовірність неможливої події V дорівнює нулю: P(V) = 0. Дійсно,
за формулою (1) />
Приклад 1. У коробці міститься шість однакових занумерованихкуль. Довільно по одній виймають усі кулі. Знайти ймовірність того, що номеривийнятих куль зростатимуть.
Позначимо через А подію, ймовірність якої треба знайти.Наслідками випробувань є перестановки з шести елементів. Отже, число всіхможливих випадків п = Р6 =6! = 720. Для події А сприятливим є лишеодин наслідок випробування, тобто т = 1. Тому
/>
Приклад 2. Набираючи номер телефону, абонент забув останні трицифри і, пам'ятаючи що всі вони різні, набрав їх навмання. Знайти ймовірністьтого, що набрано потрібний номер телефону.
Нехай А — подія, ймовірність якої треба знайти. У цьомувипадку п = А310, т = 1. Тоді
/>
Приклад 3. Партія з 10 деталей має 7 стандартних. Знайтиймовірність того, що серед вибраних навмання шести деталей чотири стандартні.
Нехай А — подія, ймовірність якої треби знайти. У цьомувипадку п = C610. Щоб знайти число наслідківвипробувань, в яких чотири стандартні деталі, діємо так: вибираємо ці 4 деталііз загальної їх кількості. Це можна зробити С74 способами.Решту 6-4 = 2 нестандартних деталей можна вибрати С32способами. За правилом добутку число наслідків випробувань, що сприяють появіподії А, буде т = С74 · С32. Шуканаймовірність дорівнює
/>
§ 4. Статистична ймовірність
Нехай виконуються випробування, які можна повторити будь-якукількість разів, і нехай при багаторазовому повторенні випробування події, яківідбулися в попередніх випробуваннях, ніяк не впливають на події, щовідбудуться у даному випробуванні.
Якщо проведено п однакових випробувань і · т — числовипробувань, в яких відбулася подія А, то відношення /> називають відносною частотоюподії А у проведеній серії випробувань. Таким чином, відносна частота події А визначаєтьсяформулою
/>
Теорія ймовірностей розглядає лише такі події, для якиххарактерна властивість стійкості відносних частот. Ця властивість полягає втому, що відносна частота події А при великій кількості випробувань маловідрізняється від деякого числа.
Нехай маємо таблицю, де наведено результати дослідів,пов'язаних із підкиданням симетричної монети:
Число підкидань 4040 2048 0,5069
Число появ «герба» 12000 6019 0,5016
Відносна частота 24000 12012 0,5005
Тут відносні частоти відхиляються від числа 0,5 тим менше,чим більша кількість випробувань. Проте число 0,5 є класичною ймовірністювипадання «герба» при одному підкиданні симетричної монети.
Як бачимо, означення класичної ймовірності не вимагає, щобвипробування насправді виконувались: означення відносної частоти вимагає, щобвипробування були фактично виконані. Іншими словами, класичну ймовірністьобчислюють до досліду, а відносну частоту — після досліду.
Проте класична ймовірність має обмежене застосування,оскільки далеко не завжди в реальних умовах можна виділити рівноможливі випадкиу скінченній кількості.
Якщо підкидати несиметричну монету (із зміщенням відгеометричного центра ваги), то відносні частоти появи «герба» таксамо мають властивість групуватися навколо певного числа р при збільшеннікількості випробувань. Проте число р нам невідоме, бо монета не є симетричною ідля кожної монети воно буде своїм.
Прийнято вважати це невідоме число р статистичною ймовірністюпояви «герба» при підкиданні несиметричної монети.
Означення. Ймовірністю події А називається невідоме число р, навколоякого зосереджується значення відносної частоти події А при зростанні числавипробувань.
Щойно наведене означення ймовірності називають статистичним.Отже,
Рп(А)≈Р(А) = р, (2)
де Р(А) — ймовірність події А; Рп(А) — відносначастота; п -кількість випробувань.
Наближена рівність (2), яка виражає властивість стійкостівідносних частот, є однією з найважливіших закономірностей масових випадковихподій.
Приклад. Із 1000 довільно вибраних деталей приблизно 3 браковані.Скільки бракованих деталей приблизно буде серед 2100 деталей?
Позначимо через А подію, коли навмання взята детальбракована. Тоді відносна частота
/>
Якщо серед 2100 деталей виявиться х бракованих, тоймовірність події А
/>
Оскільки Рп (А) ≈ Р(А), то />, звідки х = 6.
§ 5. Зв'язок теорії ймовірностей з теорією множин
Множину всіх можливих наслідків випробування називаютьосновним простором або простором елементарних подій (наслідків) і позначають Q. Наслідок позначають со.
Випадковою подією (наслідком) називається будь-якапідмножинаЛ простору Q, тобто будь-яка множинанаслідків. Наслідки, які утворюють подію А, називають сприятливими для А (соє А).Подія А настає тоді і тільки тоді, коли настає елементарна подія (наслідок),сприятлива для А.
Тому теорія ймовірностей і теорія множин мають багатоспільного. Втім, в них йдеться про одне й те саме різними словами, що видно зтакої таблиці:
/>
Приклад. Підкидають два гральних кубики. Подія А — сума очок,які з'явились, дорівнює 10; подія В — принаймні один раз з'явиться шістка.Опишіть простір елементарних подій та події A U В і А ∩ В.
Простір елементарних подій, або множину можливих наслідківвипробування, можна записати як набір усіх можливих впорядкованих пар чисел від1 до 6 (кожну із шести граней першого кубика можна розглядати у парі збудь-якою гранню другого кубика). Отже,
Ω = {(1; 1), (1; 2),...(1; 6), (2; 1), ..., (6; 5), (6;6)}.
Всього за правилом добутку маємо 6 • 6 = 36 елементів.
Подію А задаємо переліком елементів, які її складають:
А = {(4; 6), (5; 5), (6; 4)}.
Аналогічно
В={(6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (6; 6), (1; 6), (2; 6),(3; 6), (4; 6), (5; 6)}.
Об'єднання A U В — подія, яка полягає в тому, щовідбудеться хоча б одна з подій А або В. Тому A U В означає, що або сума очок на гранях,які випали, дорівнює 10, або принаймні один раз з'явиться шістка.
Оскільки елементи (4; 6) і (6; 4) входять одночасно ідо А, ідоВ, то
A U B = ((5; 5)}U B.
Подія А ∩ В складається з двох елементів, які входять ідо А, і до В:
A ∩ B = {(4; 6), (6; 4)}.
§ 6. Геометричні ймовірності
Класичне означення ймовірності ґрунтується на тому, щовипробування має скінченну кількість наслідків. Проте є досліди, які маютьнескінченну кількість наслідків.
Наприклад, нехай на площині міститься область Ω. і в ній міститься інша область А (рис.300).
/>
Припустимо, що в область Ω навмання кидають точку. Як визначитиймовірність того, що кинута точка потрапить до області А? Природно вважати, що ймовірність попадання точки до області А пропорційнаплощі цієї області і не залежить від розміщення та форми цієї області.
Підмножини області Ω, якімають площу, називатимемо в такому разі випадковими подіями. Якщо А — випадковаподія, то вважатимемо, що
/> (1)
де S(A) – площа A, S(Ω.) -площа Ω.
Ймовірності, що подаються як відношення площ областей (довжинвідрізків, об'ємів тіл), називають ще геометричними ймовірностями.
Приклад 1. Знайти ймовірність того, що навмання взята точка зкруга радіуса R належатиме квадрату, вписаному вколо, яке обмежує круг (рис. 301).
/>
За означенням геометричної ймовірності маємо
/>
де S1 — площа квадрата AВCD; S — площа круга радіуса R.
Оскільки АВ2 = 2R2, то S1 = 2R2. Тому
/>
На перший погляд здається, що геометричні ймовірності є малокорисними для застосувань. Проте це не так. Багато задач, серед яких і ті, щовисуваються практикою, врешті-решт зводяться до відшукання ймовірностіпопадання точки в деяку область.
Приклад 2 (задача Бюффона). Нехай на площині проведено паралельніпрямі так, що відстань між сусідніми прямими дорівнює 2а. На площину навманнякидають голку завдовжки 2l, l
Положення голки однозначно визначається величиною кута де тавідстанню від середини голки до найближчої прямої (рис. 302). Отже, можна взятиза простір Ω елементарних наслідків прямокутник />, 0
/> (2)
Точки, координати яких задовольняють нерівності (2),утворюють фігуру, заштриховану на рис. 303. Згідно з рівністю (1) площа цієїфігури, поділена на площу прямокутника, і буде дорівнювати шуканій імовірності.Площа прямокутника />. Площа заштрихованої фігури
/>
/>
Формула (3) є корисною при розв'язуванні багатьох задач.Зокрема, користуючись цією формулою, можна наближено обчислити число п. Справді,з формули (3) маємо
/>
Нехай голку кинуто п разів і т разів вона перетнула пряму.При досить великих п віднось Тому при досить великих п відносна частота /> як завгодно мало відрізняється відімовірності Р(А). Тому
/>
Під час проведення випробувань голку було кинуто 5000 разів,причому найближчу пряму вона перетнула 2532 рази. Довжина голки була 36 мм, відстань між паралельними прямими 45 мм. Отже,
/>
§ 7. Теорема про додавання ймовірностей несуміснихподій
Розглянемо спочатку приклад.
Припустимо, що в урні містяться 5 білих, 3 чорних, 2 червонихі 7 синіх куль. Знайдемо ймовірність того, що з урни вийняли кулю білого абочорного кольору.
Нехай подія А — поява білої кулі, В — поява чорної кулі, С = A U В -поява білої або чорної кулі.Оскільки події С сприяють 8 наслідків, а число усіх куль в урні дорівнює 17, тоР(С) = Р(А U В) = 8/17 .
Цю ж імовірність можна знайти інакше: Р(А) =5/17, Р(В) = 3/17, отже, Р{А) + Р(В) = 8/17. Таким чином, Р(А U B) = Р(А) + Р(В).
Теорема 1. Якщо події А і В несумісні (А ∩ В = 0 ), то
Р(А U В) = Р(А) + Р{В). (1)
Нехай із числа п усіх рівно можливих наслідків m1 результатів є сприятливими для подіїА, а т2 — для події В. Оскільки події А і В несумісні, то появаподії А виключає появу події В і навпаки, тому число випробувань, сприятливихдля події A U В, дорівнює m1 + т2. Звідси на основі класичного означенняймовірності дістаємо
/>
що й треба було довести.
Наслідок 1. Якщо події А1, А2, ..., Аn попарно несумісні (тобто Ai ∩ Aj = 0 при і≠ j, i,j = 1, 2, ..., п), то
/>
Формула (2) є узагальненням формули (1).
Наслідок 2. Ймовірність протилежної до А події А дорівнює
/>
Справді, оскільки A U А = Ω, (Ω — простір елементарних подій) і P(Ω) = 1, то за теоремою 1 маємо
/>
звідки і дістаємо (3).
Наслідок 3. Якщо попарно несумісні події А1, А2, •...• Аn утворюють повну групу, то сумаймовірностей цих подій дорівнює 1.
Оскільки А1U А2 U • … • U Аn= Ω і P(Ω) = 1, то за формулою (2) маємо
P(А1)+P( А2) +...+ P(Аn)=1. (4)
Приклад 1. У лотереї розігруються 1000 білетів, з них на одинприпадає виграш 5000 грн., на 10 білетів — виграш по 1000 грн, на 50 білетів — виграш 200 грн, на 100 білетів — виграш 50 грн. Решта білетів невиграшні. Знайти ймовірність виграшу на одинбілет не менш як 200 грн.
Позначимо події: А — виграш не менш як 200 грн, А1 — виграш 200 грн, А2 — виграш 1000 грн, A3 — виграш 5000 грн.
Подія А виражається через об'єднання трьох несумісних подій А1, А2, А3, тобто А = А1 U А2 U А3. За теоремою 1 дістанемо
P(A)=P(А1)+P( А2) +.P(А3),
або
P(A)= 0,050+ 0,010+ 0,001 = 0,061.
Приклад 2. При прийманні партії підлягає перевірці половинавиробів. Умовами приймання передбачається не більше, ніж 2 % бракованихвиробів. Визначити ймовірність того, що партію з 100 виробів, яка містить 5 %браку, буде прийнято.
Оскільки 2 % від 50 дорівнює одиниці, то через А позначимоподію, яка полягає в тому, що під час перевірки не отримано жодного бракованоговиробу, а через В — лише один бракований виріб. Партію з 100 виробів, якамістить 5 % браку (тобто 5 бракованих виробів), буде прийнято за умови, що маємісце або подія А, або подія В. Події А і В є несумісними. Тому за формулою (1)шуканою є ймовірність події C = A U B.
Із 100 виробів 50 можна вибрати C50100) способами.Із 95 небракова-них виробів 50 можна вибрати C5095 способами. Тому
/>
Приклад 3. Для виготовлення деталі придатними є валики здіаметром 11,99 — 12,20 мм. Автомат виготовляє 1 % валиків, діаметр яких меншийвід 11,99 мм, і 2 % — діаметр яких більший за 12,20 мм. Яка ймовірність того, що навмання взятий з виробленої партії валик буде непридатний длявиготовлення деталі?
Нехай А — подія, ймовірність якої треба визначити. Тоді Ặ- подія, яка полягає в тому, що навмання взятий валик придатний.
За формулою (3) знаходимо
/>
§ 8. Теорема додавання ймовірностей довільних подій
Теорема. Якщо А i В — довільніподії, то
/>
Якщо події А і В несумісні, то Р(А ∩ В) = Ø, і правильністьформули (1) випливає з рівності (1) §7.
/>
Віднявши від рівності (4) рівність (2), знаходимо
Р(А) + Р(В) = Р(А US)- P(A ∩ В),
звідки і випливає рівність (1).
/>
/>
Приклад 2. У групі 30 учнів. З них 12 вивчають німецьку мову,15 — англійську, 5 — англійську і німецьку, а решта — інші мови. Яка ймовірністьтого, що навмання вибраний учень вивчає англійську або німецьку?
Позначимо події: А — навмання вибраний учень вивчає німецькумову; В — навмання вибраний учень вивчає англійську мову. За умовою n(A) = 12, п(В) = 15. Події А і В єсумісними, оскільки А ∩ В≠Ø і n (А ∩ В) = 5 (рис. 305). Тоді
/>
§ 9. Умовні ймовірності
Часто одна подія А впливає на можливість появи іншої події. Вцьому випадку події А і В називають залежними. Нехай, наприклад, з урни, в якій15 білих і 10 чорних куль, навмання виймають послідовно одну за одною дві кулі.Розглянемо події: А — перша куля біла, В — друга куля біла. Зрозуміло, що Р(А) =15/25=3/5. Якою буде ймовірність події В?
Якщо подія А відбулася, то серед 24 куль, що залишилися,білих 14 і Р(В) =14/24=7/12; якщо ж подія А не відбулася (перша куля виявиласячорною), то Р{В) =15/24= 5/8.
Отже, ймовірність появи події В залежить від здійснення подіїА, тобто А і В — залежні події. У такому випадку кажуть, що ймовірність появиподії В умовна.
Означення. Нехай А і В — довільні події. Умовною ймовірністю Р(В/А)події В називають ймовірність події B, знайдену в припущенні, що подія А вже відбулася.
Теорема. Якщо A i В- довільні події, причому Р(А) ≠ 0, то
Р(АПВ) = Р(А)-Р(В/А). (1)
Нехай для події А сприятливими є т рівноможливих наслідківвипробування із загальної їх кількості п, а для події А ∩ В – k (рис. 306). Тоді
/>
Проте якщо подія А відбулася, можливі лише ті т наслідківвипробування, які є сприятливими для події А, причому k з них очевидно є сприятливими дляподії В. Отже,
/>
З умови Р(А) ≠ 0 випливає, що т = 0.
Другу з рівностей (2), враховуючи першу з них і рівність (3),можна записати у вигляді
/>
що й треба було довести.
Доведену теорему називають теоремою множення ймовірностей длядвох подій. Помінявши місцями А і В, дістанемо другий запис цієї теореми:
/>
/>
Приклад. На заводі 96% телевізорів визнаються придатними. У кожній партії з 100 придатнихтелевізорів у середньому 75 є першого сорту. Знайти ймовірність того, щотелевізор, взятий з такої партії, є першого сорту.
Подія А — телевізор є придатним, подія В — телевізор єпершого сорту. Шуканою величиною є Р(А ∩ В), оскільки для того, щобтелевізор був першого сорту, треба, щоб він одночасно був і придатним (подія А),і першого сорту (подія В). За умовою Р(A) = 0,96, Р(В/А) = 0,75. Отже,
Р(А ∩В) = Р(А) • Р(В І А) = 0,96 • 0,75 = 0,72.
§ 10. Теорема про множення ймовірностей незалежнихподій
Означення 1. Події А і В називаються незалежними,якщо настання однієї з подій не впливає на ймовірність настання другої події.
З цього означення випливає, що незалежні події — це такі дві рівності:
Р(А/В) = Р(А), Р(В/А)= Р(В). (1)
Теорема. Ймовірність одночасної появи двох незалежних подійдорівнює добутку ймовірностей цих подій.
Оскільки Р(А ∩В) = Р(А/В) • Р(В), то, враховуючи рівність (1), дістаємо
Р(А ∩ В) = Р(А) • Р(В). (2)
Навпаки, неважко довести, що виконання рівності (2) означаєнезалежність подій А і В. Справді, оскільки
/>
то відповідно до означення умовної ймовірності праву частинуцього виразу можна замінити на Р(А/В), тобто Р(А) = Р(А/В). Аналогічно дістаємоР(В) = Р(В /А). Отже, рівність (2) гарантуєнезалежність подій.
Означення 2. Кілька подій називаються незалежнимив сукупності, якщо будь-яка з них не залежить від будь-якої сукупності решти.
Для незалежних у сукупності подій має місце рівність
/>
Формула (3) є узагальненням формули (2) на випадок будь-якоїскінченної кількості незалежних у сукупності подій.
На практиці для перевірки незалежності подій рідковикористовують означення. Частіше виходять з інтуїтивних міркувань, пов'язанихз характером випробування. Так, при підкиданні двох монет очевидно, що появаякої-небудь сторони на одній з них не впливає на умови підкидання іншої. Томувипадання будь-яких сторін на кожній з них є незалежними подіями.
Приклад 1. Імовірність безвідмовної роботи верстата протягомзміни дорівнює 0,9. Знайти ймовірність безвідмовної роботи двох верстатівпротягом зміни.
Подія А — безвідмовна робота протягом зміни першого верстата,В -другого. Припускаючи, що події А і В є незалежними, за формулою (1) знайдемо
/>
Приклад 2. Робітник обслуговує чотири однакових верстата. Ймовірністьтого, що будь-який верстат протягом години потребує уваги робітника, дорівнює0,6. Припускаючи, що виходи з ладу будь-якого верстата ніяк не пов'язані міжсобою, знайти ймовірність того, що протягом години: а) усі чотири верстатипотребують уваги робітника; б) жоден з верстатів не потребує уваги робітника.
а) Позначимо через А1, А2, А3, А4 події, які полягають в тому,що протягом години потребують уваги робітника відповідно перший, другий,третій, четвертий верстати. Події А1, А2, A3, А4 є незалежними. Тому за формулою (3) дістанемо
/>
б) Імовірність того, що протягом години верстат (будь-який)не потребуватиме уваги робітника, знайдемо за правилом відшукання ймовірностіпротилежної події:
/>
/>
§11. Формула повної ймовірності
Припустимо, що подія A може настати тільки разом з однієюіз попарно несумісних подій H1, H2,… Нп, якіутворюють повну групу подій (рис. 307).
Теорема. Ймовірність події A, яка може настати лише за умовипояви однієї із попарно несумісних подій Н1, H2,… Нп, якіутворюють повну групу, визначається за формулою
Р(А) = Р(А/Н1)·Р(Н1) + Р(А/Н2) ·Р(Н2)+ ...+ Р(А/Нп) ·Р(Нп). (1)
Якщо подія А відбулася разом з однією із подій H1, H2,… Нп, то це означає, щовідбулася одна із попарно несумісних подій A∩H1, A∩H2,… A∩Нп. Отже,
/>
Тому, застосовуючи теорему про додавання ймовірностейнесумісних подій, дістаємо
/>
За теоремою множення довільних подій маємо
/>
Підставивши рівність (3) у рівність (2), дістаємо рівність(1). Формулу (1) називають формулою повної ймовірності.
Приклад 3. Із першого автомата на конвеєр надходить 20 % деталей,з другого — 30 %, з третього — 50 %. Перший автомат дає в середньому 0,2 %бракованих деталей, другий — 0,3 %, третій — 0,1 %. Яка ймовірність того, що наконвеєр надійшла бракована деталь?
Позначимо події: Н1 — дана детальвиготовлена першим автоматом, H2 — дана деталь виготовлена другим автоматом, H3 — дана деталь виготовлена третімавтоматом, А — деталь, що надійшла на конвеєр, бракована.
За умовоюP(Н1) = 0,2; Р(H2) = 0,3; Р( Н3) = 0,5; Р(А/Н1) = 0,002; Р(А/Н2) = 0,003; Р(А/Н3) = 0,001.
За формулою повної ймовірності
P(А) = 0,002-0,2 + 0,003-0,3 + + 0,0010,5 = 0,0018.
/>
§ 12. Імовірності гіпотез. Формула Байєса
Нехай подія А може настати за умови появи однієї з попарнонесумісних подій H1, H2,… Нп, які утворюютьповну групу. Через те, що заздалегідь невідомо, яка з цих подій настане, їхназивають гіпотезами. Ймовірність появи події А визначається за формулою повноїймовірності.
Припустимо, що проведено випробування, внаслідок якоговідбулася подія А. Виникає питання: як змінились (за умови того, що подія А вжевідбулася) ймовірності гіпотез? Відповідь на це питання дає така теорема.
Теорема Байєса. Нехай H1, H2,… Нп — повна група попарно несуміснихподій. Тоді
/>
За теоремою множення довільних подій
/>
Ліві частини рівностей (2) і (3) є однаковими. Тому рівнимибудуть і праві частини цих рівностей, тобто
/>
звідки
/>
Оскільки за формулою повної ймовірності
/>
то, підставивши рівність (5) у рівність (4), дістанемо рівності(1).
Формули (1) називають формулами Байсса. Формули Байєса даютьзмогу переоцінити ймовірність гіпотез H1, H2,… Нп післятого, як проведено випробування, внаслідок якого відбулася подія А. При цьомуймовірності Р(Нk)називають апріорними ( a priori — до досліду), а ймовірностіР(Нk / А) — апостеріорними (a posteriori — після досліду).
Приклад. У групі з 10 учнів, які прийшли на екзамен, 3підготовлені відмінно, 4 — добре, 2 — посередньо і 1 — погано. Екзаменаційнібілети містять 20 питань. Відмінно підготовлений учень у змозі відповісти навсі 20 питань, добре підготовлений — на 16, посередньо — на 10, погано — на 5.Учень, якого викликали, відповів на три довільно поставлених питання. Знайтиймовірність того, що цей учень підготовлений: а) відмінно; б) погано, х
Позначимо: А — учень відповів на три питання. Гіпотези: Н1 — учень, підготовлений відмінно, H2 — учень, підготовлений добре, H3 — учень, підготовлений посередньо, H4 — учень, підготовлений погано.
Ймовірності гіпотез до екзамену
/>
§ 13. Повторні випробування. Формула Бернуллі
Коли виконуються послідовні випробування, то за результатомкожного з них може відбутися або не відбутися деяка подія A.
Нехай проводиться п випробувань (одноразових експериментів),причому ймовірність настання події А у кожному випробуванні Р(А) = р і незалежить від результатів інших випробувань. Такі випробування називаютьсянезалежними. Оскільки ймовірність настання події А в одному випробуваннідорівнює p, то ймовірність їїненастання Р(Ặ) = 1 — р = q.
Знайдемо ймовірність того, що при п випробуваннях подія А настанерівно k разів (0
Визначимо ймовірність Р однієї сприятливої комбінації.Сприятливою комбінацією є добуток п незалежних у сукупності подій: k появ події Ặ і п — k появ події Ặ. Отже, за теоремоюпро ймовірність добутку подій, незалежних у сукупності, дістанемо, щоймовірність однієї сприятливої комбінації дорівнює
/>
Здійснення складної події, яка полягає в тому, що подія А настаєрівно k разів, рівносильна появі принаймніоднієї сприятливої комбінації. Іншими словами, така складна подія є сумою всіхсприятливих комбінацій. Проте сприятливі комбінації попарно несумісні. Тому затеоремою про додавання ймовірностей попарно несумісних подій дістанемоймовірність появи події А k разів прип випробуваннях:
/>
де N — кількість усіх можливих комбінацій.
Залишається визначити N. Розглянемо спочатку приклад.
Нехай п = 3, k = 2.Сприятливими тут є такі комбінації результатів випробувань, коли з трьохвипробувань подія А відбувається двічі. Позначатимемо появу події А знаком"+", а появу події Ặ знаком "-". Тоді сприятливікомбінації можна зобразити у вигляді рядків такої таблиці: