Евклідова і неевклідова геометрії

Зміст
 
Введення
Глава I. Розвиток геометрії
1.1 Історія геометрії
1.2 Постулати Евкліда
1.3 Аксіоматика Гильберта
1.4 Інші системи аксіом геометрії
Глава II. Неевклідові геометрії в системі Вейля
2.1 Елементи сферичної геометрії
2.2 Еліптична геометрія на площині
2.3 Геометрія Лобачевского в системі Вейля
2.4 Різні моделі площини Лобачевского. Незалежність5-го постулату Евкліда від інших аксіом Гильберта
Висновок
Список літератури

Введення
Будь-яка теорія сучасноїнауки вважається єдино вірної, поки не створена наступна. Це своєрідна аксіомарозвитку науки.
Цей факт багаторазовопідтверджувався. Фізика Ньютона переросла в релятивістську фізику, а та уквантову. Теорія флогістону стала хімією, а самозародження мишей із брудуобернулося біологією. Така доля всіх наук, і не можна сказати, що сьогоднішнєвідкриття через двадцять років не виявиться грандіозною помилкою. Але це тежнормально — ще Ломоносов говорив: «Алхімія — мати хімії: дочка не винувата, щоїї мати дурнувата».
Доля ця не обійшла й геометрію.Традиційна Евклідова геометрія переросла в неевклідову, геометрію Лобачевского.Саме цьому розділу математики, його історії й особливостям і присвячений цейпроект.
У даній дипломній роботі яхочу показати, що крім геометрії, що вивчають у школі (Геометрії Евкліда абовживаної геометрії), існує ще одна геометрія, геометрія Лобачевского. Цягеометрія істотно відрізняється від евклідової, наприклад, у нійзатверджується, що через дану крапку можна провести нескінченно багато прямих,паралельних даній прямій, що сума кутів трикутника менше 180?? У геометрії Лобачевского не існуєпрямокутників, подібних трикутників і так далі.
Явибрав дану тему з кількох причин: теорія геометрії Лобачевского допомагаєглянути по-іншому на навколишній нас мир, це цікавий, незвичайний іпрогресивний розділ сучасної геометрії, вона дає матеріал для міркувань — у нійне все просто, не все ясно з першого погляду, щоб неї зрозуміти, потрібно матифантазію й просторову уяву. Ситуація з геометрією Лобачевского й геометрією Евклідабагато в чому схожа на ситуацію з Теорією відносності Ейнштейна й класичноюфізикою. Геометрія Лобачевского й Ейнштейна це прогресивні взаємозалежнітеорії, що виконуються на величезних величинах і відстанях, і, що залишаютьсявірними на наближеннях до нуля. У просторовій моделі використовується незвичайна евклідова площина, а скривлений простір, на якому вірна теоріяЛобачевского.
евклідова геометрія аксіома площа

Глава I. Розвитокгеометрії
 
1.1 Історія геометрії
Геометрія — це одна знайдавніших наук. Досліджувати різні просторові форми здавна спонукувало людейїхня практична діяльність. Давньогрецький учений Едем Родоський в IV століттідо нашої ери писала: «Геометрія була відкрита єгиптянами, і виникла при виміріЗемлі. Цей вимір було їм необхідно внаслідок розлиття ріки Нил, що постійнозмивала границі. Немає нічого дивного, що ця наука, як і інші, виникла зпотреби людини».
Уважається, що геометріяпочалася в так званої Їонийської школі. Її засновником уважається ФалесМилетський (640-540 (546?) рр. до н.е.). Він уважався одним із семимудреців Греції, першим математиком, астрономом і філософом. Він довів, що кутипри підставі рівнобедреного трикутника рівні, що вертикальні кути рівні, щодіаметр ділить окружність навпіл і ще множина теорем. Пророкування затьмареннясонця в 585 році також приписується йому.
Величезний імпульс розвиткуцій школі дав Піфагор (569-470 р. до н.е.). В основному про йогоособисті якості пишуть те ж саме, що й про Фалесе. Але до цього ще можна додатититул чемпіона з боксу на олімпійських іграх — звання, серед математиків рідке.
Незважаючи на всі йогодосягнення, думку сучасників добре виразив Геракліт: «Багато знання безрозуму». Що ж, це було цілком заслужене: Піфагор засекречував відкриття йприписував собі роботи учнів. Піфагор також змушував своїх вихованціввиконувати цілий звід дуже дивних правил: наприклад, не доторкатися до білогопівня.
Але факт є факт — і одна зтеорем Піфагора тепер відома кожному – це теорема про рівність квадратагіпотенузи сумі квадратів катетів. Ця теорема настільки популярна у світіматематиків, що одних тільки доказів нагромадилося 39 штук.
Платон (428-348) знаменитий введенням принципу дедуктивностів математику, або принципу розвитку від простого до складного. Він такожзнаменитий постановкою трьох задач на побудову. Використовуючи тільки циркуль ілінійку, треба було:
Розділити кут на три частини(задача про трисекцію кута).
Побудувати квадрат, рівний поплощі даному колу (задача про квадратуру кола).
Побудувати куб, рівний пооб'єму даному (задача про подвоєння куба).
Не можливість вирішення цихзадач була доведена тільки в 19 столітті, але перед цим вони встигли викликатисправжню буру: наприклад, задача №2 викликала появу інтегрального вирахування.
Багато первісних геометричнихвідомостей одержали також шумеро-вавилонські, китайські й інші вченінайдавніших часів. Установлювалися вони сНачало тільки досвідченим шляхом, безлогічних доказів.
Як наука, геометрія впершесформувалася в Древній Греції, коли геометричні закономірності й залежності,знайдені раніше досвідченим шляхом, були наведені в належну систему й доведені.
Закінчився розвитоктрадиційної геометрії Евклідом. В III столітті до нашої еригрецький учений привело в систему відомі йому геометричні відомості у великомутворі «Начало».
Його книга «Начало» тільки до1880 року витримала 460 видань, поступившись тільки Біблії. Спосіб побудовистав єдино вірним для всіх наукових праць: Перерахування основних, природнихпонять (Перерахування основних аксіом (Перерахування основних визначень (Формулюваннятеорем (тверджень) і їхній доказ.
Метод доказу від противного –теж його заслуга. Він же сформулював п'ять постулатів геометрії:
Через дві крапки можнапровести одну й тільки одну пряму.
Пряма триває нескінченно.
З будь-якого центра можнапровести окружність будь-яким радіусом.
Всі прямі кути рівні міжсобою.
П'ятий постулат є своєріднимфілософським каменем геометрії.
Неевклідовагеометрія з'явилася внаслідок довгих спроб довести V постулат Евкліда, аксіомупаралельності. Ця геометрія багато в чому дивна, незвичайна й багато в чому невідповідає нашим звичним уявленням про реальний світ. Але в логічномувідношенні дана геометрія не уступає геометрії Евкліда.
1.2 Постулати Евкліда
Евклід — автор першогологічної побудови, що дійшло до нас строгого, геометрії. У ньому викладнастільки бездоганно для свого часу, що протягом двох тисяч років з моментупояви його праці «Начало» воно було єдиним керівництвом для вивчаючу геометрію.
«Начало» складаються з 13книг, присвячених геометрії й арифметиці в геометричному викладі.
Кожна книга «Начало»починається визначенням понять, які зустрічаються вперше. Так, наприклад,першій книзі подані 23 визначення. Зокрема,
Визначення 1. Крапка є те, щоне має частин.
Визначення 2. Лінія є довжинибез ширини
Визначення 3. Границі лініїсуть крапки.
Слідом за визначеннями Евклідприводить постулати й аксіоми, тобто твердження, прийняті без доказу.
Постулати
I. Потрібно, щоб від кожноїкрапки до всякої іншої крапки можна було провести пряму лінію.
II. І щоб кожну пряму можнабуло невиразно продовжити.
III. І щоб з будь-якогоцентра можна було описати окружність будь-яким радіусом.
IV. І щоб всі прямі кути булирівні.
V. І щоб щораз, коли прямапри перетинанні із двома іншими прямими утворить із ними однобічні внутрішнікути, сума яких менше двох прямих, ці прямі перетиналися з тієї сторони, з якоїця сума менше двох прямих.
Аксіоми
I. Рівні порізно третьомурівні між собою.
II. І якщо до них додаморівні, то одержимо рівні.
III. І якщо від рівнихвіднімемо рівні, то одержимо рівні.
IV. І якщо до нерівногододамо рівні, то одержимо нерівні.
V. І якщо подвоїмо рівні, тоодержимо рівні.
VI. І половини рівних рівніміж собою.
VII. І сумісні рівні.
VIII. І ціле більше частини.
IX. І дві прямі не можутьмістити простори.
Іноді IV і V постулативідносять до числа аксіом. Тому п'ятий постулат іноді називають XI аксіомою. Поякому принципі одні твердження ставляться до постулатів, а інші до аксіом,невідомо.
Ніхто не сумнівався вістинності постулатів Евкліда, що стосується й V постулату. Тим часом уже зістародавності саме постулат про паралельні залучив до себе особлива увага рядугеометрів, що вважали неприродним приміщення його серед постулатів. Імовірно,це було пов'язане з відносно меншою очевидністю й наочністю V постулату: унеявному виді він припускає досяжність будь-яких, як завгодно далеких частинплощини, виражаючи властивість, що виявляється тільки при нескінченномупродовженні прямих.
Можливо, що вже сам Евкліднамагався довести постулат про паралельні. На користь цього говорить таобставина, що перші 28 пропозицій «Начало» не опираються на V постулат. Евклідяк би намагався відсунути застосування цього постулату доти, поки використанняйого не стане настійно необхідним.
Одні математики намагалисядовести постулат про паралельний, застосовуючи тільки інші постулати й тітеореми, які можна вивести з останніх, не використовуючи сам V постулат. Всітакі спроби виявилися невдалими. Їхній загальний недолік у тім, що в доказінеявно застосовувалося яке-небудь припущення, рівносильне доказуваномупостулату.
Інші пропонували по-новомувизначити паралельні прямі або ж замінити V постулат яким-небудь, на їхнюдумку, більше очевидною пропозицією. Так, наприклад, в XI столітті Омар Хайямувело замість V постулату «принцип», відповідно до якого дві лежачі в однійплощині збіжні прямі перетинаються й не можуть розходитися в напрямкусходження. За допомогою цього принципу Хайям доводить, що в чотирикутнику ABCD,у якому кути при підставі А и В — прямі й сторони АС, ВD рівні, кути С и D таксамо прямі, а із цієї пропозиції про існування прямокутника виводиться Vпостулат. Міркування Хайяма одержали оригінальний розвиток в XIII столітті вНасиредина ат-туси, роботи якого у свою чергу стимулювали дослідження Д.Валлиса. В 1663 році Валлис довів постулат про паралельний, виходячи з явногодопущення, що для кожної фігури існує подібна їй фігура довільної величини. Цедопущення він уважав, що випливає з істоти просторових відносин.
З логічної точки зорурезультати Хайяма або Валлиса лише виявляли рівносиль V постулату й деякихінших пропозицій геометрії. Так, Хайям, по суті, установив еквівалентністьпостулату й пропозиції про суму кутів трикутника, а Валлис показав, що нетільки з V постулату можна вивести вчення про подобу, але й обернено — їх Евклідовавчення про подобу треба V постулат.
Один з підбадьорюючихспособів підходу до доказу п'ятого постулату, яким користувалися багатогеометрів XVIII і першої половини XIX століть, полягає в тому, що п'ятийпостулат заміняється його запереченням або яким-небудь твердженням,еквівалентним запереченню. Опираючись на змінену в такий спосіб системупостулатів і аксіом, доводяться всілякі пропозиції, логічно з її що випливають.Якщо п'ятий постулат дійсно випливає з інших постулатів і аксіом, то зміненазазначеним образом система постулатів мі аксіом суперечлива. Тому рано абопізно ми прийдемо у двом взаємно, що виключають висновкам. Цим і буде доведенийп'ятий постулат.
Саме таким шляхом намагалисядовести п'ятий постулат Д. Саккери (1667-1733), И. Г. Ламберт (1728-1777) іА.М. Лежандр (1752-1833).
Дослідження Саккери булиопубліковані в 1733 році за назвою «Евклід, очищений від усяких плям, абодосвід, що встановлює найперші принципи універсальної геометрії».
Саккери виходив з розглядучотирикутника /> із двома прямимикутами при підставі/> й із двомарівними бічними сторонами /> й />. Із симетрії фігури щодоперпендикуляра /> до серединипідстави />треба, що кути при вершинах/> і /> рівні. Якщо прийнятип'ятий постулат і, отже, Евклідову теорію паралельних, то можна встановити, щокути /> й /> прямі й /> - прямокутник. Обернено,як доводить Саккери, якщо хоча б в одному чотирикутнику зазначеного виду кутипри верхній підставі виявляться прямими, то буде мати місце Евклідов постулатпро паралельні. Бажаючи довести цей постулат Саккери робить три можливихприпущення: або кути /> й /> прямі, або тупі, абогострі (гіпотези прямого, гострого й тупого кута). Для доказу п'ятого постулатунеобхідно спростувати гіпотези гострого й тупого кута. Зовсім точнимиміркуваннями Саккери приводить до протиріччя гіпотезу тупого кута. Слідом затим, прийнявши гіпотезу гострого кута, він виводить досить що далеко йдуть їїнаслідки для того, щоб і тут одержати протиріччя. Розвиваючи ці наслідкиСаккери будує складну геометричну систему, не містячи про протиріччя тількитому, що отримані їм висновки не відповідають звичним уявленням пророзташування прямих. У результаті він «знаходить» логічне протиріччя, але врезультаті обчислювальної помилки.
Ідеї Ламберта, розвинені їм утворі «теорія паралельних ліній» (1766р.), близько примикають до міркуваньСаккери.
Він розглядає чотирикутник ізтрьома прямими кутами. Щодо четвертого кута так само виникають три гіпотези:цей кут прямий, тупий або гострий. Довівши еквівалентність п'ятого постулатугіпотезі прямого кута й звівши до протиріччя гіпотезу тупого кута, Ламберт,подібно Саккери, змушений займатися гіпотезою гострого кута. Вона приводитьЛамберта до складної геометричної системи, у якій йому не вдалося зустрітилогічного протиріччя. Ламберт ніде у своєму творі не затверджує, що V постулатїм доведений, і приходить до твердого висновку, що й всі інші спроби в цьомунапрямку не привели до мети.
«Доказом Евклідова постулату,- пише Ламберт, — можуть бути доведені настільки далеко, що залишається,очевидно, незначний дріб'язок. Але при ретельному аналізі виявляється, що вцьому гаданому дріб'язку й полягає вся суть питання; звичайно вона містить абодоказувану пропозицію, або рівносильний йому постулат».
Більше того, розвиваючисистему гіпотези гострого кута, Ламберт виявляє аналогію цієї системи зісферичною геометрією й у цьому вбачає можливість її існування.
«Я схильний навіть думати, щотретя гіпотеза справедлива на якій-небудь мнимій сфері. Повинна ж бути причина,внаслідок якої вона на площині далеко не піддається спростуванню, як це легкоможе бути зроблене із другою гіпотезою».
Лежандр у своєму доказіп'ятого постулату розглядає три гіпотези щодо суми кутів трикутника.
Сума кутів трикутникадорівнює двом прямим.
Сума кутів трикутника більшедвох прямих.
Сума кутів трикутника меншедвох прямих.
Він довів, що перша гіпотезаеквівалентна п'ятому постулату, друга гіпотеза неможлива; і прийнявши третюгіпотезу приходить до протиріччя, неявно скориставшись у доказі п'ятимпостулатом через один з його еквівалентів.
У результаті проблемапаралельних залишалася до Начало XIX століття недозволеної й положенняздавалося безвихідним. Великий знавець питання угорський математик Фаркаш Бояив 1820 році писав своєму синові Яношу: «Молю тебе, не роби тільки й ти спробздолати теорію паралельних ліній: ти затратиш на це увесь свій час, а пропозиціїцього ви не доведете всі разом. Не намагайся здолати теорію паралельних лінійні тим способом, що ти повідомляєш мене, ні яким-небудь іншим. Я вивчив всішляхи до кінця: я не зустрів ні однієї ідеї, який би я не розробляв. Я пройшоввесь безпросвітний морок цієї ночі, і всякий світоч, усяку радість життя я вній поховав… Цей безпросвітний морок… ніколи не проясниться на землі, ініколи нещасний рід людський не буде володіти чим-небудь зробленим навіть угеометрії. Це більша й вічна рана в моїй душі...». Безпросвітний морок, про якез гіркотою писав старший Бойяи, розсіяв Лобачевский і, трохи пізніше, Я. Бояи.
Але багатовікові спробидоказу п'ятого постулату Евкліда привели зрештою до появи нової геометрії, щовідрізняється від евклідової тем, що в ній V постулат не виконується. Цягеометрія тепер називається неевклідової, а в Росії має ім'я Лобачевского, щовперше опублікував роботу з її викладом.
І однієї з передумовгеометричних відкриттів Н. И. Лобачевского (1792-1856) був саме йогоматеріалістичний підхід до проблем пізнання. Лобачевский Він був твердовпевнений в об'єктивному й не залежному від людської свідомості існуванніматеріального світу й у можливості його пізнання. У мові «Про найважливішіпредмети виховання» (Казань, 1828) Лобачевский співчутливо наводить слова Ф. Бекона:«залишіть трудитися дарма, намагаючись витягти з одного розуму всю мудрість;запитуйте природу, вона зберігає всі істини й на всі питання ваші будевідповідати вам неодмінно й задовільно». У своєму творі «Про початки геометрії»,що є першою публікацією відкритої їм геометрії, Лобачевский писав: «першіпоняття, з яких починається яка-небудь наука, повинні бути ясні й наведені донайменшого числа. Тоді тільки вони можуть служити міцною й достатньою підставоюнавчання. Такі поняття здобуваються почуттями; уродженим — не повинне вірити».Тим самим Лобачевский відкидав ідею про апріорний характер геометричних понять,що підтримувалася И. Кантом.
Перші спроби Лобачевскогодовести п'ятий постулат ставляться до 1823 року. До 1826 року він переконався втім, що V постулат не залежить від інших аксіом геометрії Евкліда й 11(23)лютого 1826 року зробив на засіданні факультету казанського університетудоповідь «Стислий виклад Начало геометрії зі строгим доказом теореми пропаралельний», у якому були викладені початки відкритої їм «уявлюваноїгеометрії», як він називав систему, що пізніше одержала назву неевклідовоїгеометрії. Доповідь 1826р. увійшов до складу першої публікації Лобачевского понеевклідовій геометрії — статті «Про початки геометрії», надрукованої в журналіКазанського університету «Казанський вісник» в 1829-1820р. подальшому розвиткуй додаткам відкритої їм геометрії були присвячені мемуари «Уявлюванагеометрія», «Застосування уявлюваної геометрії до деяких інтегралів» і «Новіпочатки геометрії з повною теорією паралельних», опубліковані в «Ученихзаписках» відповідно в 1835, 1836 і 1835-1838 р. Перероблений текст «Уявлюваноїгеометрії» з'явився у французькому перекладі в Берліні, там же в 1840р. вийшлиокремою книгою німецькою мовою «Геометричні дослідження з теорії паралельнихліній» Лобачевского. Нарешті, в 1855 і 1856 р. він видав у Казані на російськійі французькій мовах «Пангеометрію».
Високо оцінив «Геометричнідослідження» Гаусс, що провів Лобачевского (1842) у члени-кореспондентиГеттингенського вченого суспільства, що було по суті Академією наук гановерськогокоролівства. Однак у пресі в оцінкою нової геометричної системи Гаусс невиступив.
Висока оцінка гауссомвідкриття Лобачевского була пов'язана з тим, що Гаусс, ще з 90-х років XVIII в.займався теорією паралельності ліній, прийшов до тих же висновкам, що йЛобачевский. Свої погляди по цьому питанню Гаусс не публікував, вони збереглисятільки в його чорнових записках і в деяких листам до друзів. В 1818 р. у листідо австрійського астронома Герлингу (1788-1864) він писав: «Я радуюся, що вимаєте мужність висловитися так, ніби Ви визнавали хибність нашої теоріїпаралельних, а разом з тим і всієї нашої геометрії. Але оси, гніздо яких Випотривожите, полетять Вам на голову»; очевидно, під «потривоженими осами» Гауссмав на увазі прихильників традиційних поглядів на геометрію, а також апріорізмуматематичних понять.
Незалежно від Лобачевского й Гауссадо відкриття неевклідової геометрії прийшов угорський математик Янош Бояи(1802-1860), син Ф. Бояи.
Коли Я. Бояи прийшов до тихже ідеям, що Лобачевский і Гаусс, батько не зрозумів його, однак запропонувавнадрукувати короткий виклад його відкриття у вигляді додатка до свого посібниказ математики, що вышли в 1832р. Повна назва праці Я. Бояи — «Додаток, щомістить науку про простір, абсолютно щиру, що не залежить від істинності абохибності XI аксіоми Евкліда (що a priori ніколи вирішено бути не може)» і йогозвичайно коротко називають просто «Апендикс». Відкриття Я. Бояи не було визнанопри його житті; Гаусс, якому Ф. Бояи послав «Апендикс», зрозумівйого, але ніяк не сприяв визнанню відкриття Я. Бояи.
1.3 Аксіоматика Гильберта
Хоча в сучасномуаксіоматичному викладі геометрії Евкліда не завжди користуються аксіоматикоюГильберта, приведемо її, як першу повну, незалежну й несуперечливу системуаксіом.
Всі двадцять аксіом системиГильберта підрозділені на п'ять груп.
Група I містить вісім аксіомприналежності.
Група II містить чотириаксіоми порядку.
Група III містить п'ятьаксіом конгруентності.
Група IV містить дві аксіомибезперервності.
Група V містить одну аксіомупаралельності.
Переходимо до формулюванняаксіом по групах. Одночасно будемо вказувати деякі твердження, що випливають ізаксіом.
I. Аксіоми приналежності
I, 1. Які б не були дві крапки A і B, існує пряма a,що належать ці крапки.
I, 2. Які б не були дві крапки A і B, існує небільше одній прямій, який належать ці крапки.
I, 3. Кожній прямій a належать принаймні дві крапки.Існують принаймні три крапки, що не належать одній прямій.
Зазначені три аксіомивичерпують список аксіом приналежності планіметрії. Наступні п'ять аксіом разоміз зазначеними трьома завершують список аксіом приналежності стереометрії.
I, 4. Які б не були три крапки A, B і C, що неналежать одній прямій, існує площина ?, що належать ці три крапки. Кожноїплощини належить хоча б одна крапка.
I, 5. Які б не були три крапки A, B і C, що неналежать одній прямій, існує не більше однієї площини, який належать ці крапки.
I, 6. Якщо дві приналежні прямі a різні крапки A і Bналежать деякій площині ?, те кожна приналежній прямій a крапка належитьзазначеній площині.
I, 7. Якщо існує одна крапка A, що належить двомплощинам? і ?, те існує принаймні ще одна крапка B, що належить обом цимплощинам.
I, 8. Існують принаймні чотири крапки, що неналежать однієї площини.
З метою використання звичноїдля нас геометричної лексики домовимося ототожнювати між собою наступнівираження: 1) «крапка А належить прямій a (площини α)», 2)«пряма а (площина α) проходить через крапку А» 3) «крапка Алежить на прямій а (площини α)» 4) «крапка А є крапкоюпрямій а (площини α)» і тому подібні.
Теорема 1. Дві різні прямі не можуть мати більше однієїзагальної крапки.
Теорема 2. Дві площини або зовсім не мають загальнихкрапок, або мають загальну пряму, на якій лежать всі їхні загальні крапки.
Теорема 3. Площина й не лежача на ній пряма не можутьмати більше однієї загальної крапки.
Теорема 4. Через пряму й не лежачу на ній крапку, абочерез дві різні прямі із загальною крапкою проходить одна й тільки однаплощина.
Теорема 5.Кожна площина містить принаймні три крапки.
II. Аксіоми порядку
II, 1. Якщо крапка B прямій а лежить між крапками А иС тієї ж прямої, то А, У и С — різні крапки зазначеної прямої, причому В лежитьтакож і між С и А.
II, 2. Які б не були дві різні крапки А и С, наобумовленій ними прямій існує принаймні вона крапка В така, що З лежить між А иВ.
II, 3. Серед будь-яких трьох крапок, що лежать наодній прямій існує не більше однієї крапки, що лежить між двома іншими.
Сформульовані три аксіомиставляться до розташування об'єктів на прямій і тому називаються лінійнимиаксіомами порядку. Нижче остання аксіома порядку ставиться до розташуваннягеометричних об'єктів на площині. Для того, щоб сформулювати цю аксіому,уведемо поняття відрізка.
Пари різних крапок А и Вназвемо відрізком і будемо позначати символом АВ або ВА. Крапки прямій,обумовленої А и В, що лежать між ними, будемо називати внутрішніми крапками,або просто крапками відрізка АВ. Інші крапки зазначеної прямої будемо називатизовнішніми крапками відрізка АВ.
II, 4 (Аксіома Паша). Якщо А, У и С — три крапки, що не лежать наодній прямій, і а — якась пряма в площині, обумовленої цими крапками, неутримуюча ні однієї із зазначених крапок і минаюча через деяку крапку відрізкаАВ, то ця пряма проходить також або через деяку крапку відрізка АС, або черездеяку крапку відрізка ВР.
Підкреслимо, що з однихаксіом порядку II, 1 — 4 ще не випливає, що будь-який відрізок має внутрішнікрапки. Однак залучаючи ще аксіоми приналежності I, 1 — 3 можна довестинаступне твердження:
Теорема 6. Які б не були дві різні крапки А и В напрямій, ними обумовленої, існує принаймні одна крапка С, що лежить між А и В.
Теорема 7. Серед будь-яких трьох крапок однієї прямоїзавжди існує одна крапка, що лежить між двома іншими.
Теорема 8. Якщо крапки А, У и С не належать одній прямійі якщо деяка пряма а перетинає які-небудь два з відрізків АВ, ВР і АС, то цяпряма не перетинає третій із зазначених відрізків.
Теорема 9. Якщо В лежить на відрізку АС, і С — навідрізку ВD, то В и С лежать на відрізку АD.
Теорема 10. Якщо З лежить на відрізку АD, а В — навідрізку АС, то В лежить також на відрізку АD, а С — на відрізку BD.
Теорема 11. Між будь-якими двома крапками прямої існуєнескінченно багато інших її крапок.
Теорема 12. Нехай кожна із крапок С и D лежить міжкрапками А и В. Тоді якщо М лежить між С и D, те М лежить і між А и В.
Теорема 13. Якщо крапки С и D лежать між крапками А и В,то всі крапки відрізка СD належать відрізку АВ (у цьому випадку ми будемоговорити, що відрізок СD лежить усередині відрізка АВ).
Теорема 14. Якщо крапка З лежить між крапками А и В, то 1)ніяка крапка відрізка АС не може бути крапкою відрізка CВ, 2) кожна відміннавід Із крапка відрізка АВ належить або відрізку АС, або відрізку СВ.
Зазначені твердженнядозволяють упорядкувати множину крапок будь-якій прямій і вибрати на цій прямійнапрямок.
Будемо говорити, що дві різнікрапки А и В прямій a лежать по різні сторони (по одну сторону) відтретьої крапки Про ту ж пряму, якщо крапка Про лежить (не лежить) між А и В.
Із зазначених вище твердженьвипливає наступна теорема.
Теорема 15. Довільна крапка Про кожну пряму а розбиває всіінші крапки цієї прямої на два непустих класи так, що будь-які дві крапкипрямій а, що належать тому самому класу, лежать по одну сторону від ПРО, абудь-які дві крапки, що належать різним класам, лежать по різні сторони від О.
Таким чином, завдання набудь-якій прямій двох різних крапок О и Е визначає на цієї прямий промінь абонапівпряму ОЕ, що володіє тим властивістю, що будь-яка її крапка й крапка Ележать по одну сторону від О.
Вибравши на прямій адві різні крапки О и Е, ми можемо тепер визначити порядок проходження крапок напрямій за наступним правилом: 1) якщо А и В – будь-які крапки променя ОЕ, тобудемо говорити, що А передує В, якщо А лежить між О и В, 2) будемо говорити,що крапка Про передує будь-якій крапці променя ОЕ, 3) будемо говорити, щобудь-яка крапка, що належить тій же прямій і не приналежна лучу ОЕ, передує яккрапці ПРО, так і будь-яку крапку променя ОЕ, 4) якщо А и В — будь-які крапки,що не належать лучу ОЕ, то ми будемо говорити, що А передує В, якщо В лежитьміж А и О.
Легко перевірити, що дляобраного нами порядку проходження крапок прямій а справедливавластивість транзитивності: якщо А передує В, а В передує З, те А передує С.
Аксіоми, наведені вище,дозволяють упорядкувати й крапки, що належать довільної площини ?.
Теорема 16. Кожна пряма а, що належить площини α, розділяє не лежачі на ній крапкицієї площини на два непустих класи так, що будь-які дві крапки А и В з різнихкласів визначають відрізок АВ, що містить крапку прямій а, а будь-які двікрапки А и А’ з одного класу визначають відрізок АА’, усередині якого не лежитьжодна крапка прямій а.
У відповідність ізтвердженням цієї теореми ми можемо говорити, що крапки А и А’ (одного класу) лежатьу площині αпо одну сторону від прямій а, а крапки А и В(різних класів) лежать у площині αпо різні сторони від прямій а.
III. Аксіомиконгруентності
III, 1. Якщо А и В – дві крапки на прямій а, А’ –крапка на тій же прямій або на іншій прямій а', то по дану від крапки А’сторону прямій а' найдеться, і притім тільки одна, крапка В’ така, що відрізокА'’ конгруентний відрізку АВ. Кожний відрізок АВ конгруентний відрізку ВА.
III, 2. Якщо відрізки А'' і А”B” конгруентні томусамому відрізку АВ, то вони конгруентні й між собою.
III, 3. Нехай АВ і ВР — два відрізки прямій а, що немають загальних внутрішніх крапок, А'' і B'' — два відрізки тій же прямій, абоіншій прямій а', що також не мають загальних внутрішніх крапок. Тоді якщовідрізок АВ конгруентний відрізку А'', а відрізок ВР конгруентний відрізку B'',те відрізок АС конгруентний відрізку А''.
Сформульовані три аксіомиставляться до конгруентності відрізків. Для формулювання наступних аксіом намзнадобляться поняття кута і його внутрішніх крапок.
Пари напівпрямих h і k,що виходять із однієї й тієї ж крапки О и не лежачих на одній прямій,називається кутом і позначається символом /> або/>.
Якщо напівпрямі задаютьсядвома своїми крапками ОА й ОВ, то ми будемо позначати кут символом /> або />. У силу теореми 4 будь-якідва промені h і k, тридцятилітні кут />,визначають, і притім єдину, площина α.
Внутрішніми крапками /> будемо називати ті крапкиплощини α, які, по-перше, лежать по ту сторону від прямої, що містить проміньh, що й будь-яка крапка променя k, і, по-друге, лежать по ту сторону відпрямої, що містить промінь k, що й будь-яка крапка променя h.
III, 4. Нехай дані /> на площині α, пряма а' на цій же абона якій-небудь іншій площині α’ і задана певна сторона площиниα’ відносно прямій а'. Нехай h’ – промінь прямій а', що виходить іздеякої крапки О’. Тоді на площині α’ існує один і тільки один промінь k’такий, що /> конгруентний />, і при цьому всівнутрішні крапки /> лежать позадану сторону від прямій а'. Кожний кут конгруентний самому собі.
III, 5. Нехай А, У и С – три крапки, що не лежать наодній прямій, А’, B’ і С’ – інші три крапки, що також не лежать на однійпрямій. Тоді якщо відрізок АВ конгруентний відрізку А'’, відрізок АС конгруентнийвідрізку А'’ і /> конгруентний />, те /> конгруентний /> і /> конгруентний />
Домовимося тепер пропорівняння неконгруентних відрізків і кутів.
Будемо говорити, що відрізокАВ більше відрізка А'', якщо на прямій, обумовленої крапками А и В, найдетьсялежача між цими крапками крапка З така, що відрізок АС конгруентний відрізкуА'В'. Будемо говорити, що відрізок АВ менше відрізка А'', якщо відрізок А''більше відрізка АВ.
Символічно той факт, щовідрізок АВ менше відрізка А'' (конгруентний відрізку А'') будемо записуватитак:
АВ
Будемо говорити, що /> більше />, якщо в площині,обумовленої />, найдеться промінь ОС, всікрапки якого є внутрішніми крапками />, такий,що /> конгруентний />. Будемо говорити, що /> менше />, якщо /> більше />.
За допомогою аксіомприналежності, порядку й конгруентності можна довести цілий ряд теорем елементарноїгеометрії. Сюди ставляться: 1) три широко відомі теореми про конгруентність(рівності) двох трикутників, 2) теорема про конгруентність вертикальних кутів,3) теорема про конгруентність всіх прямих кутів, 4) теорема про одиничністьперпендикуляра, опущеного із крапки на пряму, 5) теорема про одиничністьперпендикуляра, проведеного до даної крапки прямій, 6) теорема про зовнішнійкут трикутника, 7) теорема про порівняння перпендикуляра й похилої.
IV. Аксіоми безперервності
За допомогою аксіом приналежності,порядку й конгруентності ми зробили порівняння відрізків, що дозволяє укласти,яким із трьох знаків зв'язані ці відрізки.
Зазначених аксіом, однак,недостатньо 1) для обґрунтування можливості виміру відрізків, що дозволяєпоставити у відповідність кожному відрізку певне речовинне число, 2) дляобґрунтування того, що зазначена відповідність є взаємно однозначним.
Для проведення такогообґрунтування варто приєднати до аксіом I, II і III дві аксіоми безперервності.
IV, 1 (аксіома Архімеда). Нехай АВ і СD – довільні відрізки. Тоді напрямій, обумовленої крапками А и В існує кінцеве число крапок А1, А2,..., Аn, розташованих так, що крапка А1 лежить між А и А2,крапка А2 лежить між А1 і А3, ..., крапка Аn-1лежить між Аn-2 і Аn, причому відрізки АА1, А1А2,..., Аn-1An конгруентні відрізку CD і крапка В лежить міжА и Аn.
IV, 2 (аксіома лінійноїповноти). Сукупність всіхкрапок довільної прямої а не можна поповнити новими об'єктами (крапками) так,щоб 1) на поповненій прямій були визначені співвідношення «лежить між» і «конгруентний»,визначений порядок проходження крапок і справедливі аксіоми конгруентності III,1 — 3 і аксіома Архімеда IV, 1, 2) стосовно колишніх крапок прямій певні напоповненій прямій співвідношення «лежить між» і «конгруентний» зберігали старийзміст.
Приєднання до аксіом I, 1 –3, II і III, 1- 3 аксіоми Архімеда дозволяє поставити у відповідність кожнійкрапці довільної прямої а певне речовинне число х, називанекоординатою цієї крапки, а приєднання ще й аксіоми лінійної повноти дозволяєзатверджувати, що координати всіх крапок прямій а вичерпують множинувсіх речовинних чисел. Користуючись цим, можна обґрунтувати метод координат.
V. Аксіома паралельності
Сама остання аксіома грає вгеометрії особливу роль, визначаючи поділ геометрії на дві логічнонесуперечливі й взаємно виключають один одного системи: Евклідову й неевклідовугеометрії.
У геометрії Евкліда цяаксіома формулюється так.
V. Нехай а – довільна пряма й А – крапка, щолежить поза прямій а, тоді в площині α, обумовленою крапкою А ипрямої а існує не більше одній прямій, що проходить через А и не перетинає а.
Довгий час геометринамагалися з'ясувати, чи не є аксіома паралельності наслідком всіх іншихаксіом. Це питання було вирішено Миколою Івановичем Лобачевским, що довівнезалежність аксіоми V від аксіом I — IV.
По-іншому результатЛобачевского можна сформулювати так: якщо до аксіом I – IV приєднатитвердження, що заперечує справедливість аксіоми V, те наслідку всіх цихположень будуть становити логічно несуперечливу систему (неевклідову геометріюЛобачевского).
Систему наслідків, щовипливають із одних тільки аксіом I — IV звичайно називають абсолютноюгеометрією. Абсолютна геометрія є загальною частиною як евклідової, так інеевклідової геометрий, тому що всі пропозиції, які можуть бути доведені тількиза допомогою аксіом I — IV, вірні як у геометрії Евкліда, так і в геометріїЛобачевского.
Доказ несуперечностіаксіоматики Гильберта
Щоб довести несуперечністьякоїсь теорії Х, необхідно з матеріалу інший, свідомо несуперечливої, теорії Апобудувати така модель, у котрої виконуються всі аксіоми теорії Х. Якщо цудасться, теорію Х можна вважати несуперечливої. Отже, для того, щоб довестинесуперечність гильбертовой системи, необхідно побудувати таку модельевклідової геометрії, у якій виконувалися б всі аксіоми, запропонованіГильбертом.
Для побудови такої моделі,необхідна вищезгадана свідомо несуперечлива теорія. У моделі, побудованоїГильбертом, такою теорією служить теорія дійсних чисел. Ідея побудови моделіскладалася в розгляді системи координат на площині. У такій системі кожнійкрапці М площини відповідають два числа х и в – її координати. Щоб зрозумітисуть побудови моделі забудемо про площину й наявної на ній координатнійсистемі, «крапками» будемо називати впорядковані пари дійсних чисел (х; у)тобто пари (х; у) і (в; х) з різними х и в будемо вважати різними. Теперспробуємо визначити «пряму». Згадаємо, що кожна пряма описується в координатахлінійним рівнянням виду ax + by + c = 0, де хоча б один з коефіцієнтів aі b відмінний від нуля. Наприклад, рівняння прямій, не паралельної осі ординат,має вигляд в = kx + l, або, що те ж саме, ax + by + c = 0, де a= k, b = -1, c = l. Якщо ж пряма паралельна осі ординат, їйвідповідає рівняння x = p (тобто рівняння ax + by + c = 0, де a= 1, b = 0, c = -p;). При цьому якщо всі коефіцієнти рівняння ax+ by + c = 0 помножити на те саме число k ≠ 0, те отриманерівняння буде описувати ту ж пряму. Ми ж у своїй моделі будемо називати«прямій» будь-яке лінійне рівняння виду ax + by + c = 0, у якому хоча бодин з коефіцієнтів a і b відмінний від нуля, причому коефіцієнтирозглядаються з точністю до ненульового множника пропорційності (при k ≠0 рівняння ax + by + c = 0 і (ak)x + (bk)y + kc = 0 уважаютьсяоднієї й тій же прямій).
Далі, «крапка» (х1;в1) лежить на «прямій», якщо числа х1 і в1 задовольняютьзазначеному рівнянню. Як бачимо, для визначення «прямих», «крапок» ірозташування «крапок» на «прямій» досить обпертися на теорію дійсних чисел.Легко перевірити, що в зазначеній моделі виконуються, наприклад, такі аксіоми:
1. Через дві різні«крапки» проходить «пряма»
2. На «прямій» є неменш двох «крапок»
Легко визначити випадок, приякому одна із трьох «крапок» лежить на «прямій» «між» двома іншими. Коли A(x1;y1), B(x2; y2) і C(x3;y3)– три «крапки», що лежать на одній «прямій», «крапка» B уважається розташованої«між» A і C за умови, що число x2 укладено між числами x1і x3 (якщо x1 = x2 = x3, то y2укладено між y1 і y3). Тоді очевидно, що
3. Із трьох «крапок»,що лежать на одній «прямій», одна й тільки одна розташована між двома іншими.
Виконуються й інші аксіомипорядку (зокрема, аксіома Паша). Помітимо, що ми спеціально не ілюструємо змістаксіом кресленнями, оскільки при чисто аксіоматичному викладі не слідвикористовувати звичні геометричні подання.
Будемо говорити, що дві«прямі» a1x + b1y + c1 = 0 і a2x+ b2y + c2 = 0 «паралельні», якщо коефіцієнти a1,b1 і a2, b2 пропорційні. Це можна короткозаписати рівністю a1b2 – a2b1 =0. Неважко перевірити, що дві «паралельні» «прямі» або не мають ні однієїзагальної «крапки», або збігаються (у звичайній геометрії теж часто приймають,що пряма паралельна самої собі). Більше того,
4. Через будь-яку«крапку» A1(x1; y1) проходить одна й тількиодна «пряма», паралельна даної «прямій» Ax + By + C = 0.
Інакше кажучи, у зазначеніймоделі виконується аксіома паралельності. Можна тут говорити й про довжинивідрізків, і про величини кутів. Наприклад, «відстанню» між двома «крапками» A1(x1;y1) і A2(x2; y2) називається число
A1A2= />
Далі, у звичній евклідовійгеометрії справедлива теорема косинусів:
 
cos C = />
 
(величина кута З дорівнюєарккосинусу правої частини рівності. Можна заперечити, що тригонометричніфункції (і, зокрема, косинус) визначаються геометрично й обійтися без звичайноїевклідової геометрії в цьому випадку неможливо.

Однак це невірно. Уматематичному аналізі доводиться, що функція cos x задаєтьсянескінченним рядом
cosx = />,
якийсходиться для будь-якого дійсного x. Таким чином, у розглянутій моделіприпустимо говорити й про відстані, і про величини кутів.
Таксамо легко перевірити, що в ній виконуються й аксіоми конгруентності (зокрема,перша й друга ознаки рівності трикутників). У підсумку всі гильбертови аксіоми(які виявляють собою розвиток і уточнення аксіом Евкліда) у розглянутій моделівиконуються. Це й означає, що система аксіом евклідової геометрії умовнонесуперечлива. Інакше кажучи, вона несуперечлива, якщо несуперечливо теоріюдійсних чисел.
1.4Інші системи аксіом геометрії
Повернемося,однак, до евклідової геометрії. У цей час систему аксіом Гильберта частозаміняють еквівалентної їй системою. Ми приведемо ті групи аксіом однієї такоїсистеми, по яких вона відрізняється від вищевикладеної системи (групи аксіомпорядку й руху, що заміняє в цій системі групу аксіом конгруентності).
Перевагацієї системи полягає в тім, що вона дозволяє простіше й швидше одержатипервісні геометричні факти, краще, як здається, описує властивості основнихгеометричних об'єктів з погляду звичних уявлень.
II.Аксіоми порядку
Будемодумати, що на прямій є два напрямки, взаємно протилежних один одному, і повідношенню кожному з них кожна пара крапок А и В перебуває у відомомувідношенні, що виражається словом «передувати». Це відношення позначаєтьсязнаком

А
Потрібно, щоб зазначеневідношення для крапок на прямій задовольняло нижченаведеним п'яти аксіомам.
II, 1. Якщо А
II, 2. В одному із двох напрямків А
II, 3. В одному із двох напрямків якщо А
II, 4. В одному із двох напрямків для кожної крапки Внайдуться крапки А и С такі, що А
Кожне із тверджень аксіом II,2 — 4 ставиться до одному із двох напрямків на прямій. По аксіомі II, 1 воновірно також і для протилежного напрямку.
Перш ніж сформулювати останнюаксіому, визначимо деякі поняття. Нехай а – пряма й А – крапка на ній.При фіксованому напрямку на прямій крапка А розбиває її на дві частини(напівпрямі), для кожної крапки Х однієї з них Х А, адля кожної крапки Х іншій напівпрямій А . Очевидно, цярозбивка прямої на частині не залежить від обраного на ній напрямку (аксіомаII, 1).
Нехай А и В – дві крапкипрямій а. Якщо для крапки Із прямої а виконується умова А а, всі крапки якоїлежать між А и В, ми будемо називати відрізком АВ, а крапки А и В – кінцямивідрізка.
II, 5. Пряма а, що лежить у площині ?, розбиває цюплощину на дві напівплощини так, що якщо X і Y — дві крапки однієїнапівплощини, то відрізок XY не перетинається із прямій а, якщо ж X і Yналежать різним напівплощинам, то відрізок XY перетинається із прямій а.
З аксіом приналежності(зв'язку), які в цій системі аксіом аналогічні аксіомам приналежностіГильберта, і аксіом порядку виводяться наступні наслідки.
Теорема 1.Серед крапок А, В, З на прямій а одна йтільки одна лежить між двома іншими.
Теорема 2. Кожний відрізок містить принаймні одну крапку.
Теорема 3. Якщо В — крапка відрізка АС, то відрізки АВ іВР належать АС, тобто кожна крапка відрізка АС і кожна крапка відрізка ВРналежить відрізку АС.
Теорема 4.Якщо В — крапка відрізка АС і X — крапка тогож відрізка, відмінна від В, то вона належить або відрізку АВ, або ВР.
Теорема 5. Нехай α – площина, і а – лежача на нійпряма, b – інша пряма, або напівпряма, або відрізок у тій же площині α.
Тоді, якщо b не перетинаєа, те всі крапки b лежать по одну сторону від а, тобто в одній з напівплощин,обумовлених прямій а.
Нехай А, У и С — три крапки,що не лежать на одній прямій. Фігура, складена із трьох відрізків АВ, ВР і АСназивається трикутником, крапки А, У и С — вершинами трикутника, а відрізки АВ,ВР і АС — сторонами трикутника.
Теорема 9.Нехай АВС – трикутник у площині αі а — пряма в цій площині, неминаюча ні через одну із крапок А, В, С. Тоді якщо ця пряма перетинає сторонуАВ, те вона перетинає й притім тільки одну із двох інших сторін ВР або АС.
Не можна не помітити, щоостання наведена теорема майже аналогічна аксіомі Паша, що входить у системуГильберта (див. сторінку 9), і відрізняється від її тільки тим, що в аксіомі незатверджується одиничність другої пересічної сторони трикутника.
III. Аксіоми руху
У даній системі група аксіомконгруентності замінена цією групою аксіом. Втім, треті групи аксіом обохсистем в остаточному підсумку виконують ту саму задачу, визначаючи різнимиспособами ті самі явища (група аксіом конгруентності в Гильберта визначаєвідносини конгруентності прямо, аксіоми руху — через свої наслідки).
Отже, будемо вимагати, щобіснували такі відбиття крапок, прямих і площин на крапки, прямі й площини,іменовані рухами, що задовольняють наступним аксіомам.
III, 1. Кожний рух Н зберігає відношенняприналежності.
Тобто, якщо крапка Аналежить прямій а (площини α), те її образ при русі Н(позначуваний НА) належить образу прямої На (відповідно образуплощини Нα).
III, 2.Кожний рух Н зберігає відношення порядку напрямій.
Це означає, як, напевно, ужедогадався читач, що кожному із двох напрямків на прямій а можназіставити такий напрямок на прямій На, що щораз, коли для крапок Xі Y прямій а має місцеX , для відповідних їм крапокпрямої На має місце HX .
Із цих двох аксіом треба, щокожний рух переводить напівпряму в напівпряму, напівплощина в напівплощину.
III, 3. Руху утворять групу.
Це значить:
а) Зіставлення Н0кожному елементу х (крапці, прямій, площини) його самого є рух. Цей рухназивається тотожним.
б) Якщо рух Н1зіставляє довільному елементу х елемент y, а рух Н2зіставляє y елемент z, те зіставлення елементу х елемента zє рух. Воно позначається Н2Н1 і називається добуткомрухів.
в) Для кожного руху Н існуєрух Н-1 таке, що Н-1Н=Н0. Рух Н-1будемо називати зворотним.
III, 4. Якщо при русі Н пряма h, як ціле, і їїпочаткова крапка А залишаються нерухливими, то всі крапки напівпрямій hзалишаються нерухливими.
III, 5. Для кожної пари крапок А и В існує рух Н,котре переставляє їх місцями: НА=В, НВ=А
III, 6. Для кожної пари променів h, k (напівпрямих),що виходять із однієї крапки, існує рух Н, їх що переставляє: Нh=k, Hk=h.
III, 7. Нехай αі β– будь-які площини, а й b –прямі в цих площинах, А и В – крапки на прямих а й b. Тоді існує рух, щопереводить крапку А в У, задану напівпряму прямій а, обумовлену крапкою А, — узадану напівпряму прямій b, обумовлену крапкою В, задану напівплощину площини α,обумовлену прямій а, – у задану напівплощину площини β, обумовленупрямій b.
Теорема 10. Нехай α– площина, і а –приналежна їй пряма. Тоді якщо рух Н переводить кожну з напівплощин площини α,обумовлених прямій а, у себе й залишає нерухливими крапки прямій а, те воно єтотожним.
Дійсно, тотожний рух Н0має зазначеними в теоремі властивостями Н, а отже, по аксіомі III, 7збігається з ним.
Визначимо тепер поняттяконгруентності. Фігуру F1 ми будемо називати конгруентнійфігурі F2, якщо існує рух Н, що переводить F1в F2: HF1=F2. Із групових властивостейруху (аксіома III, 3) випливають наступні властивості відносини конгруентності:
Кожна фігура F конгруентнасама собі.
Дійсно, тотожний рух Н0переводить F в F.
Якщо фігура F1 конгруентнаF2, то фігура F2 конгруентна F1.
Справді, якщо Н – рух,що переводить фігуру F1 в F2, то рух Н-1переводить фігуру F2 у фігуру F1.
Якщо фігура F1 конгруентнаF2, а фігура F2 конгруентна фігурі F3, тофігура F1 конгруентна F3.
Дійсно, якщо Н' – рух,що переводить фігуру F1 в F2, а Н''– рух, що переводить фігуру F2 в F3, то рухН''Н' переводить F1 в F3.
Уперше подібну системузапропонував через десять після появи гильбертовой аксіоматики Фрідріх Шур.
Через ще десять роківнімецький математик Герман Вейль (Weyl; 9.11.1885, Ельмсхорн,Шлезвиг-Гольштейн, – 8.12.1955, Цюріх) створив векторну аксіоматику геометрії.У Вейля первісними є поняття «крапка» і «вектор», а пряма й відрізоквизначаються з їхньою допомогою. Є аксіоми додавання векторів (означаючі, щовектори утворять комутативну групу), аксіоми множення вектора на дійсне число,аксіоми відкладання векторів (зокрема, аксіома трикутника: />), аксіоми скалярногодобутку векторів і аксіома розмірності (для планіметрії в ній затверджується:якщо дані три ненульових вектори />, /> і />, те який-небудь із нихвиражається у вигляді комбінації двох інших: />).При заданих крапці А и ненульовому векторі /> пряма(А, />) визначається як множинавсіх крапок М, для яких вектор/> пропорційний/>, тобто найдеться такедійсне число t, що />. Далівизначаються відрізки, кути, багатокутники, окружність і інші фігури:наприклад, відстань між А и В – як квадратний корінь зі скалярного квадратавектора />, тобто />. Теорема Піфагора легкодоводиться за допомогою скалярного добутку, а аксіома паралельності — задопомогою векторного визначення прямої й аксіоми рівномірності.
На закінчення відзначимо, щогильбертова аксіоматика повністю уточнила не цілком зроблену систему аксіом,створену Евклідом більше двох тисяч років тому. Аксіоматика Фрідріха Шура йаксіоматика Германа Вейля зв'язали геометрію з поняттями групи перетворень івекторного простору, які відіграють найважливішу роль у багатьох розділахсучасної математики, фізики, економіки, хімії, біології й інших областейзнання.

Глава II. Неевклідовігеометрії в системі Вейля
 
2.1 Елементи сферичноїгеометрії
У цьому пункті розглянутіелементи так званої сферичної геометрії — геометрії сфери Евклідова простору.Найкоротшими (геодезичними) або прямими лініями на сфері є більші окружності,тобто такі окружності, площини яких проходять через центр даної сфери.
Тому що будь-які два більшихкола перетинаються, то в сферичній геометрії не здійснюється ні постулат Евкліда,ні аксіома паралельності Лобачевского. У цій геометрії не виконується також рядінших фактів абсолютної геометрії.
Наприклад, прямі в сферичнійгеометрії замкнуті й на них неможливо встановити поняття крапки, що лежить«між» для трьох крапок, тому що кожну із цих крапок на окружності можна вважатикрапкою, що лежить між двома іншими. Дві крапки на великому колі визначають двавідрізки й прямі мають кінцеву довжину. Таким чином, аксіоми порядку всферичній геометрії повинні описувати властивості циклічного розташуваннякрапок на прямій. І все-таки, незважаючи на зазначені розходження в сферичнійгеометрії є багато властивостей, аналогічних відповідним властивостям вевклідовій геометрії й геометрії Лобачевского. Ці геометрії, включаючи йгеометрію досить малих шматків сфери, в основних питаннях не протиставляютьсяміж собою, а копіюють один одного.
Візьмемо на сфері три крапки А,В, З, що не лежать в одній площині із центром Про дану сферу.Сукупність цих крапок і дуг АВ, ВР і АС більших окружностей, менших півоберту,називається сферичним трикутником АВС. Крапки А, В, С називаються вершинамисферичного трикутника, а дуги, АВ, ВР, АС — його сторонами. Кутом А сферичнимтрикутником АВС називається, кут між дотичними, проведеними до дуг АВ і АС украпці їхнього перетинання А. Очевидно, цей кут є лінійним кутомдвогранного кута, утвореного площинами більших окружностей АВ і АС.Ясно, що сферичний трикутник можна одержати за допомогою тригранного кута, якщоперетнути його сферою, центр якої буде збігатися з вершиною даного кута.Справді, у перетинанні сфери із гранями даного тригранного кута одержимосферичний трикутник.
Зі шкільного курсу геометріївідомо, що в тригранному куті будь-який його плоский кут менше суми двох іншихплоских кутів і більше їхньої різниці. У геометрії сфери цій пропозиціївідповідає наступна теорема. У всякому сферичному трикутнику кожна сторонаменше суми двох інших його сторін і більше їхньої різниці.
На підставі цієї теореми, які у звичайній планіметрії, доводиться, що в сферичному трикутнику проти більшоїсторони лежить більший кут і, обернено, проти більшого кута лежить більшасторона.
У цій геометрії є сферичнідвукутники — фігури більше прості, чим сферичні трикутники. Сферичний двукутникпо визначенню, представляє частину сфери, обмежену двома більшими півколами, щоперетинаються у двох діаметрально протилежних крапках.
Симетрія сфери щододіаметральної площини й поворот її навколо діаметра на даний кут, мабуть,являють собою приклади перетворень сфери, при яких відстані між будь-якимидвома крапками дорівнює відстані між їхніми образами. Приведемо загальневизначення.
Перетворення сфери, при якихзберігаються відстані між будь-якими двома її крапками, називаються рухами. Сферичнагеометрія вивчає властивості фігур, що зберігаються при будь-яких рухах сфери.
Полярні трикутники
Усяка площина />, що проходить черезцентр сфери, перетинає цю сферу по великій окружності. Кінці А, А' діаметра,перпендикулярного площини />, називаються полюсами цієїокружності. У цьому випадку більша окружність називається полярою крапок А иА'.
Очевидно, всі крапки поляривилучені від свого полюса на відстань, рівне />R/2, де R позначаєрадіус даної сфери. Ясно також, що якщо дана крапка вилучена від двох крапоквеликої окружності на відстань />R/2, то вона є полюсом цієївеликої окружності. Перейдемо тепер до визначення полярного трикутника.
Якщо вершини трикутникаАВС є полюсами сторін іншого сферичного трикутника А1У1С1, то цей останній називається полярнимтрикутником стосовно даного.
Таким чином, радіус-вектор /> перпендикулярнийвекторам /> і/>, тобто
/>
Аналогічно будемо мати
/>
Звідси треба, що якщотрикутник А1У1С1 буде полярним дотрикутника АВС, то трикутник АВС у свою чергу буде полярнимстосовно трикутника А1У1С1.
Таким чином, сферичнітрикутники АВС і А1У1С1, взаємнополярні один одному.
Будемо позначати вершини йкути сферичного трикутника більшими буквами латинського алфавіту А, В, С, апротилежні їм сторони — відповідними малими буквами того ж алфавіту а, Ь, с.Вершини й протилежні їм сторони полярного трикутника будемо позначати тимиж буквами з індексами А1, В1, С1,відповідно a1, b1, c1.
Лінійні елементи трикутникатут і в подальших формулах входять у вигляді відносин до радіуса сфери, томудоцільно ввести наступне поняття наведеної довжини. Відстань між двома крапкамина сфері, віднесене до її радіуса, будемо називати наведеною відстанню.
Доведемо наступну пропозиціюпро взаємно полярні трикутники.
Теорема. Кут одногосферичного трикутника й відповідна йому наведена сторона взаємно полярноготрикутника доповнюють один одного до />, тобто
/>
і т.д. Тому що
/> (*)
Те з (*) треба, що
/>
Таким чином, виводимо
/>
Аналогічно доводяться іншірівності:
/>

Перейдемо до висновку деякихформул сферичної геометрії.
Формули прямокутноготрикутника в сферичній геометрії
Перейдемо до висновку деякихформул сферичної геометрії. Нехай в евклідовому просторі нам дана сфера радіусаR. Візьмемо на ній прямокутний трикутник AВС зі сторонами a,b, з, які будуть дугами більших кіл відповідно ВР, СА й АВ,причому вмовимося вважати />(мал. 2). Останнє означає, щодотичні в крапці З, проведені до більших дуг СА, СВ,перпендикулярні. З'ясуємо зв'язок між лінійними й кутовими елементами даногопрямокутного трикутника.
Опустимо із крапки В перпендикуляриВР1, і ВА1на прямі ОС і ОА Евклідовапростору. Із трикутника ОВС1, маємо
/> (*)
Аналогічно із трикутників OBA1і BA1C1 треба, що
/> (**)
Крім із цих трьохспіввідношень BC1 і BA1, одержимо
/> (1.1)
Формула (1.1) показує, щосинус наведеного катета рівняється синусу наведеної гіпотенузи, помноженому насинус протилежного кута трикутника.
У попереднім міркуванніпідстава С1, перпендикуляра ВР1, може збігатися ізцентром сфери або бути лівіше його на діаметрі ОС. Але можнапереконатися, що одержувані нижче формули, як і формула (1.1), будуть завждисправедливі. До речі відзначу ще раз, що розглядаються тільки такі сферичнітрикутники, які визначаються його вершинами й найменшими дугами більшихокружностей, попарно їх з'єднуючими.
З'ясуємо зв'язок гіпотенузи cз катетами а й b. Із трикутника ОВС1, маємо
/> (1.2)
Далі із трикутника ОВА1і ОС1А1треба, що
/>
Крім із отриманих трьохрівностей ОС1і ОА1будемо мати
/>. (1.3)
Ця формула виражає теорему Піфагора:косинус наведеної гіпотенузи прямокутного трикутника рівняється добуткукосинусів наведених катетів. Аналогічним образом виводяться інші формули.Наприклад, із прямокутного трикутника А1ВР1треба,що
/> (1.4)
Далі, тому що
/>

те з (1.2) маємо
/> (1.5)
З іншого боку,
/> (1.6)
З (*, 1.4- 1.6) випливає, що
/> (1.7)
Поряд із цією формулоюсправедлива також парна формула
/> (1.7')
Перемножуючи останні два співвідношення,одержимо
/>
Відкидаючи ненульовіспівмножники й застосовуючи теорему Піфагора, остаточно будемо мати
/> (1.8)

Візьмемо тепер інше вираженняА1С1 через соs A. Тому що
/>
те з (**) і (1.5-1.6), маємо
/>
Звідси треба, що
/> (1.9)
З (1.1) випливає також, що
/>
Останні дві рівності дають
/>
Або
/> (1.10)

Доведені формули прямокутноготрикутника можна виписати, користуючись так званим правилом Непера. Щоб сформулювати це правило, умовимосярозташовувати елемент прямокутного трикутника а, В, з, А, b у зазначеномуна циклічному порядку.
Для кожного із цих елементівпопередній і наступний елементи називаються прилеглими, а інші дваелементи — протилежними. Для катета b, наприклад, елементи a, Абудуть прилеглими, а елементи з, В — протилежними. Прилеглимиелементами для гіпотенузи є кути A і В, а протилежними — катети ай b.
Сформулюємо тепер правилоНепера. Косинус будь-якого елемента сферичного прямокутного трикутникарівняється добутку синусів протилежних елементів або добутку котангенсів прилеглихелементів. Якщо під знаком функції коштує катет, то тригонометрична функціяміняється на суміжну — синус а косинус, тангенс на котангенс і навпаки.Помітимо також, що у всіх формулах довжини катетів і гіпотенузи діляться нарадіус сфери R.
Формули косокутноготрикутника в сферичній геометрії
Одержимо сНачало теоремукосинусів. Нехай АВС довільний сферичний трикутник. Опустимо з вершини Увисоту ВD. Застосовуючи до трикутника ВDС теорему Пифагора,одержимо
/>,
деd=AD, a=BC, b=BC, AB=c.
Перепишемо попереднюрівність, другий множник формули косинуса різниці:
/>.(1.11)

Перший і третій множники впершому члені правої частини по теоремі Піфагора дають />. Спростимо другий член управій частині. Тому що
/>,
те заміняючи /> по формулі (1.9) на/>, одержимо
/>
Таким чином, з (1.11) треба,що
/> (1.12)
Ця залежність, що виражаєсторону сферичного трикутника через дві інші сторони в косинус протилежногокута, називається теоремою косинусів.
Доведемо тепер теоремусинусів. Із прямокутного трикутника АВ і ВDС (мал. 6) одержуємо
/>
Звідси треба, що
/>

Якщо опустити тепер висоту звершини А, то будемо мати
/>
Отже
/> (1.13)
Ці залежності сторін ісинусів протилежних кутів становлять теорему синусів сферичного трикутника АВС.
Друга теорема косинусів
Припустимо, що сферичнийтрикутник А1У1С1, є полярним до даноготрикутника АВС. Застосовуючи до нього теорему косинусів, одержимо
/>
Але в силу формул (див.Полярні трикутники), маємо
/>
Заміняючи в попереднійрівності сторони й кути тільки що виписаними вираженнями, одержимо
/>

Або
/> (*)
Формула й становить зміст 2-йтеореми косинусів: Косинус кута сферичного трикутника дорівнює добуткукосинусів двох інших кутів, узятому зі зворотним знаком, і складеному здобутком синусів тих же кутів на косинус наведеної протилежної сторони. Аналогічнідві формули можна одержати круговою заміною лінійних і кутових елементів даноготрикутника АВС.
Із другої теореми косинусівтреба, що в сферичній геометрії не існує нерівних трикутників з відповіднорівними кутами. Інакше кажучи, якщо кути, одного сферичного трикутникадорівнюють відповідним кутам іншого сферичного трикутника, те такі трикутникирівні.
На закінчення встановимо лишезбіг формул сферичної геометрії для фігур з малими лінійними розмірами звідповідними формулами евклідової геометрії.
Про сферичну геометрію вмалому
Нехай лінійні розміри а,b, зі сферичного трикутника малі в порівнянні з радіусом сфери R.Очевидно, ці умови можна здійснити за рахунок малості зазначених лінійнихрозмірів або за рахунок вибору досить великого значення R. З формули, щовиражає теорему косинусів, треба
/>
З огляду на в цій рівностічлени до другого порядку малості включно, одержимо теорему косинусів евклідовоїгеометрії:

/> (1.14)
У випадку прямокутногосферичного трикутника з кутом маємо cos A=0 і формула (1.12) у межіприводить до співвідношення
/>,
тридцятимільйонну теорему Піфагорав геометрії Евкліда. Це рівність треба також з (1.14) при />.
Тому що при малих розмірахнаведених сторін їхні синуси в першому наближенні пропорційні аргументам, то з(1.13) випливають два зв'язки
/>,
теорему синусів в евклідовійгеометрії.
Отже, формули сферичноїгеометрії для фігур з малими лінійними розмірами в порівнянні з радіусом сферизбігаються з відповідними формулами евклідової геометрії. Аналогічний результатодержимо нижче при розгляді формул геометрії Лобачевского.
2.2 Еліптична геометрія наплощині
Були показані найпростішіфакти сферичної геометрії, у якій усякі дві прямі перетинаються у двохдіаметрально протилежних крапках. Для того, щоб звільнитися від зазначеногонедоліку й прийти до нової геометрії, у якій прямі мали б не більше однієїзагальної крапки, умовимося вважати всяку пару діаметрально протилежних крапоксфери за одну крапку. Отриману нову поверхню після такого ототожнення паркрапок сфери будемо називати еліптичною площиною й позначати символом S2.
Ясно, що одержимо ту жплощину, якщо будемо будувати множини векторів Евклідова простору відношеннюеквівалентності в якій /> />/> тодій тільки тоді, коли вектори /> й/> непропорційні.
Прямі еліптичної площинивиходять із більших кіл у результаті зазначеного ототожнення пара крапок ібудуть як і раніше замкнутими лініями. Але побудована площина S2стала принципово новим об'єктом математичного дослідження.
Залишаючись замкнутоюповерхнею, вона втратила властивість двобічності. Еліптична площина єоднобічною поверхнею, тобто, розфарбовуючи яку-небудь одну сторону цієїповерхні, розфарбуємо її по обидва боки. В еліптичній геометрії відсутнє поняттякрапки, що лежить між двома іншими, якщо вони інцідентні прямій, тому що двікрапки на прямій визначають два взаємно додаткових відрізки. У цій геометріїможна встановити поняття поділу двох пар крапок А, У и М, N, інцідентнихпрямій. Пари A, B розділяє пари М, N, якщо крапки М, N лежатьу різних відрізках, певних на даній прямій крапками А и В. Можнапереконатися, що пари крапок A, У розділяє пари М, N тодій тільки тоді, коли подвійне відношення
 
 (АВМ) = АМ/ВМ: АN/ВN
 
чотирьох крапок А, В,М, N негативно.
Зрозуміло, еліптичну площинуможна уявити собі також у вигляді півсфери, у якої діаметрально протилежнікрапки екватора вважаються за одну крапку. Об'єкти нової моделі перебувають упевних зіставленнях з об'єктами відомої моделі на сфері. Завдяки цьому беззвертання до аксіом виводимо, що ці дві моделі реалізують ту саму геометрію.
Проектування із центра о Евклідовапростору на площину, дотичну до сфери в крапці З, де ОС/> , переводить пряміеліптичної площини в прямі евклідової площини />.Якщо до крапок дотичної площини приєднати невласні крапки, то побудоване центральнепроектування буде взаємно однозначним відображенням всіх крапок еліптичноїплощини на всі крапки розширеної евклідової (проективної) площини. Не будемовиписувати систему аксіом еліптичної геометрії й помітимо лише, що її можнаодержати з аксіом проективної геометрії й аксіом конгруентності.
Всі поняття площини S2переводяться по відображенню в деякі поняття двомірної проективної геометрії.Зіставлення відповідних геометричних образів отриманої проективної моделіхарактеризується наступною таблицею:«крапка» крапка проективної площини «пряма» пряма проективної площини «рівність відрізків» рівність прообразів відрізків
Велике достоїнствопроективної моделі полягає в тому, що крапки й прямі в ній зображуютьсязвичними для нас образами. Однак, при вивченні властивостей конгруентних фігурсферична модель стає більше зручною.
Помітимо також, що прямі йплощини зв'язування о Евклідова простору визначають нову модель площини S2,що відповідають геометричні образи якої представляються наступною таблицею:
S2
Зв'язування прямих і площин в Е3 «крапка» Площина зв'язування «поділ двох пар крапок» Поділ двох пар прямих того самого пучка прямих «відстань між двома крапками» Величина, пропорційна куту, між двома прямими зв'язування
Реалізація еліптичної площиниу вигляді сфери, у якої діаметрально протилежні крапки ототожнені, дозволяє націй площині ввести координати (х, в, z), зв'язані співвідношенням
x2+y2+z2=R2;

де R називаєтьсярадіусом кривизни, а зворотна величина квадрата радіуса — кривизною. У цихкоординатах відстань а між двома крапками А (х1, в1,z1) і В(х2, в2, z2) визначається по формулі
/>. (2.1)
Відношення відстані міжкрапками до радіуса кривизни називається наведеною відстанню. Дві крапкиплощини S2 називаються полярними, якщо відповідним цимкрапкам прямі тривимірного Евклідова простору ортогональні. Інакше кажучи,полярні крапки характеризуються тим, що наведена відстань між ними рівняється />. Відрізокпрямій, обмежений полярно сполученими крапками, називається напівпрямій. Прямаскладається із двох напівпрямих і має довжину, рівну />. Очевидно, геометричне місцекрапок, полярних даній крапці А (х1, в1, z1),утворить пряму
/> (2.1')
Ця пряма називається поляроюкрапки A, а крапка А — полюсом прямій (2.1').
Прямі, перпендикулярніпрямій, перетинаються в її полюсі. Обернено, усяка пряма, що проходить черезполюс даної прямої, буде перпендикулярної до цієї прямої. Звідси треба, щочерез кожну крапку площини, відмінну від полюса даної прямої, можна провестиєдиний перпендикуляр до цієї прямої. Ці властивості безпосередньо випливають ізвизначення полюсів і поляр.
У геометрії S2можна побудувати взаємно однозначне відображення між крапками й прямими, приякому кожній крапці відповідає її полярна пряма, а кожній прямій — її полюс.Таке відображення називається полярним відображенням. В еліптичній площиніодиничної кривизни полярне відображення переводить дві прямі а, b у такікрапки А, В, що відстань між цими крапками рівняється куту між данимипрямими. Звідси випливає так званий принцип подвійності в еліптичнійпланіметрії: якщо в якій-небудь теоремі еліптичної геометрії замінити слова«крапка», «пряма», «відстань» і «кут» відповідно на слова «пряма», «крапка»,«кут» і «відстань», те в результаті одержимо також справедливу пропозицію в ційгеометрії. Прикладом двоїстих пропозицій, тобто пропозицій, що виходять одне зіншого, зазначеного правила є наступне: будь-які дві крапки визначають пряму,їм інцідентну; будь-які дві прямі визначають крапку, їм інцідентну.
Знайдемо тепер відстані міждвома нескінченно близькими крапками М (х, в, z) і M’ (х + dх,в + dу, z + dz). З формули (2.1) треба, що
/>. (2.2)
Звідки з точністю донескінченно малих другого порядку включно маємо
ds=-2(xdx+ydy+zdz).
 
З огляду на, що координатикрапки (х + dх, в + dу, z+ dz) задовольняють рівності
(х + dх)2 +(в +dу)2+ (z+ dz)2 =R2,
 
будемо мати
2(хdх + уdу + zdz) + dx2 + dу2 + dz2= 0.
ds2 = dx2+ dу2 + dz2. (2.2')

Отримана формула приводить доочевидного висновку про те, що в малому геометрія еліптичної площини збігаєтьсязі сферичною геометрією. Зокрема, формули (1.12) і (1.13) відповідно теоремукосинусів і синусів, справедливі й в еліптичній геометрії. Формула 2.2' показуєтакож, що руху еліптичної площини S2 представляютьсяобертаннями й відбиттями Евклідова простору E3 навколо Началокоординат. Зазначені рухи визначаються ортогональними матрицями. Такназиваються матриці, у яких сума квадратів елементів кожного стовпця рівняєтьсяодиниці, а сума добутків відповідних елементів різних стовпців рівняється нулю.Тому що матриці, що відрізняються знаками, індуцірують те саме рух в еліптичнійплощині, то група рухів останньої зв'язана.
Площа трикутників веліптичній геометрії
Нехай в еліптичній площиніданий трикутник AВС, позначеної на мал. 8 номером I. Як відомо, на данійплощині породжуються ще три трикутники з тими ж вершинами. Ці трикутникипозначені на малюнку номерами II, III, IV. Тому що вcя еліптична площинакінцева й має площу, рівну 2/>R2, то площачастини площини, обмеженої вертикальними кутами А трикутника I,рівняється
/>
Аналогічно, площа частинеліптичної площини, обмежених вертикальними кутами В и С трикутникаAВС, рівні 2R2B, 2R2С. З іншого боку, сумавсіх трьох знайдених площ становить площу всієї еліптичної площини з доданоюподвоєною площею SАВСданого трикутника АВС. Урезультаті одержуємо
/>.

Звідси випливає, що
SАВС = R2(A+ B + C -/> ). (2.3)
Ця формула показує, що площатрикутника пропорційна його дефекту. Можна довести, що в геометрії Лобачевскогоплоща трикутника АВС визначається по формулі, аналогічної (2.3),
SАВС = k2(/> - A — B — C ),
де k — радіускривизни.
Окружність
Окружністю називаєтьсягеометричне місце крапок М(х, в, z), що відстоять від даноїкрапки А(х1, в1,z1) на дану відстань r.Крапка A називається центром окружності, r — її радіусом.
До поняття окружності можнаприйти іншим шляхом, відправляючись від пучків прямих і відповідних крапок напрямих даного пучка. Ці допоміжні поняття тут уводяться так само, як угеометрії Лобачевского. Сукупність прямих, що перетинаються в даній крапці A,називається пучком прямих першого роду. Крапка А називається центромпучка. Пучком прямих другого роду називаються прямі площини,перпендикулярні даній прямій а. Неважко переконатися, що ці пучкидвоїсті один одному. Справді, поляра центра пучка прямих першого роду ортогональнеперетинає всі прямі пучка й розглянута сукупність прямих є пучком прямихдругого роду. Обернено, прямі пучка другого роду проходять через полюс осіпучка й становлять пучок прямих першого роду. Таким чином, усякий пучок прямиходночасно є пучком першого й другого роду. Припустимо, що крапки М и N лежатьвідповідно на прямих тиn даного пучка прямих. Ці крапки М, N називаютьсявідповідними, якщо відрізок МN утворить рівні однобічні кути ізпрямими т и n. Найпростіша крива тут визначається так само, як упланіметрії Лобачевского. Ця крива по визначенню є множиною крапок, щовідповідають крапці М на прямій т даного пучка. Отримана в такийспосіб найпростіша крива одночасно є окружністю радіуса r із центром украпці А и еквидистантой з висотою r' = />R/2 — r. Можнавстановити, що окружність ортогональне розсікає прямі свого пучка.
З (2.1) треба, що рівнянняокружності із центром у крапці А(х1,в1,z1)і радіусом r />R/2приводиться до виду:
/> . (2.4)
Наявність подвійного знакапояснюється тим, що права частина позитивна, а вираження в дужках може матизначення різних знаків.
Помітимо, що множина крапок, віддаленихвід двох крапок A, В, складається із двох взаємноперпендикулярних прямих, що проходять через полюс прямій, певної данимикрапками. Одна із цих прямих ділить навпіл один відрізок АВ, а інша — додатковий. Звідси випливає існування однієї й тільки однієї окружності,описаної біля заданого трикутника АВС. Зокрема, три крапки, що неналежать прямій, визначають на еліптичній площині чотири трикутники. Такимчином, через три крапки А, В, З, що не лежать на одній прямій, можнапровести чотири окружності, які на сферичній моделі визначаються наступнимитрійками крапок: АВС, АВС', АВ'С, А'ВС, де А', В', С' позначаютькрапки, діаметрально протилежні відповідно до крапок А, В, С.
Розглянемо коротеньковластивості пар окружностей в еліптичній площині. У сферичній геометрії двіокружності, як і в евклідовій площині, можуть не перетинатися один з одним,стосуватися або перетинатися у двох крапках. В еліптичній геометрії властивостіпара окружностей більше різноманітні. Щоб переконатися в цьому, припустимо, щоеліптична площина інтерпретована у вигляді сфери, у якої діаметральнопротилежні крапки ототожнені. У цьому випадку, окружність еліптичної площинипредставляється на такій сфері у вигляді двох окружностей, що лежать упаралельні й рівновіддалених від центра сфери площинах. Обернено, двіокружності, отримані від перетинання сфери симетричними щодо її центраплощинами, зображують в еліптичній геометрії одну окружність. Зробленізауваження дозволяють скласти уявлення про нові випадки взаємних положень двохокружностей у порівнянні зі сферичною або евклідовою планіметрією.
 
2.3 Геометрія Лобачевскогов системі Вейля
Про псевдоевклідовіпланіметрії
а) В евклідовій площині, яквідомо, формула квадрата відстані між двома крапками М(х1, х2)і N(в1, в2) у декартовой, прямокутній системікоординат представляється у вигляді
d(M,N)2=(y1 — x1)2+(y2 — x2)2.(3.1)
Кут /> між векторами ОМ і ОN обчислюєтьсязі співвідношення
/>. (3.2)
Перша формула по суті виражаєтеорему Піфагора для прямокутного трикутника з катетами, рівними абсолютнимвеличинам /> і гіпотенузою МN.Друга ж формула представляє собою формулу косинуса різниці кутів, утворенихвідповідно ОМ іON c координатним вектором />.
Тепер змінимо формули (3.1) і (3.2) і будемо визначати відстаньміж зазначеними двома крапками й величини даних кутів по формулах відповідно

d(M,N)=(y1 — x1)2 — (y2 — x2)2(3.3)
/> (3.4)
Колишні пари крапок тепербудуть мати інші відстані» а колишні кути — інші величини. Це по суті новасвоєрідна двомірна геометрія.
Щоб підкреслити наявністьіншої метрики й не плутати нові відстані й величини кутів зі старими, умовимосяназивати координатну площину (x1, x2) формулами (3.3), (3.4) псевдоевклідовоюплощиною.
б) Для більшої аналогії зевклідовою геометрією доцільно ввести новий скалярний добуток векторів якдобуток їхніх довжин на косинус кута між ними. Ясно, що цей добуток векторіввідрізняється від звичайного скалярного добутку тих же векторів, тому щодовжини векторів (відстань між початкової його й кінцевої крапками) і косинускута розуміється в змісті псевдоевклідової геометрії.
Не будемо далі перераховуватинаслідків з формул (3.3), (3.4) і дамо аксіоматичне визначення псевдоевклідовоїгеометрії. Робиться це в такий спосіб.
Замість аксіоми IV, 3 вейлевськоїаксіоматики, у якій говориться про те, що скалярний квадрат вектораненегативний, уводиться інша аксіома IV, 3' про існування ненульових векторівпершого, другого, і третього типів, скалярні квадрати яких відповіднопозитивні, негативні й дорівнюють нулю.
Всі інші аксіоми Вейлязберігаються без зміни в псевдоевклідової геометрії. Звичайно, припускаємо, щоаксіоми розмірності III відповідним чином погоджені. Якщо мова йде проплощину, то в аксіомі III, 1 затверджується існування двох лінійнонезалежних векторів, а в аксіомі III, 2 затверджується, що всякі тривектори лінійно залежні.
Сукупність крапокназивається псевдоевклідовою площиною, якщо ці крапки і їхні впорядковані пари(вільні вектори) задовольняють аксіомам груп /--///, IV, 1, 2, 3', V. Очевидно, векторипсевдоевклідової площини задовольняють аксіомам /--///- IV — 1, 2, 3' і утворять двомірний псевдоевклідовий векторний простір.
У псевдоевклідової геометрії афінначастина повністю  збігається з афінної частиною евклідової геометрії. Але вметричних питаннях геометрії ці значно відрізняються друг  від друга, метрикапростору по суті визначається аксіомами скалярного добутку векторів і серед нихважливу роль грає саме аксіома IV, 3'.
в) Скалярний добуток двохвекторів />, /> у змісті псевдоевклідовоїгеометрії будемо позначати символом />П./> Вектори />, /> називаютьсяперпендикулярними, якщо їхній скалярний добуток дорівнює нулю.
Як і раніше число />П/> називається скалярнимквадратом вектора />; коріньквадратний з />П/> якого називається довжиноювектора й позначається через |/> |.Такимчином,
/>,
Ясно, що довжина вектора будепозитивної, чисто мнимий або нульовий, якщо відповідно скалярний квадрат />П/> >0, />П/> або />П/> =0. Вектори позитивноїй чисто мнимої довжини називають також відповідно просторовими йтимчасовими.
Ненульові вектори, довжинияких дорівнюють нулю, називаються ізотропними.
Уведемо поняття прямокутноїдекартовой системи координат. Прямокутної декартовой системою координат абопросто прямокутною системою координат псевдоевклідової площини називається такаафінна система координат, вектори /> якоїодиничні або взаємно перпендикулярні.
Отже, один з координатнихвекторів псевдоевклідової площини, наприклад, /> будеодиничним, а іншої – мнимо одиничним Таким чином, скалярний добуток координатнихвекторів прямокутної системи координат визначаються рівностями
/>. (3.5)
Очевидно, скалярний добутокдвох векторів
/>
і квадрат довжини вектора /> впрямокутній системі координат обчислюються по формулах виду
/> (3.6)
/> (3.7)
За відстань між двомакрапками M(х1, х2) і N(y1, y2)визначенню приймається довжина вектора />:
d(M,N)2=(y1 — x1) — (y2 — x2)2.
 
Величиною кута між векторами /> й/> називається число,певне по формулі
/> (3.8)

У правій частині (3.8)чисельник позитивний, а знаменник при неізотропних векторах />, /> може бути позитивним інегативним.
Якщо вектори />, /> однієї природи,тобто обидва множники в знаменнику одночасно просторові або тимчасові, те/>, якщо ж один з векторівпросторовий, а інший тимчасовий, то />.
Неважко далі довести, щочисельник в (3.8) не менше знаменника. Дійсно, якщо координати векторів /> і/> будуть відповідно (х1,х2) і(в1, в2) у деякійпрямокутній системі координат, те
/>.
Отже, якщо вектори/>, /> одночасно будутьпросторовими або тимчасовими, те
/>. (3.9)
Думаючи в цьому випадку />, одержимо
/>. (3.10)
У псевдоевклідової площини існуєтри типи прямих залежно від природи її напрямного вектора, якщо напрямнийвектор буде просторова, тимчасова або ізотропним, те пряма називаєтьсявідповідно до просторової, тимчасовий або ізотропної.
г) Перейдемо тепер довизначення поняття окружності.
Окружністю в псевдоевклідовоїплощини називається множина її крапок, що відстоять від даної крапки, називаноїцентром на те саме відстань r; величина rназивається радіусом окружності. Вибираючи прямокутну систему координат зпочатком у центрі окружності, переконаємося, що координати поточної крапки (х1,х2) даної окружності задовольняють рівнянню
/>.
У цій геометрії існує тритипи окружностей — окружності речовинного, чисто мнимого й нульового радіусів.На мал. 13 окружності нульового радіуса зображуються з погляду евклідовоїгеометрії бісектрисами координатних кутів, окружності речовинного радіуса — гіперболами, що перетинають вісь Ох1і окружність чистомнимого радіуса — гіперболами, що перетинають вісь Ох2.
д) На закінчення розглянемокоротенько руху в псевдоевклідової площини. Рух визначається як перетворення,що відповідають крапки якого мають ті самі координати щодо вихідної й довільнозаданої прямокутних систем координат. Як і в евклідовій геометрії доводиться,що рух є ізометрією й, обернено, усяка ізометрія є рухом. Ізометріявизначається як перетворення, що зберігає відстань між двома довільнимикрапками. Як і в геометрії евклідової площини, руху можна розділити
на власні рухи — руху звизначником /> = 1 і невласні — руху звизначником /> = — 1. Але тепер кожну ізцих сукупностей у свою чергу можна розділити на дві сукупності. Щобпереконатися в цьому, відзначимо попередньо наступні два зауваження.
По-перше, ясно, щопросторові, тимчасові й ізотропні вектори при рухах залишаються відповіднопросторовими, тимчасовими й ізотропними.
По-друге, при безперервнихобертаннях навколо даної крапки вектори ізотропного конуса відокремлюють у ційкрапці тимчасові вектори від просторових.

Перейдемо тепер до подальшогоподілу на частині рухів псевдоевклідової площини. Неважко бачити, що у формулах
/> (3.11)
визначальне обертання,величина /> не звертається в нуль.Справді, припустимо, що в (3.11) коефіцієнт /> рівняєтьсянулю. У такому випадку просторовий вектор {1, 0} при обертанні (3.11), перейшовби у вектор {0, />}, що єтимчасовим, що неможливо. Таким чином, при змінах координатних векторів />, викликуванихбезперервними обертаннями, коефіцієнт /> буде постійним.
Отже, всі рухи діляться начотири типи залежно від значення визначника перетворення /> = 1 або /> = — 1 ізнака /> > 0 або /> 
Представниками цих чотирьохтипів будуть, наприклад, руху з матрицями:
/>
Псевдоевклідовийтривимірний простір
а) узагальнимо побудови псевдоевклідовоїплощини на тривимірні простори. Аксіоми псевдоевклідового тривимірного просторузбігаються з аксіомами Вейля псевдоевклідової площини, за винятком аксіомрозмірності III. Тепер в аксіомі III-I мова йде про існування трьох лінійнонезалежних векторів, а в аксіомі III, 2 — усякі чотири вектори лінійно залежні.
Скалярний добуток двохвекторів />, /> у псевдоевклідовомпросторі будемо позначати, як і у випадку псевдоевклідової площини, символом />. Вектори/>, /> - перпендикулярні, якщоїхній скалярний добуток дорівнює нулю.
Число /> називається скалярним квадратом вектора. Довжиноювектора /> називається коріньквадратний зі скалярного квадрата цього вектора й позначається через />:
 
/>.
Підкореневе вираження можебути />>0,/>і /> = 0. Довжинивекторів відповідно до цим випадкам будуть речовинні, чисто мнимі й нульові.Вектори речовинної довжини називаються також просторовими, вектори чисто мнимоїдовжини — тимчасовими й вектори нульової довжини — ізотропними.
У псевдоевклідовом просторівводиться прямокутна система координат. По визначенню так називається афіннасистема координат, вектори якої /> одиничній взаємно перпендикулярні. Будемо розглядати так званий простір Минковського,у якому із трьох координатних векторів прямокутної системи координат дваодиничні, а третій — мнимо одиничний. Будемо вважати, що
/> (3.12)
У цій системі координатскалярний добуток двох векторів і квадрат довжини вектора/>, мабуть, обчислюютьсяпо формулах виду
/>

І квадрат довжини вектора/>, мабуть, обчислюютьсяпо формулах виду
/>, (3.13)
/>. (3.14)
За відстань між двомакрапками М(x1, x2, x3) і N(y1,y2, y3) по визначенню приймається довжина вектора />, тобто
/>. (3.15)
 
Величиною кута міжвекторами /> й/> називається число, певне по формулі
/>.
Якщо вектори />, /> однієї природи, тобто обоєпросторові або тимчасові, то />. Більшетого, />, якщо для х, у виконуєтьсянерівність Коші й />, якщо нерівністьце не виконується. Думаючи в останньому випадку />,одержимо />.
б) У псевдоевклідовомпросторі існує три типи прямих залежно від природи її напрямного вектора. Тутіснують також три види площин залежно від природи її нормального вектора.
в) Докладніше розглянемопитання про сфери. Сферою псевдоевклідова простору П3 називаєтьсямножина крапок цього простору, що відстоять від даної крапки А, називаноїцентром сфери, на те саме відстань r. Величина r називається радіусом сфери.
Вибираючи прямокутну системукоординат з початком у центрі сфери, переконаємося в тім, що координати х1,х2, х3 поточні крапки сфери радіуса r задовольняютьрівнянню
/>. (3.17')
Ясно, що перші двакоординатних вектори прямокутної системи тут передбачаються одиничними, атретій вектор — мнимо одиничним.
У псевдоевклідовом просторііснують три типи сфери речовинного, чисто мнимого й нульового радіуса.
Рівняння сфери речовинногорадіуса r збігається (3.17'), у якому величина r речовинна. Якщо сферачисто мнимого радіуса r = ki, де k речовинне, то рівняння (3.17')приводиться до виду
/> (3.17)
Якщо ж сфера буде нульовогорадіуса, то з (3.15) треба, що
/>. (3.18)
Рівняння (3.18) в евклідовомупросторі є рівнянням конуса, а попередні два — рівняння гіперболоїдів.
Ясно, що конус (3,18)складається з асимптот сфер (3.17, 17'), що мають центр на Начало координат.Очевидно, асимптотичеський конус сфери збігається з ізотропним конусом їїцентра. З рівняння (3.15) треба також, що на сферах псевдоевклідова простори єпрямолінійні утворюючі — прямі цілком лежачі на сфері.
Очевидно, лінією перетинаннясфери із площиною є  окружність. Якщо січна площина проходить через Начало  Координат,то радіус окружності приймає значення, рівне  радіусу сфери. Одержувані втакий спосіб окружності сфери називаються більшими окружностями.
За сферичну відстань /> між двома крапками М (/> ), N (/> ) сфери приймаємо відстань по великій окружності,що з'єднує дані крапки. Очевидно, ця відстань рівняється добутку радіусасфери на значення кута, утвореного радіусами векторами />,/> . Отже, сферична відстань /> визначається по формулі
/>. (3.19)
Якщо сфера чисто мнимогорадіуса r = ki, то формула (3.19) приводиться до виду
/>.
Геометрія Лобачевского
Переконаємося тепер, щогеометрія сфери чисто мнимого радіуса в псевдоевклідовом просторі є Двомірноюгеометрією Лобачевского. Обмежуючись лише однієї, наприклад, верхньої порожньоїсфери, покажемо, що в множині її крапок і більших окружностей здійснюєтьсяпланіметрія Лобачевского. Для простоти ці крапки можна спроектувати із центрасфери на дотичну до неї площина в крапці N. Криву перетинання дотичноїплощини з ізотропним конусом будемо називати абсолютом.
При проектуванні крапкипівсфери перейдуть у внутрішні крапки кола, обмеженого абсолютом, а більшіокружності — у хорди абсолюту. Очевидно, останні є лініями перетинання площинбільших окружностей із внутрішністю абсолюту. Інцідентність крапок і прямихрозуміється у звичайному змісті. Ясно, що в системі крапок внутрішностіабсолюту і його хорд аксіоми 1,1 — 3 виконуються. Аналогічно аксіоми II порядкуй IV безперервності переходять у щирі пропозиції геометрії дотичної площини. Щостосується аксіом III групи — аксіом конгруентності, те вони також переходять ущирі пропозиції тривимірної псевдоевклідової геометрії. При цьому вважаємо конгруентнимиті відрізки (кути), яким на сфері чисто мнимого радіуса відповідають сфери дугибільших окружностей, що сполучаються при деяких, обертаннях (кути між більшимиокружностями).
З'ясуємо тепер, якавиконується аксіома паралельності: V або V'.
Припустимо, що нам дана наверхній півсфері більша окружність і не лежача на ній крапка. У зв'язуванніпрямих і площин, центр якого збігається із центром сфери, цієї великоїокружності й крапці відповідають відповідно площина />й пряма a зв'язування.
Очевидно, що через пряму аможна провести незліченну множину площин зв'язування, що розсікають півсферу побільших окружностях, що не перетинаються з даною великою окружністю. У такийспосіб у розглянутій моделі виконується аксіома паралельності Лобачевского.Інакше кажучи, площинна геометрія Лобачевского збігається з геометрією сферичисто мнимого радіуса.
Ці міркування дозволяютьприйняти наступне загальне визначення n-мірних неевклідових геометрій.
Неевклідовими геометріямиn-вимірів називаються геометрії, які породжуються на n-мірних сферах, Snречовинного або чисто мнимого радіуса в (n+1)-мірному евклідовому відповідно псевдоевклідовомпросторі. Передбачається також» що діаметрально протилежні крапки цих сферототожнені, тобто такі пари крапок уважаються за одну крапку.
Із цього визначення треба, щопри зростанні n числотипів неевклідових просторів також росте. Неевклідові геометрії є геометрияминайпростіших римановых просторів певної й невизначеної метрики, що становлятьтак званий клас просторів постійної ненульової кривизни. Кожне з таких n-мірнихпросторів допускає сукупність рухів, що залежить від n(n+1)/2параметрів.
Очевидно, при n=2одержимо еліптичну площину й площину Лобачевского. Геометрія, цих площин будевідповідно геометрією сфери Евклідова простору й геометрією сфери чисто мнимогорадіуса в псевдоевклідовом просторі.
Наше найближче завдання —вивести основні формули сферичного трикутника (так називаються трикутникна сфері, утворений трьома дугами більших окружностей). Ці формули виражаютьосновні математичні співвідношень у трикутниках геометрії Лобачевского.
а) СНачало доведемо так званутеорему косинусів. Припустимо, що нам даний сферичний трикутник з вершинами А(/> ), В (/> ), З (/> ), кутами A, В, Си протилежними сторонами відповідно а, b, с.
Очевидно, ці сторонипов'язані з радіус-векторами вершин сферичного трикутника наступними рівностями
/> (3.21)
Припустимо далі, що дотичнаплощина до сфери в крапці З перетинає радіуси ОА й ОВ украпках /> і />. Ці числові множники/> ,/> радіусів векторів крапок A1і B1 визначаються зовсім просто, якщо врахувати ортогональністьвекторів />, /> і />, /> Дійсно,
/>
/>.
Звідси на підставі (3.21)треба, що

/>. (3.22)
Повторюючи наведеніміркування для іншої пари /> й /> ортогональних векторів, одержимо
/>. (3.23)
Знайдемо тепер скалярнийдобуток векторів /> і />. Зодного боку, маємо
/>,
Де
/>
Отже, на підставі (3.22,3.23) маємо
/>
Тому
/>.

З іншого боку,
/>.
Застосовуючи потім (3.21),(3.22), (3.23), одержимо
/> (3.25)
Порівнюючи (3.24) і (3.25),містимо
/>
Або
/>. (3.26)
Формула (3.26) не залежитьвід нашого припущення про крапки перетинання А1і В1.Ця формула виражає теорему косинусів сферичного трикутника сфери чистомнимого радіуса: косинус гіперболічної сторони сферичного трикутникадорівнює добутку косинусів гіперболічних двох інших сторін без добутку синусів гіперболічнихцих же сторін на косинус кута між ними.
б) Переходимо тепер довисновку теореми синусів. Обчислимо для цього квадрат відносини />. На підставі (3.26), маємо

/>. (*)
Бачимо, що чисельник правоїчастини є симетричним вираженням щодо змінних а, b, с. Неважкопереконатися, що такою ж симетричністю щодо цих змінних володіє й знаменник.Справді
/> (3.27)
Таким чином, квадрат шуканоговідношення симетричний щодо сторін а, b, с. Це означає, що заміняючипозначення сторін а, b, з і кутів А, В, С у круговому порядку в(*) одержимо відносини />, />, рівні />. Витягаючи із цих відносинквадратних корінь, одержимо формули
/>, (3.28)
теорему, що виражає, синусів сферичного трикутника в геометріїсфери чисто мнимого радіуса: синуси гіперболічних сторін сферичноготрикутника ставляться як синуси протилежних кутів.

в) Помітимо, що формули(3.26) і (3.28) геометрії сфери чисто мнимого радіуса r = ki у псевдоевклідовомупросторі можна одержати з відповідних формул сферичного трикутника вевклідовому просторі, заміняючи /> на />, /> на />, /> на />.
Застосовуючи це правило,одержимо другу теорему косинусів для сферичного трикутника у випадку сферимнимого радіуса:
/> (3.29)
Інакше, косинус кутасферичного трикутника дорівнює добутку синусів двох інших кутів на косинусгіперболічної сторони між цими кутами без добутку косинусів двох інших кутів.
Звідси треба, що якщо кутиодного сферичного трикутника дорівнюють відповідним кутам іншого сферичноготрикутника, те такі трикутники рівні.
Формули прямокутноготрикутника
Припустимо, кут Із трикутникаAВС є прямим. Застосовуючи теорему косинусів (3.26), одержимо
/>. (3.30)
Ця рівність виражає теорему Піфагорав геометрії Лобачевского: косинус гіперболічної гіпотенузи прямокутноготрикутника рівняється добутку косинусів гіперболічних катетів. Застосовуючиформулу (3.28) будемо мати:

/>, (3.31)
/>. (3.32)
Отримані формули можнавиписати за мнемонічним правилом, аналогічному правилу Непера в сферичнійгеометрії.
У цих формулах зв'язуютьсяп'ять елементів прямокутного трикутника, які можна розглядати в циклічномупорядку />. Для кожного елементапопередній і наступний елементи називаються прилеглими, а інші два елементи — протилежними елементами. Мнемонічне правило формулюється в такий спосіб.
Косинус елементапрямокутного трикутника в геометрії Лобачевского рівняється добутку синусівпротилежних елементів або добутку котангенсів прилеглих елементів.
Якщо під знаком функціївходить кут, то функція розуміється в тригонометричному змісті. Якщо ж входитьдовжина, то вона ділиться на радіус кривизни і їхня функція розуміється вгіперболічному змісті. Нарешті, у випадку, коли під знаком функції коштуєкатет, функція міняється на суміжну: синус — на косинус, тангенс — на котангенсі навпаки.
Користуючись наведенимправилом, одержимо для кожного елемента відповідні вираження через прилеглі йпротилежні елементи прямокутного трикутника:

/> (3.33)
 
Основна формула Лобачевского
Нехай дана на площиніЛобачевского пряма a ікрапка A, не інцідентна їй. Опустимо із крапки А перпендикуляр АВна пряму а (мал. 19). Проведемо також через крапку А пряму АТ,паралельну прямій а в якому-небудь напрямку. Кут />, як указували вище,називається кутом паралельності, а відрізку АВ. Для одержання основнийформул Лобачевского, що зв'язує кут паралельності ВАО = П(p) з відрізкомp=АВ, візьмемо на промені В яку-небудь крапку С.Для прямокутного трикутника AВС, маємо
/>
Будемо видаляти тепер крапку Зпо промені нескінченно, прагне при цьому до 1 і в межі, одержимо
/>
Звідси треба, що

/>
Вставляючи в останню рівність
/>
остаточно одержимо
/>
Ця формула, що зв'язує кутпаралельності П(р) з відповідним відрізком р, називається основноюформулою Лобачевского. З її треба, що кут паралельності є монотонно убутноюфункцією. Якщо відрізок паралельності р прагне до нуля, то кутпаралельності прагне до прямого кута, якщо ж р прагне до нескінченності,то кут П(р) прагнути до нуля.
Геометрія сфери просторуЛобачевского
Візьмемо в тривимірномупросторі Лобачевского сферу радіуса R із центром у деякій крапці О.На цій сфері індуцирується деяка сферична геометрія. сукупність, Що Виходить,пропозицій називається геометрією сфери в просторі Лобачевского. Розглянемо вцій геометрії прямокутний трикутник AВС, утворений з дуг АВ = з,АС = b, ВР = a більших кіл. Дуги більших кіл тут, як ів сферичній геометрії звичайного простору є найкоротшими для досить близькихкрапок на сфері. Кути між більшими колами розуміються як лінійні кутидвогранних кутів, утворених площинами більших кіл. Припустимо, що кут З даноготрикутника прямої. Опустимо далі із крапки В перпендикуляри ВА1і ВР1на радіуси ОА й ОС відповідно.Застосовуючи відомі формули до прямокутного трикутника ОВС1(мал.20), одержимо
/>
Аналогічно із трикутників ОВА1і А1ВР1треба, що
/>
/>
Крім із цих трьохспіввідношень ВР1і ВA1, одержимо формулу
/>
співпадаючу з відповідноюформулою для прямокутного сферичного трикутника в евклідовому просторі.Виведемо тепер теорему Піфагора для прямокутного трикутника ABС угеометрії сфери в просторі Лобачевского. Із трикутника ОВС1маємо
/>
Аналогічно із трикутників ОВА1і OA1C1відповіднотреба, що

/>
Крім із отриманих трьохрівностей відрізки ОС1і OA1 виводимо
/>
Ця формула збігається звідповідною формулою для прямокутного трикутника звичайної сферичної геометрії.Зазначеним способом можна переконатися, що в цілому геометрія сфери просторуЛобачевского збігається з геометрією сфери Евклідова простору.
Про геометрію Лобачевскогов малому
Припустимо тепер, що втрикутнику лінійні розміри a, b, c малі в порівнянні з радіусом кривизниk простору. Це припущення свідомо виконується для трикутників з малимилінійними розмірами або в просторі досить малої кривизни 1/k2.Розкладаючи в статечні ряди гіперболічні функції у формулі (3.26), що виражаєтеорему косинусів у геометрії Лобачевского, одержимо
/>
З огляду на тут члени додругого порядку малості включно, будемо мати
a2 = b2+ c2 – 2 bc cosA.
 

Ця залежність між елементамитрикутника виражає теорему косинусів в евклідовій геометрії. У випадкупрямокутного трикутника cosA=0; отже,
a2 = b2+ c2
т. е. справедлива теоремаПифагора. Далі при наших припущеннях синуси гіперболічні у формулі (3.28) упершому наближенні пропорційні аргументам, тому
/>
т. е. сторони трикутникапропорційні синусам протилежних кутів. Останні три рівності дозволяютьзатверджувати, що формули геометрії Лобачевского для фігур з малими лінійнимирозмірами збігаються з відповідними формулами евклідової геометрії.
 
2.4 Різні моделі площиниЛобачевского. Незалежність 5-го постулату Евкліда від інших аксіом Гильберта
У попередньому параграфіпознайомилися з основними формулами двомірної геометрії Лобачевского, які в тойже час були формулами геометрії сфери чисто мнимого радіуса в псевдоевклідовомпросторі.
Ця сфера, по суті, є одна зможливих моделей площини Лобачевского. Інша модель — модель Бельтрами-Клейна.Вона вийшла з першої моделі шляхом центрального проектування крапок сфери наяку-небудь її дотичну площину. Остання, мабуть, буде евклідовою площиною.
Площина Лобачевского в моделіБельтрами-Клейна зображується у вигляді внутрішності кола, причому прямізображуються хордами. Пересічні прямі зображуються пересічними хордами. Якщозагальна крапка буде прагнути по одній із прямих до нескінченності, топаралельні прямі будуть зображуватися хордами, загальна крапка яких належитьабсолюту (обмежуючої внутрішність кола окружності). Нарешті, зверхпаралельніпрямі в розглянутій моделі зображуються хордами, які, будучи продовжені,перетнуться в крапці, що належить зовнішньої області абсолюту.
Неважко переконатися, щопучок прямих першого роду при Даному відображенні переходить у сукупність хорд,що перетинаються в загальній крапці, що належить внутрішності абсолюту. Пучокпрямих другого роду, тобто прямих, паралельних один одному в даному напрямку,переходить у сукупність хорд, що перетинаються в деякій крапці абсолюту.Нарешті, пучок прямих третього роду відображається в сукупність хорд, щоперетинаються в деякій крапці поза абсолютом.Крапки абсолютуназиваються нескінченно вилученими крапками й крапки поза абсолютом — ідеальнимикрапками площини Лобачевского. Тому пучки прямих другого й третього родівназиваються іноді пучками з нескінченно вилученими або відповідно ідеальнимицентрами.
Неважко переконатися також,що вісь пучка прямих третього роду є полярою полюса — свого ідеального центра.Справді, допустимо, що вісь пучка не є полярою ідеального центра. Припустимо,наприклад, що вона не проходить через крапку перетинання поляри крапки Р сабсолютом. Тоді на площині Лобачевского буде існувати пряма СС1одночасно перпендикулярна й паралельна до прямій СВ, що неможливо.
Переносячи по відображенню увнутрішність абсолюту основні поняття відображуваної площини Лобачевского, упідсумку одержимо так звану модель Бельтрами-Клейна.
Ясно, що до моделіБельтрами-Клейна можна прийти безпосередньою перевіркою аксіом Гильберта I-IV іаксіоми паралельності Лобачевского в множині крапок внутрішності кола і йогохорд, уводячи між ними відповідним чином основні відносини. Крапками й прямимив цій моделі є внутрішні крапки абсолюту і його хорди без кінців. „інцідентність"крапок і прямих, а також „между" для трьох крапок, що належать однійпрямій, розуміються у звичайному змісті. Два відрізки (кута) уважаються конгруентними,якщо вони будуть відповідними при деякому взаємно однозначному крапковомувідображенні розширеної (за рахунок додавання невласної прямої) евклідовоїплощини, при якому абсолют залишається незмінними „прямі" переходять в „прямі".
У моделі Бельтрами-Клейнадовжини й кути спотворюються, якщо малюнки 23, 24 розуміти в евклідовомузмісті.
У розглянутій моделі черезкрапку А, дану поза прямій а, можна провести прямі, якіперетинають пряму а; прямі АU, АV, паралельні а й,нарешті, прямі b – зверх паралельні, що розташовуються у внутрішностізаштрихованих вертикальних кутів. У цій моделі виконуються всі аксіомиГильберта, у тому числі й аксіома Лобачевского. Відстань d(А, В) міждвома крапками A, У в моделі Бельтрами-Клейна виражаються задопомогою проективних понять. Якщо хорда АВ перетинає абсолют у крапках М,N, то
/>
де (ABMN) позначаєподвійне відношення зазначених чотирьох крапок (АМ: ВМ): (АN: BN).У самому діді, припустимо, що
/> (4.1)
є рівнянням абсолюту в одноріднихкоординатах. Крім того, за умовою нам дані крапки А(аi) і В(bi).Становлячи рівняння прямій АВ, одержимо
/> (4.2)

Щоб знайти крапки перетинанняМ, N, прямій АВ з абсолютом, вирішимо спільно систему рівнянь(4.1) і (4.2) щодо невідомих />. Вставляючи/> з рівності (4.2) урівняння (4.1), одержимо
/>. (4.3)
Розгортаючи більш докладноліву частину (4.3), будемо мати
/>.
Тому що крапка А (аi)не належить абсолюту, тобто />, те вирішуючиквадратне рівняння
/>
знайдемо наступних значеньвідносини />, для шуканих крапок:
/>
З іншого боку, як відомо,подвійне відношення чотирьох крапок А, B, М, N дорівнює подвійномувідношенню, складеному з відповідних значень параметра />, тому

/>
Але ця рівність можнапереписати у вигляді
/> (4.4)
Вставляючи в праву частину(4.4) знайдені вираження />, /> і з огляду на (3.21),одержимо
/>
Тому що по визначенню
/>
те попередня рівність можнапереписати так:
/>
Логарифмуючи цю рівність,маємо остаточно
/> (4.5)

Ця формула показує, щовідстань між двома крапками А и В рівняється з точністю до множникаподвійному відношенню даних крапок А, У и крапок М, N перетинанняпрямій АВ з абсолютом.
Кут /> між двома променями а,b, що виходять із крапки З, також виражається через проективніпоняття комплексної геометрії, Нехай т, n позначають дотичні до абсолюту,що проходять через крапку С. Помітимо, що прямі m, n необхіднокомплексно сполучені. Аналогічно попередній формулі маємо
/>
Модель Бельтрами-Клейнапримітна тим, що прямі площини Лобачевского в ній зображуються у виглядівідкритих відрізків прямих евклідової площини. Вона здійснює геодезичневідображення площини Лобачевского на внутрішність кола евклідової площини.
Перш ніж перейти до іншихмоделей площини Лобачевского потрібно зробити наступні два важливих зауваження.По-перше, до моделі Бельтрами-Клейна можна прийти на основі відображенняплощини Лобачевского на граничну поверхню, на якій здійснюється Евклідовагеометрія. Тому аксіоми геометрії Лобачевского тут виконуються автоматично повідображенню. Але наведене тут опис по відображенню основних понять дозволяє усвою чергу прийти до цієї моделі самостійним образом, на основі доказувыполнимости послідовно кожної аксіоми I — IV, V.
По-друге, до цієї ж моделіБельтрами-Клейна можна прийти, мабуть, проектуванням у просторі Минковскогосфери чисто мнимого радіуса з її центра на дотичну до неї площина, наприклад, упівнічному полюсі.
Припустимо тепер, що абсолютіз центром Про модель Бельтрами-Клейна є більшим колом сфери.Ортогональне проектування внутрішності абсолюту на одну з отриманих півсфердозволяє одержати нову модель площини Лобачевского на півсфері. Потімстереографическое проектування цієї півсфери на вихідну площину з полюса S,розташованого в іншій півсфері, де відрізок OS перпендикулярний площиниабсолюту, приводить до моделі Пуанкаре усередині кола. Отже, уколишньому абсолюті прямими тепер є дуги окружностей, що ортогональнеперетинають абсолют і діаметри абсолюту. Відносини інцидентності, лежати міжі конгруентності кутів мають звичайний сенс. Поняття конгруентностівідрізків також відповідним чином переноситься з моделі Бельтрами-Клейна.
Застосовуючи потімдрібно-лінійне відображення комплексного змінного до внутрішньої областіабсолюту, одержимо відому модель Пуанкаре на напівплощині. У цій моделі«крапками» є крапки верхньої напівплощини, «прямими» — півкола із центром награничній прямій — абсолюті. До «прямих» зараховуються також, напівпряміверхньої напівплощини, перпендикулярні до абсолютної прямої. Відносини інцідентностій лежати між розуміємо у звичайному змісті. Конгруентність кутів у цій моделізбігається з евклідової конгруентностью. Модель Пуанкаре представляє собоюконформне відображення площини Лобачевского на Евклідову напівплощина.
Що стосується поняття конгруентностівідрізків, то воно визначається через рухи або відстань між двома крапками Аи В, причому поняття відстані між крапками в останньому випадку неприпускає виміру відрізків. По визначенню воно означає число.
/>(*)
якщо крапки A, У лежатьна півкола або число
/>(**)

якщо крапки лежать нанапівпрямій, перпендикулярній граничній прямій XX. У цих формулах кути />, /> і ординати в1, в2 мають звичайний сенс, ясний з малюнка 29, буд.
Очевидно, завжди можемоприпускати, що позначення кутів символами />, /> і ординат в1, в2для даних крапок A, У здійснено так, що праві частини в (*),(**) позитивні. Тепер неважко визначається конгруентність відрізків. Відрізки АВі СD конгруентні, якщо відстань між кінцями A, В одноговідрізка дорівнює відстані між кінцями З, D іншого відрізка.
Підкреслимо ще раз, що домоделі Пуанкаре на напівплощині ми прийшли в результаті відображення першоїмоделі Пуанкаре у внутрішності кола. Тому аксіоми Гильберта геометріїЛобачевского виконуються автоматично по відображенню.
Опису основних образів, щоприводяться тут, і відносин інцидентності, лежати між, конгруентності відрізківі кутів дозволяють прийти до цієї моделі Пуанкаре на напівплощині самостійнимобразом, шляхом доказу кожної аксіоми гильбертовської аксіоматики.
На закінчення зупинимося напитанні незалежності 5-го постулату Евкліда від інших аксіом Гильберта.Відповідно до загальної установки, викладеної в главі 1, досить побудувати яку-небудьмодель, на якій би виконувалися всі аксіоми Гильберта I — V за винятком аксіомипаралельності V. Аксіома ця, еквівалентна щодо аксіом I — IV твердженню 5-гопостулату, полягає в наступному. Через крапку А, не приналежній прямій а,можна провести в площині, обумовленою цією крапкою А и прямій а,не більше одній прямій, що не перетинається з даній прямій a.
Очевидно, будь-яка модельгеометрії Лобачевского, наприклад, Бельтрами-Клейна дозволяє довестинезалежність аксіоми паралельності від попередніх аксіом I — IV. Дійсно, на ціймоделі виконуються всі 19 аксіом I — IV, а аксіома V не виконується. Звідсимістимо, що за допомогою аксіом I — IV, Гильберта неможливо довести аксіомупаралельності V. Інакше кажучи, 5-й постулат Евкліда не можна вивести як теоремуз попередніх аксіом I — IV.
 

Висновок
Відкриття неевклідовоїгеометрії, Начало якому поклав Лобачевский, не тільки зіграло величезну роль урозвитку нових ідей і методів у математиці природознавства, але має йфілософське значення. Панування до Лобачевского думки про непорушністьгеометрії Евкліда значною мірою ґрунтувалося на навчанні відомого німецькогофілософа І. Канта (1724-1804), родоначальника німецького класичного ідеалізму.Кант затверджував, що людина впорядковує явища реального миру відповідно доапріорних уявлень, а геометричні подання й ідеї нібито апріорні (латинськеслово aprior означає — споконвічно, заздалегідь), тобто, не відбивають явищдійсного миру, не залежать від практики, від досвіду, а є вродженими людськомумиру, раз і назавжди зафіксованому, властивими людському розуму, його духу.Тому, Кант уважав, що Евклідова геометрія непохитна, незмінна, і є вічноюістиною. Ще до Канта геометрія Евкліда вважалася непорушної, як єдино можливевчення про реальний простір.
Відкриття неевклідовоїгеометрії довело, що не можна абсолютувати уявлення про простір, що «уживана»(як назвав Лобачевский геометрію Евкліда) геометрія не є єдино можливою, однакце не підірвало непорушність геометрії Евкліда. Отже, в основі геометрії Евклідалежать не апріорному, уроджені розуму поняття й аксіоми, а такі поняття, якіпов'язані з діяльністю людини, з людською практикою. Тільки практика можевирішити питання про те, яка геометрія вірніше викладає властивості фізичногопростору. Відкриття неевклідової геометрії дало вирішальний поштовхграндіозному розвитку науки, сприяло й понині сприяє більше глибокому розуміннюматеріального світу.

Список літератури
1. Глейзер Г.І. Історія математики в школі IX — Xкласи. – К., 2004
2. Даан Дальмедино А., Пейффер І. Шляхи й лабіринти.Нариси по історії математики. – К., 2003
3. Егоров І.П. Лекції по аксіоматиці Вейля йнеевклідовим геометріям. – К., 2003
4. Егоров І. П. Основи геометрії. – К., 2003
5. Клайн М., Математика. Втрата визначеності. – К.,2004
6. Лаптєв Б.Л. М.І. Лобачевский і його геометрія. –К., 2006
7. Неевклідові простори й нові проблеми фізики. – К.,2003
8. Розенфельд Б.А. Неевклідові простори. – К., 2005
9. Широков П.А. Короткий нарис основ геометріїЛобачевского. – К., 1999.
10. Яглам І.М. Принцип відносності Галілея й неевклідовагеометрія. – К., 2000
Евклідова і неевклідова геометрії