Курсоваробота: Дослідження лінійно впорядкованого простору ординальних чисел
Зміст
Введення
Розділ1.Вихідні визначення
§1. Порядкові визначення
§2. Топологічні визначення
Розділ 2. Лінійно впорядкований простір ординальних чисел
§1. Цілком упорядковані множини і їхні властивості
§2. Кінцеві ланцюги і їхні порядкові типи
§3. Порядковий тип
§4. Властивості ординальних чисел
§5. Простір ординальних чисел W(/>1) і його властивості
Висновок
Список літератури
ВВЕДЕННЯ
ординарний числоупорядкований множина
Ідеї топології були висловлені ще видатнимиматематиками 19 століття: Н. И. Лобачевским, Риманом, Пуанкаре, Кантором,Гильбертом і Бауером. Однак загальна топологія, як неї розуміють зараз, берепочаток від Хаусдорфа («Теорія множин», 1914).
Джерела теорії впорядкованихі частково впорядкованих алгебраїчних систем лежать у геометрії,функціональному аналізі й алгебрі.
Лінійно впорядкованіпростори, у тому числі й лінійно впорядкований простір ординальних чисел,поєднують у собі дві структури: порядкову й топологічну. Систематичного викладутеорії простору ординальних чисел не існує. Цим пояснюється актуальністьобраної теми.
Ціль курсової роботи — дослідження простору ординальних чисел, його порядкових і топологічнихвластивостей.
РОЗДІЛ1. Вихідні визначення й теореми
§1.ПОРЯДКОВІ ВИЗНАЧЕННЯ.
Визначення 1.1. Упорядкованоюмножиною називається непуста множина Х разом із заданим на ньому бінарнимвідношенням порядку/>, що:
рефлексивно: а /> a;
транзитивне: a /> b /> c /> a /> c;
антисиметричне: a /> b /> a /> a = b ( длябудь-яких a, b, c/>X ).
Елементи впорядкованоїмножини називаються порівнянними, якщо
а
Зауваження: по визначеннюбудемо вважати, що a b і a /> b.
Визначення 1.2. Упорядкованамножина називається лінійно впорядкованим, або ланцюгом, якщо будь-які його дваелементи порівнянні.
Визначення 1.3. Елемент авпорядкована множина Х називається найменшим (найбільшим) елементом множини А/>Х, якщо а/>А и а /> х
(х /> а) для будь-якого х />А.
Визначення 1.4. Елемент а впорядкована множина Хназивається мінімальним (максимальним) елементом множини А/>Х, якщо в А немаєелементів, менших (більших) а, тобто якщо х /> а (а /> х) для деякого х/>, те х = а.
Визначення 1.5. Нехай А – непуста підмножина лінійновпорядкованої множини Х. Елемент а з Х називається верхньої (нижньої) граннюмножини А, якщо він більше (менше) будь-якого елемента з А.
Визначення 1.6. Якщо множина А має хоча б одна верхню(нижню) грань, те А називається обмеженим зверху (обмеженим знизу).
Визначення 1.7. Множина А називається обмеженим, якщовоно обмежено й зверху й знизу.
Визначення 1.8. Точною верхньою гранню множини Аназивається найменший елемент множини всіх верхніх граней множини А.Позначається sup A.
Визначення 1.9. Точною нижньою гранню множини Аназивається найбільший елемент множини всіх нижніх граней множини А.Позначається inf A.
Визначення 1.10. Нехай > — лінійновпорядкована множина, що містить, принаймні, два елементи. Для а, b/>X, a
(a, b) = {x/>X: a X: a /> x /> b} називається відрізком у Х.
Визначення 1.11.Упорядкована множина називається цілком упорядкованим, якщо кожне його непустапідмножина має найменший елемент.
Визначення 1.12. Нехай М и М1– упорядковані множини й нехай f – взаємно однозначне відображення М на М1.Відображення зберігає порядок, якщо з того, що a /> b ( a, b/>M ), треба, що f (a) /> f (b) (у М1).Відображення f називається ізоморфізмом упорядкованих множин М и М1, якщоспіввідношення f (a) /> f (b) виконано в тім і тільки втому випадку, якщо a /> b. При цьому множини М и М1називаються ізоморфними між собою.
§2. ТОПОЛОГІЧНІ ВИЗНАЧЕННЯ
Визначення 1.13. Топологічним простором називаєтьсяпара (Х,/>), що складається із множини Х и деякого сімейства /> підмножин множини Х, щозадовольняє наступним умовам:
множина Х и Æ належать /> ;
перетинання кінцевого числамножин з /> належать />;
об'єднання будь-якого числамножин з /> належить/>.
Умови 1 – 3 називаються аксіомамитопологічного простору, його елементи – крапками простору. Підмножини множини Х,що належать сімейству />, називаються відкритими в Х. Сімейство /> відкритих підмножин простору Х називаєтьсятакож топологією на Х.
Визначення 1.14. Замкнутоюмножиною називається множина, що є доповненням до відкритого.
Визначення 1.15. Околицеюкрапки х топологічного простору називається будь-яка відкрита множина U, щомістить х.
Визначення 1.16.Топологічний простір Х називається компактним, якщо з будь-якого його покриттявідкритими множинами можна виділити кінцеве під покриття.
Визначення 1.17.Топологічний простір Х називається компактним, якщо будь-яка його центрована системазамкнутих множин у Х має непусте перетинання.
Визначення 1.16 і 1.17 рівносильні ([5]).
Визначення 1.18. Простір Хназивається локально компактним, якщо кожна крапка має околицю, замикання якоїкомпактно.
Визначення 1.19. Топологічнийпростір Х називається розрахункове компактним, якщо з кожного рахунковоговідкритого покриття простору Х можна вибрати кінцеве підпокриття.
Визначення 1.20.Топологічний простір Х називається розрахункове компактним, якщо кожне йогонескінченна підмножина містить хоча б одну граничну крапку.
Визначення 1.19 і 1.20рівносильні ([5]).
Визначення 1.21. Простір /> називається компактификацієютопологічного простору Х, якщо:
1) /> компактно;
2) Х – підпростір />;
3) Х щільно в./>
Визначення 1.22.Топологічний простір Х називається Т 1-простором, якщо для кожної пари різнихкрапок х1, х2/>існує відкрита множина />, таке, що х1/>і х2/>.
Визначення 1.23. Якщобудь-які дві різні крапки х и в топологічного простору Х мають непересічніоколиці, то простір Х називається хаусдорфовим простором або Т 2-простором.
Визначення 1.24.Топологічний простір Х називається регулярним простором, або Т 3-простором,якщо Х є Т 1-простір і для будь-якого /> й кожного замкнутої множини />, такого, що />, існують відкритімножини U1 і U2, такі, що />1, />2 і U1/>U2 = Æ.
Визначення 1.25.Топологічний простір Х називається тихоновським простором, або Т3/> — простором, якщо Х є Т 1-простір і для будь-якого /> й будь-якого замкнутої множини />, такого, що />, існуєбезперервна функція f: />, така, що f(x)=0 і f(y)=1 для />.
Визначення 1.26.Топологічний простір Х називається нормальним, або Т 4-простором, якщо длякожної пари непересічних замкнутих множин А и В існують непересічні відкритімножини U і V такі, що А/>U, B/>V.
РОЗДІЛ2. Лінійно впорядкований простір ординальних чисел
§1. ЦІЛКОМ УПОРЯДКОВАНІМНОЖИНИ І ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІ
Розглянемо цілком упорядковані множини і їхнівластивості.
Пропозиція 1.1. Усякапідмножина цілком упорядкованої множини саме є цілком упорядкована множина (очевидно).
Пропозиція 1.2. Якщо f –ізоморфізм цілком упорядкованої множини А в себе, то для будь-якого елемента х/>А виконуєтьсянерівність f (x)/>x. (1)
Доказ.
Будемо доводити методом відпротивного й припустимо, що в А є елементи х, не задовольняючій нерівності (1).Тоді серед цих елементів є найменший, тому що А є цілком упорядкованим.Позначимо його через х1: f (x1)
Таким чином, одержалинаступні нерівності: х0
Визначення 2.1. Початковим відрізком,що відтинається елементом а/>А від лінійно впорядкованої множиниА, називається множина Аа = {x | x /> A, x
Пропозиція 1.3. Нехай А’ –довільна підмножина цілком упорядкованої множини А. Тоді множина А не ізоморфноніякому відрізку множини А’.
Доказ:
Будемо доводити методом відпротивного й припустимо, що існує ізоморфізм цілком упорядкованої множини А вдеякий відрізок Ах’ підмножини А’/>А. Тоді f (x) /> Ax’. Отже, f (x)
Наслідок 1.4. Два різнихвідрізки цілком упорядкованої множини не можуть бути ізоморфні між собою.
Доказ.
Нехай Ах і Агов – два різнихвідрізки цілком упорядкованої множини А. Тому що Ах і Агов різні, а множина А –цілком упорядкована, те х и в порівнянні, при цьому х/>в. Нехай для визначеності x
Пропозиція 1.5. Існує небільше одного ізоморфізму однієї цілком упорядкованої множини на інше.
Доказ.
Будемо доводити методом відпротивного й припустимо, що f і g – два різних ізоморфізми цілком упорядкованоїмножини А на цілком упорядковану множину В. Тому що f і g різні, то існує а/>А: b = f (a) /> b’ = g (a).Нехай для визначеності b А переходить у відрізок Ву /> В, де в = f (х).Тому відрізок Аа />А подібний до відрізків
Вb /> У и Вb’ /> B, тобто Bb ізоморфний Aa і Аа ізоморфнийВb’. Отже, відрізок Вb ізоморфний відрізку Bb’, але це суперечить наслідку1.4. ■
Визначення 2.2. Якщо для елементаа /> А існуєелемент а' =
= inf {x | a A}, те а' називається безпосередньонаступним за а.
Пропозиція 1.6. Якщо А –цілком упорядкована множина, то в кожного елемента множини А, крім найбільшого,є безпосередньо наступний за ним елемент.
Доказ.
Візьмемо деякий елемент а/>А, нехай а неє найбільшим елементом. Розглянемо множину {x | x /> A, x > а}. За пропозицією 1.1воно має найменший елемент а', що є точною нижньою гранню розглянутої множини.Отже, а' треба за а. :
§2. КІНЦЕВІ ЛАНЦЮГИ І ЇХНІ ПОРЯДКОВІ ТИПИ
Пропозиція 2.1. Множина з nелементів можна лінійно впорядкувати n! способами.
Доказ.
Для доказу досить застосувати формулу числаперестановок для n-елементної множини: Рn=n! :
Пропозиція 2.2. Будь-якекінцеве лінійно впорядкована множина є цілком упорядкованою множиною.
Доказ.
Нехай є множина А – кінцевелінійно впорядкована множина. Треба довести, що А є цілком упорядкованим, тобтобудь-яку його підмножину має найменший елемент. Розглянемо довільну множину В,що є підмножиною множини А. Припустимо, що воно не має найменшого елемента.Візьмемо який-небудь елемент множини В. Позначимо його через b1. Тому що в Унемає найменшого елемента, то в ньому є елемент b2, такий, що b2 B, причому bn+1
Таким чином, одержалинескінченну множину {b1, b2,… ,bn,… }/>, але це суперечить тому, що В –підмножину кінцевої множини А и, отже, саме є кінцевим. :
Пропозиція 2.3. Будь-які двакінцеві ланцюги, що складаються з n елементів, ізоморфні.
Доказ.
нехай є два кінцеві ланцюгиз n елементів:
a1
b1
Для кожного аi покладемо f (ai)= bi. Очевидно, що відображення f є ізоморфізмом. :
Зауваження: нескінченнілінійно впорядковані множини однакової потужності можуть і не бути ізоморфними.Наприклад, множина натуральних чисел і множина цілих чисел із природними порядками.Потужності цих множин рівні, але вони не є ізоморфними, тому що в N є найменшийелемент, а в Z найменшого елемента немає.
Визначення 2.3. Порядковимтипом лінійно впорядкованої множини А називається клас всіх лінійновпорядкованих множин, ізоморфних множині А.
Будемо вважати, щопорядковий тип порожньої множини є 0.
Позначимо через n порядковийтип n — елементної множини
Nn = {0, 1, 2,…,n-1}спорядком 0
§3.ПОРЯДКОВИЙ ТИП />
Визначення 2.4. Множинанатуральних чисел із природним порядком і всі ізоморфні йому лінійновпорядковані множини називаються множинами порядкового типу />.
Пропозиція 3.1. Нескінченнелінійно впорядкована множина А має порядковий тип /> тоді й тільки тоді, коли вонозадовольняє наступним умовам:
у множині А є найменший елементa0;
для будь-якого а/>А існує точна нижнягрань а' у множині {x | a A};
3) для будь-якої підмножини Хмножини А з того, що а0/>Х и Х
містить разом з кожним своїм елементом безпосередньо наступнийза ним елемент, треба, що Х = А.
Доказ.
/> Нехай лінійно впорядкованамножина А задовольняє умовам 1)- 3). Доведемо, що А має порядковий тип />, тобто Аізоморфно множині N.
З умови (1) треба існуванняв множині А найменшому елементі а0.
Розглянемо відображення f: N/> A, заданев такий спосіб: f (0) = a0,
f (n + 1) = (f (n))’, де n = 0, 1, 2,…Існування (f (n))’для кожного n забезпечується умовою (2). Тоді внаслідок умови (3) f(N)=A. Такимчином, f інвективне й сюрективне, отже, взаємно однозначно. Доведемо, що fзберігає порядок: візьмемо n, m /> N, нехай для визначеності n f (m),
тобто f (n)
Таким чином, f – взаємнооднозначне відображення N /> A, що зберігає порядок. Отже,множина А має порядковий тип />.
/> Нехай є нескінченне лінійновпорядкована множина А, що має порядковий тип />. Множина N задовольняє умовам 1)– 3), а множина А ізоморфно йому, тому й множина А задовольняє умовам 1) – 3).:
Визначення 2.5. Порядковимтипом />*називається клас лінійно впорядкованих множин, еквівалентних множині N іздвоїстим порядком: 1 > 2 > 3 >…
Пропозиція 3.2. упорядкованамножина є цілком упорядкованим тоді й тільки тоді, коли воно не міститьпідмножину типу />*.
Доказ.
/> Припустимо, що цілкомупорядкована множина А містить підмножину Х типу />*. Тоді в Х немає найменшогоелемента, що суперечить цілком упорядкованості множини А. Отже, в А немаєпідмножин типу />*.
/> Нехай множина А не міститьпідмножина типу />*. Доведемо, що А є цілкомупорядкованою множиною. Припустимо, що це не так, тобто А містить підмножина В,у якому немає найменшого елемента. Візьмемо який-небудь елемент множини В,позначимо його b1. Тому що в У немає найменшого елемента, то існує елемент b2/>, для якого b2N елемент bn+1 /> B, причому:
bn+1
Одержали множину {b1, b2, …, bn,…. .} яке є підмножиною множини А и має тип />* — протиріччя. :
§4. ВЛАСТИВОСТІ ОРДИНАЛЬНИХЧИСЕЛ
Про ізоморфні між собоюлінійно впорядковані множини ми будемо говорити, що вони мають той самий порядковийтип.
Із часів Кантора порядковітипи цілком упорядкованих множин називаються порядковими або ординальними числами(ординалами). Порядкові типи нескінченних цілком упорядкованих множинназиваються трансфинитными числами (трансфинитами).
Визначення 2.6. Порядковечисло /> меншепорядкового числа /> (/>), якщо яке-небудь цілкомупорядкована множина типу /> ізоморфно деякому відрізкуякого-небудь цілком упорядкованої множини типу />.
Нехай /> - деяке ординальнечисло. Позначимо W(/>) – множина всіх ординальнихчисел, менших />.
Теорема 4.1. Відношення /> , установленедля ординальних чисел, перетворює множина W(/>) всіх ординальних чисел, менших даногоординального числа />, у цілком упорядковану множинутипу />.
Доказ.
З визначення 2.6 треба, щомножина W (/>) перебуває у взаємно однозначній відповідності із множиною всіх відрізків Ах довільнообраної множини А типу />; тому що відрізки Ах взаємнооднозначно відповідають елементам х /> А, те маємо взаємно однозначнавідповідність /> = f (х), х /> А, /> /> W(/>) між множиною W(/>) і множиною Атипу />. Прицьому відповідності з х =f (x) =f (x’) в W (/>), і обернено. :
Визначення 2.7. Пари (А, В)непустих підмножин лінійно впорядкованої множини Х називається перетиноммножини Х, якщо:
А /> В = Х;
2) А /> В = Æ;
3) для будь-яких х /> А и в /> У виконуєтьсянерівність х
Теорема 4.2. Для будь-якихдвох ординальних чисел /> і /> завжди здійснюється одне й тількиодне із трьох випадків: або /> , або /> = />, або /> > />.
Доказ.
Нехай дані два ординальнихчисла /> й />. З визначення2.6 і пропозиції 1.4 треба, що /> й /> можуть задовольняти не більш, ніжодному із трьох відносин: /> = />, /> , /> > />.
Позначимо через D множина W(/>) /> W (/>). Ця множинає цілком упорядкованим. Позначимо його порядковий тип через />. Доведемо нерівності />, />. Доситьдовести одне з них. Доведемо, наприклад, перше. Маємо D /> W (/>). Якщо D = W (/>), тобто /> порядковий типмножини W (/>), тобто /> =/>. Нехай D /> W (/>). Розбивка W(/>) = D/>(W(/>)\D) є перетину цілком упорядкованій множині W (/>). Справді, нехай х /> D, в /> W (/>)\D. Тому що W(/>)лінійно впорядковане, те або х W (/>), х/>W (/>), те одночасно х і х . Якби було в, в , тобто в /> D. Отже, доведено, що х D,в /> W (/>)\D, а це йозначає, що (D, W (/>)\D) є перетин в W (/>). Нехай /> є першийелемент в W (/>)\D. Тоді відрізок, щовідтинається в W (/>) елементом />, збігається з D, тобто /> є порядковийтип множини D, /> = /> і /> .
Аналогічно доводиться, що />.
Однак, нерівності /> і /> не можуть бутивиконані одночасно, тому що в цьому випадку ми мали б />D, так що /> було б типом відрізка множини D іне могло б бути типом усього D.
Таким чином, є лише наступніможливості:
1) /> = />, /> = /> і, виходить, /> = />;
2) /> = />, /> = /> і, виходить, /> ;
3) /> , /> = /> і, виходить, /> . :
Теорема 4.3. Будь-якамножина А, що складається з ординальних чисел, цілком упорядковано.
Доказ.
Лінійна впорядкованістьмножини А треба з теореми 4.2. Залишається довести, що будь-яка непуста множинаA’ /> А маєнайменший елемент.
Візьмемо який-небудь елемента' /> A’.Якщо а' – найменший із чисел
х /> А’, те все доведено. Якщо ж ні,то перетинання W (a’) /> A’ непорожньо й, будучипідмножиною цілком упорядкованої множини W (a’), містить перший елемент а.Ординальне число а і є найменшим елементом в A’. :
Визначення 2.8. Нехай є двівпорядкованих множини А и В, що не мають загальних елементів. Розглянемомножину А/>В,що складається із всіх елементів а/>А и b/>B. Перетворимо множину А/>В увпорядкована множина А+В, увівши в нього порядок у такий спосіб: якщо аА, b/>В, те покладемо a і /> є порядкові типи множин А и В, топорядковий тип множини А+У називається сумою />+/>порядкових типів /> і />.
Теорема 4.4. Нехай /> - яке-небудьординальне число. Тоді />+1 є ординальне число, щобезпосередньо випливає за />.
Доказ.
Нехай А – яке-небудь цілкомупорядкована множина типу />. По визначенню додаванняпорядкових типів множина А’ типу />+1 одержимо, якщо приєднаємо до Ановий елемент а', що випливає за всіма елементами а/>А. Тоді A = A’a’, тобто /> +1.
Усяке ординальне число />’+1 є типомдеякого відрізка Аx’ множини A’. Але якщо х = а', те Аx’ = A’a’ = A і />’ = />; якщо ж x = a’ . :
Теорема 4.5. Нехай А и В –цілком упорядковані множини. Нехай /> і /> - їхні порядкові типи. Якщо А /> В, то />.
Доказ.
Будемо доводити методом відпротивного й припустимо, що /> . Тоді множина В ізоморфновідрізку своєї підмножини А, а це суперечить пропозиції 1.3. ■
Теорема 4.6. Сума будь-якихординальних чисел х/>(даних у будь-якому порядку) єординальне число />, не менше, чим кожне з даних щоскладаються х/>.
Доказ.
Нехай дане деяке ординальнечисло /> йкожному /> поставленеу відповідність ординальне число х/>. Нехай /> - сума по типі /> всіх ординальних чиселх/>;позначимо її через /> =/>.
Якщо Х/> — яка-небудь множина,упорядкована по типі х/>, то сума цілком упорядкованого(по типі W (/>)) множини множин Х/>є цілком упорядковану множину Х,типом якого є />. Тому що множина Х містить яксвоя підмножина кожне із множин Х/>, то на підставі теореми 4.5 длябудь-якого х/>маємо х/>/>.:
Теорема 4.7. Для будь-якоїмножини ординальних чисел можна побудувати ординальне число, більше кожного ізчисел цієї множини.
Доказ.
Нехай є множина ординальнихчисел Х. На підставі теореми 4.6 сума всіх елементів х/>множини Х є ординальне число,більше, ніж кожне з даних х/>
§5. ПРОСТІР ОРДИНАЛЬНИХЧИСЕЛ W (/>1) І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ
Потужністю ординальногочисла називається потужністьвідповідні йому цілком упорядкованої множини. Так, числа 1, 2, 3, … є кінцевимиординальними числами, /> - рахункове ординальне число,тому що є порядковим типом множини N.
Позначимо />1 – перше незліченне ординальнечисло. Розглянемо W(/>1) – множина всіх ординальнихчисел, менших />1. По теоремі 4.1 множина W(/>1) є цілкомупорядкованим і має тип />1, тобто |W(/>1)| = />1 – перша незліченнапотужність.
Визначення 2.9. Ординальнечисло називається граничним, якщо воно не має попереднього.
Пропозиція 5.1. />1 – граничне ординальнечисло.
Доказ.
Якщо />1, то /> - розрахункове абозвичайно. Тоді таким буде й число />. Отже, />1. Таким чином, ніяке число />1 не єпопередньої />1.:
Пропозиція 5.2. Серед чиселмножини W(/>1) нескінченно багато граничних ординальних чисел.
Доказ.
Нехай />1, тоді /> - звичайно або розрахункове.Тоді /> - розрахункове,отже, />1,тому />1).■
W(/>1) – лінійно впорядкованамножина, тому що будь-які його два елементи порівнянні (по теоремі 4.2). Отже,на ньому можна ввести порядкову топологію, при цьому W(/>1) стає лінійно впорядкованимпростором. Для нього виконуються загальні топологічні властивості лінійновпорядкованих просторів:
1. Хаусдорфовость. Простір W(/>1) є хаусдорфовим простором([1]).
2. Нормальність. Простір W(/>1) є нормальним простором ([1])і, отже, тихоновским простором ([3]).
3. Фундаментальна система околиць довільної крапки з W(/>1).
Визначення 2.10. Множина /> околиць крапких утворить фундаментальну систему околиць цієї крапки, якщо для будь-якоїоколиці U(x) крапки х найдеться околиця ПРО(х)/>, для якої х/>.
Будь-яка крапка простору W(/>1) маєфундаментальну систему околиць, що складає з відкрито-замкнутих множин, тобтодля будь-якого />> 0 множина всіхвідкрита-замкнутих інтервалів [/>+1; />] = ={x: />+1}, де /> утворить фундаментальнусистему околиць крапки />.
4. Локальна компактність.
Лема 5.3. W(/>) компактно тоді йтільки тоді, коли /> не є граничним ординальнимчислом.
Доказ.
Необхідність. Будемодоводити методом від противного й припустимо, що /> - граничне ординальне число.Розглянемо множину «хвостів», тобто множина виду W(/>)\W(/>) = {x/>W(/>):
x />}, де />– деяке ординальне число: />. Це замкнутімножини. Очевидно, що перетинання кінцевого числа «хвостів» є «хвостом», тобтоне порожньо. Таким чином, «хвости» утворять центровану систему замкнутихмножин. Тому що /> - граничне ординальне число, топеретинання всіх множин цього сімейства порожньо й, отже, W(/>) не компактно — протиріччя. Отже, /> - не є граничним ординальнимчислом.
Достатність. Проведемо доказпо індукції:
1.W(0) = ( — очевидно компактно.
2. Індукційне припущення:нехай />’ = />+1 – неграничне ординальне число. Припустимо, що W(/>) компактно для будь-якого />+1.
Нехай /> - сімейство відкритихмножин, що утворять покриття простору W(/>+1). Тому що крапка /> покрита, тоіснує U/>, />: [/>+1; />] />U/>. По індукційномуприпущенню простір W(/>+1), що є підпростором W(/>+1),компактно, тому що />+1+1. Тому кінцева підродина F з /> покриває W(/>+1). Тоді F/>{U} – цекінцеве підпокриття з />, що покриває W(/>+1). Отже, W(/>+1) компактно.:
Із цієї леми треба, щопростір W(/>1) не є компактним, тому що />1 — граничне ординальне число.
Пропозиція 5.4. Простір W(/>1) локальнокомпактно.
Доказ.
Візьмемо довільну крапку /> з W(/>1). Тому що />/>W(/>1), те />1 і />+11 (тому що />1 – граничне ординальнечисло). Отже, />+1 не є граничним ординальнимчислом. Як околиця крапки /> візьмемо відкрито-замкнутумножину U(/>) = {/>|
/> +1} = {/>| />/>/>} = W(/>+1) – компактно (по лемі 5.3) імістить крапку />. Отже, W(/>1) локально компактно. :
5. Рахункові множини в W(/>1).
Визначення 2.11. Множина Аназивається кофинальним в W(/>), якщо воно не обмежено зверху,тобто (/>)(/>).
Пропозиція 5.5. Жоднерахункова множина в W(/>1) не кофинальне.
Доказ.
Будемо доводити методом відпротивного й припустимо, що в W(/>1) існує рахункове кофинальнамножина S.
Доведемо, що W(/>1) = />:
/> Очевидно, що W(/>)/>W(/>1) для будь-якого />S/>W(/>1).
/> Доведемо, що W(/>1)/>/>.
Нехай />W(/>1). Тому що S кофинальне,то існує />S:/>. Отже, />W(/>)/>/>.
Таким чином, W(/>1) = />.
Помітимо, що |W(/>1)| = />1. Тоді />1/>/>|S|/>0. Отже, |S|= />1, чого бути не може,тому що S – рахункова множина. :
6. Рахункова компактність.
Пропозиція 5.6. Будь-якарахункова множина з W(/>1) утримується в компактномупідпросторі простору W(/>1).
Доказ.
Нехай А — рахунковапідмножина в W(/>1). За пропозицією 5.5 воно не єкофинальним, тобто А обмежено зверху в W(/>1). Нехай />= supA. Тоді />W(/>1) і А/>W(/>+1), де W(/>+1) напідставі леми 5.3 компактно, тому що />+1 не граничне ординальне число.Таким чином, найшовся компактний підпростір простору W(/>1), у якому втримується множина А.■
Наслідок 5.7. Будь-якарахункова замкнута множина в W(/>1) компактно.
Доказ.
Нехай А – рахункова замкнутамножина в W(/>1). Тому що замкнута підмножина компактного простору компактно ([8]), а множинаА за умовою замкнуто, і за пропозицією 5.6 воно втримується в компактномупідпросторі простору W(/>1), те А компактно. :
Пропозиція 5.8. Простір W(/>1) розрахунковекомпактно.
Доказ.
Нехай S – довільнанескінченна підмножина в W(/>1), а (/>n) – його строго зростаючапослідовність. За пропозицією 5.5 множина {/>n} не є кофинальним, тобто вонообмежено зверху. Нехай />=sup/>n. У будь-якій околиці (/>) крапки />, де />, є крапкипослідовності />n множини S. Тоді /> - гранична крапкамножини S. :
7. Простір W(/>1) не метризуемо, тому що воно не компактно, але розрахунковекомпактно, а в метричних просторах будь-яке розрахункове компактний простіркомпактно.
8. Компактификації.
Лема 5.9. З будь-яких двохне пересічних замкнутих множин в W(/>1) хоча б одне обмежене.
Доказ.
Будемо доводити методом відпротивного й припустимо, що H і K – кофинальні замкнуті не пересічні множини.Ми можемо вибрати зростаючу послідовність (/>n), n/>N, де />n/>H для n – непарних, і />n/>До для n – парних. Томущо множини Н и К замкнуті, те граничні крапки їм належать, тобто /> = sup />n/>, чого бути не може,оскільки множини Н и К не перетинаються. :
Пропозиція 5.10. Будь-якафункція f/>З (W(/>1))постійна на «хвості» W(/>1)\W(/>) (/>залежить від f ).
Доказ.
Помітимо, що будь-який«хвіст» W(/>1)\W(/>),де />W(/>1), розрахунковекомпактний, тому що він є замкнутим підпростором розрахункове компактногопростору W(/>1) ([3]). Отже, кожна множина образів f [W(/>1)\W(/>)] – це розрахункове компактнапідмножина R (оскільки функція f безперервна, а безперервний образ розрахунковекомпактної множини розрахункове компактний ([3]) ) і, отже, компактно, тому перетинання/>[W(/>1)\W(/>)]центрованого сімейства замкнутих множин не порожньо. Виберемо довільне число rіз цього перетинання. Доведемо, що f -1(r) кофинальне в W(/>1). Тому що r/>/>[W(/>1)\W(/>)], те r/>f [W(/>1)\W(/>)] для будь-якого />W(/>1). Отже, f–1(r)/>W(/>1)\W(/>) для кожного />.
Розглянемо для кожного n/>N замкнута множинаАn = {x />W(/>1):
| f (x) – r | /> />}. Воно не перетинаєтьсяз f –1(r), а f –1(r) кофинальне, тому по лемі 5.9 Аn має точну верхню грань вW(/>1).Позначимо />n= sup An. Візьмемо довільне ординальне число />>sup/>n. Нехай />/> W(/>1)\W(/>), тоді />>/>. Припустимо, що f (/>)/>r, тоді |f (/>) — r|/>/>для деякого n. Отже, />Аn і />n, тобто />, але />>/> — протиріччя.
Таким чином, f (/>) = r длябудь-якого />/> W(/>1)\W(/>), />>/>. :
Визначення 2.12. Нехай сХ –довільна компактификация тихоновського простору Х. Множина сХ\Х, тобто множинавсіх крапок, який сХ відрізняється від Х, називається наростом компактификації сХ.
Визначимо впорядкування насімействі ζ(Х) всіх компактификацій простору Х.
Визначення 2.13. Нехай з1Х ис2Х – компактификації простору Х. Покладемо з2Х/>с1Х, якщо існує безперервневідображення f: з1Х/>с2Х таке, що f (х) = х для всіх х/>з1Х.
Відомо, що кожне некомпактнелокально компактне хаусдорфово простір Х володіє компактификацією />Х соднокрапковим наростом. Ця компактификація є найменшим елементом сімейства ζ(Х)всіх компактификацій простору Х стосовно впорядкування /> й називається однокрапкової компактификацією(александровськой компактификацієй) ([3]). Звідси треба, що простір W(/>1)/>{/>1} єалександровськой компактификацією простору W(/>1).
Визначення 2.14. Нехай Х. — довільнийтихоновський простір. Найбільший елемент сімейства ζ(Х) всіхкомпактификаций простору Х називається стоун-чеховської компактификацією (абостоун-чеховським розширенням) простору Х.
Пропозиція 5.12. Простір W(/>1) має єдинекомпактне хаусдорфово розширення (а саме W(/>1)/>{/>1}).
Доказ.
Доведемо, що W(/>1)/>{/>1} єстоун-чеховської компактификацією простору W(/>1). Відомо, що якщо кожнебезперервне відображення тихоновского простору Х у компактний хаусдорфовийпростір можна безупинно продовжити на деяку компактификацію />Х простору Х, те />Х єстоун-чеховської компактификацією простору Х ([3]). Таким чином, доситьдовести, що будь-яка безперервна функція, певна на W(/>1), триває по безперервності наW(/>1)/>{/>1}.
Кожна безперервна речовиннафункція, фінальне постійна, тобто для деякого а/>W(/>1) і всіх х, в > a маємо f (x)= f (y) (за пропозицією 5.10). Отже, якщо f продовжити на простір W(/>1)/>{/>1}, що єоднокрапкової компактификацією простору W(/>1), поклавши /> (/>1) = f (х), де х >a,/>|W(/>1) = f, то миодержимо безперервну функцію /> на W(/>1)/>{/>1}. Виходить, W(/>1)/>{/>1} – розширенняСтоуна-Чеховського простору W(/>1). :
Висновок
Метою курсової роботи булодослідження простору ординальних чисел, його порядкових і топологічнихвластивостей. У першому розділі були дані основні поняття теорії множин ізагальної топології, а в другому розділі було уведене поняття порядкового типу,установлені властивості порядкових чисел, а також проведене дослідженняпростору ординальних чисел, що має важливе значення для даної роботи. Булидоведені хаусдорфовость, нормальність, локальна компактність, рахунковакомпактність і деякі інші властивості лінійно впорядкованого просторуординальних чисел.
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Чиркова Н. В. Випускнакваліфікаційна робота «Лінійно впорядковані простори. — К., 2002.
2. Александров П. С. Введенняв теорію множин і загальну топологію. К., 2007
3. Енгелькинг Р. Загальнатопологія. – К., 2003
4. Келли Дж. Л. Загальнатопологія. – К., 2001
5. А. Н. Колмогоров, С. В.Фомін Елементи теорії функцій і функціонального аналізу. К., 2007.
6. И. А. Лавров, Л. Л.Максимова Задачі по теорії множин, математичній логіці й теорії алгоритмів. –К., 2004