Способ доказательства бесконечности количества некоторых видов простыхчисел
Греческий ученый Евклидеще в ІІІ векедо нашей еры доказал, что количество простых чисел — бесконечено.
Теорема Дирихлеутверждает, что в некоторой арифметической прогрессии, которая состоит снатуральных чисел, количество простых чисел />или бесконечность. Это значит, если />, тогда значения многочлена первойстепени />будут простыми числами при замене бесконечногоколичества целых чисел.
Уже о многочленах второй и о большей степени этого нельзя было сказать.Неразрешимой была проблема простых чисел-близнецов.
Ниже мы рассмотрим способ, с помощью которого можно решить часть этихпроблем.
Рассмотрим многочлен />который при значениях />от /> до />, дает бесконечный ряд натуральных чисел/> (1)А также рассмотрим ряд простых чисел /> (2)некоторого типа, о котором известно, что он бесконечен.
Пусть простые числа (2)делят числа (1) и некоторые числа (2) совпадают с некоторыми числами (1).Применяя способ решета Эратосфена, мы увидим, что каждое простое число /> c (2) выбивает с ряда чисел (1) />часть, а на все остальные простыечисла останется /> часть чисел (1).
Если p1 выбивает t/р1, то p2 выбьет еще />часть чисел (1) с тех, что осталась,а вместе они выбьют/>часть чисел(1).Для всех остальных простых чисел останется
/>
часть чисел (1)
Третье простое число /> выбьет еще />часть, а вместе они выбьют />часть чисел (1). На все оставшиесяпростые числа с (2) останется
/>
часть чисел (1)
Продолжая ми получим, чтопростые числа /> выбивают
/> (3)
часть чисел (1), а наоставшиеся простые числа останется
/> (4)
часть чисел (1)
Используем тот факт, чтопростые числа от /> до /> выбивают все сложные числа винтервале от /> до />.
Пусть />наибольшее простое число с (2)совпадающее с/>последовательности (1). Для того чтобы выяснить, естьли еще простые числа в последовательности (1) больше за /> достаточно формулу (4) умножить начисло А-количество чисел (1) на промежутке от /> до /> . И если
/> (5)
значит, там еще естьпростые числа больше /> и меньше />.Рассмотрим проблему простых чисел-близнецов
Пусть многочлен первойстепени />, где />, дает простые числа –близнецы.Требуется доказать, что их количество бесконечно. Запишем все пары чисел
/> /> /> /> (6)
/> /> /> />
Легко показать, чтокаждое простое число />выбивает по две пары таких чисел, тоесть />часть.
Пусть
/> (7)
/>
последняя известная нампара простых чисел-близнецов этого вида. Используя формулы (3) мы увидим, чтовсе простые числа от />до /> выбивают
/> (8)
часть чисел (6). А, используя формулу (4) мыполучим, что на всеостальные простые числа останется
/> (9)
часть чисел (6).
Для того, чтобы выяснитьесть ли еще другие пары простых чисел-близнецов в последовательности (6) большеза (7), достаточно исследовать формулу (9) на промежутке до />.
Если
/> (10)
где А-количество парчисел (6) на промежутке от /> до />, тогда на этом промежутке есть еще хотя бы одна парапростых чисел-близнецов данного видаТак как />
тогда последнее числовида (7) меньше />, которое будет делиться простыми числами меньшими за /> , будет число
/>.
С учетом этого формула(10) примет вид
/> ,
где видно, что леваячасть больше единицы, а это значит, что количество пар простых чисел-близнецовбесконечно.
Для примера рассмотримпростые числа-близнецы вида /> .
Пусть />наибольшая пара таких чисел. Так какчисла такого вида нечетные, значит, /> не принимает участия. Выражение (10) для данного случаяпримет вид />, где очевидно, что оно больше единицы, а это значит,что количество пар простых чисел-близнецов вида />бесконечно. Таким же способом можнорассматривать и более сложные многочлены первой степени. Очень легкодоказывается и теорема Чебышева, Гольдбаха-Эйлера.
Рассмотрим многочлен второйстепени
/> (11)Делителями его будут простые числа вида /> (12)
Подставляя в (11)значения /> от /> до /> получим ряд чисел /> (13). Пускай />наибольшее простое число вида />. Требуется доказать что есть ещепростые числа вида /> больше за />.
Каждое простое число (12)выбивает с последовательности (13)/> часть чисел. С учетом формулы (3) мыполучим, что все простые числа (12) от /> до /> выбивают
/> (14)
часть чисел споследовательности (13) На остальные простые числа вида />останется с учетом формулы (4)
/> (15)
часть чиселпоследовательности (13).
Так как /> , тогда последнее число вида />меньше />, которое будет делиться простымичислами вида />меньшим за />, будет число /> . .Для того, чтобы показать, что есть еще простые числа
/> (16)достаточно доказать, что
/> (17)
Для чего неравенство (17)запишем по-другому
/> (18)
Рассматривая (18), видим,что оно больше за единицу. Это значит что утверждение (16) верно, а значит, иколичество простых чисел вида /> бесконечно.